Введение к работе
Актуальность темы
Понятие дифференциального идеала является одним из наиболее фундаментальных в дифференциальной алгебре. Первый вопрос при изучении дифференциального кольца - это вопрос о структуре его дифференциальных идеалов. Кроме того, в терминах дифференциальных идеалов могут быть выражены различные проблемы, связанные с дифференциальными кольцами. Спектр задач, решаемых на языке дифференциальных идеалов весьма широк1,2. Мы опишем.лишь направления, затронутые в работе.
Первый большой пласт задач связан со структурной теорией дифференциальных колец. Большой интерес представляет структура дифференциально конечно порожденных алгебр Ритта. Любая такая алгебра может быть представлена в качестве факторкольца кольца дифференциальных многочленов по некоторому дифференциальному идеалу. Таким образом, задача изучения данного класса алгебр сводится к изучению дифференциальных идеалов в кольце дифференциальных многочленов над некоторым дифференциальным полем характеристики нуль. В этом направлении огромную роль играет вычислительная техника работы с многочленами. Так как кольцо дифференциальных многочленов представляет из себя кольцо многочленов от счетного числа переменных, то эффективные вычисления в этом кольце достаточно затруднены. Тем не менее существуют эффективные методы работы с радикальными идеалами, основанные на работе с характеристическими множествами дифференциальных идеалов3'4,5. Однако они слабо применимы к нерадикальным дифференциальным идеалом и к тому же не позволяют отвечать на все интересующие вопросы. В 80-е годы Ф. Оливье6'7 и Дж. Карра Ферро8 были одними из первых, кто
1 Михалев А. В., Панкратьев Е. В., Дифференциальная и разностная алгебра, Итоги науки п техники. Серия Алгебра. Топология. Геометрия, том 25, Москва, 1987
2Kondratieva М. V., Levin А. В., Mikhalev A.V., Pankratiev E.V., and Difference Dimension Polynomials., Kluwer Academic Publisher, 1999.
3Boulier F., Lazard D., Ollivier F., Petitot M., Representation for the Radical of a Finitely Generated Differential Ideal., in Proceedings of 1995 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, 158-166, ACM Press, 1995.
4Boulier F., Etude et implantation de quelques algorightmes en alyebre differentielle., These de rUuiversitnto des Seines et Technologies de Lille, 1994.
"Hubert E., Notes on triangular sets and triangulation-decomposition algorithms. II: Differential Systems., Symbolic and Numerical Scientific Computing 2001, 40-87, 2003.
"Ollivier F., Le probleme de I'identifial/lite structurelle globale., these de doctorat, Ecole polytechnique, 1990.
'Ollivier F., Standard bases of differential ideals., Lectures notes in computer science, 508: 304-321, 1990
sCarra Ferro G., Differential Grobner Bases in One Variable and in the Partial Case., Math. Comput.
ввел понятие дифференциальных стандартных базисов, которые по аналогии с базисами Гребнера решают вычислительные проблемы. Однако такие базисы, вообще говоря, оказываются счетными. И для эффективной работы требуются некоторые критерии конечности для них. Сами основатели теории формулировали некоторые необходимые и достаточные условия конечности, но все они были трудно проверяемые и в результате не давали практической пользы7'8'9. Достаточно подробно вопросы конечности дифференциальных стандартных базисов изучались в работах А. И. Зобнина10,11,12'13. Развития в этом направлении удалось достичь за счет расширения класса рассматриваемых упорядочений. С другой стороны, проверку конечности дифференциальных стандартных базисов хотелось бы сформулировать в терминах идеалов, а именно, проверку конечности дифференциального стандартного базиса требуется свести к проверки равенства некоторого идеала всему кольцу. В случае обыкновенного кольца дифференциальных многочленов от одной переменной такой критерий был найден [1]. Для любого дифференциального идеала в кольце обыкновенных дифференциальных многочленов от одной неизвестной можно построить идеал сепарант, который и отвечает за конечность дифференциального стандартного базиса. Указанному критерию посвящена первая часть работы. Более того, предложены способы эффективной проверки требуемого условия, что позволило эффективно опровергать гипотезы о конечности дифференциальных стандартных базисов дифференциальных идеалов из достаточно широкого класса. Следующая задача, возникающая после установления наличия конечного дифференциального стандартного базиса, - это нахождение этого базиса. Первый алгоритмический способ проверки был предложен Ф. Оливье7. Впоследствии его значительно улучшил А. И. Зобнин в своей диссертационной работе. Последний предложенный алгоритм заведомо останавливался в случае существования конечного дифференциального стандартного базиса. При этом хочется понять насколько
Model., Pergamon Press, vol. 25, ПО, 1997.
9Carra Ferro G., Grobne.r bases and differential algebra., Lectures notes in computer science, 350:129 140, 1989
103обнин А., О стандартных базисах в кольце дифференциальных многочленов, Фундаментальная и прикладная математика, том 9, nun. 3, стр. 89-102 (2003).
"Zobnin A., On Testing the Membership to Differential Ideals., In Proceedings of the 7th International VVorkchop on Computer Algebra in Sciutific Computia (CASC-2004), July 12-19, St. Petersburg, Russia, pp. 485-496 (2004).
12Zobnin A., Some Results on Differential Grobner Bases., In Proceeding of A3L-2005 (Conference in Homor of the GOt.h Birthday of Volker Woispframing), April 3-C, Passau, Germany, pp. 309 314.
13Zobnin A., Admissible Orderinys and Finitness Criteria for Differential Standard Bases., In Proceeding of International Symposiom on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC-2005), Jully 24-27, Beijing, China, pp. 365-372 (2005)
трудоемкими могут быть вычисления. Одной из характеристик сложности работы алгоритма является максимальный порядок элементов стандартного базиса. Используя метод идеала сепарант, можно оценить сверху указанные порядки дифференциального стандартного базиса.
Часто для изучения кольца полезно ограничиться знаниями о структуре его простых идеалов. Подобная идея идет из теории схем, которые эффективно применяются для изучения алгебраических многообразий. В дифференциальной алгебре естественным образом возникает понятие простого дифференциального идеала и простого дифференциального спектра. Однако имеется один неприятный эффект, для нетривиального дифференциального кольца его дифференциальный спектр может быть пуст. Таким образом, из поля зрения выпадает очень широкий класс дифференциальных колец. В 80-х годах У. Киром был предложен метод, позволяющий преодолеть это препятствие14. Им было введено понятие квазшфостого дифференциального идеала. Соответственно, у дифференциальных колец возникают квазисиектры, для которых Кир строил соответствующую теорию15,16. Теория схем очень сильно опирается на категорную точку зрения, которой придерживался и Кир. Для категории дифференциальных колец существует забывающий функтор в категорию колец. Важным наблюдением Кира является существование левого сопряженного к нему. Таким функтором является функтор построения рядов Гурвица над коммутативным кольцом. В работах Кира возникла необходимость выяснить связь ква-зисиектра исходного дифференциального кольца и кольца его рядов Гурвица. Эта задача связана с изучением естественно возникающего морфиз-ма функторов в категории дифференциальных колец. Автором предложен метод [2], с помощью которого конструктивно описываются квазинростые дифференциальные идеалы рядов Гурвица в терминах исходного кольца. Для этого требуется ввести некоторую топологию на рядах. При построении теории было замечено, что функтор рядов Гурвица можно обобщить на случай некоммутативного кольца. Соответствующая конструкция возникает как обобщение конструкции алгебры разделенных степеней для некоторой алгебры Ли. В итоге, в работе решается задача описания связи квазиспектров в наиболее общем случае, а именно, в случае некоммутативного кольца, на котором действует некоторая свободная конечно порожденная алгебра Ли.
"Keigher W., Quasi-prime idmls in differential rings.. Houston J. Math 4, (1978), 37!) 388. i5Keigher YV\, On the quasi-affine scheme of a differential ring., Advances in Math. 42 (1981), 143-153. 16Keigher \V„ On the structure sheaf a} a differential ring., J. Pure Appl. Algebra 27 (1983) 163-172.
На сегодняшний день достаточную силу в алгебре (включая коммутативную и дифференциальную алгебру) приобрели методы теории моделей. Особую силу демонстрирует ее часть, называемая теорией стабильности17. В работах таких математиков, как А. Пиллай18,19 и Т. Мак Грэйл20 получены очень сильные структурные результаты дифференциальной алгебры методами теории моделей, которые пока не имеют чисто алгебраических доказательств. В частности, в работе Т. Мак Грэйла20 было доказано существование и единственность дифференциального замыкания для дифференциальных полей характеристики нуль, которое, в отличие от оригинального доказательства Колчина21, более явно описывало структуру дифференциального замыкания. В работах А. Пиллая19 по общей дифференциальной теории Галуа дано полное конструктивное описание структуры дифференциального замыкания и описано соответствие Галуа в общем виде. Более того, используемые теоретико-модельные методы позволили перекинуть результаты на смежную к дифференциальной алгебре область -на теорию разностных колец, в которой, например, доказано существование разностно замкнутых полей22'23. Появление столь мощного логического аппарата позволило продвинуться в получении алгебраических результатов в дифференциальной и разностой алгебре. Однако, несмотря на то, что непосредственные ссылки на теоретико-модельные результаты, дают ответы на алгебраические вопросы, структура и механизм возникающих эффектов остается загадкой. Проблема в том, что непонятно за счет чего вдруг в смежной области появляются результаты сильнее тех, которые можно получить алгебраическим путем. За счет чего, за счет каких эффектов достигается такая эффективность? Сразу встает вопрос о получении адекватной алгебраической техники, позволяющей элиминировать теорию моделей. Так как для дифференциальной алгебры, как и для любой другой науки, очень важно уметь получать сильные результаты внутренними методами, методами самой науки. Построению такой техники, адекватно отражающей методы теории стабильности в дифференциальной алгебре,
17Пуаза Б., Курс теории моделей. 2001. Электронная книга , глава 18
1вРШау A., Differential Galois theory /., Illinois J. Math., 42 (1998), 678 C99.
19Pillay A., Differential Galois theory П., Annals of Pure and Applied Logic Volume 88, Issues 2-3, 17 November 1997, Pages 181-191
20McGrail Т., The Model Theory of Differential Fields with Finitely Many Commuting Derivations., The Journal of Symbolic Logic, Vol. 65, No. 2 (Jun., 2000), pp. 885-913
21Kolchiu E.R., Constrained Extensions of Differential Fields., Advances in Math, 12. 1974, pp. 141-170.
22Macintyre A., Generic. пФтогрШтв of fields., Ann. Pure Appl. Logic 88:2-3 (1997), 165-180.
23Chatzidakis Z., Hrushovski E., Model theory of difference fields., Trans. Amer. Math. Soc. 351 (1999), no. 8, 2997 3071.
и посвящен третий раздел работы [3, 4]. За образец мы берем оригинальное доказательство С. Шелаха24. Оказывается, что построение желаемого алгебраического аппарата основывается на изучении дифференциальных идеалов в тензорных произведениях дифференциальных колец. Вопросы существования специальных типов дифференциальных идеалов напрямую связаны со структурой дифференциального замыкания дифференциальных полей характеристики нуль. Более того, полученные алгебраические методы не апеллируют к продвинутой алгебраической технике, все они строятся на классических результатах коммутативной и дифференциальной алгебры. Эта техника развивается таким образом, чтобы как можно меньше апеллировать к дифференциальной структуре кольца, это сделано с целью возможности дальнейшего ее применения и в теории разностных колец. В качестве примера на основе полученного алгебраического аппарата строится самый общий вариант дифференциальной теории Галуа. Тем самым мы иллюстрируем, что все основные механизмы, используемые логиками, задействованы и в нашем подходе, тем самым полученная теория позволяет получать чисто алгебраическими методами те результаты, которые до этого имели только теоретико-модельные доказательства.
Цель работы
Так как мы решаем три более или менее независимые задачи, то наши цели можно разбить по трем направлениям.
Алгоритмическая часть :
Построение критерия конечности дифференциального стандартного базиса в обыкновенном кольце дифференциальных многочленов от одной неизвестной в терминах проверки на равенство некоторого идеала всему кольцу.
Получение эффективных методов проверки нового критерия.
Получение численных оценок на характеристики алгоритмов построения дифференциальных стандартных базисов.
24Shclah S., Uniqueness and characterization of prime models over sets for totally transcendental first order theories.. J. Symbolic Logic, vol 37, 1У72, pp. 107 113.
Квазиспектры :
Обобщение конструкции рядов Гурвща на случай некоммутативных колец с действием некоторой алгебры Ли.
Обобщение понятия квазиспектра на случай некоммутативных колец с действием некоторой алгебры Ли.
Описание связи квазиспектра алгебры разделенных степеней с квазиспектром исходного кольца.
- Получение следствия из общего результата на случай рядов Гур
вица.
Идеалы в тензорных произведениях :
Развитие техники поиска простых дифференциальных идеалов в тензорных произведениях дифференциальных алгебр над полем нулевой характеристики.
Построение алгебраической теории на основе техники поиска дифференциальных идеалов в тензорных произведениях, такую, что с ее помощью можно перенести теоретико-модельное доказательство существования и единственности дифференциального замыкания для дифференциального поля нулевой характеристики на алгебраический язык, а также построить наиболее общее соответствие Галуа для произвольных систем дифференциальных уравнений.
Демонстрация того, что полученная теория позволяет успешно элиминировать теоретико-модельные методы при доказательстве результатов теории дифференциальных полей характеристики нуль.
Научная новизна
Заметим, что в работе результаты либо являются ответами на открытые вопросы, либо построением отсутствующей алгебраической техники. То есть, все полученные результаты являются новыми. Перечислим их явно:
1. Получен критерий конечности дифференциальных стандартных базисов и эффективный способ его проверки в обыкновенном кольце дифференциальных многочленов с одной неизвестной (теорема 1, следствие 3).
На основе критерия получен метод вычисления длительности работы алгоритма построения дифференциального стандартного базиса в случае его конечности (лемма 6).
Получена связь квазипростых спектров алгебры разделенных степеней и исходного некоммутативного кольца с действием свободной конечно порожденной алгебры Ли. Описан квазиспектр рядов Гурвица в терминах спектра исходного кольца. (Теорема 9).
Получены алгебраические доказательства теоремы Рессера и теоремы единственности дифференциального замыкания для дифференциального ноля нулевой характеристики (теорема 12 и теорема 14).
Построена общая теория Галуа для дифференциальных уравнений методами не использующими теоретико-модельную технику. В терминах действия группы Галуа дифференциального замыкания описана связь дифференциально алгебраического многообразия со структурой локально замкнутых точек дифференциального спектра (теорема 15 и теорема 16).
Основные методы исследования
В первой части работы применяются классические результаты вычислительной дифференциальной алгебры отраженные в работах Оливье7, Kappa Ферро8'9, Зобнина10'11,12,13. Основная техника вычисления с сепарантами в кольце дифференциальных многочленов.
Во второй части работы в коммутативном случае автор опирается на базовую технику, разработанную Киром14,25. Для обобщения полученных результатов на случай некоммутативных колец используются идеи, развитые Размысловым26, и общие результаты теории некоммутативных колец. Для ссылок на базовые результаты из некоммутативной алгебры мы используем книгу Ламбека27.
Наиболее сложной с технической стороны является третья часть работы. Элиминация теоретико-модельных методов требует несколько более изысканной алгебраической техники. Для нас являются основными методы работы со спектрами коммутативных колец и обобщения этих методов на
2SKeigher W., On the ring of Hurwitz scries., Comm. Algebra 25 (1997), 1845-1859. мРазмыслов Ю. П., Введение в теорию алгебр и их представлений.. Издательство московского университета, Москва.. 1991. 2ГЛамбек И., Кольца и модули, M.: Изд-во «Факториал Пресс», 2005.
случай дифференциальной алгебры. В наибольшей степени развитая автором техника представляет из себя обобщение разного сорта результатов из коммутативной алгебры28 и комбинацию их с классическими результатами Колчина29.
Теоретическая и практическая ценность работы
Работа имеет как теоретический, так и прикладной характер. Наибольшее применение имеет первая часть работы, связанная с дифференциальными стандартными базисами. Подробная связь дифференциальных стандартных базисов с прикладными задачами описывается в диссертации А. И. Зобнина. Вторая и третья часть работы имеют теоретическую направленность. В случае квазисиектров мы даем ответ на вопрос, поставленный Киром30, но в более общей форме. В третьей же части очень важным является развитие принципиально новой техники, которая призвана заменить существующие теоретико-модельные методы сугубо алгебраическими.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались:
на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры МГУ, неоднократно 2007-2010.
на семинаре «Дифференциальная алгебра и базисы Гребиера» кафедры высшей алгебры МГУ, 2007.
на выездных заседаниях международного семинара но компьютерной алгебре в г. Дубна в 2006, 2007 гг.
научная конференция "Differential Algebra and Related Topics 2", Newark, USA, 2007.
научная конференция "Kolchin seminar", New York, USA, 2010.
научная конференция "Algebraic Methods in Dynamical Systems", Poznan, Poland, 2010.
23Атья M., Макдональд И., Введение в коммутативную алгебру, М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2003. 29Kolchin Б. К.., Differential Algebra and Algebraic. ., Academic Press, New York, 1976. 30Вопрос был сформулирован Киром в апреле 2007-го года на конференции в Ньюарке
Публикации
По теме диссертации опубликовано 4 работы, из них 2 в журналах из Перечня ВАК. Список работ приводится в конце автореферата [1-4].
Структура и объем диссертации
