Содержание к диссертации
Введение
Состояние вопроса и основные задачи исследования 12
1.1. Классическая теория Фредгольма 12
1.2. Интегральное уравнение собственных изгибннх и крутильных колебаний упругих систем с сосредото ченными массами 14
1.3. Решение систем интегральных уравнений на основе теории Фредгольма 17
1.4. Функции Грина в задачах колебаний упругих систем и методы их определения 21
1.5. Обзор работ по расчету колебаний на основе теории интегральных уравнений 27
1.6. Постановка задач исследования 30
Разработка методики решения задач на собственные значения с помощью теории интегральных уравнений 32
2.1. Вывод детерминантных формул для коэффициентов Фредгольма с помощью дельта-функции Дирака 32
2.2. Получение рекуррентных формул для коэффициентов Фредгольма применительно к расчету высших тонов собственных колебаний упругих систем с сосредото ченной массой и их модификация 36
2.3. Распространение рекуррентных формул
2.2 для расчета собственных значений на случай произвольного числа сосредоточенных масс 43
2.4. Модификация рекуррентных формул с учетом симметризации ядер интегрального уравнения 50
2.5. Разработка рекуррентных формул для решения систем интегральных уравнений . 52
2.6. Вариант решения задач на собственные значения, основанный на сочетании метода Фредгольма и метода Гильберта-Шмидта 57
2.7. Расчетный алгоритм для решения задач о собственных колебаниях упругих механических систем, основанный на методе рядов Фредгольма ж численном интегрировании 61
2.8. Матрицы функций Грина упругих балок при численной реализации квадратур в методе интегральных уравнений 65
Математические вопросы, связанные с с обоснованием инженерной реализации теорий рядов 69
3.1. Сходимость приближений к собственным значениям в методе рядов Фредгольма 69
3,2. Сравнительный анализ применения различных рекуррентных формул для определения коэффициентов Фредгольма . 74
3.3. О совпадении результатов решений, даваемых методами интегральных и дифференциальных уравнений 77
3.4. Свойство корней характеристического уравнения 80
3.5. О необходимости симметризации ядер яри решении задачи о собственных крутильных колебаниях пустотелых конусов 85
ГЛАВА 4. Решение некоторых задач колебаний методом интегральных уравнений 91
4.1. Расчет собственных частот изгибных колебаний консольно заделанных балок переменного сечения 91
4.2. Расчет высших тонов собственных крутильных колебаний упругих систем с сосредоточенными массами 96
4.3. Минимизация веса пилона (усеченного конуса) при заданной частоте крутильных колебаний 104
4.4. Расчет методом интегральных уравнений собственных частот системы "крыло-упруго прикрепленный двигатель" с учетом упругости заделки крыла в фюзеляж III
4.4.1. Функция Грина для балки с одним свободным концом и другим концом упруго заделанным относительно поперечных и угловых перемещений 112
4.4.2. Функция Грина на кручение стержня с одним свободным концом и другим концом упруго заделанным относительно крутильных перемещений 112
4.4.3. Уравнения колебаний прямого крыла с упруго закрепленным двигателем ИЗ
4.4.4. Вывод приближенных уравнений частот с помощью рядов Фредгольма 114
4.4.5. Пример расчета 116
4.5. Расчет собственных частот совместных колебаний вертолетных лопастей 123
4.5.1. Дифференциальные уравнения колебаний лопасти 124
4.5.2. Граничные условия задачи о колебаниях лопасти 127
а) случай консольно заделанной лопасти, имеющей упругую заделку на кручение 127
б) случай шарнирно закрепленной лопасти, имеющей жесткую заделку относительно кручения 128
4.5.3. Расчет консольно заделанной лопасти 129
4.5.4. Расчет шарнирно закрепленной лопасти 138
4.5.5. Пример расчета 144
Выводи 145
Литература
- Интегральное уравнение собственных изгибннх и крутильных колебаний упругих систем с сосредото ченными массами
- Получение рекуррентных формул для коэффициентов Фредгольма применительно к расчету высших тонов собственных колебаний упругих систем с сосредото ченной массой и их модификация
- О совпадении результатов решений, даваемых методами интегральных и дифференциальных уравнений
- Расчет высших тонов собственных крутильных колебаний упругих систем с сосредоточенными массами
Введение к работе
На современном этапе тенденция к увеличению мощности и скоростей машин при одновременном снижении веса конструкций обуславливает большую актуальность проблемы колебаний механических систем и повышает роль их динамического расчета. Динамический расчет конструкций довольно сложен и трудоемок, требуется изучение протекающих колебательных процессов и совершенствование методов исследования динамики.
С точки зрения, учитывающей специфику инженерной постановки задач колебательного происхождения, недостатки разных методов теории колебаний, потребность для широкого применения в методах, позволяющих значительно уменьшить трудоемкость и повысить точность вычислений, наиболее рациональным является внедрение в практику расчетов, основанных на использовании теории интегральных уравнений. Методы теории интегральных уравнений имеют более широкую область применения и многие другие достоинства по сравнению с методами теории дифференциальных уравнений, что позволяет рекомендовать их широкое внедрение в практику расчетов, связанных с иследованием динамики конструкций. Среди достоинств аппарата интегральных уравнений общность и высокая универсальность, однообразность подхода к различным задачам, четкость физической интерпретации и возможность характеризовать изучаемое явление в целом, простота и надежность операций интегрирования при численном их осуществлении по сравнению с операциями дифференцирования и другие. Метод интегральных уравнений Фредгольма (или метод рядов Фредгольма) как один из методов решения линейных интегральных уравнений 2-го рода является особенно важным и перспективным (сходимость яри любых значениях характеристического параметра в отличие, например, от метода последовательных приближений, отсутствие необходимости предварительного определения собственных форм колебаний при определении частот, пригодность для симметричных и несимметричных ядер интегральных уравнений).
Можно указать такие направления исследования и применения метода интегральных уравнений Фредгольма.
1. Для приложений большое значение имеет разработка универсальных методов расчета конструкций с нерегулярными характеристиками, дискретно-континуальными параметрами. Интегральные методы, основанные на решении нагруженных уравнений Фредгольма, представляют универсальное средство исследования систем с дискретно-континуальными параметрами. Однако эти методы пока мало используются на практике и имеется необходимость доведения теории интегральных уравнений до инженерных расчетов.
2. Развитие техники сопровождается потребностью к расширению класса рассматриваемых нагрузок. Сейчас значительно воз-расла актуальность изучения динамических нагрузок, требуются более сложные и тонкие методы исследования новых явлений. Сошлемся, например, на неконсервативные задачи механики, которые содержат рассмотрение неконсервативных сил и представляют математически несамосопряженные задачи, отвечающие, вообще говоря, случаю несимметричных ядер интегральных уравнений. Метод Фредгольма не использует свойство симметричности ядра, поэтому его можно считать средством решения неконсервативных задач механики. Теория несамосопряженных операторов, как отмечает в известной монографии по неконсервативным задачам В.В.Болотин, не обладает достаточно эффективными методами фактического построения решений, поэтому исследование метода интегральных уравнений в плане несамосопряженных задач актуально.
3. Большие мощности и высокие обороты современных реактивных двигателей с особой остротой ставят задачу обеспечения динамической прочности системы двигатель-самолет и обеспечения виброустойчивой работы аппаратуры. Известно, что вдали от резонанса в силу больших мощностей современных двигателей, высоких оборотов компрессора и турбины возникают колебания хотя и небольших амплитуд, но приводящие к рекламациям. Эти микровибрации приносят большие неприятности, происходят о высокими частотами, поэтому нужно исследовать высшие тона колебаний. Метод Фредгольма, обладающий хорошей сходимостью, позволяет разработать инженерный способ расчета высших тонов колебаний двигателя и смонтированных на нем агрегатов.
4. Благоприятные возможности для применений метода интегральных уравнений Фредгольма связаны с особенностью структуры и связи функций Грина системы и составляющих ее элементов. Известно, что анализ собственных колебаний сводится с помощью функций Грина к определению собственных значений и функций интегральных уравнений; функции Грина, позволяющие наиболее экономно описывать сложные системы, формируют ядра этих уравнений. Имеется возможность поэтапно усложнять рассматриваемые конструкции, накапливая "библиотеку" функций Грина систем и трактуя эти системы как подсистемы более сложных систем. Такой подход отвечает усложнению машин, позволяя расширять область решаемых задач при небольших изменениях разработанной методики.
Рассмотрение показало, что несмотря на наличие общей математической теории решения линейных интегральных уравнений, число работ по применению рядов Фредгольма на практике невелико и не отработана инженерная реализация метода Фредгольма. Существует необходимость доведения общей теории интегральных уравнений до инженерных расчетов. В этом плане желательны формулы по существу простые, алгебраические, но обладающие высокой точностью, малой трудоемкостью и исключающие возможность ошибок в процессе проведения расчетов ввиду отсутствия сложных выкладок. Поэтому была предпринята разработка методики решения задач на собственные значения с помощью метода Фредгольма. Предметом исследования являлось решение задач на собственные значения колебательного происхождения для линейных интегральных уравнений Фредгольма 2 рода (и их систем), особенностью которых является наличие внеинтегральных сумм, где фигурируют скачки неизвестных функций (упругие системы с непрерывно-распределенными и сосредоточенными массами). Требовалось получить удобные расчетные формулы для коэффициентов ряда Фредгольма, что позволяло бы решать различные прикладные задачи (определение собственных частот и форм колебаний) с требуемой точностью и способствовало бы дальнейшему внедрению интегрального подхода в практику инженерных расчетов. Причем при разработке этих формул следовало стремиться к явному включению в их структуру функций Грина и производных от них итерированных ядер для возможности построения эффективных решений.
Работа содержит введение, 4 главы, выводы и список литературы.
В первой главе проводится обзор и анализируются работы до решению задач колебаний на основе теории интегральных уравнений, рассматриваются формулы, разработанные для решения инженерных задач, и определяются задачи исследования.
Вторая глава посвящена разработке методики решения задач на собственные значения с помощью рядов Фредгольма. Получаются различные формулы и строятся расчетные алгоритмы для нахождения коэффициентов ряда Фредгольма упругих систем с распределенными и сосредоточенными массами.
В третьей главе рассматриваются некоторые математические вопросы и особенности применения метода интегральных уравнений - изучаются вопросы точности и сходимости, проводится апробация методики на примерах, выполняется сравнение расчетных формул.
В четвертой главе методом интегральных уравнений решаются некоторые задачи на колебаний упругих конструкций. Получаются непосредственные расчетные формулы для определения частот собственных раздельных и совместных колебаний.
В выводах излагаются основные результаты исследования.
Основные положения, которые выносятся на защиту, сформулированы следующим образом.
1. Разработан приближенный алгоритм для решения задач на собственные значения с помощью метода рядов Фредгольма (инженерная реализация теории Фредгольма).
2. Выполнено обоснование и апробация предлагаемой инженерной реализации метода интегральных уравнений. Доказана сходимость определяемых при обрывании ряда Фредгольма приближений к собственным значениям краевой задачи, описываемой линейным интегральным уравнением 2 рода. Показано удобство входящих в алгоритм расчетных формул для коэффициентов ряда.
3. Алгоритм применен к решению инженерных задач колебаний, что позволило разработать методики расчетного характера на определенном уровне постановки задач.
4. Выяснены возможности методы рядов Фредгольма и его предложения для широкого использования в современных задачах проектирования и расчета конструкционных систем и элементов, тем самым внесена ясность в вопросе практической полезности рядов Фредгольма.
5. Выяснен ряд моментов в теоретическом плане. Обращено внимание на особую роль итерированных ядер и их следов в аппарате интегральных уравнений, введенных формально, и необходимость их всесторонней оценки, в частности, исследования их возможного физического смысла. Обнаружено глубокое свойство корней характеристического уравнения в методе Фредгольма, заключающееся в появлении комплексных значений при обрывании ряда. Эти значения, являющиеся характеристиками итерированных ядер, подлежат учету как несущие важную информацию о колебаниях.
Интегральное уравнение собственных изгибннх и крутильных колебаний упругих систем с сосредото ченными массами
В работе [7] для балки, совершающей гармонические колебания кручения с амплитудой у/?) и частотой р приводится следующее интегральное уравнение где St- - относительная абсцисса точки приложения і -й сосредоточенной массы; Hfcs) - функция Грина - угол закручивания в сечении с абсциссою Н от действия единичной пары, приложенной в сечении с абсциссою s ; Jm - погонный момент инерции массы; {Jn. - момент инерции і - й сосредоточенной массы; г - число сосредоточенных масс; Л = р - квадрат круговой частоты.
Для консольного стержня функция Грина равна где t - длина стержня, Q 7 - жесткость стержня на кручение (из-за интегрирования по относительному расстоянию п - кратному интегрированию соответствует множитель І ). Функция Грина для широкого класса задач обладает свойством симметрии /-//2,5)= N(s/ г) , поэтому зная значение Hfzs) для 2 s по закону Максвелла можно записать A//?,s) для г - 15 -Для крутильных колебаний ядра уравнения имеют вид так что имеем интегральное уравнение колебаний у(г)=Ъ 1 РМ /&) + Л \ И ! , №) ds . (1.7) Это уравнение годится и дою изгибных колебаний, только ядра в этом случае будут равны где G( ,s) - прогиб в точке г от единичной силы, приложенной в точке S f mfs) - погонная масса, /Vt- - і -я сосредоточенная масса. Уравнение (1.5) будет однородным уравнением 2-го рода, если рассматривать определение интеграла по Стильтьесу
К нагруженному интегральному уравнению применима полностью теория обыкновенных интегральных уравнений, если в ней заменить обыкновенные дифференциалы «$,« ,... на дифференциалы Стильтьеса [20] По аналогии с раздельными колебаниями применялась теория Фред-гольма о разложении функции D(2) в ряд по степеням Д и частота определялась из уравнения 0(0 )-0
Для коэффициентов Фредгольма и и с1г справедливы формулы (I.I2), в которых верхний предел интегрирования надо заменить на 2.
А.И.Некрасовым был предложен непосредственный способ изучения системы /г линейных интегральных уравнений с п неизвестными функциями, т.е. без приведения к одному уравнению. Решая задачу о критической скорости флаттера крыла самолета с двигателями, он получил два совместных уравнения с характеристическим параметром р г Здесь Я.= р f ТІ2= і t p входит также в ядра уравнений.
А.И.Некрасов пишет: "Фредгольм показал, что путем применения искусственного приема системы интегральных уравнений можно привести к одному интегральному уравнению (Фредгольма) $5с.20/ Далее А.И.Некрасов отмечает, что прием Фредгольма практически неудобен. "Применительно к подобной системе было показано, что она имеет решение, не тождественно равное нулю, лишь в том случае, если равно нулю выражение 0(Уіі,]\г) , представляющее некоторую целую функцию параметров Л, и СДг » аналогичное выражению Фредгольма. Полагая 0/л,:А2)=О, получаем в системе координат 0ъ г «линию, вдоль которой только и возможны решения системы (І.І5), отличные от нуля. Может случится, например, что параметр Ла будет задан. Тогда система (І.І5) будет иметь решения лишь в точках, в которых прямая, параллельная оси Ол, и отстоящая от нее на расстоянии Да , пересекает нашу линию" /[5І] , с.20/.
В отличие от вариационных методов, требующих первоначального нахождения собственных функций, в методах интегральных уравнений требуется определять функции Грина - функции влияния упругой системы. Этот вопрос очень важен и в литературе отмечается, что " разработка простых методов приближенного построения функций Грина для ряда краевых задач теории колебаний, исходя из ее физического смысла, представляет большой интерес и существенно расширила бы возможность применения интегральных уравнений" ( 3д , с.39). Известно, что функции Грина позволяют наиболее экономно описывать сложные физические системы: "Имеется возможность совершенствовать методы исследования отдельных подсистем, накапливая "библиотеку" гриновских операторов сложных физических систем. Если вначале система рассматривалась как сложная физическая система, состоящая из нескольких подсистем, то после построения ее гриновского оператора она, в свою очередь, может считаться одним из элементов еще более сложной системы" ( [і], с.5).
Интегральное уравнение может быть получено как с помощью явного построения функции Грина, так и путем непосредственного получения интегральных уравнений из дифференциальных.
Как несложный метод определения функций Грина упругих балок, пластин, трехмерных тел в литературе известен энергетический метод их определения по потенциальной энергии системы при приложении усилий PLM и PjN в точках N и N
Здесь L,j, - направления действующих усилий и по которым рассматриваются перемещения, GijfMjN)- перемещение точки М в направлении і при действии единичного усилия в точке N по направлению J, ( ,,/= , 2,.../г , где /г - число степеней свободы системы).
Для изгибных колебаний консольно заделанной балки (рис.1.1а) функция Грина должна удовлетворять уравнению [7] расстояние от заделки балки до данного сечения,
Си - жесткость балки на изгиб), а также граничным условиям, условию непрерывности в точке Z=S функции и ее первых двух производных и условию прерывности третьей производной. Уравнение (I.I7) и эти условия позволяют получить выражение Такое же выражение дает энергетический метод.
Для определения функций Грина необходимо знать значения жесткостей, которые могут быть заданы аналитически или табличным способом. Остановимся на двух способах вычисления функции Грина при табличном задании исходных данных.
Получение рекуррентных формул для коэффициентов Фредгольма применительно к расчету высших тонов собственных колебаний упругих систем с сосредото ченной массой и их модификация
А.И.Некрасов отметил практическую неудобность приема Фредгольма для системы линейных интегральных уравнений и предложил непосредственный способ ее изучения p2j .
А.Оно сравнил частоту I тона колебаний консольного стержня по методу Рэйлея и методу интегральных уравнений (использование 1-го приближения из уравнения Фредгольма со строгим решением задачи. При этом момент инерции и длощадь доперечного сечения стержня менялись по аналитическим линейным законам І69І.
Ф.Ван ден Дунген применил интегральные уравнения к случаю стержня, несущего маховые колеса (сосредоточенные массы) [72].
Е.Швернн использовал метод интегральных уравнений для определения частот и форм (2 тона) изгибных колебаний стержня без сосредоточенных масс, у которого момент инерции и площадь поперечного сечения изменялись по аналитическим квадратическим законам. Ядро уравнения разлагалось в ряд Фурье и применялась теория интегральных уравнений с ядрами полиномами [7Ї .
Р.Иглич применил метод интегральных уравнений для расчета собственных значений краевой задачи - дифференциальное уравнение 2 порядка с однородными граничными условиями. Были предложены приближенные рекуррентные формулы для коэффициентов ряда Фредгольма в случае разложения в степенной ряд функции Грина и весовой функции, произведение которых представляет ядро интегрального уравнения. Распространение методики йглича на случай уравнения 4 порядка осуществила В.А.Щименко (в рассмотренном примере вычислены приближенно 4 коэффициента ряда Фредгольма и определены 2 тона) [2б .
И.В.Ананьевым был разработан метод определения частот собст венных раздельных и совместных колебаний крыла самолета с сосредоточенными массами на основе теории Фредгольма решения интегральных уравнений. Применение последней дало достаточные для практики результаты. Б работе удерживалось 2 члена ряда Фредгольма (2 тона колебаний) и использовались аналитические выражения жесткостей, погонной массы и погонного момента инерции шоо крши ври вычислении фунадии Ірина [?].
А.И.Некрасов использовал теорию интегральных уравнений для решения задачи по определению критической скорости флаттера крыла самолета с двигателями. Решение основывалось на детерминантах Фредгольма (2 коэффициента ряда) [щ . В другой работе он наметил теоретическое решение задачи о влиянии упругой подвески двигателя на флаттер крыла
А.Ф.Вещань рассмотрел машинный способ определения первых собственных значений однородных интегральных уравнений. Он основан на построении и использовании моделирующего устройства для реализации изложенного в работе И.В.Ананьева метода в случае непрерывной формы аппроксимации ядра [іб .
Метод последовательных приближений применяли, например, А.И.Комай зз , А.Ф.І ров [23 , В.М.Марченко [4l , метод Еильбер-та-Шмидта - Пенни и Рид 70 , Я.М.Пархомовский [5б и др.
Необходимо отметить также исследования Е.П.Гроссмана, Д.Ю.Панова, П.М.Риза и С.А.Тумаркина ( развитие метода краевых интегральных уравнений), а также Ф.Р.Гантмахера, С.Г.Михлина, Я.Л.Вудельмана, А.Н.Голубенцева, МЛ.Краснова, А.С.Меляховец-кого, В.М.Шалова.
Проведенное рассмотрение показало, что несмотря на наличие общей математической теории решения линейных интегральных уравнений, число работ по применению рядов Фредгольма на практике невелико и не отработана инженерная реализация метода Фредголь-ма. Малое распространение этого метода в приложениях в значительной степени обусловлено трудностью расчетов коэффициентов ряда. Учитывая затруднительность использования детерминантных формул (1.3), рекомендуют применение рекуррентных формул (1.4). Однако вычисления показывают, что они также неудобны. Для решения интегрального уравнения колебаний упругих систем с сосредоточенными массами (1.7) в литературе имеются детерминантные формулы (І.І2) для определения только первых двух коэффициентов ряда. Рекуррентные же формулы (1.4) непосредственно применимы для расчета колебаний упругих систем, не имеющих сосредоточенных масс. В случае упругих систем с сосредоточенными массами возможно применение формул (1.4), если интеграл понимать в смысле Стильтьеса и всюду обыкновенные дифференциалы заменить на дифференциалы Стильтьеса. Однако желательны формулы в более завершенном виде, пригодные для решения различных задач без необходимости проведения всякий раз промежуточных операций с интегралом Стильтьеса. Для решения систем интегральных уравнений имеются две методики, однако методика Фредгольма основана на сведении системы уравнений к одному интегральному уравнению, для которого справедливо сказанное о коэффициентах Фредгольма, а методика А.Й.Некрасова хотя и представляет непосредственный способ изучения системы и не основывается на ее сведении к одному уравнению, однако достроена на формулах в неудобной де-терминантной форме ( и только для первых двух коэффициентов ряда). Не исследован водрос об определении высших собственных значений, для чего требуется определение коэффициентов Фред-гольма больших номеров. Особого внимания заслуживают такие понятия, как итерированные ядра интегрального уравнения и их следы, которые в теории были введены формально, без исследования их возможного физического смысла и их роль не получила достаточной и всесторонней оценки, хотя можно строить эффективные решения на основе их. Необходима отработка достаточно эффективной практической методики определения итерированных ядер и их следов.
О совпадении результатов решений, даваемых методами интегральных и дифференциальных уравнений
Для рассмотренных в 3.2 консольно заделанных стержней достоянного сечения, у которых жесткость и погонная масса постоянны по длине, существует точное решение дифференциального уравнения колебаний. В качестве апробации методики представляет интерес показать совладение результатов решений, даваемых методами интегральных и дифференциальных уравнений. В 3.2 были получены формулы (3.1) и (3.2), справедливые для первых номеров коэффициентов Фредгольма. Покажем совпадение решений для формулы (3.2) ( формула (3.1) представляет ее частный случай при 3 =0 ).
Вначале докажем, что формула верна для любого П . Введем аналогично итерированным ядрам "приведенные итерированные функции Грина" Нетрудно получить их связь с итерированными ядрами
Можно показать, что для данного примера имеет место где Се и С - числовые коэффициенты ( п - индекс), образуемые по определенным законам. Так, причем Coo =0 )7 + Z, So(2i+Z) Где C s/ Оказывается, что y y = +y = C z . После подстановки этих выражений в формулы (2.11а,б) убеждаемся в справедливости формулы (3.2) для /2 любого. Доказательство как сложное и трудоемкое здесь опускаем. Отметим только, что в нем использованы метод математической индукции и бином Ньютона, а также применены некоторые рекуррентные соотношения.
Решение (циклическая частота) дифференциального уравнения крутильных колебаний стержня с одним заделанным и другим свободным концом имеет вид [9] где коэффициент р берется из трансцендентного уравнения частот cos А - кр sift в=0
Например, при К=0 уравнение соь л - О дает: z Ы=0Л Нетрудно заметить совпадение уравнения частот, получаемого методом интегральных уравнений, с уравнением (3.4). Подставляя cln выражая метрических функций в ряд Тэйлора, получим Свойство корней характетаистического уравнения
Исследуем влияние числа членов ряда Фредгольма на точность при отыскании частот применительно к рассмотренным примерам и покажем особое свойство корней уравнения частот, состоящее в появлении комплексных значений при обрывании ряда Фредгольма.
После получения коэффициентов Оп частоты определяются путем нахождения корней уравнения О(Х)=0 . Приравнивая нулю п членов ряда, получаем приближенное уравнение п порядка для определения частот в соответствующих приближениях. Для взятых примеров ядро является симметричным. Существует теорема, например, [46] , в которой доказывается, что все характеристические числа симметричного ядра - действительные. Так получается и для данных примеров, если не усекать ряд в уравнении частот, т.е. привести уравнение частот к виду (3.4). Если же обрывать ряд и решать полученное приближенное уравнение, то наряду с действительными характеристическими числами могут получаться и комплексные.
Рассмотрим первый пример: / =уу= о (балка без сосредо точенной массы). Уравнение частот для имеет вид Погрешность для I тона уже только 1,3$, но частота завышена, для 2 тона - 34,7$ - частота занижена.
Дальнейшее рассмотрение показывает на последовательное приближение к точному значению, причем для трехзначного совпадения цифр после запятой достаточно 3-4 приближений. Начиная с /?=3 вместе с действительными корнями появляются и пары комплексно-сопряженных корней. Кубическое уравнение имеет один действительный и два мнимых корня:
Циклическая частота для \ будет (погрешность равна 1%) v% 2 tfP У 7 (основной тон в 3 приближении). действительное приближение 2 тона будет присутствовать в уравнении 4 порядка (2 тон во 2 приближении). Отметим, что действительные значения I тона присутствуют в уравнениях всех порядков.
Для анализа свойств корней и точностей расчета составлены таблицы 3.1-3.4. В таблице 3.1 показано, какие тона и в каком приближении появляются в последовательных уравнениях частот для К- 0 . Пропуски в столбцах таблицы 3.1 означают отсутствие действительных приближений тонов в уравнениях, порядок которых указан в левом столбце. В таблице 3.3 приведены значения и точность приближений, а также результаты решения трансцендентного уравнения частот (3.4). Из уравнения (3.4) находим и частоту определяем по формуле (3.3). Точные значения тонов ( J3 ) указаны во второй сверху строке.
Для примера 2 тона и приближения показаны в случаях к=0 и 1 в таблице 3.1, для случаев И- /, W и ВО - в таблице 3.2. Значения и точность приближений даны в таблице 3.4 для и= і . Отметим, что удерживалось 2 знака после запятой в значениях . Знаки погрешности "+" и "-" означают завышение и занижение частоты. Анализ показывает, что точность расчетов по методу интегральных уравнений выше в случае наличия сосредоточенной массы.
Расчет высших тонов собственных крутильных колебаний упругих систем с сосредоточенными массами
Рассмотренная комплексная задача включала учет влияния упругости крепления двигателя, который может иметь поступательные и угловые перемещения относительно крыла, а также влияния жесткостей заделки крыла относительно поперечных и угловых перемещений (повороты поперечных сечений крыла как балки при изгибе), кроме того, учитывалось наличие упругой заделки крыла на кручение. При записе системы интегральных уравнений колебаний крыла с двигателем использовалась методика составления интегральных уравнений А.И.Некрасова, разработанная в работах [бі] , [52] . В работе [52] им была рассмотрена задача об определении критической скорости флаттера крыла самолета с упруго прикрепленным мотором. Нами заимствованы из этой работы дифференциальные уравнения, учитывающие упругость крепления двигателя. Отметим, что в работе [52] было лишь намечено теоретическое решение задачи и только в случае абсолютно жесткой заделки крыла. При этом для решения системы интегральных уравнений предлагалось использовать детерминанты Фредгольма. В нашем случае вывод приближенных уравнений частот основывался на рекуррентных формулах для решения систем интегральных уравнений, выведенных в главе 2. Выведены формулы, непосредственно применимые для расчета собственных частот таких элементов конструкций, как например, крыло или стабилизатор, если только решение задачи в балочной постановке представляется приемлемым.
В случае кручения стержня, жесткость упругой заделки которого на левом конце /? (относительно крутильных перемещений стержня) функция Грина будет равна
При записе интегральных уравнений колебаний крыла используем методику А.И.Некрасова учета упругости крепления двигателя к крылу согласно работе [52[ и принимаем оси координат и обозначения, предложенные в ней (ось Он совпадает с положительным направлением оси жесткости). Обозначения составят: М - масса двигателя, ґп - погонная масса крыла, б - расстояние центра тяжести от центра жесткости в рассматриваемом сечении, С - жесткость крыла на изгиб, С#р - жесткость крыла на кручение, Um - погонный момент инерции массы крыла относительно оси жесткости, Jм - момент инерции двигателя, массовый, относительно положения крепления двигателя, 6 - длина полукрыла, , - абсцисса точки приложения сосредоточенной массы (координата центра тяжести двигателя по оси г ), р - круговая частота.
По методике А.И.Некрасова двигатель рассматривается как тело, центры тяжести которого расположены на прямой ВМ:точка М (представляет центр тяжести всего двигателя) находится на конце абсолютно твердого стержня 8М= с , который может вращаться вокруг точки В, а точка В может перемещаться по прямой ВА, перпендикулярной к ЕА= а - следу плана крыла ( Е - центр жесткости). Упругие силы действуют относительно вращения стержня ВМ и перемещения точки В по прямой, перпендикулярной к ЕА.
Система уравнений относительно амплитудных значений прогибов и углов закручивания крыла будет иметь вид (выражения ядер здесь опускаем)
Дадим описание расчета пространственных колебаний балок с переменными параметрами, идеализирующих вертолетные лопасти. Учитывается совместность крутильных колебаний лопасти и ее изгиб-ных колебаний в плоскостях взмаха и вращения. Учет компенсатора взмаха, как не оказывающего сколь-нибудь заметного влияния на частоты собственных колебаний лопасти [бо] , не проводится. При составлении расчетного алгоритма также использованы модифицированные рекуррентные формулы. Окончательные формулы, непосредственно применимые для расчета собственных частот лопастей, ограничены 2 приближением, хотя задачу можно решать точнее путем простого дополнения выражений в алгоритме. Тоже самое относится к числу рассматриваемых тонов колебаний лопасти. При выводе интегральных уравнений используется полученная в работе [бб система дифференциальных уравнений равновесия лопасти с несовпадающими упругой осью и осью центров масс, растянутой центробежными силами. Исходная задача при этом последовательно приводится к решению интегро-дифференциальных уравнений, а затем к решению интегральных уравнений (подобная методика находит место в работе [39] ).
Относительно необходимости разработки данной методики можно сказать следующее. В литературе отмечалось, что направление дальнейших исследований должно определяться такими основными задачами, как учет связанности колебаний лопасти, устранение возможно большего числа физических допущений при расчете, теоретическая оценка погрешности приближенного решения. В работе также отмечается полезность возможности выполнения расчета частот собственных изгибно-крутилышх колебаний в ряде конкретных случаев на практике. Подобные задачи можно успешно решать на основе теории интегральных уравнений, реализующей ряд преимуществ. Расчету вертолетных лопастей методом интегральных уравнений, однако, было посвящено сравнительно небольшое число работ. Например, в работе [4l] получены интегральные уравнения и на основе метода последовательных приближений разработаны программы для определения собственных форм и частот несвязанных изгибных колебаний вращающихся лопастей самолетных и вертолетных винтов и крутильных колебаний лопастей этих винтов. В другой работе был разработан метод расчета пространственных колебаний растянутой балки с переменными по длине упругими и массовыми характеристиками: использовались результаты работы [24] по разложению.резольвенты симметричного ядра в специальный равномерно сходящийся ряд. Однако при этом предполагалось совпадение линий центров тяжести и центров жесткости сечений лопасти. В данной работе предпринято решение более общей задачи: I) колебания связаны, 2) линии центров тяжести и центров жесткости сечений лопасти не совпадают, 3) ядра интегральных уравнений движения лопастей могут быть и несимметричными.
