Содержание к диссертации
Введение
1 Полные дискретно нормированные поля с несовершенным полем вычетов 27
1.1 Циклические расширения степени р 27
1.2 Основные определения и конструкции 30
1.3 Устранение высшего ветвления 38
1.4 О выборе подполя констант 48
1.5 Вложение полного дискретно нормиїюванного поля в стандартное . 50
1.6 Теория ветвления с индексным множеством I 50
1.7 Пример: абелевы расширения показателя р 57
2 Почти-максимально-разветвленныерасширения 60
2.1 Некоторые вычисления в расширениях степени р 60
2.2 Независимо разветвленные расширения 64
2.3 Общие замечания о ПМР расширениях 68
2.4 Циклические ПМР расширения 71
2.5 Абелевы ПМР расширения, р—1\е 74
2.6 Абелевы ПМР расширения, р — 1 { е 77
2.7 Еще о композитах ПМР расширений 80
3 Высшие локальные поля 84
3.1 Основные определения 84
3.2 Классификационная теорема 87
3.3 Топология на аддитивной группе 88
3.4 Схроние мультипликативной группы 106
4 Строение топологических К-групп для высших локальных полей 112
4.1 Основные определения 112
4.2 Структура VKPK в равнохарактеристическом случае 117
4.3 Разнохарактеристический случай 119
4.4 Другие определения топологии и свойства отображения нормы на топологических /Г-группах 126
4.5 Строение VK^K 131
4.6 Построение элементов кручения 133
4.7 О Zp-расширениях одномерного поля 140
4.8 Основные теоремы 142
4.9 Пример: Qp{{t}} и QP(Q{{t}} 148
4.10 Абсолютно неразветвленный случай 151
5 Теория ветвления для двумерных локальных полей 154
5.1 Конструкция 154
5.2 Дополнительные сведения о топологических А'-группах двумерных локальных полей 155
5.3 Подгруппы Sa в U(l)I 5.4 Поведение Sa в некоторых типах расширений 160 5.5 Фильтрация на К^РК и отображение взаимности 165 6 Метод струй 170 6.1 Терминология и обозначения 170 6.2 Теоремы для расширений Артина-Шрейера 171 6.3 Доказательства 173 6.4 Постановка вопросов в общем случае 179 6.5 Дуги 182 6.6 Подъем дуг 189 6.7 Случай / ф р 193 6.8 Случай 1 = р 197 7 Метод пучков кривых 202 7.1 Определения, обозначения и предварительные сведения 202 7.2 Аналитическая формула присоединения 204 7.3 Ручная и дикая сингулярность 205 7.4 Расширения двумерных полных регулярных локальных колец 210 7.5 Формула Севери 213 7.6 Вычисление второго класса Чженя при помощи пучка кривых 214 7.7 Морфизмы поверхностей 217 Список литературы 221 Введение к работе Любая монография или учебник по локальной теории полей классов содержит главу, посвященную теории ветвления. В ее основе лежит существование некоторой базовой системы инвариантов для заданного конечного расширения локальных полей. В качестве таковой можно взять, в частности, порядки подгрупп ветвления (в нижней нумерации). Все другие классические инварианты ветвления данного расширения (а также любого его подрасширения) могут быть через них выражены. На этой основе строится элегантная и практически завершенная теория, включающая такие элегантные результаты, как теорема Хассе-Арфа или теорема Серра о существовании представления Артина. Теория ветвления представляет собой удобный инструмент для изучения многих вопросов, касающихся конечных расширений локальных и глобальных полей. НалиЧие фильтрации ветвления на группе Галуа позволяет свести изучение заданного конечного расширения к изучению просто устроенных нодрасширений. Далее, регулярное поведение инвариантов ветвления при переходе к подрасширениям делает теорию ветвления применимой также и для изучения бесконечных расширений. Наиболее ярким примером этого служит теория нолей норм, развитая Фонтеном и Винтенберже. Ипварианты_ветвления,_ассоциированные с морфизмом гладких проективных кривых или с конструктивным пучком ^-модулей в этальной топологии на такой кривой, входят в качестве локальных членов в важные формулы алгебраической геометрии — формулу Римана-Гурвица и формулу Гротендика-Огга-Шафаревича соответственно. С современной точки зрения классическая теория чисел, изучающая глобальные и локальные поля, представляет собой одномерный случай арифметической геометрии, предметом киторой служат схемы конечного типа над Z. Многие классические понятия, теоремы и гипотезы переносятся на эту более общую "n-мерную ситуацию". В частности, существует высшая теория полей классов, построенная в работах Като, Паршина, Востокова, Фесенко, теория высших аделей Паршина-Бейлинсона и др. Однако, пока не существует приемлемого n-мерного обобщения теории ветвления. Красота и сила классической теории ветвления сохраняются при переходе от локальных полей (с конечным нолем вычетов) к полным дискретно нормированным полем с произвольным совершенным полем вычетов. Однако от регулярного поведения инвариантов ветвления и всей основанной на нем теории практически ничего не остается, если мы допускаем возможность несепарабельных расширений полей вычетов. (Расширения такого типа с неизбежностью возникают при работе с n-мерными задачами, где п > 1.) В течение последних 30 лет был опубликован ряд научных статей, посвященных теории ветвления дискретно нормированных полей с несовершенным полем вычетов и теории ветвления многомерных схем. В большинстве из них получена в основном негативная информация о различного рода нерегулярностях в поведении инвариантов ветвления. В данной работе мы развиваем несколько новых подходов к построению теории ветвления в этой общей ситуации. За полезные обсуждения, определившие направление исследований, автор выражает благодарность С. В. Востокову, А. Н. Паршину, И. Б. Фесенко, П. Делиню, Г. Ломону, Т. Саито. Я также признателен за сотрудничество А. Аббесу, В. А. Абрашкину, М. В. Бондарко, О. Ванюшиной, О. Габберу, Н. Г. Дурову, А. Жеглову, К. Зайнуллину, Л. Иллюзи, К. Като, М. В. Коротееву, В. С. Куликову, X. Курке, Ф. Лорениу, А. Мадунц, Л. Миллер, Д. Орлову, Д. Осипову, М. Росту, М. Саиди, Л. Сприано, Б. Эрецу, А. В. Яковлеву. Эти математики поддерживали мой интерес к теории ветвления, а некоторые из них помогли найти ошибки в ранних версиях работ. Любая монография или учебник по локальной теории полей классов содержит главу, посвященную теории ветвления. В ее основе лежит существование некоторой базовой системы инвариантов для заданного конечного расширения локальных полей. В качестве таковой можно взять, в частности, порядки подгрупп ветвления (в нижней нумерации). Все другие классические инварианты ветвления данного расширения (а также любого его подрасширения) могут быть через них выражены. На этой основе строится элегантная и практически завершенная теория, включающая такие элегантные результаты, как теорема Хассе-Арфа или теорема Серра о существовании представления Артина. Теория ветвления представляет собой удобный инструмент для изучения многих вопросов, касающихся конечных расширений локальных и глобальных полей. НалиЧие фильтрации ветвления на группе Галуа позволяет свести изучение заданного конечного расширения к изучению просто устроенных нодрасширений. Далее, регулярное поведение инвариантов ветвления при переходе к подрасширениям делает теорию ветвления применимой также и для изучения бесконечных расширений. Наиболее ярким примером этого служит теория нолей норм, развитая Фонтеном и Винтенберже. Ипварианты_ветвления,_ассоциированные с морфизмом гладких проективных кривых или с конструктивным пучком -модулей в этальной топологии на такой кривой, входят в качестве локальных членов в важные формулы алгебраической геометрии — формулу Римана-Гурвица и формулу Гротендика-Огга-Шафаревича соответственно. С современной точки зрения классическая теория чисел, изучающая глобальные и локальные поля, представляет собой одномерный случай арифметической геометрии, предметом киторой служат схемы конечного типа над Z. Многие классические понятия, теоремы и гипотезы переносятся на эту более общую "n-мерную ситуацию". В частности, существует высшая теория полей классов, построенная в работах Като, Паршина, Востокова, Фесенко, теория высших аделей Паршина-Бейлинсона и др. Однако, пока не существует приемлемого n-мерного обобщения теории ветвления. Красота и сила классической теории ветвления сохраняются при переходе от локальных полей (с конечным нолем вычетов) к полным дискретно нормированным полем с произвольным совершенным полем вычетов. Однако от регулярного поведения инвариантов ветвления и всей основанной на нем теории практически ничего не остается, если мы допускаем возможность несепарабельных расширений полей вычетов. (Расширения такого типа с неизбежностью возникают при работе с n-мерными задачами, где п 1.) В течение последних 30 лет был опубликован ряд научных статей, посвященных теории ветвления дискретно нормированных полей с несовершенным полем вычетов и теории ветвления многомерных схем. В большинстве из них получена в основном негативная информация о различного рода нерегулярностях в поведении инвариантов ветвления. В данной работе мы развиваем несколько новых подходов к построению теории ветвления в этой общей ситуации. За полезные обсуждения, определившие направление исследований, автор выражает благодарность С. В. Востокову, А. Н. Паршину, И. Б. Фесенко, П. Делиню, Г. Ломону, Т. Саито. Я также признателен за сотрудничество А. Аббесу, В. А. Абрашкину, М. В. Бондарко, О. Ванюшиной, О. Габберу, Н. Г. Дурову, А. Жеглову, К. Зайнуллину, Л. Иллюзи, К. Като, М. В. Коротееву, В. С. Куликову, X. Курке, Ф. Лорениу, А. Мадунц, Л. Миллер, Д. Орлову, Д. Осипову, М. Росту, М. Саиди, Л. Сприано, Б. Эрецу, А. В. Яковлеву. Эти математики поддерживали мой интерес к теории ветвления, а некоторые из них помогли найти ошибки в ранних версиях работ. Для целой схемы X обозначим через к(Х) ее поле функций. Для нормирования v на поле К обозначим через Kv пополнение этого поля. к обозначает алгебраически замкнутое поле; р — char к. (Мы не требуем р 0, но этот случай представляет основной интерес.) / — простое число Ф р. Для схемы X и неотрицательного целого і через Xх обозначается множество ее г-мерных точек. і Геометрические данные Пусть X — нормальное многообразие над к. Инварианты ветвления могут быть приписаны, в частности, каждому из следующих объектов. 1. Конечное сепарабельное расширение L/K, где К = к(Х). 2. Конечный морфизм f : У — X, этальный в общий точке. 3. Конструктивный пучок Fz-модулей на Ха. Существуют просто описываемые взаимосвязи между этими типами объектов. Так, расширение L/K определяет нормализацию / : У — X многообразия X в L; это конечный морфизм, этальный в общей точке. Наоборот, любой такой морфизм определяет конечное расширение L/K полей функций. Далее, опишем на грубом уровне связь этих объектов с пучками. Предположим, что пучок Т — локально постоянный над некоторым открытым подмножеством U С X. Тогда существует этальное накрытие U — U такое, что Т\и постоянный. Рассматривав меньшее U, можно считать, что U связно. Соответствующее расширение полей функций (оно не определено однозначно) можно взять в качестве L/K. Обратно, пусть L/K — конечное расширение Галуа, и пусть / — соответствующий морфизм нормализации. Тогда / этален над некоторым открытым U С X. Различные конечномерные -представления Gal(L/K) соответствуют локально постоянным пучкам -модулей конечного ранга на [/&; эти пучки продолжаются нулем на все Xet. Говоря коротко, задача заключается в том, чтобы "распространить классическую (одномерную) теорию ветвления на двумерный (а затем и многомерный) случай". Здесь мы опишем основные результаты классической теории ветвления, отсутствующие в двумерной ситуации, и природу трудностей, возникающих при попытке их переноса на двумерный случай. Одномерный случай Если X — кривая над к, a v — нормирование на к(Х), соответствующее точке на X, то поле вычетов v совпадает с к; в частности, k(X)v представляет собой полное дискретно нормированное поле с совершенным полем вычетов. Напомним, что известно о ветвлении в расширениях таких полей. Итак, пусть К представляет собой полное дискретно нормированное поле с совершенным полем вычетов. Теорема Эрбрана. Пусть L/K — конечное расширение Галуа с группой Галуа G-Тогда функция Хассе-Эрбрана ц : [—1,оо) — [—1,оо) представляет собой кусочно-линейное возрастающее отображение, заданное формулой Теорема Эрбрана утверждает, что, если М — подполе в L/K, фиксируемое нормальной подгруппой Н, то для любых v,u таких, что v = фь/міу1), выполнено GUH/H = (G/H)v ([73, Ch. IV, Lemma 5]). Если ввести верхнюю нумерацию подгрупп ветвления G / = Gu для всех рациональных и — 1, мы получим следующий вариант теоремы Эрбрана: (G/H)v GVH/H. (Это означает, что на самом деле верхняя фильтрация подгрупп ветвления определена на уровне бесконечных групп Галуа.) С другой стороны, Ни — Gu П Н для любой подгруппы Н непосредственно в силу определения нижних подгрупп ветвления. Таким образом, имеем свойство совместимости: ( ) Фильтрация ветвления на группе G определяет фильтрации ветвления на ее подгруппах и факторгруппах. Хорошие свойства фильтрации ветвления. Верхняя фильтрация ветвления удовлетворяет также свойству Хассе-Арфа: скачки фильтрации являются целочисленными, если и только если расширение абелево, [73, Ch. IV, 3]. Кроме того, она совместима с теорией полей классов: в случае конечного поля вычетов образ фильтрации под действием отображения взаимности совпадает со стандартной фильтрацией на К , [73, Ch. XV]. Свойство Хассе-Арфа можно интерпретировать как ограничение на расположение подгрупп G в G для абелевой G. Но и для неабелевой G имеются некоторые (более слабые) ограничения, вытекающие из сравнений Сена: если д Є G0 и дрП Ф 1, того(дрП 1) гс(9рП) modp" (см. [76, Th. 1.1] или обзор в [77, 6.1]). Существование представлений Артина и Суона. (см. [73, Ch. VI], [75], а также обсуждение в [77, 6.1]). Аналогичным образом определяются кондукторы Артина и Суона комплексных представления G. Отметим, что можно восстановить фильтрацию на G, зная кондукторы Артина всех ее неприводимых представлений. (Аналогичное свойство не выполняется для кондукторов Суона, поскольку кондуктор Суона характеризует только дикое ветвление и не содержит какой-либо информации о (G0 : Gi).) Глобальные формулы. Предположим, что кривая X проективная, а У — ее нормализация в L. Формула Римана-Гурвица связывает род той и другой кривой: 29у - 2 = [L : К](2дх - 2) + ]Г vQ(y/x). Qty Пусть U — плотное открытое подмножество в X, f] — геометрическая общая точка X, Т — локально постоянный пучок Р;-модулей конечного ранга на U6t. Тогда геометрический общий слой М = ТТ] представляет собой конечномерное F;-представление группы Gal(fc(A )); оно пропускается через Gal(L/k(X)), где L/k(X) — конечное расширение Галуа. Для точки Р Є Х кондуктор Суона SwP Т определяется как кондуктор Суона М, рассматриваемого как Gal(Lw/к(Х)у)-модуль, где v соответствует P,a,w — любое продолжение v на L. Независимость от L следует из (2). Тогда формула Гротендика-Стга-Шафаревича для Т имеет следующий вид: Xc(tf,.F) = Xc(tf,F,)raiik:F- ]Г SwF . Рєх\и (Это утверждение можно получить из варианта формулы Гротендика-Огга-Шафаревича," приведенного в [21], следующим образом. Пусть и : U - X, FQ — постоянный пучок на U ранга, равного rankJ ". Применим формулу в [21, Гл. V, теор. 2.12] к щТ и к щТъ и вычислим разность.) Полнота. Для данного конечного расширения Галуа полных дискретно нормированных полей L/K имеется ряд инвариантов ветвления, которые встречаются в различных формулах: e(L/K), VL(T)L/K), Gi и Gl для всех г О, SwM для различных Са1(1///С)-модулей М. Однако имеется достаточная система инвариантов ветвления, а именно, нижняя фильтрация ветвления, которая "описывает ветвление полностью": все инварианты ветвления (включая локальные члены классических глобальных формул) могут быть через нее выражены. (Верхняя фильтрация ветвления также представляет собой достаточную систему инвариантов. То же справедливо для кондукторов Артина всех комплексных представлений G.) Какая часть классической теории ветвления, обзор которой мы привели выше, сохраняет силу для поверхностей? Ответ таков: практически все утверждения перестают выполняться (при р 0). Причина состоит в том, что мы не умеем определять набор инвариантов ветвления, который бы эффективно работал во всех ситуациях. Существует лишь различные частичные теории, некоторые из них очень глубокие; однако на настоящий момент ни одна из них не дает полной картины "ветвления в размерности 2". Некоторые из этих теорий будут упомянуты в следующем параграфе; здесь мы обсудим только "негативную информацию". Первое отличие от классического случая состоит в следующем. Если X — поверхность, a v — нормирование на К — к(Х), соответствующее простому дивизору Y, то Kv представляет собой полное дискретно нормированное поле с несовершенным полем вычетов. В этом случае теорема Эрбрана не выполняется. Более того, по нижней фильтрации ветвления на группе вообще нельзя однозначно определить фильтрацию ветвления на факторгруппе. (Таким образом, не имеет смысла пытаться построить верхнюю фильтрацию ветвления путем присвоения новых номеров подгруппам из нижней фильтрации.) Выполняется, по тривиальным причинам, только совместимость с фильтрациями ветвления на подгруппах. С другой стороны, можно попытаться построить верхнюю фильтрацию ветвления, исходя из "фильтрации нормирования" на і гОЮ или на группе Брауэра и применяя высшую теорию полей классов или когомологическую двойственность. Это дает определение фильтрации на Gal(L/K) в случае абелева L/K. Такая фильтрация обладает свойством "совместимости с факторгруппами". Однако эта фильтрация не сравнима с нижней фильтрацией, и свойство совместимости с подгруппами для нее не выполняется. Ни нижняя, ни верхняя фильтрации ветвления не позволяют определить даже такой простой инвариант ветвления, как геном расширения, т. е. ответ на вопрос, какие из промежуточных расширений будут вполне разветвлены. Более того, ни та, ни другая фильтрация не позволяет вычислить e(L/K) или порядок дифференты. Отметим, что "таинственное" поведение инвариантов ветвления в случае несовершенного поля вычетов наблюдается уже на простейших примерах; достаточно рассмотреть композит двух расширений Артина-Шрейера ([55], [77, 6.2], [20]). Далее, существующие аналоги формулы Гротендика-Огга-Шафаревича в размерности 2 (см. следующий параграф) указывают на то, что недостаточно приписывать те или иные инварианты простым дивизорам на X, т. е., точкам X коразмерности 1; должны существовать дополнительные инварианты, которые определены на уровне коразмерности 2. Опишем один из таких инвариантов. Для двумерного гензелева локального кольца А над гензелевым кольцом дискретного нормирования О и конструктивного пучка Fj-модулей на (SpecA)et, определено пространство исчезающих циклов V = H t(Spec(AoP), J lspecA0F), где F обозначает поле частных О. Это V представляет собой конечномерное -представление группы Gal F. Важным инвариантом служит тотальная размерность V, которая определяется как dt V — dimp, V + Sw V. Этот инвариант возникает как локальный член коразмерности 2 в формуле для характеристики Эйлера-Пуанкаре ([44], см. также [65]); однако, вообще говоря, мы не располагаем способом явного вычисления dt V. Перспективная цель В качестве такой цели можно было бы рассматривать построение теории ветвления для поверхностей, которая сохраняла бы максимально возможное число черт одномерной теории. В частности, для каждой пары (X,L/K) (или (А ,/), или (X, J7)) необходимо построить систему инвариантов T,(X,L/K,P) (Р Є X), которая содержала бы полную информацию о ветвлении (X,L/K). Это подразумевает следующие требования. (1) "Наивные" инварианты ветвления (индекс ветвления, порядок дифференты, геном, подгруппы в нижней нумерации) в Р должны выражаться через Е(Х, L/K, Р). (Можно надеяться, однако, что "истинная" теория ветвления позволит вычислять и более сложные инварианты, упоминаемые в следующем параграфе. Также представляется желательным получить интерпретацию этой системы инвариантов с точки зрения высшей теории полей классов.) (2) Ветвление промежуточных расширений (т. е., Т,(У, L/M, Q) с Q над Р и Т,(Х, М/К, Р), где К С М С L, У — нормализация X в М) должно выражаться через Я(Х, L/K, Р). (3) Локальные члены глобальных формул (например, тотальная размерность пространства исчезающих циклов) должны выражаться через Т,(Х, L/K, Р). Наконец, требуется, чтобы T,(X,L/K,P) представляла собой именно систему инвариантов ветвления, т. е., нетривиальные значения инвариантов должны быть в конечном числе точек Р (размерности 1 или 0), в каждой из которых L/K разветвлено. Как уже упоминалось, в абелевом случае можно через использование арифметических двойственностей построить фильтрации на группе Галуа, имеющие стандартные свойства верхней фильтрации, см. [26], [55]. На языке конструктивных пучков абелевым расширениям соответствуют пучки ранга 1. Соответственно, существует теория обобщенных кондукторов Суона для пучков ранга 1 на арифметических схемах произвольной размерности, построенная Като [62]. Он также определил подходящий кондуктор Суона в коразмерности 2, что позволило ему доказать для таких пучков аналог формулы Гротендика-Огга-Шафаревича. Утверждение о том, что некоторый кондуктор (в коразмерности 1) корректно определен, фактически эквивалентно совместимости соответствующей фильтрации ветвления с факторгруппами. Пусть L/K j,— конечное расширение Галуа полных дискретно нормированных полей (р 0). Если потребовать, чтобы расширение полей вычетов L/K было сепарабельным, то теорема Эрбрана по-прежнему будет выполняться, что позволяет определить кондуктор Суона для пучков, тривиализируемых в расширении L/K. Независимо Делинь (см. [65]) и Ш. Саито ([80]) предложили определения кондуктора Суона в коразмерности 2 и доказали аналоги формулы Гротендика-Огга-Шафаревича для проективной поверхности X при условии, что на (локально постоянный) пучок Т наложено ограничение "отсутствия свирепого ветвления": это означает, что найдется конечное расширение поля к(Х), которое тривиализирует Т и обладает только сепарабельными расширениями полей вычетов. На самом деле оба определения приводят к одному и тому же кондуктору Суона в коразмерности 2; это было показано в работе [63], см. также [66]. Аббес [32] доказал относительный аналог данной формулы (включая разнохарактеристический случай) при том же ограничении. Однако теорема Эрбрана остается справедливой и для более широкого класса моногенных расширений, т. е. таких расширений L/K, для которых кольцо OL порождено над Ок одним элементом. В частности, L/K моногенно, если выполнены следующие 2 условия: (1) [К : Кр] — р (это всегда так, если К представляет собой поле функций на поверхности в характеристике р или двумерное локальное поле с первым полем вычетов характеристики р); (2) L/K слабо неразветвлеио, т. е., [L : К] = [L : К]. (Слабо неразветвленные расширения можно представлять себе как башни L/M/K, где М/К неразветвлеио, a L/M свирепо разветвлено: [L : М] — [L : M]mSep-) Это означает, что для таких расширений можно построить нижнюю и верхнюю фильтрации ветвления с обычными свойствами совместимости. Это было проделано Като в [61]. Моногенные расширения не исчерпываются расширениями только что описанного типа и вполне разветвленными расширениями. Общее их описание дано в работах Л. Сприано [78)/179].Основные определения и конструкции
Независимо разветвленные расширения
Классификационная теорема
Структура VKPK в равнохарактеристическом случае
Похожие диссертации на Методы и конструкции в теории ветвления
