Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 4
1 1 Актуальность іемьі 4
1 2 Цель работы . 5
1 3 Научная новизна 6
1 4 Основные методы исследования 7
1 5 Теорешческая и пракіическая ценность работы 8
16 Апробация работы . 8
1 7 Публикации . 9
18 Сгрукіура и обьем диссеріации 9
1 9 Блаюдарносіи . 9
2 Конструктивные методы коммутативной алгебры 11
2 1 Основные ПОНЯ1ИЯ теории базисов Гребнера И
2 2 Маїричное задание мономиальных упорядочений . 14
23 Поведение базисов Гребнера при компошции . 15
3 Конструктивные методы дифференциальной алгебры 18
3 1 Основные понятия дифференциальной алгебры . 18
3 2 Задача принадлежности дифференциальному идеалу . 20
3 3 Допустимые упорядочения и ранжиры 23
3 4 Характеристические множества . 2G
3 5 Дифференциальные сіандаріньїе базисы 28
3 6 Дифференциальные базисы Гребнера . 28
4 Свойства допустимых упорядочений дифференциальных мономов 30
4 1 Вполне упорядоченность множесіва дифференциальных мономов 30
4 2 Матричное задание дифференциальных мономиальных упорядочений . 36
4 3 Особые классы дифференциальных мономиальных упорядочений . 40
4 4 Сокращение старших мономов в производных . 62
5 Дифференциальные стандартные базисы 67
5 1 Определения Оливье и Карра Ферро . 67
5 2 Необходимое и досіаючное условия существования конечных дифференциальных (іандаріньїх базисов 70
5 3 Улучшенный процесс Оливье 74
5 4 Конечность дифференциальною стандартного базиса идеала 79
5 5 Примеры конечных и параметрических дифференциальных базисов . . . .83
5 6 Дифференциальные с іандаріньїе базисы идеала 88
6 Дифференциальные идеалы, порожденные композицией многочленов 90
6 1 Связь дифференциальных сіандаргньїх базисов с базисами Гребнера . . .90
6 2 Поведение дифференциальных стандартных базисов при ком позиции . . 92
6 3 Применения теорем о композиции дифференциальных стандартных базисов . 96
6 4 Задача принадлежности для дифференциальных идеалов, порожденных композицией 99
Заключение 104
А Приложение 107
А 1 Схема cooi ношений между классами упорядочений и форму лировками основных теорем . . 107
А 2 Реализация улучшенного процесса Оливье 108
А 3 Реализация алгоритма поиска многочленов с заданным сокращением мономов в производных ... 112
Список литературы
- Теорешческая и пракіическая ценность работы
- Задача принадлежности дифференциальному идеалу
- Особые классы дифференциальных мономиальных упорядочений .
- Дифференциальные с іандаріньїе базисы идеала
Введение к работе
1.1 Актуальность темы
В последние пяїнадцаїь лет был досіигнуї значшельный прогресс в области компьютерной алгебры Одной из ее приоритетных задач являє і ся развиїие меюдов решения систем нелинейных аліебраических уравнений от нес кольких переменных, а іакже методов изучения аліебраических идеалов, порожденных нелинейными полиномиальными сисіемами Настоящим прорывом в данной обласіи стало появление базисов Гребнера и алюритма их вычисления, предложенної о Б Бухберіером в середине 1960-х годов [5, 2, 9] Теория исключений, использовавшаяся ранее для решения систем, оказалась часіью новой теории, позволяющей приводить произвольную сисіему уравнений к стандартному виду Неудивительно, чювпоследствии стали ра-фабашвагься различные обобщения понятия базиса Гребнера полиномиального идеала на прочие алгебраические структуры.
Одной из таких структур явились дифференциальные идеалы в кольце дифференциальных мноючленов, моделирующие системы дифференциальных аліебраических уравнений в юм же смысле, в каком полиномиальные идеалы моделирую і системы обычных алгебраических уравнений Для радикальных дифференциальных идеалов в кольце дифференциальных многочленов над алгеброй Рит та был создан эффекшвиый метод разложения на характеризуемые компоненты [4, 3, 25], позволяющий, в частное і и, проверив принадлежность дифференциальною миоючлепа такому идеалу и исследоваJь строение множесіва решений Для произвольных бесконечно порожденных дифференциальных идеалов была доказана алгоритмическая неразрешимой ь задачи принадлежиосіи [16] Однако для нерадикальных конечно порожденных идеалов вопрос об алюритмическом решении задачи принадлежиосіи до сих пор открыт.
Дифференциальные стандартные базисы, появившиеся в немної о отличающихся формах в конце 1980-х гг в работах Ф Оливье [35, 36] и Дж Kappa Ферро [6], являются прямым и естественным обобщением понятия базиса Гребнера, но не позволяю і полное і ыо решить задачу принадлежности Сами основатели іеории подме і или, чю для многих идеалов они могут быть бесконечными Згої еракт на несколько лег приостановил дальнейшие исследования в этой области Однако не так давно автором были получены неожиданные примеры конечных диерференциальных сгандаріньїх башсов [59. 63], что снова возродило ишерес к данной теме Автор работы обнаружил связь между процессом редукции Г Леви [30], дающим алгориїм проверки принадлежнос їй монома идеалу [ур], и дифференциальными с базисами Оливе и Карра Ферро, появившимися почіи через 50 леї Доліое время с чиїалось, что стандартные базисы бесконечны даже у таких сравнительно просю ус троенных идеалов, как [?/]. Однако выяснилось, что при более общих упорядочениях идеалы вида [ур\ приобретают конечный дифференциальный сіандартньїй базис {ур} Такие общие упорядочения (например, degrevlex) являюіся вполне естесівенными при вычислении башсов Гребнера полиномиальных идеалов. В і о же время в дифференциальном случае они не обладают иекоюрыми свойствами согласованное і и с дифференцированиями, и потому не рассматривались основаїелями іеории Грубо юворя, Оливье и Карра Ферро применяли лишь лексикографическое и сначала по степени, затем лексикографическое упорядочения
1.2 Цель работы
Целью иле юящой і ся изучение критериев конечности дифференциальных стандартных базисов идеалов обыкновенно!о кольца дифференциальных многочленов F{y} над полем консіант Т Перед автором возникли следующие задачи
• усіановиїь некоюрые свойства допустимых упорядочений на дифференциальных мономах (например, полноту) без дополнительных предположений о согласованной и с дифференцированиями; описаіь всевозможные іакие упорядочения некоторым коне ірукіивньїм способом, аналогичным маїричному заданию обычных мономиальных упорядочений,
• изучи іь различные классы упорядочений на дифференциальных мономах в зависимости от их согласованности с дифференцированиями, а также соотношения между этими классами, выяснить достой не іва и педостаїки таких классов (например, эффект сокращения мономов в производных мноючлена),
• установить необходимые и досіаточные условия конечности дифференциальных стандартных базисов при определенных упорядочениях, • (формулировать и реализовать в системах компьютерной аліебрьі алгоритм, вычисляющий конечный дифференциальный стандартный базис при определенных упорядочениях
• изучить поведение дифференциальных стандартных базисов и задачу о иринадлежнсн їй дифференциального многочлена идеалу при композиции мноючлеиов
Эти задачи успешно решены авіором в данной рабо і е
1.3 Научная новизна
Научная новизна диссеріации состоит в следующем
1 Рассмотрены допустимые упорядочения дифференциальных мономов без дополнительных предположений об их дифференциальных свойствах В частности, доказана полная упорядоченность множества дифференциальных моїтомов (в отличие от [48, б, 36]) Исследован феномен сокращения мономов в производных многочлена Установлено, что при определенных упорядочениях могут сокращаться сіаршие мономы про-изводных слатаемых многочлена Предложен и реализован в системе компьютерной алгебры Maple 10 алгоритм, сі роящий дифференциальный многочлен (если он сущесі вуст), в котором сокращается заданная в общем виде последовательность мономов
2 Предложено описание упорядочений на дифференциальных мономах в терминах согласованною набора мономиальных матриц (или, чю эквивалентно, с помощью «бесконечных» матриц особого вида). Ранее некоторая довольно громоздкая классификация в терминах линейных форм (предложенная Ф Вайспфснпингом [47, 48]) существовала лишь для довольно узкого класса упорядочений, не охватывающего все требуемые случаи Выделены различные классы упорядочений в зависимое і и от их связи с дифференцированиями Эти классы обобщают частые случаи лекеикої рафического упорядочения (рассмотренного Оливье и Карра Ферро [6, 7, 36]) и упорядочения degrevlex (неявно применяемою в рабоїе Леви [ЗО])
3 Дано необходимое и достаточное условие существования конечною дифференциального сгандаріного базиса заданием о идеала при опреде ленных классах упорядочений, что усиливает и распросіраняеі резуль-іатьі Kappa Ферро [7] для лексикографическою упорядочения Приведены новые примеры конечных и параметрических дифференциальных (іандаріньїх базисов Предложен и реализован іак называемый «улучшенный процесс Оливье», заведомо осіанавливающийся и возвращающий редуцированный дифференциальный сіандартньїй базис идеала в (лучае его конечное і и1 Получена связь между дифференциальными сіандаріньїми базисами и наборами базисов Гребнера соотвеїствуюіцих полиномиальных идеалов
4 Резулыаш X Хоша [19, 20] о поведении базисов Гребнера при композиции мноючленов обобщены на дифференциальный случай С помощью доказанных теорем о композиции и работы Леви [30] получено досіаіочное условие существования конечного дифференциально-ю стандартною базиса при / -упорядочениях Сформулировано в виде гииоіезьі аналої ичное необходимое условие Исследована (совместно с М В Кондратьевой) задача принадлежности многочлена дифференциальному идеалу, порожденному композицией многочленов ее решение сведено к решению более просі ой (с алгоритмической ючки зрения) задачи принадлежносш
1.4 Основные методы исследования
В работе используюіся методы и резулыаты теории базисов Гребнера, коммутативной алюбры, дифференциальной аліебрьі, іеории харакіерисіиче-ских множесів дифференциальных идеалов Результаты диссертации опираются па работу Леви о структуре дифференциальных мноючленов [30], на статьи Карра Ферро [6, 7] и Оливье [36] о стандартных базисах дифференциальных идеалов («дифференциальных базисах Гребнера»), теорию дифференциальной размерносіи [27, 28, 29], работу Колчина об экспонентах дифференциального многочлена первого порядка [26], теорию Хуна Хоша о поведении базисов Гребнера при композиции мноючленов [19, 20], а также на предложенное Роббьяио и развитую за і ем Вайспфеннинюм и Хонгом описание мономиальных упорядочений с помощью матриц [41, 42, 38, 48, 21]
1 Дпя (равнения оригинальный процесс О іиш с мої но ос тановиты я даже в с іучао конечною базиса при лексикографическом упорядочении Данная работа появились блаюдаря удачному синіезу и дальнейшему развито указанных выше резулыаюв
Авюром были проведены малочисленные компьютерные вычисления с помощью современных (истем компьюіерной аліебрьі С помощью этих вычислений были подтверждены различные гипотезы, впоследствии доказанные в виде іеорем
1.5 Теоретическая и практическая ценность работы
Диссеріация имеет как теореіический, так и прикладной харакіер Результаті работы являюіся продвижением в конструкіивиой іеории дифферен-циальных стаидартых базисов Они позволяют в не рассмаїривавшихея ранее случаях алгоритмически решаїь задачу принадлежности дифференциального многочлена конечно порожденному дифференциальному идеалу, а также исследовать строение такого идеала Решение подобных задач (вязано с исследованием сисіем нелинейных обыкновенных алгебраических дифференциальных уравнений Меюды и алгоришы, предложенные в дис-серіации, могут бьпь внедрены в сущесівующие системы компьютерной ал-іебрьі (автор реализовал эти алгоришы в системе компьютерной алгебры Maple 10) Результаты диссертации могуг быть полезны специалисгам из Московскою государственного универси і ста, Новосибирского государственною университета, Тульского юсударственною педаїогического университета, Вычислительного центра РАН, Объединенною института ядерных исследований
1.6 Апробация работы
Резулыаты диссертации докладывались • на научно-исследовательском семинаре и на семинаре «Кольца и модули» кафедры высшей алгебры МГУ,
• на выездных заседаниях международного семинара по компьюіерной алгебре в г Дубна в 2003, 2004, 2005 и 2006 гг,
• на международных конференциях «Компьютерная аліебра в символьных вычислениях» (CASC) в і Ялта, Украина. 2002 г и в г Санкт-Петербург, 2004 і ,
• на международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию МГУ и 75-летию кафедры высшей аліебрьі, МГУ, 2004 г, • ил конференции «Ломоносовские мі опия в МГУ в 2005 и 200G гг,
• на международной конференции «Алюриімическая алгебра и лоїика» в чес гь 60-леіия Ф Ваисифопниша в г Пассау, Германия, 2005 г,
• на международном симпозиуме по символьным и алгебраическим вычислениям (ISSAC-2005) в г Пекин, Китай, 2005 г,
• на международном семинаре но компьютерной алгебре и информатике, МГУ 2005 г,
• на международной конференции «Базисы Гребнера в символьном анализе» (D2) в рамках Специальною семесіра по базисам Гребнера в г Линц, Австрия, 2006 г.
• на IX международной конференции «Ишеллектуальные сие іемьі и ком-иькнерные науки», МГУ, 2006 г
1.7 Публикации
Резулыагы автора по теме диссертации опубликованы в 9 работах, список коюрых приводи іся в конце библиографии
1.8 Структура и объем диссертации
Диссертационная рабо і а состоит из введения, 6 глав (одна из которых яв-ляеіся вводной), заключения, приложения и библиографии (66 наименований) Общий объем диссертации сосіавляеі 120 страниц Сіруктура рабо і ы отражена в оглавлении
1.9 Благодарности
Авюр благодари г своєї о научного руководителя, ведущего научної о сотрудника лаборатории вычислительных методов МГУ, к ф -м н. Евтения Васильевича Панкратьева за помощь в выборе темы исследования, внимательное руководство в процессе исследовательской деятельности и множество полезных идей Автор благодарит также за неоценимую поддержку профессора кафедры высшей алгебры Александра Васильевича Михалева.
Лекции профессора Виктора Николаевича Латышева по прикладным вопросам алгебры помогли автору проанализировать и выразить результаты в более общей форме Авюр признателен профессору Евгению Соломоновичу Голоду за замена і ельные лекции по коммутативной аліебре и иніерес, проявленный к эюй рабо іе
Мноіие из резулыаюв авюра дисхеріации были получены на семинаре по компьютерной и дифференциальной аліебре на механико-магемаїичоском факулыете МГУ под руководством Е В. Панкратьева Авюр искренне благодарен всем учасіникам семинара за интересные идеи, примеры и рекомендации Автор глубоко признателен к ф -м н Марине Владимировне Кондраіьевои, к ф -м н Олегу Голубицкому, к ф -м н Елене Июровно Буниной. Дми і рию Трушину, Алексею Овчинникову и Грегу Риду ІЛ обсуждение вопросов, связанных с дифференциальными сіандаргньїми базисами Большое значение для авюра оказало общение с основа і елями іеории дифференциальных сіандаріньїх базисов- Франсуа Оливье и Джу-зопной Карра Ферро
Автор благодарен оріанизаюрам и учасіникам ежегодною семинара по компьюіерной аліебре в Дубне за оживленные дис куссии по различным вопросам компьютерной аліебрьі
Авгор глубоко благодарит своих роди і елей и коллектив кафедры высшей аліебрьі за поддержку в рабоїе Авюр посвящает рабо і у своим школьным учителям маїематики Тамаре Васильевне Симкиной и Елизавете Николаевне Стрелковой
Теорешческая и пракіическая ценность работы
Результаті работы являюіся продвижением в конструкіивиой іеории дифферен-циальных стаидартых базисов Они позволяют в не рассмаїривавшихея ранее случаях алгоритмически решаїь задачу принадлежности дифференциального многочлена конечно порожденному дифференциальному идеалу, а также исследовать строение такого идеала Решение подобных задач (вязано с исследованием сисіем нелинейных обыкновенных алгебраических дифференциальных уравнений Меюды и алгоришы, предложенные в дис-серіации, могут бьпь внедрены в сущесівующие системы компьютерной ал-іебрьі (автор реализовал эти алгоришы в системе компьютерной алгебры Maple 10) Результаты диссертации могуг быть полезны специалисгам из Московскою государственного универси і ста, Новосибирского государственною университета, Тульского юсударственною педаїогического университета, Вычислительного центра РАН, Объединенною института ядерных исследований
Резулыаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре и на семинаре «Кольца и модули» кафедры высшей алгебры МГУ, на выездных заседаниях международного семинара по компьюіерной алгебре в г Дубна в 2003, 2004, 2005 и 2006 гг, на международных конференциях «Компьютерная аліебра в символьных вычислениях» (CASC) в і Ялта, Украина. 2002 г и в г Санкт-Петербург, 2004 і , на международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию МГУ и 75-летию кафедры высшей аліебрьі, МГУ, 2004 г, ил конференции «Ломоносовские мі опия в МГУ в 2005 и 200G гг, на международной конференции «Алюриімическая алгебра и лоїика» в чес гь 60-леіия Ф Ваисифопниша в г Пассау, Германия, 2005 г, на международном симпозиуме по символьным и алгебраическим вычислениям (ISSAC-2005) в г Пекин, Китай, 2005 г, на международном семинаре но компьютерной алгебре и информатике, МГУ 2005 г, на международной конференции «Базисы Гребнера в символьном анализе» (D2) в рамках Специальною семесіра по базисам Гребнера в г Линц, Австрия, 2006 г. на IX международной конференции «Ишеллектуальные сие іемьі и ком-иькнерные науки», МГУ, 2006 г
Резулыагы автора по теме диссертации опубликованы в 9 работах, список коюрых приводи іся в конце библиографии
Диссертационная рабо і а состоит из введения, 6 глав (одна из которых яв-ляеіся вводной), заключения, приложения и библиографии (66 наименований) Общий объем диссертации сосіавляеі 120 страниц Сіруктура рабо і ы отражена в оглавлении
Авюр благодари г своєї о научного руководителя, ведущего научної о сотрудника лаборатории вычислительных методов МГУ, к ф -м н. Евтения Васильевича Панкратьева за помощь в выборе темы исследования, внимательное руководство в процессе исследовательской деятельности и множество полезных идей Автор благодарит также за неоценимую поддержку профессора кафедры высшей алгебры Александра Васильевича Михалева.
Лекции профессора Виктора Николаевича Латышева по прикладным вопросам алгебры помогли автору проанализировать и выразить результаты в более общей форме
Авюр признателен профессору Евгению Соломоновичу Голоду за замена і ельные лекции по коммутативной аліебре и иніерес, проявленный к эюй рабо іе
Мноіие из резулыаюв авюра дисхеріации были получены на семинаре по компьютерной и дифференциальной аліебре на механико-магемаїичоском факулыете МГУ под руководством Е В. Панкратьева Авюр искренне благодарен всем учасіникам семинара за интересные идеи, примеры и рекомендации Автор глубоко признателен к ф -м н Марине Владимировне Кондраіьевои, к ф -м н Олегу Голубицкому, к ф -м н Елене Июровно Буниной. Дми і рию Трушину, Алексею Овчинникову и Грегу Риду ІЛ обсуждение вопросов, связанных с дифференциальными сіандаргньїми базисами Большое значение для авюра оказало общение с основа і елями іеории дифференциальных сіандаріньїх базисов- Франсуа Оливье и Джу-зопной Карра Ферро
Автор благодарен оріанизаюрам и учасіникам ежегодною семинара по компьюіерной аліебре в Дубне за оживленные дис куссии по различным вопросам компьютерной аліебрьі
Авгор глубоко благодарит своих роди і елей и коллектив кафедры высшей аліебрьі за поддержку в рабоїе Авюр посвящает рабо і у своим школьным учителям маїематики Тамаре Васильевне Симкиной и Елизавете Николаевне Стрелковой
Задача принадлежности дифференциальному идеалу
Как и в случае обычных колец многочленов, в дифференциальной алгебре исключительно важна задача определения принадлежности мноючлена заданному дифференциальному идеалу в кольце дифференциальных многочленов Однако, в отличие от полиномиальных колец, кольца дифференциальных многочленов не являются нетеровыми Даже в самом простом обыкновенном кольце дифференциальных мноіочленов Іу} есть бесконечно порожденные дифференциальные идеалы Типичный пример приведен в [16] для любою п 0 моном yfl+1 не принадлежит идеалу [т/о,?/?,- ,/„],
Шбор рассматриваемых дифференциалы»їх перемитих (и, соотштчтвенно, дифференцилчьннх мономов) б\деі зависеть от копте кета а поюму идеал [z/О /і 2/і? І бесконечно порожден В -ной же (іатье [16] Оливье, Галло и Мишра обобщили лог пример и доказали, чю для любого иодмиожес іва / С NQ верно, чю у Є[у}\іЄІ] = пІ
Ими же был доказан фундамешальный факт для бесконечно порожденных дифференциальных идеалов в кольцах дифференциальных мноючленов задача принадлежности, вообще говоря, алюригмически неразрешима (Для доказаіельства они рай маїривали неразрешимое множес гво/ С No и обобщение предыдущею примера) Однако до сих пор неизвестно, сущесівуег ли алгориїм, решающий задачу принадлежности для произвольных конечно порожденныт дифференциальных идеалов. В данной диссеріации мы ограничимся рассмоїрением идеалов юлько іакого типа Ниже мы опишем ос новные случаи, в коюрых алгори гмическое решение этой задачи известно Эю 1 радикальные дифференциальные идеалы, 2 идеалы, однородные относительно некошрой весовой функции, 3 идеалы, обладающие конечным дифференциальным сіандаріньїм базисом Радикальные дифференциальные идеалы
Аналогом іеоремьі Гильберта о базисе в кольце дифференциальных многочленов над алгеброй Рит га является теорема Ритта-Роденбаша о базисе1
Теорема 5 ([53, 40, 27]). Если алгебра PummalZ удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепочек радикалъныт дифференциальных идеалов, то кольцо TZ{y] томе удовлетворяет этому условию
Нас будет иніересовать кольцо дифференциальных многочленов над полем Т Из іеоремьі 5 следует, чю для каждого радикальною дифференциального идеала / в Т{у] существует такое конечное множество F С I, чю I = {F} Ритт услановил, что каждый простой дифференциальный идеал Р в кольце дифференциальных мноючленов можно предеіавить в виде Р = [С] Н , где С характерне і ическое множес і во идеала Р (см раздел 3 4) Он получил алгори гмичес кий способ ра зложения произвольної о радикальною дифференциальною идеала на простые компоненты, заданные (воими харакіеристическими множесівами Однако оюг аліориїм ни paw не был реализован на пракіикс из-за своей сложности Лишь в 1994 году французскими учеными Вулье, Лазаром, Оливье и Птию был получен эф-фекіивньїй аліоритм, основанный на идеях Риїта [4] и строящий таракте-ристгшческо( разлом euue радикального дифференциальної о идеала (см далее) Сейчас Э1И меюды активно развиваются (см , например, [23, 24, 25])
Однородные идеалы Определение 9 ([16]). Ненулевая функция w : F{y) — No = N U {0} называв і ся et(oeou, если 1 wtfg) = w(f) + w(g) Vf,ger{y}\F; 2 если iu(Mi) = w(M2) VMbM2 Є Supp/, то w{Ni) = w(N2) 4NUN2 Є SuppJ/ VfeF{y}\F, 3 множество дифференциальных мономов с с})иксированным значением w конечно
Весовые (функции могу г быть построены следующим образом Пусть А Є No, В Є N Положим 10А,В{У) — А и гпл,в{Ук) = А + кВ и продолжим шд,в на мономы и многочлены При А = 0 и В = 1 мы получаем классический вес wt
Как обычно, дифференциальный идеал / назьіваеіся однородным относительно весовой функции tu, если для каждого многочлена f Є I суммы всех слагаемых / с одинаковым значением w шже лежат в / Если Т — поле копсіант, то дифференциальный идеал І являє і ся однородным относи і елыю w в юм и юлько юм случае, когда он обладает однородными образующими [16]
Пример 5. Идеал [у\-\-УІ} 0.{у] однороден относи і елыю весовой функции иь і и неоднороден оіносиїельно wt
Для идеалов, однородных относительно какой-либо весовой функции в кольце дифференциальных многочленов над полем копсіант [16]. задача принадлежносіи также может бьпь решена алюритмически Пусть даны весовая функция ш, однородный огносиїельно w идеал [F] и дифференциальный многочлен h Положим G={6f 6ee,fGF,w(0f) w(h)} Тої да h Є [Fj =$ h (6 ), где (G) алгебраический идеал в кольце мноіочленов Т[{ву ок10 maxordr/}] oi конечного набора неременных.
Однако существуют дифференциальные идеалы (например, [у\+у]), ко-трые не являю к я однородными ни при какой весовой функции Они ipe-буюг дополниіельиоіо исследования Третий общий случай — случаи идеалов, обладающих конечным дифференциальным стандартным базисом, — будет разобран ниже
Особые классы дифференциальных мономиальных упорядочений .
Теорема 12 (необходимое условие конечности). Пусть - — 6-фиксированпое упорядочение Если собственный идеал I Т{у) обладает конечным дифференциальным стандартным базисом G относительно - , то в I содерлсится -{-квазилинейный многочлен.
Эта георема для чистого лексикографического упорядочения (а іак-же для случая нескольких дифференцирований) была впервые доказана Дж Карра Ферро [7, Theorem 2] в 1997 г Наша цель модифицировать ее доказательство для более общих (( -фиксированных) упорядочений.
Доказательство Обозначим через Rt кольцо многочленов Т[уо, /ь . , yt] Заметим, чю дифференциальный размерностный многочлен идеала/ являє і ся константой Поэтому найдется такое натуральное , чю для всех t /о будеї выполнено dun?Rt/(I Г) Rt) = h — const Тогда для любого набора различных переменных уг,,.. ,Уіи,Уіі1+1 должен сущесівоваїь ненулевой многочлен / Є I Г) F[ytv , у,,,, y,h+l]
Пуиь G = ( /i, ,# /} Так как упорядочение - являекя 5-фиксированным, то для каждого дг найдутся гакие моном Мг и индексы кг и тг, чю для всех к кг верно 1тч 5кдг — МгуГг+к, где 1 г д Пусіь переменная yt лексикографически ciaj)uie каждого монома Мг Найдем ненулевой многочлен / /, зависящий от переменных yt, , yt+h Em старший моном должен зависеть ог этих же переменных и обязан де лиіься на сіарший моном производной некоторого элемента дифференци ального сіандартною базиса Но югда он должен делиться на некоторый моном Мг Так все переменные в Мг младше уи ю Мг = 1, откуда Sk,gt — - -квазилинейный мноіочлен. П
Замечание Если упорядочение - являеіся J-усшйчивым, чо из \т 5кд = Уг-гк следует, чю 1ицг/ = уг В этом случае квазилинейный мноіочлен должен содержаться в самом базисе G
Следствие 2 (обобщение [6, Corollary 1]). Если все слагаемые образу-ющит идеала I J-{y] имеют степень выше первой, то у I пет конечного дифференциального стандартного базиса мі при каком 6-фиксированном упорядочении
Замечание Требование -(риксированности здесь существенно Дейегви-іельно, идеалы [уп] обладают дифференциальным ггандаріньш базисом {у11} при любом /3-уиорядочении и любом п 1. Доказательство лого факта будет приведено в следующем разделе (предложение 23).
Теорема 13 (достаточное условие конечности). Пусть - упорядочение, согласованное с квазилинейиостыо. Если в собственном дифференциальном идеале I J-{y} имеется квазилинейный относительно - многочлену, то дифференциальный стандартный базис идеалаI относительно - является конечным
Доказательство Пусть 1тч(/ = уг Так как - согласовано с квазили нейносіью, го \m Skq — уг Значит, любой многочлен из / редуцируст (я (в дифференциальном смысле) оіносиїельпо g к многочлену из кольца "[УОїУь - Уі-\\ Полому дифференциальный стандартный базис/сое то пі из g и аліебраическою базиса Гребнера идеала I С[Т[уъ,у\, . , ї/г-і] и, очевидно, являє]ся конечным Зам(чапш By [50] независимо or авюра получил в 2005 г более слабое условие, которое можно сформулировать іак если все элементы гаракгпе-ристического множества идеала I являются лексикографически квазилинейными, то идеал I обладает конечным дифференциальным стандартным базисом Так, для идеалов [у\1 + у] сам мноючлен у7{ + у будет образовывать харакіериегическое множество, но он не будет квазилинейным при п 1 Но как мы увидим в разделе 5 5, при п 3 эти идеалы обладают конечным лексикографическим сіандаргньш базисом Однако условие By работе г и в случае кольца дифференциальных многочленов от нескольких переменных с частными производными. Замечание Доказаісльсіво георемы 13 проходит и для таких упорядочений, при которых имеет место согласованность с квазилинейностыо лишь для -WIOMCHIOB из /
Следствие 3 (Карра Ферро [6], Ollivier [36]). Если в идеале содерлсит-(я линейный многочлен, то дифференциальный стандартный базис этого идеала конечен при любом допустимом упорядочении
Следствие 4. Пусть - Ь-леиикографическое упорядочение Для того, чтобы дифференциальный стандартный базис собственного идеала I J-{y} был конечным, необходимо и достаточно, чтобы в! содержался - -квазилинейный многочлен
Доказательство Следуеі из теорем 12 и 13, поскольку по предложениям 12 и 13 ( -лексикографическое упорядочение является ( -фиксированным и со гласовано с квазилинейностыо
Следствие 5 (обобщение [6, Theorem 1]). Пусть - строго 5-устойчивое упорядочение Дифференциальный стандартный базис идеала [f] F{y] относительно - состоит из самого многочлена f тогда и только тогда, когда f — -квазилинейный
Доказательство Необходимость По замечанию к іеореме 12, при сірої ой 5-усшйчивосги - -квазилинейный многочлен должен содержаться в самом дифференциальном стандартном базисе. Поэтому / — - -квазилинейный
Достаточность Пусіь 1шч/ = уг Так как строю 5-усюйчивые упоря дочения согласованы с квазилинейностыо, ro\m 5kf = у ь Поэтому все s-полиномы многочленов Slf и 6J f тривиально редуцируюіся к 0
Замечание Мноючлен f — УІ+1уп + yn+i образует дифференциальный сіандаріньїй базис идеала [/] при упорядочении из примера 21, хоія он не являемся оіносиїельио него квазилинейным Квазилинейность появляемся лишь у ею производной Эю показывает, чю требование сірогой 6-усюйчивосіи в предыдущем слсдеівии сущесм венно
Из предложения 14 и іеорем 12 и 13 вытекает следующий факі, определяющий ключевую роль чисюю лексикографическою упорядочения Теорема 14. Если идеал обладает, конечным дифференциальным стан дартным базшом при 5-фтксироваином упорядочении, то он обладает по личным базисом и при чистом лексикограф) ическом упорядочении
Сформулируем важные следствия результатов эюй главы Теорема 15. Следующие условия эквивалентны. 1 идеал I F{y] обладает конечным лексикографическим дифхфереици-альпым стандартным базисом; 2 в I содержится \сх-кватлинейиый многочлен, 3 факторалгебра Т[у,у\,у2, ]/1 конечно порождена.
Доказательство 1 = 2 Следует из іеорем 12 и 13 (1 и 2) = 3 Очевидно, так как множество мономов, не делящихся на сіаршие мономы производных элеменюв дифференциального сіандаргно-ю базиса, содержащею квазилинейный многочлен, конечно Образы лих мономов при каноническом гомоморфизме факюризации и образуют базис факюраліебрьі
Дифференциальные с іандаріньїе базисы идеала
Теорема 25. Пусть - ft-упорядочение и ф — -квазилинейный многочлен, причем - согласовано с квазилинейностью для ф (то есть, производная 5пф является - -квазилинейной для всех п 0) Тогда для любого п 0 многочлен ф11 образует дифференциальный стандартный бате идеала [фп] относительно -
Доказательство Так как -3-упорядочение, то по предложению 26 {у"} дифференциальный стандартный базис [г/] относительно - . Рассуждая как в доказательстве юоремы 24, продсіавим дифференциальную композицию у11 с ф в виде композиции у" с набором - -квазилинейных многочленов Ф = {Уо,Уъ ,Уг-\,Ф,Ь Ф,Ь2ф, . ). По іеореме 23 {г\)п} является дифференциальным стандартным базисом иде ала [ф11] относительно - П
Авюром совместно с М В Кондратьевой выдвинута следующая Гипотеза 3. Пусть - согласованное с квазилинейностыо /3 упорядочение Для того, чтобы с обствениый идеал I обладал конечным дшфферсициальным стандартным базисом относительно , необходимо и достаточно, чтобы либо I содержал - -квазилинейный многочлен, либо I поро ждался некоторой степенью - -кватлинеиного многочлена
Доказанная выше іеорема25, а іакже іеорема 13, дают достаточное условие конечности такого дифференциального стандартного базиса и тем самым частично подтверждают гипоіезу. Необходимость этого условия пока оиается недоказанной
По предложению 14 всякий - -квазилииейный многочлен является тюке леке икографически квазилинейным Однако обратное неверно для любого упорядочения - , 01 личного от лексикографического, найдется лексикографически квазилинейный, но не -«-квазилинейный многочлен /. Следующий результат позволяет построить конечный дифференциальный стандартный ба зис идеала [/"] и в этом случае
Теорема 26. Пусть к 0 Тогда найдется упорядочение - , такое, что для любого лексикографически квазилинейного многочлена f порядка к и любого п 1 идеал [/"] обладает дифференциальным стандартным базисом из одного /" относительно -
Доказательство Выберем в качестве - іак называемое смешанное lei-revlex упорядочение порядка к, коюрое определим маїрицей
Первая прока юй маїрицьі гравниваеі мономы оі уг,Уг+ііУг+2і относ иіельно веса wt-(A"- 1) dcg Ясно, чго / являєі ся -(-квазилинейным Более тою, любая производная / будет -(-квазилинейной Дейсівительно, нусіь yk+r и А/ два монома из 6rf, причем М = PQ, ще Р - \ех ук, а Q =1( х Ук При -)i ом М является слагаемым в r-й производной некоторо-ю монома из /, меньшего yi (а значит, не большего у х ) Понятно, что \vt М - wt gjU г, 01 куда (wt Q - {к - 1) deg Q) + (wt Р - {к - 1) deg Р) г и wtQ - (к - 1) deg Q г, поюму чю wtP wty (Равенство здесь достигає і ся юлько когда ф входит в Sr(yk( l )) Тогда уже относи і ельно первой строки маїрицьі упорядочения - моном ijk+r будет иметь вес г + 1, а моном М — вес не более г. Легко ВИДРІь, чю построенное упорядочение удовлетворяет предложе нию 20 В самом деле, сооі нетствующее ему упорядочение - является 0 упорядочением (wt-rdcg)revlex Поэтому идеал [у[ ] имеет конечный диффе ренциальный с гандартный базис {у[1} относительно -( Теперь доказатель с іво следует из теоремы 23 (рассуждения такие же, как и в доказательстве іеоремьі 25)
Задача принадлежности для дифференциальных идеалов, порожденных композицией
Результаты л ой части получены автором совместно с М В Кондратьевой [64] Пусть / Є J7 {у} и д Є F{z) Напомним, чю композицией fog мы назвали образ многочлена / при дифференциальном гомоморфизме подсіановки Q F{y] —» 3 {z}, при котором у н- д. Ясно, чю такая композиция продолжается до композиции Уг{г}{у} — F{z}
Определение 33. [40, стр G3] (Частичный) preparation-миогочлеп15 Рдп Є F{z}{y), построенный для многочлена/? Є F{z) относительно мною-члена д Є T{z], можно определи і ь равенством Sp = р9іПод и іребованием, чтобы все коэффициешы из T{z} многочлена рл„ были частично псевдо-редуцированы относительно д и не делились на д
К сожалению термин preparation рої)normal" пока не имеет у дачного перепо ід на р икий язик Риі і доказал [40, сір G4], чю для любыхр и д найдется такая степень ті, 4\opUjfl существуем Доказаіельсгво конструкіивио, и поэтому можно утвер-ждаїь, чю существуем алгориїм16, коюрый для заданных многочленов р и у находит некоюрый номер п и preparation-многочлен рдіП Зтої алгоритм сводится к ordp — orde/ диерференцированиям мноіочлена у и алгебраическим вычислениям в кольце F[zo,..., zn], где п — ordp Там же показано, чю для каждого п, при ко юром существует Pgtll, частичный preparation-многочлен єдине JBPHPH От preparation-мноіочлена но Колчину частичный prepdidtion-мноіочлен оишчаеіся гем, тор не умножає і ся на Iq
Очевидно, что если сущее івуот p(j)Tl, то существуют также и py,k для всех к п Дейсівительно, умножение ко ерфициентов p(jfU на сепаран-iy Sq оставляет их частично псевдоредуцированными относительно д (хо-ія, вообще юворя, после лого они могут делиться на у, так что общий видр гп может измениться). Значит, при расчеіе мастичною prepaiation-мноючлена для S4p(hn не требуется дополнительное домножение на Sg и получлеіея J)y,,Hi
Число п 0 будем называть индексом мастичною preparation-мпоючлена Pgtji Часіичньїй preparation-многочлен с минимально возможном индексом будем обозначать іакже просту. Ясно, чю если g неприводим и п — индекс pq, то рд п+к - SqPq Пример 35. Пуе іьр = Z2 + 1 и у = zf + z Тогда р9 2 = У і + 5т/ - 2z\iji - bz В самом деле, при подсмановке многочлена е/ вмесю у в рд получаем S p = iz((Z2 + 1) МОЖНО убеДИТЬСЯ, ЧТО pq = рд 2 Пусть имеется алгоришический метод проверки принадлежности произвольного дифференциальною многочлена с/ идеалу [/] Наша цель — построив аналогичный метод для идеала [fog] : S .