Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения 19
1 Основные понятия теории полуколец 19
2 Полукольца непрерывных функций на топологических пространствах 26
2 Продолжение конгруэнции полуполей непрерывных функций 38
3 Продолжение конгруэнции полуполя UV(X) 38
4 Продолжение конгруэнции полуполя U{X) 43
3 Репіетки конгруэнции полуколей и полуполей непрерывных функций 50
5 Дополнения и псевдодополнения конгруэнциий полуколец непрерывных функциий 50
6 Ретракты решёток конгруэнции полуколец непрерывных функций 56
7 Максимальные и предмаксимальные конгруэнции на полукольцах непрерывных функций с идемпотентным сложением 60
4 Характеризация свойств топологических пространств в терминах полуколец и полуполей непрерывных функций 67
8 Характеризации F-пространств 68
9 Характеризации Р-пространств 82
10 Характеризация некоторых других свойств топологических пространств 84
Список литературы 96
- Полукольца непрерывных функций на топологических пространствах
- Продолжение конгруэнции полуполя U{X)
- Максимальные и предмаксимальные конгруэнции на полукольцах непрерывных функций с идемпотентным сложением
- Характеризации Р-пространств
Введение к работе
Диссертация посвящена важному активно развивающемуся разделу функциональной алгебры — полукольцам непрерывных функций. Объектом исследования являются конгруэнции на полукольцах и полуполях непрерывных числовых функций над топологическими пространствами.
Кратко осветим историю развития теории полуколец непрерывных функций. Полукольца непрерывных функций появились в рамках классической теории колец непрерывных функций, которая зародилась в работах М. Стоуна 1937 г. [48], И.М. Гельфанда и А.Н. Колмогорова 1939 г. [14], Хьюитта 1948 г. [44], и окончательно оформилась после выхода в свет в 1960 г. замечательной книги Гилмана и Джерисона [42]. Главным объектом теории служит кольцо С(Х) всех непрерывных действительнозначных функций, заданных на произвольном (тихоновском) топологическом пространстве X, с поточечно определёнными операциями сложения и умножения функций. Изучались также кольца С(Х, К) непрерывных функций со значениями в различных топологических кольцах К, начиная с М. Стоуна [48], Капланского [45], Р. Пирса [46]. Развитие теории колец непрерывных функций в этом направлении отражено в обзорах Е. М. Вёчтомова [7, 8, 50, 51] и книгах [9, 10].
Исследование полуколец непрерывных функций стало важным направлением развития и модификации теории колец С(Х). Здесь выделяются два
объекта: полукольцо Сл (X) всех непрерывных неотрицательных функций на
Введение
произвольном топологическом пространстве X и полуполе U(X) всех непрерывных положительных функций на X с поточечно заданными операциями сложения и умножения функций. Заметим, что кольцо С(Х) служит кольцом разностей как полукольца С+(Х), так и полуполя /(Х).
Общее определение полукольца впервые было дано Вандивером [49] в 1934 году. Полукольца С+(Х) для компактов X фигурировали в качестве примера в работе Словиковского и Завадовского 1955 г. [47]. Систематическое изучение свойств полуколец непрерывных функций начато в работе В. И. Ва-ранкиной, Е. М. Вечтомова и И. А. Семёновой 1998 года [4]. В этой работе исследованы свойства делимости в полукольцах непрерывных функций, описана связь решетки конгруэнции полукольца С Ь(Х) с решеткой идеалов кольца С(Х). Описаны максимальные конгруэнции полукольца С"Ь(Х). Доказано, что из дистрибутивности любой изрешёток Con С+(Х) или Con U(X) следует, что пространство X является F-пространством. Поставлен вопрос о справедливости обратной импликации. В случае решётки Соп/(Х) вопрос положительно решён Д. В. Широковым [33, 34]. Нами доказано, что на любом F-пространстве X решётка СопС+(Х) дистрибутивна. Полуполя U(X) изучаются с 1995 года в работах [2, 4, 19, 22, 23, 24, 26, 33, 34]. Полукольца С+(Х) и полуполя U(X) рассматривались в обзорных статьях [12, 38].
Важным направлением в теории полуколец и полуполей непрерывных функций стало изучение конгруэнции на них. Впервые конгруэнции на полукольцах непрерывных функций С+(Х) на тихоновских пространствах X упоминаются в статьях [36, 37]. В первой из них авторы показали, что пространство (со стоуновской топологией) всех максимальных среди сократимых конгруэнции на С+(Х) гомеоморфно стоун-чеховской компактификации пространства X. Во второй работе доказано, что пространство конгруэнции на
Введение
полукольце С+(Х), факторполукольца по которым изоморфны полуполю Ж+ неотрицательных действительных чисел, гомеоморфно хьюиттовскому расширению пространства X.
И. А. Семёнова в диссертации [24] дает описание максимальных и пред-максимальных конгруэнции (аддитивно) сократимого полукольца С+(Х), а также максимальных конгруэнции сократимого полуполя U(X). В настоящей диссертации описаны максимальные и предмаксимальные конгруэнции (аддитивно) идемпотснтного полукольца СУ(Х) и максимальные конгруэнции полуполя IIу (X).
Через S(X) обозначим полкольцо С+(Х), CV(X) или полуполе U(X), Uy(X).
В диссертации [20] М. Н. Подлевских установлено, что конгруэнции на S(X) с топологией поточечной сходимости суть отношения равенства на всевозможных замкнутых множествах пространства X.
В теории колец непрерывных функций важную роль играют F-пространства и Р-пространства, введенные Гилманом и Хенриксоном в 1956 г. [40] и 1954 г. [39] соответственно. Имеются многочисленные характеризации F-пространств и Р-пространств в терминах колец [6, 8, 42, 51] и полуколец [4, 33] непрерывных функций. В настоящей диссертации получены полукольцевые характеризации этих пространств в терминах конгруэнции полуколец непрерывных функций.
Полукольца и полуполя непрерывных функций служат модельным примером общей теории полуколец и полутел, а также находят применение при исследовании пучковых представлений абстрактных полуколец и полутел [13, 21, 30, 32]. В свою очередь теория полуколец находит применение в топологии, дискретной математике, компьютерной алгебре, теории оптимального
Введение
управления, и других разделах математики [43]. Отдельно следует упомянуть идемпотентный анализ [18].
Диссертация состоит из 106 страниц, 4 глав, 10 параграфов, оглавления, введения, списка литературы (63 наименования) и предметного указателя. В каждом параграфе диссертации принята сквозная двойная нумерация теорем, предложений, примеров, следствий, состоящая из номера параграфа и номера утверждения в параграфе разделенных точкой. Так, теорема 5.2 означает вторую теорему пятого параграфа. Номера формул состоят из номера главы и номера формулы в главе. Так, формула (ПІ.1) это первая нумерованая формула третьей главы.
Полученные в диссертации результаты являются новыми. По мнению автора основными результатами можно считать следующие:
Установлена продолжаемость любой конгруэнции полуполей U(X) и Uy(X) до конгруэнции полуколец С+(Х) и CV(X) соответственно (теоремы 3.1, 4.1).
Доказано наличие псевдодополнений всех конгруэнции на полукольцах С+(Х), СУ{Х) и полуполях U(X), Uy(X) (теорема 5.1, следствие 5.1).
Получены критерии дистрибутивности решётки конгруэнции полукольца непрерывных неотрицательных функций (теорема 8.3 следствие 8.2).
Найдены критерии совпадения решёток конгруэнции сократимого и идемпотентного полуколец непрерывных функций (теоремы 8.2, 9.2).
Установлены новые полукольцевые характеризации F-пространств (теоремы 8.2, 8.4), Р-пространств (теорема 9.2) и конечных дискретных пространств (теорема 10.1, предложение 10.3).
Введение
Дадим краткое изложение содержания диссертации.
Первая глава посвящена обзору основных понятий теории полуколец. В ней приведены известные утверждения теории полуколец непрерывных функций, необходимые для дальнейшего изложения.
В первом параграфе сформулированы определения основных понятий и известные факты общей теории полуколец и даны примеры универсальных конгруэнции полуколец.
Предложение 1.2 позволяет исследование решётки конгруэнции полутел заменить исследованием соответствующей решётки ядер.
Второй параграф содержит необходитые известные утверждения теории полуколец непрерывных функций. Также в нем доказаны новые свойства ядер полуполей непрерывных функций.
Так, в предложении 2.2 установлено, что решётка конгруэнции ConC/v(X) является подрешёткой решётки конгруэнции ConU(X).
Главной конгруэнцией р на полуполе U, порожденной парой (и, v), называется наименьшая конгруэнция на U с условием up v. Она однозначно задается парой (гш-1,1).
Ядро главной конгруэнции на полуполе U(X) (UV(X)), порожденной парой (<>, 1), будем называть главным ядром и обозначим ((f) ((<>) v).
В предложении 2.4 дано описание главных ядер полу поля UV(X).
Предложение 2.4. Главные ядра kerv(y>) на полуполе UV(X) и только они имеют вид:
{v Є UV(X) | (ЗА; Є N) {ip A tp~l)k ^v^(cpV (f~l)k)} .
Введен символ Ed/ для обозначения множества {х Є X \ f{x) = 1}, / Є С+(Х), и исследованы его свойства.
Введение
Предложение 2.6. Для произвольной функции <р Є U(X) если множество Edявляется открыто-замкнутым, то {ф) ~ (ср V (р~1).
Лемма 2.2. Для любых функций и, v Є U{X) (и) Г) (г;) = {1} тогда и только тогда, когда Ed и U Ed г; = X.
Также во втором параграфе определяются такие важные свойства топологических пространств как тихоновость и хьюиттовость.
Топологическое пространство X называется тихоновским (хьюиттов-ским) если оно гомеоморфно произвольному подпространству (замкнутому подпространству) некоторой тихоновской степени HL Известно, что для каждого топологического пространства X существует тихоновское пространство тХ такое, что имеют место изоморфизмы С(Х) = С(тХ), S(X) = S(rX) [42]. Тихоновость пространства X означает, что X = тХ. Каждое тихоновское пространство X обладает хьюиттовским расширением г/Х, однозначно (с точностью до гомеоморфизма над X) характеризуемым следующими условиями: vX — хьюиттовское пространство, X — плотное подпространство в vX и все функции из С(Х) продолжаются (единственным образом) до функций из C{vX). Имеют место полукольцевые изоморфизмы С{иХ) = С(Х) и S{yX) = S(X). Поэтому при изучении абстрактных свойств полуколец непрерывных функций пространство X можно считать тихоновским и даже хьюиттовским. Мы будем явно указывать, когда утверждение доказано только для тихоновских пространств.
Топологическое пространство X называется F-npocmpancmeoM, если в кольце С(Х) все конечно порождённые идеалы — главные [42, chapter 14]. Известно, что пространство X является F-пространством тогда и только тогда, когда множества neg/ = {х Є X \ f(x) < 0} и pos/ = {х Є X \ f(x) > 0} для любой функции / Є С{Х) функционально отделимы [42, theorem 14.25],
Введение
Топологическое пространство X называется Р-пространством, если кольцо С(Х) регулярно по фон Нейману, то есть для любого / Є С{Х) существует такой д Є С(Х), что fgf = /. Это равносильно тому, что все нуль-множества на X открыто-замкнуты [42, chapter 4].
Во второй главе решается задача продолжения конгруэнции сократимого и идемпотентного полуполей непрерывных функций до конгруэнции соответствующих полуколец непрерывных функций.
Сначала эта задача решена для идемпотентного полуполя непрерывных функций. С этой целью для каждого ядра К Є ConUv(X) на полукольце CV(X) введены отношение Vk, заданное условием:
/ Vк д означает выполнение соотношений
п га
f = /і V ... V fn, 0 = 01 V ... V gm, V fiUi = V g&i
для некоторых fu ..., fn, 9ъ—> 9m Є CV(X) и Ui,...,umVi, ...,vm Є К, и отношение рк, определённое следующим образом:
f Рк9 <=> дк ^ / < дк' для некоторых к, к' є К.
В дальнейшем установлено, что эти отношения являются совпадающими кон-
груэнциями (предложение 3.2), склеивающими ядро К (предложения 3.1 и
лемма 3.2).
Предложение 3.1. Для каждого ядра К полуполя Uy(X) отношение
У к является наименьшей конгруэнцией на полукольце СУ{Х), склеивающей
ядро К: К С kerV/f.
Центральной результатом параграфа является теорема:
Теорема 3.1. Для произвольной конгруэнции р на полуполе IIу (X) с
ядром К конгруэнция У к полукольца СУ(Х) является продолоісением р на
полукольцо СУ{Х), причем kerVjr = К.
Введение
Предложение 3.2. Для любого ядра К полуполя UV(X) конгруэнции V# и рк полукольца CV(X) совпадают.
Для каждого ядра К Є ConU(X) на полукольце С+(Х) определяется отношение ~к, заданное условием:
/ ~аг 9 означает
п т п т
f = ^2fu 9 = ^2ш, ^Zhui = ^29jVj
г=1 j=l г=1 j=\
для некоторых /ь..., fn,gi, -,9т Є С+{Х) И Mi, ..., Um Vi, ---, vme К.
Предложение 4.1. Пусть К — некоторое ядро полуполя U(X). Тогда отношение ^~>к является наименьшей конгруэнцией на полукольце С+(Х), склеивающей ядро К.
Задача этого параграфа решена в следующей теореме:
Теорема 4.1. Любая конгруэнция р ConU(X) продолоісается на полукольцо С+(Х) до конгруэнции ~к для К = [1}р, при этом [1]~к = К.
Третья глава посвящена исследованию свойств решёток конгруэнции полуколец и полуполей непрерывных функций.
В пятом параграфе решается вопрос наличия дополнений и псевдодополнений в решётках конгруэнции полуколец С+(Х), СУ(Х) и полуполей U(X), /v(X).
Псевдодополнением элемента а решётки (L, V, Л, 0} называется наибольший элемент а* Є L, удовлетворяющий условию а Л а* — 0.
Дополнением элемента а решётки {L, V,A,0,1) называется элемент а' Є Є L, удовлетворяющий условиям а Л а' = 0 и а V а' = 1.
Теорема 5.1. Пусть X — произвольное тихоновское пространство. Тогда для полукольца или полуполя S(X) любая конгруэнциия р решётки ConS(X) имеет псевдодополнение рл для некоторого единственного кано-
\
Введение 12
нически замкнутого подмножества А пространства X. Обратно, для каждого канонически замкнутого множества А в X конгруэнция ра является псевдодополнением некоторой конгруэнции на S(X).
Следствие 5.1. Для любого топологического пространства X решётки ConU(X), ConUy(X), СопС+(Х), ConCv(X) суть решётки с псевдодополнениями.
Теорема 5.2. Бинарное отношение р на полукольце или полуполе S(X) является дополняемой конгруэнцией тогда и только тогда, когда р = Ра для некоторого единственного открыто-замкнутого подмножества А топологического пространства X. Любая дополняемая конгруэнция па S(X) имеет единственное дополнение.
В шестом параграфе установлены два результата о существовании ретрак-тов для полуколец непрерывных функций.
Для каждого идеала / кольца С(Х) на полуполе U{X) задается идеальная конгруэнция 7(Л:
Jl{I)g <&f-gel, для любых f,g Є U(X).
Аналогично определяются идеальные конгруэнции 7(-0 полукольца С+(Х).
Предложение 6.1. Отображение 7- ШС(Х) —» Con.U(X) является гомоморфизмом.
Решётка М называется ретрактом решётки N, если существуют гомоморфизмы 7г: N —» М и %: М —> N, такие, что 7Г о ^ == 1М — тождественное отображение множества М.
Теорема 6.1. Решётка идеалов IdC(X) является ретрактом решётки ядер ConU{X).
Теорема 6.2. Решётка конгруэнции ConC/v(X) является ретрактом решётки конгруэнции ConCv(X).
Введение
В седьмом параграфе описаны максимальные конгруэнции полуполя Uy(X). Методом продолжения конгруэнции получено описание предмакси-мальных конгруэнции полукольца СУ{Х).
Максимальной конгруэнцией на полукольце S называется коатом решётки Con S.
Теорема 7.1. Максимальные конгруэнции на IIу (X) — это в точности конгруэнции у(М) по всем Ш-идеалам М кольца С(Х).
Полукольцо S называется положительным^ если для любого а Є S элемент а + 1 обратим.
Известно, что максимальные конгруэнции на произвольном комутативном положительном полукольце S — это в точности двуклассовые отношения эквивалентности {Р, S\P}, где Р — простой строгий идеал в S [4, предложение 3.4].
Конгруэнция р на полукольце S называется предмаксимальной, если любая превосходящая ее конгруэнция на полукольце S является максимальной или единичной.
Теорема 7.2. Предмаксималъные конгруэнции на СУ(Х) — это в точности конгруэнции j(M) по всем Ш-идеалам М кольца С(Х).
Для произвольного топологического пространства X обозначим через Max Uy{X) (Ртах СУ(Х)) пространство — со стоуновской топологией — всех максимальных (предмаксимальных) конгруэнции на полуполе Uy(X) (на полукольце СУ(Х)).
Предложение 7.2. Для произвольного топологического пространства X топологические пространства Мах IIу (X) и Ртах Су (X) гомеоморфны. Для любого тихоновского пространства X топологические пространства МахСЛ (X), PmaxCv(X) и г/Х гомеоморфны.
Введение
Предложение 7.3. Для произвольных хьюиттовских пространств X и Y равносильны следующие условия:
Con/v(X) ^ Cont/v(r);
Con(7v(X) ^ ConCv(y);
ІйУ.
Полукольца непрерывных функций на топологических пространствах
Пусть X — произвольное топологическое пространство. Через С+(Х) (U(X)) обозначается полукольцо (полуполе без нуля) всех непрерывных неотрицательных (положительных) функций, определённых на топологическоим пространстве X, с обычными операциями сложения и умножения функций. Если вместо сложения -+- взять операцию max V, то получим идемпотент-ные полукольцо CV(X) и полуполе UV(X). Обозначим через S(X) любой из алгебраических объектов С+(Х\ CV(X), U(X), UV(X). На множестве С(Х) существует естественный порядок : / д ч= = (Уж Є X)f(x) д(х). Если / д, но / ф д, то будем писать / д. Запись / д(/ д) обозначает, что /(ж) д(х) {f(x) д(х)) для каждого х Є X. Модулем функции / Є С(Х) называется функция / такая, что /(ж) = = \f{x)\ для каждого х Є X. С функцией / кольца 0(Х) связаны функции / ь = /V0 и / = —(/АО) из полукольца С h(X). Легко видеть, что f h—f = Для каждой функции / є С(Х) множества Z(f) = {х є X \ /(ж) = 0} и cozf = X\Z(f) называются иулъ-множеством и конулъ-множеством. Множество {х Є X f(x) 0} = coz/b обозначается pos/, а множество Глава I. Предварительные сведения 27 Конгруэнции полукольца СУ(Х) и полуполя UV(X) будем называть V-копгруэнциями. Ядро конгруэнции полуполя Uy{X) назовем V-ядром. Подмножество Л упорядоченного множества S называется выпуклым, если вместе с элементами s\ S2 множество Л содержит все элементы 5, удовлетворяющие УСЛОВИЮ Si ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Для полукольца CV(X) справедливы следующие утверждения: 1) Множество І в СУ(Х) является классом нуля некоторой конгруэнции тогда и только тогда, когда I — выпуклый идеал. 2) Классы любой конгруэнции на полукольце CV(X) и на полу поле UV(X) выпуклы. Доказательство. 1) Пусть / = [0]р для некоторой конгруэнции р Є Є ConCv(X). Ясно, что / — идеал полукольца CV(X). Пусть g / и /р0, тогда (/ V #) р (0 V #) и / рд. Поэтому идеал / выпуклый. Пусть / — выпуклый идеал. Возьмем конгруэнцию Берна a = o j: fag = 3xG//Vx = gVx- Если г Є I, TOTVT = 0VT влечет т Є Ща. Пусть т Є [0]а- Тогда существует такой % Є /, что TVX = 0V% = X-Откуда г Х- Так как / выпукло, то т Є I. Итак, / = [0] . 2) Пусть р — произвольная конгруэнция на СУ(Х) (или на Uy(X)), /1,/2 Є ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Решётка конгруэнции ConUy(X) является nodpe-шёткой решётки конгруэнции ConU{X). Доказательство. Пусть К — ядро полуполя Cont/v(X).
В силу предло жения 1.1 достаточно показать, что для любых /1,/2 Є U+(X) и любых Для произвольногого подмножества А топологического пространства X определим на полукольце или полуполе S(X) бинарное отношение рл правилом: !РАЯ тогда и только тогда, когда f\A = д\А, и множество МА = {/ Є С(Х) А С Z(f)}. Очевидно, рл является конгруэнцией на полукольце или полуполе S(X), а Мд есть идеал кольца С(Х), при этом /9л = 7(мД ТЕОРЕМА 2.1 ([20, теорема 1.2.1]). Для произвольного идеала I кольца С(Х) следующие условия эквивалентны: 1) 7(-0 V-конгруэнция; 2) идеал I абсолютно выпуклый; 3)7 — выпуклый идеал и а Є I влечет \а\ Є I; 4) идеал I разностный выпуклый ; 5) I выпуклый идеал замкнутый относительно V; 6) / выпуклый идеал замкнутый относительно А. Ядро главной конгруэнции на полуполе U(X) (UV(X)), порожденной парой (и, 1), будем называть главным яфом и обозначим (и) ((w)v). ТЕОРЕМА 2.2 ([26, теорема 1]). Главные ядра (и) на полуполе U(X) и только они имеют Доказательство. Рассмотрим ядро К Є ConU(X) и произвольные /1,/2 Є Є іГ, такие, что /і /г- покажем, что произвольная функций g є f/(X) удовлетворяющая условию f\ g J2 лежит в К. Для этого рассмотрим главное ядро КЧ Є СопС/(Х). Тогда - 1. Покажем, что -?- Є ( ) Очевидно, что функция -j- удовлетворяет второму условию (1-1). Проверим первое условие. Найдем такую функцию %, что 4--1= (4- — 1J %. В силу неравенства /і — /г 0 искомой является функция Таким образом - Є ( )- Учитывая, что /і Є К, /2 Є U(X)7 получаем, ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3 ([4, следствие 3.1]). Если все главные конгруэнции на сократимом полукольце или полуполе Т идеальны, то любая конгруэнция на Т идеальна. Топологическое пространство X называется псевдокомпактным, если любая функция из кольца С(Х) ограничена. ТЕОРЕМА 2.3. [4, теорема 4-1] Все конгруэнции на полуполе U(X) идеальны тогда и только тогда, когда пространство X псевдокомпактно. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4. Главные ядра (и)у на полуполе UV(X) и только они имеют вид: {v Є Uy{X) (3k є N) (и А и-1)1 K(uV и-1) )} . (1.2) Доказательство. Рассмотрим отношение р, заданное условием: fpg = (3fc Є N) f[u A u lf g /(и V u x)k для любых /,# Є /v(X). Легко видеть, что это — отношение эквивалентности, причем [1]р есть множество (1-2). Проверим сохранение операций. Рассмотрим произвольные f,g,h Є Є UV(X). Пусть fpg, то есть f(uk Au k) g f(uk V w-/b) для некоторого А; Є N. Тогда (/ V h)(uk A u k) /(w Л w_fe) Vh gVh f(uk V и &) V /t (fVh)(ukVu-k) и hf(ukAu k) % hf(ukVu-k). Откуда {fVh)p{gVh) и (fh)p(gh). Таким образом, /? является конгруэнцией на полуполе /v(X), причем [1] , = (M)V. Это наименьшая конгруэнция на Uy(X), порожденная парой {и, 1).
Дей ствительно, пусть т — произвольная конгруэнция на Uy(X), для которой иті. Рассмотрим произвольные функции f,g Є UV(X), такие, что fpg. Для них f(u A u l)k # /(м v _1)fe ПРИ некотором А; Є N. По предложению 1.3 /(м А и-1) Є [/]т и f(u\/u-l)k Є [/]т. Значит, # Є [/]т к frgno предложе нию 2.1.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.5. В полуполе UW(X) пересечение и произведение двух главных ядер являются главными ядрами. Доказательство. Рассмотрим главные ядра (и) и (v) полуполя Uy(X). По теореме 2.4 (и) = (и Глава I. Предварительные сведения 31 Покажем, что (ЇХ) П (v) — ((ЇХ Viz"-1) Л {v\fv 1)). Так как ядро (ЇХ) является выпуклым H1 (MV ЇХ-1) A(vV v 1) (wV и"1), то (ЇХ V ЇХ-1) Л (и V Ї;"1) Є (it). Аналогично (и V ЇХ"1) Л (г? V г?-1) (г?). То есть (ЇХ) Г) (и) 2 D ((uVu jA Vr1)). Пусть гу Є (ЇХ) П (г?). Тогда функция гу удовлетворяет условиям (ЇХ V и 1) к гу (ад V г -1) и (г; V и-1)- ад {у V Ї;-1) . Следовательно Значит гу Є ((ЇХ V гх-1) Л (гх V ЇХ-1)) . Покажем справедливость равенства (їх)(г ) = ((гх Vix-1)(i; V г -1)). Включение ((ЇХ V ЇХ-1) (у V V1)) С (ЇХ) (г;) очевидно. С другой стороны любая функция w Є (ЇХ) (г;) может быть представлена в виде произведения w = = fg, где / Є (ЇХ), д Є (v). Следовательно, для некоторого fceN, выполняются неравенства (ЇХ V и 1) к / (ЇХ V ЛЕММА 2.1. Для произвольного топологического пространствах справедливы условия: 1) Для произвольной постоянной функции к из полукольца С+(Х), функции fAk и g/\k имеют НОДтогда и только тогда, когда f,g Є C V(X) имеют НОД. 2) Для произвольной постоянной функции к из полукольца С+(Х), функции /Лк и дЛк имеют НОК тогда и только тогда, когда / , g G С+(Х) имеют НОК. Глава I. Предварительные сведения 32 3) Для любого идеала I полукольца С+(Х) функция f Є I тогда и только тогда, когда f А 4) Для любого идеала J кольца С(Х) функция f Є J тогда и только тогда, когда / Л 1 V Доказательство. 1) Действительно, f Ak = fu, где Легко видеть, что и Є U(X), то есть / = (/ Л к)и 1. Таким образом любой общий делитель функций / и g является общим делителем функций /АкидАки наоборот. Значит, множества общих делителей совпадают, и, следовательно, совпадают наибольшие общие делители. Очевидно, любое общее кратное функций /ид также является общим кратным функций / А к и д А к и наоборот. Откуда следует справедливость пункта 2). 3) Пусть / Є /.
Продолжение конгруэнции полуполя U{X)
Для каждой конгруэнции р Є ConlI(X) с ядром [1]р = К рассмотрим следующее бинарное отношение к на полукольце С+(Х): для некоторых ui,...,w„,vi,...,um Є К и некоторых fl,...,fn,9l,—,9m Є Е С+(Х) с условиями ЛЕММА 4.1. Пусть р — некоторая конгруэнция на U(X), К = [1]р. Тогда f к 9 в том и только в том случае, когда существуют gi,...,gn Е Є С+(Х) и гої,..., wn Є К, такие, что g = g\ Доказательство. Пусть f K g для f,g E C+(X). Существуют щ, Vj Є К и fi,g j Е С+(Х), для которых Глава П. Продолжение конгруэнции полуполей непрерывных функций 44 Можно считать, что п = т. Заметим, что для фиксированных к, п Є N, к п и любых i,j є N, г, j п, если j = (г + fc — Заметим, что Откуда Так как cozfik С cozfi -i и cozgfik С coz для всех г є {1,...,п} и всех /г Є {2,..., п}, то cozfik C\cozg ik — 0 для: всех г,/г Є {1, ...,п}. Глава II. Продолжение конгруэнции полуполей непрерывных функций 45 Рассмотрим шаг к 1 (к п) в предположении, что Для всех і Є {1,..., п}, р Є {1,..., & — 1} и j = ((і + р — 1) mod тг) + 1 имеем coz fik = сог(Д _і - (/i)fc_i 9[(i+k-2)modn)+i,k-i) согД _ь анало-гично cozg -k С coz fc_1 В силу предположения coz / Псог «Тд = 0. Значит, coz/ifc П coz ((.+p_2)modn)+1A: = 0 для всех p Глава П. Продолжение конгруэнции полуполей непрерывных функций 46 Обозначим к = п(г — 1) + j, wk = io„(i_i)+J- = u lVj Є К и дк = gn +j = = /3 ij = PijVj1 Є С+(Х) для всех i,j = 1,п. Получаем ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.1. Пусть К — некоторое ядро полуполя U(X). Тогда отношение к является наименьшей конгруэнцией на полукольце С {Х), склеивающей ядро К. С учетом леммы 4.1 это предложение доказывается аналогично предложению 3.1. ЛЕММА 4.2. Конгруэнция р Є ConU(X) продолжается на С+(Х) тогда и только тогда, когда К = ker р обладает свойством: Доказательство.
Пусть конгруэнция р Є ConU(X) с ядром К обладает свойством ( ). Покажем, что конгруэнция к является продолжением р на С+(Х). Возьмем f,g Є U(X), такие, что / к д. По лемме 4.1 для некоторых 0ь ..., дп Є С+(Х) и fci,..., Глава П. Продолжение конгруэнции полуполей непрерывных функций 47 Откуда, fpg и к n (U(X) х U(X)) С р. По предложению 4.1 верно обратное включение. Значит, к n (U(X) х 7(Х)) = /? и # продолжает р на С+(Х). Обратно, пусть конгруэнция р продолжаема. Тогда конгруэнция к является её продолжением как минимальная конгруэнция, склеивающая ядро К = [1]„. Рассмотрим всевозможные наборы &і, ...,&7І Є К и /і,...,/ге Є С+(Х) с условием /і + ... + /п = 1. Обозначим / = Х2=і /Л Є U(X). По лемме 4.1 / # 1. Следовательно, f pi п f є К. П ЛЕММА 4.3. Если ядра К\,..., Кп конгруэнции, заданных на U(X), обладают свойством ( ), то К\ ... Кп обладает этим же свойством. Доказательство. Сначала докажем утверждение леммы для двух ядер К, Н. Пусть они обладают свойством ( ). Тогда Предположим по индукции, что ядро К\ ... - Kn_i полуполя U(X) обладает свойством ( ). Тогда по доказанному и {К\ ... КП-\)КП обладает свойством Глава И. Продолжение конгруэнции полуполей непрерывных функций 48 ЛЕММА 4.4. Любая главная конгруэнция на U(X) продолжается на Доказательство. Пусть дана главная конгруэнция р на U{X) с ядром (ф). Непосредственно из условия (1.1) следует, что конгруэнция р является пересечением продолжаемой идеальной конгруэнции j(((p — l)C(X)) и конгруэнции полуполя Uy (X) с ядром ( )v. Вторая конгруэнция также продолжаема на С+(Х) в силу леммы 3.3, предложения 3.2 и теоремы 3.1. Значит, конгруэнция р продолжаема на С+(Х) как пересечение продол жаемых конгруэнции. ТЕОРЕМА 4.1. Любая конгруэнция р Є ConU(X) продолжается на полукольцо С+(Х) до конгруэнции к для К = [1}р, при этом [l] K = К. Доказательство. Пусть дана конгруэнция р Є СопС/(Х) с ядром К = [1] . Покажем выполнимость свойства ( ) для К. Возьмем произвольные /cj, ...,/Cyj Єї i\ и рассмотрим композицию р = = pi о... орп главных конгруэнции pi, порожденных парами (/, 1). Очевидно, что [1]р/ С К. По леммам 4.4 и 4.3 ядро конгруэнции [1] = [1] [1 ---(4/ обладает свойством ( ). Учитывая включение [1]р Произвол в выборе кі позволяет заключить, что К обладает свойством ( ). По лемме 4.2 конгруэнция р продолжаема на С+(Х). По предложению 4.1 К — [1]р С [1]„К. Если / є [l] Jf, то по лемме 4.1 Глава П. Продолжение конгруэнции полуполей непрерывных функций 49 для подходящих кі Є К и #7- Є С+(Х) с условием д\ + ... + дп = 1. Тогда / є К по лемме 4.2 . Следовательно, if = [1] к.
Теорема доказана. П ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.2. Для любого ядра К полуполя U(X) справедливы утвероюдения: 1) Если К — У-ядро, то кЯ Ук- 2) Если 2 Є К, то К является V-ядром и к= Vк- Доказательство. Утверждение 1 следует из теоремы 3.1, леммы 3.3, предложений 3.2 и 4.1. 2. Пусть ядро К содержит функцию-константу 2 = 1 + 1. Фактор-полукольцо С+(Х)/ К идемпотентно. Поэтому следующее отношение является отношением порядка на нем: a b a-\-b = b для произвольных а,b Є С+(Х)/ К. Пусть k,l Є К. Возьмем и Е U(X), для которой к и I. Тогда и = к-\- /, / — и-\- g для некоторых /, g Є С+(Х). Значит, Откуда [1] к М к [1] ш или М к- — М А- По теореме 4.1 it Є К. Кроме того, k &V/ будет V-ядром. Возьмем произвольные /, g Є К, такие, что / рк 7- Тогда gk / gl для некоторых к,1 Є К. Аналогично только что проведенному рассуждению заключаем, что [g] K = [f] K, то есть / к д. Откуда рк Q K- В силу утверждения 1 получаем равенство к— Ук- Решётки конгруэнции полуколей и полуполей непрерывных функций Эта глава посвящена исследованию свойств решётки конгруэнции полуколец и полуполей непрерывных функций. 5. Дополнения и псевдодополнения конгруэн-циий полуколец непрерывных функциий Псевдодополнением элемента а решётки (L, V, Л, 0) называется наибольший элемент а Є L, удовлетворяющий условию а Л а — 0. Подмножество А топологического пространства X называется канонически замкнутым, если А = В — замыкание некоторого открытого множества В. Множество А будет канонически замкнутым тогда и только тогда, когда А — А0, где А0 — это внутренность множества А.
Максимальные и предмаксимальные конгруэнции на полукольцах непрерывных функций с идемпотентным сложением
Для описания максимальных конгруэнции полуполя UV(X) докажем следующие вспомогательные факты. ЛЕММА 7.1. Всякая собственная конгруэнция р на UV(X) либо содер-оісится в некоторой собственной идеальной У -конгруэнции, либо У-ядро К = [1]р содержит функцию k 1. Доказательство. Рассмотрим собственную конгруэнцию р є Con Uy (X). Предположим, что ядро К конгруэнции р не содержит функцию к 1. Тогда Ed к ф 0 для любой функции к Є К, иначе, 1 — Є К в силу того, что V-ядро К является ядром. Рассмотрим идеал / = {/ — g : f,g Є U(X), f pg}. Покажем, что множество J+ = {/ : f Є (7+(X), З/І є І П СЬ(Х) f h} является идеалом полукольца C+(X). Действительно, если /, g б J"1", І Є С+(Х), то / + g h-\-k, f-l h-l для некоторых h,k Є /ПС1 (X). To есть f + g є J+ и f І Є J+. Тогда множество J = J+ — J+ будет разностным выпуклым идеалом кольца С(Х), причем I С. J. По теореме 2.1 конгруэнция 7( 0 яв ляется V-конгруэнцией, причем р С 7(- ) Q l{J)- Возьмём произвольный элемент / Є /. Тогда / = и — v для некоторых и, v Є U(X), up v. Откуда f = г (г;-1и — 1) и v lu К. Значит, Z(f) Z(v lu—l) 0. Следовательно, идеал / является собственным идеалом. Если h Є ІГ\С+, то для любых функций /, g є С+(Х) таких, что f,g h справедливо включение Z(f — g) D Z(f) П Z(g) D Z(/i) 7 0. Значит, идеал J так же является собственным. Итак, если К не содержит функцию к 1, то р включена в V-конгруэнцию ЛЕММА 7.2. Если ядро К полуполя U(X) содержит функцию к 1, то оно не содероюится ни в каком максимальном ядре полуполя U{X). Доказательство. Предположим от противного, что некоторая функция к 1 содержится в максимальном ядре К. Покажем, что (2) лежит в К. Не умаляя общности, можно считать, что К является максимальным ядром. Предположим, что 2 : К, то есть (2) К. Тогда К -(2) = U(X).
Представим функцию зу Є U(X) в виде gh l = т где g Є К, h є (2). По теореме 2.2 справедливо неравенство - К п и Рассмотрим множество А — {х Є X : g{x) 1}. На нем inf к 1 (в противном случае inf g = со, что невозможно, так как д{х) 1 на А). Следовательно, на А имеем д h и существует такое ret, что к г 1. Найдется такое т Є N, что гт п. Тогда кт гт п и дкт 1. Таким образом, inf дкт 1 на множестве А Теперь рассмотрим множество В = {х Є X : д(х) 1}. На нем inigk 1. Иначе, lim gk{xi) = 1 для некоторой направленности (жг-) С В. В таком случае lim д(х{) — 1 и lim &(жг-) = 1, что невозможно в силу равенства (Ш.2). Значит, т{дкт 1 на множестве В. Таким образом, inf дкт 1 на всем X, то есть 1 дкт Є К. Следовательно, (2) С К; противоречие. Итак, (2) Q К. Тогда К является V-ядром и всякая ограниченная функция / лежит в К. Действительно, если к, t є К, то к +1 = 2 Є К, Є К и ! &V & + . Откуда к V Є К по следствию 2.1. Значит, ІЇГ является V-ядром. Возможны два случая. 1 случай: всякая функция / 1 лежит в if. Рассмотрим произвольную функцию д Є U(X). Тогда 1 д V д 1 + 1 Е ЇС. Откуда д"1 VI, «Г1 V 1 Є К по лемме 1.1. Учитывая, что д 1 V 1 = /-1(1 V д) є if имеем д = iYgt є ЇГ-Следовательно, if = СірО; противоречие. 2 случай: существует функция / 1, не лежащая в if. Следовательно, / не ограниченная. Рассмотрим ядро (/). В силу максимальности К справедливо равенство К (/) = U(X). Тогда существует д є К, для которого ffg l Є (/). По теореме 2.2 для некоторого к GN выполняется неравенство ffg l fk- Поэтому ff k д. Если f(x)-k 1, то /(ж) f(x)f№ k д(х). Если f(x) — к 1, то f(x) к + 1. Значит, 1 / д V (к + 1) на всем X. Так как К является V-ядром и д V (к +1) Є if, то по лемме 7.1 имеем / Є if. Полученное противоречие завершает доказательство леммы. Ш-идеалом называется идеал I кольца С(Х), такой, что C(X)/I = R. ТЕОРЕМА 7.1. Максимальные конгруэнции на UV(X) — это в точности конгруэнции (М) по всем Ж-идеалам М кольца С(Х). Доказательство. Из лемм 7.1 и 7.2 следует, что любая максимальная кон груэнция на Uy(X) является идеальной V-конгруэнцией. По [4, предложе ние 4.1] идеальная конгруэнция максимальна тогда и только тогда, когда она К-идеальна. Теорема доказана. Максимальные конгруэнции на коммутативных положительных полукольцах описаны в следующем предложении: ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.1 ([4, предложение 3.4]). Максимальные конгруэнции на произвольном коммутативных положительных полукольце S — это в точностгС двухклассовые отношения эквивалентности {Р, S\P} где Р — простой строгий идеал в S. ТЕОРЕМА 7.2. Предмаксимальные конгруэнции на CV(X) — это в точности конгруэнции j(M) по всем Ш-идеалам М кольца С(Х). Доказательство. Пусть М — R-идеал кольца С(Х). Поскольку максимальные идеалы в С(Х) абсолютно выпуклы, то по теореме 2.1 конгруэнция 7(М) является V-конгруэнцией. Факторполукольцо Су(Х)/у(М) есть полукольцо всех неотрицательных элементов линейно упорядоченного ПОЛЯ С(Х)/М = R. Поэтому Gv(X)/j{M) 9 Rv. А поскольку полуполе Шу имеет ровно три конгруэнции [4, предложение 3.5], то j(M) — предмаксимальная конгруэнция полукольца СУ(Х). Обратно, пусть г — произвольная предмаксимальная конгруэнция на полукольце СУ(Х). Она содержится в единственной максимальной конгруэнции р(Р), соответствующей двухэлементному разбиению {Р, СУ(Х)\Р} полукольца СУ(Х) для некоторого простого идеала Р в СУ(Х) [4, следствие 3.3]. Значит, полукольцо с единицей S = Су(Х)/т содержит ровно три конгруэнции: нулевую, единичную и двухклассовую.
Следовательно, S содержит не менее трех элементов ив5 нет двух различных простых идеалов. Возьмём максимальный идеал N полукольца S. Так как любой максимальный идеал является простым, то N будет единственным простым идеалом, а именно — наибольшим собственным идеалом в S. Значит, N совпадает с множеством всех необратимых элементов полукольца S. Докажем, что N = {0}. Заметим, что для каждого / є СУ(Х) и любого п Є N однозначно определен yff є СУ(Х), поэтому корни можно извлекать ив5. Предположим, что существует ненулевой элемент а Є N, тогда Ь = у/а Є N, причем Ь2 ф 0. Рассмотрим аннулятор Ann Ь = {s Є S \ bs = 0} С АГ. Он является ненулевым строгим идеалом в S. Так как b є N и b ф. Ann b, то Ann b С N. Значит, Annfr порождает конгруэнцию p(Anub) на S, что невозможно. Поэтому N = {0} и все ненулевые элементы из S обратимы, то есть S является полуполем. Покажем, что #(т) ф -uv(x)- Предположим от противного, что #(т) = — l 7v(x)- Тогда [1]т Э UV(X). Так как S является полуполем, то для каждой функции / Є Cv(X)\[0]T найдется такая функция д Є CV(X), что [/]г[ 7]т = = [1]т. Учитывая, что /VI, д V 1 Є UV(X), находим Значит, если / [0]r, то / Є [l]r. To есть полукольцо 5 двухэлементное, что противоречит предмаксимальности конгруэнции т. Предположим, что конгруэнция $(т) является максимальной. Тогда по теореме 7.1 найдется такой М-идеал М кольца С(Х), что #(r) = j(M). Идеальная конгруэнция 7(-W) полуполя Uy(X) продолжается до соответствующей предмаксимальной конгруэнции j(M) на полукольце СУ(Х). Докажем равенство т = у(М). Предположим, что у(М) Ф т- В силу теоремы 6.2 справедливы равенства Так как конгруэнция г является предмаксимальной, то конгруэнция TWJ(M) либо максимальная, либо единичная. В этих случаях получаем противоречие: 7(М) = #(т V 7(- 0) — lf/v(x)- Следовательно, г = 7( 0- Пусть теперь конгруэнция #(т) является собственной немаксимальной конгруэнцией полуполя UV(X). Тогда существует собственная конгруэнция Л Є ConUy(X) такая, что $(т) С Л. В силу теоремы 6.2 Л = $(/і), для некоторой конгруэнции В силу условия #(т) С #(//) имеем /х гит С TV/ІЄ $-1(А).
Характеризации Р-пространств
Полукольцо S называется абелево-регулярным полоэюителъным (агр-полукольцом), если выполняются следующие условия: 1) для любого а Є S найдётся такой элемент х Є S, что аха — а; 2) каждый его идемпотент є Є S коммутирует с любым элементом из S; 3) для любого элемента а Є S элемент а + 1 обратим в S. Пусть а - конгруэнция на дистрибутивной решётке L(S) всех идемпотен-тов агр-полукольца S и г - конгруэнция на полутеле U(S) всех обратимых элементов агр-полукольца S. Пара конгруэнции ( J, г) называется согласованной, если она удовлетворяет условию: eaf = г о ip(e) = т о (/), где конгруэнция р(е) задается условием: uip(e) v 4Ф ей = ev, u,v Є U(S). Нам потребуется следующая теорема О. В. Старостиной: ТЕОРЕМА 9.1 ([27]). Отобраоюение а: р — (рд5)?/ог/(5)) является изоморфизмом решётки всех конгруэнции Con 5 arp-полуколъца S на подре-шётку всех согласованных пар конгруэнции решётки ConL(S) х ConU(S). ТЕОРЕМА 9.2. Для произвольного топологического пространства X следующие условия эквивалентны: 1) X есть Р-пространство; Доказательство. 1) = 2). Пусть X — Р-пространство. Тогда С+(Х) и CV(X) являются агр-полукольцами. Значит, L{C+(X)) L{Cy{X)). Так как любое Р-пространство является F-пространством, то ConU(X) = ConC/v(X) по теореме 8.2. Тогда по теореме 9.1 получаем: ConC+(X) = ConCv(X). Импликация 2) = 3) очевидна. 3) = 1). Пусть Con CV(X) С Con С+(Х). Покажем, что, для любой функции т Є С+(Х) множество Z(r) открыто. Множество Ма;0 = {/ Є Є С+(Х) f(xo) = 0} служит идеалом полуколец С+(Х) и CV(X). Пусть р = р(МХо) — конгруэнция Берна по идеалу МХо полукольца С+(Х), а а — — а(МХо) — конгруэнция Берна по идеалу МЖо полукольца CV(X). Тогда их классы нуля совпадают с МХо. Более того, они являются наименьшими такими конгруэнциями. Учитывая включение ConCv(X) С Con С4 (X), получаем р С а. Для любых g,h Є С+(Х) таких, что gph, существуют ер, ір Є МЖо, для которых д-\-(р = h+ф. Тогда д(хо) = h(xo). Предположим, что д(хо) 0. Так как р С а, то д a h и существует х МЖо с условием д V х = h V % Так как [д]р т [0]р = МЖо, то в X существует открытое множество А Э Хо, на котором Х дА/. Следовательно, д\А = h\A. Итак, если две непрерывные функции в какой-то точке положителны и равны, то они равны и в некоторой открытой окрестности этой точки. Возьмём произвольную функцию / Є С+(Х) и любую точку Хо Є Є Z(f).
Тогда функции 1 и 1 + / равны 1 в точке XQ. Значит, 1 + / = = 1 на некотором открытом множестве А, содержащем XQ. Имеем А С С Z(f). Поэтому нуль-множество Z(f) является открытым множеством. Итак, любое нуль-множество пространства X открыто, то есть X является Р-пространством. Глава IV. Характеризация свойств топологических пространств 84 10. Характеризация некоторых других свойств топологических пространств Полукольцо или полуполе S(X) называется риккартовым, если псевдодополнение любой его главной конгруэнции дополняемо в ConS(X). Полукольцоилиполуполе S(X) называется бэровским, если псевдодополнение любой его конгруэнции дополняемо в ConS(X). Топологическое пространство называется базисно несвязным, если внутренности всех его нуль-множеств замкнуты. Тихоновское пространство называется экстремально несвязным, если все его канонически замкнутые множества открыты. Экстремально несвязные пространства нульмерны, то есть обладают открытой базой из открыто-замкнутых множеств. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 10.1. Для топологического пространства X полукольцо или полуполе S(X) риккартово тогда и только тогда, когда X — базисно несвязное пространство. Доказательство. Пусть S(X) риккартово. Возьмём произвольную функцию / Є С(Х). Составим функцию и = (/ + 1) V \ Є S(X). Имеем Z(u-1) = = Z(j). Рассмотрим главную конгруэнцию р(и, 1) По предложению 5.2 имеем р(и, 1) = 7(Апп(и — 1)) = j(Aunf) = MA РА, где A = coz/. Поскольку конгруэнция р(и, 1) дополняема, то множество А открыто-замкнуто в силу предложения 5.2. Поэтому Z(f) = Х\А открыто-замкнуто. Обратно, пусть пространство X базисно несвязно. Рассмотрим главную конгруэнцию p(f, g), порожденную функциями /, g Є S(X). По предложению 5.2 имеем p(f — g) — 7(Mcoz(/-g))- Так как Z(f — gf открыто-замкнуто, то и множество X\coz(f — g) открыто-замкнуто. Для завершения доказательства Глава IV. Характеризация свойств топологических пространств 85 осталось применить предложение 5.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 10.2. Для тихоновского пространства X полукольцо или полуполе S(X) является бэровским тогда и только тогда, когда пространство X экстремально несвязно. Доказательство. Пусть S(X) — бэровское. Рассмотрим произвольное замкнутое множество А С X и конгруэнцию РА- Ее псевдодополнением служит конгруэнция рх\А (см. теорему). Так как эта конгруэнция рх\А дополняема и множество Х\А замкнуто, то по теореме множество Х\А открыто-замкнуто. То есть и Л замкнуто. Обратно, пусть X экстремально несвязно. Возьмём произвольную кон груэнцию р Є ConS(X). По теореме 5.1 её псевдодополнение р = рл для некоторого канонически замкнутого множества А С X. В силу экстремаль ной несвязности пространства X множество А открыто-замкнуто. Значит, по предложению 5.2 конгруэнция р дополняема. ТЕОРЕМА 10.1.
Для тихоновского пространства X равносильны следующие условия: 1) все конгруэнции из ConU(X) (СопЛ(X)) дополняемы; 2) все главные конгруэнции из CouU(X) (ConC/v(X)) дополняемы; 3) все конгруэнции на S(X) — главные; 4) пространство X конечно. Доказательство. Импликация 1) = 2) следует из предложения 5.2. 2) = 4). По условию и предложению 5.2 для произвольных и, v Є U(X) найдётся открыто-замкнутое множество А С X, для которого р(и, v) = рА- Глава IV. Характеризация свойств топологических пространств 86 По предложению 2.3 все конгруэнции на U(X) идеальны и, стало быть, X псевдокомпактно (теорема 2.3). Для любой / Є С{Х) f = u-v,rflfiu=(l + (/ V 0)), v = (1 - (f Л 0)). Тогда (МА) — p(u,v) Я 1ІІЦ — V)C(X)) С у {М/С} Для некоторого открыто-замкнутого множества А С X. Откуда Z{f) = Z(u — v) = А. Значит, X — Р-пространство. А псевдокомпактные Р-проетранства конечны [42, chapter 4]. 3) = 4). Пусть множество А замкнуто в X. По условию J(MA) = p{fi9) для подходящих функций f,g Є S(X). Тогда p{f,g) С т((/ - д)С(Х)) С С 7(МА). Откуда, Мл = (/ - д)С(Х) л A = Z{f - д). Поэтому функция = л// - РІ = (I 9)Q — Ь2Ы Для некоторой функции q є С(Х). Следо вательно, множество A = Z{h) открыто-замкнуто. Поэтому пространство X дискретно. Предположим от противного, что пространство X бесконечно. На X существует нефиксированный ультрафильтр У7, то есть максимальный фильтр на булеане множества X с пустым пересечением. Рассмотрим на S(X) конгруэнцию p(F): fp(F)g = f\A = д\Л для некоторого AeF,f,ge S{X). Ясно, что конгруэнция p(J-) не является главной. Противоречие. 4) =Ф- 3). Пусть X — конечное n-элементное пространство. Тогда S(X) = = (Ко")п, если S(X) — полукольцо, и S(X) — (Ж h)n, если S(X) — полуполе. Очевидно, ConKj = {0 = /о(1,1),1 = р(0,1),р(1,2)} и СопЖ+ = {0 = р(1,1),1 = р(1,2)}. По лемме 1.1 и замечанию 1.1 любая конгруэнция из Con S{X) — главная. Импликация 4) == 1) вытекает из предыдущего абзаца. П ЗАМЕЧАНИЕ 10.1. Предложения 10.1,10.2, 10.1 имеют аналоги в теории колец непрерывных функций [9]. Глава IV. Характеризация свойств топологических пространств 87 ЗАМЕЧАНИЕ 10.2. Вообще говоря, булева решётка L(X) всех канонически замкнутых множеств не определяет хьюиттовское пространство X. Достаточно рассмотреть непсевдокомпактное экстремально несвязное пространство X. По определению множество Ь(Х) совпадает с множеством В(Х) всех открыто-замкнутых множеств в X. Вместе с пространством X экстремально несвязными будут и его расширения иХ и (5Х (см. [35]).
