Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения 10
1.1 Общая теория групп 10
1.2 Классы скрученной сопряженности 11
1.3 Теория колец и полей 17
1.4 Теория линейных групп
1.4.1 Общая и специальная линейные группы 22
1.4.2 Симплектические группы 24
1.4.3 Ортогональные группы 25
1.5 Группы Шевалле 27
1.5.1 Группы Шевалле нормального типа 29
Глава 2. Свойство Roo для линейных групп 41
2.1 Группы Шевалле над кольцом 41
2.1.1 Группы Шевалле типа А\ 41
2.1.2 Группы Шевалле типа B Di 53
2.1.3 Группы Шевалле типа С/ 58
2.2 Группы Шевалле над полем 61
Глава 3. Класс скрученной сопряженности единичного элемента 76
3.1 Простейшие свойства, известные результаты и примеры 76
3.2 Внутренние автоморфизмы 80
3.3 Простые группы и группы подстановок 86
3.4 Абелевы, нильпотентные и разрешимые группы 88
3.5 Группы Шевалле 97
Заключение 99
Литература
- Теория колец и полей
- Общая и специальная линейные группы
- Группы Шевалле типа B Di
- Простые группы и группы подстановок
Теория колец и полей
Сюрьективность отображение / следует из того, что каждый класс [x]v имеет в качестве прообраза относительно отображения / класс [хд 1]срдср, следовательно / устанавливает биекцию между всеми классами ( -сопряженности и всеми классами ( -сопряженности. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 Говорят, что группа G обладает свойством R (или G является Rev-группой), если число R(f) бесконечно для любого автоморфизма группы G.
Справедливо следующее утверждение, связывающее число классов скрученной сопряженности в группе и факторгруппе. ЛЕММА 2 Пусть имеет место короткая точная последовательность где N - характеристическая подгруппа группы G. Пусть также if - некоторый автоморфизм группы G, ф - автоморфизм группы А, индуцированный автоморфизмом if, а ф - сужение автоморфизма if на группу N. Тогда 1. R(if) R(if). 2. Если А - конечная группа и R(ift) = оо; то R(f) = оо. 3. Если N - конечная группа и R(f) = оо; то R(if) = оо. Доказательство. Обозначим через х образ элемента х под действием естественного гомоморфизма G — A = G/N, тогда (р(х) = f{x). 1. Если для элементов ж, у группы G выполнено х у, то для некоторого элемента z группы G выполнено равенство х = zyip(z l). Факторизуя это равенство по подгруппе N получаем х = zyif(z l). Таким образом доказано, что образы (относительно естественного гомоморфизма) скрученно -сопряженных элементов группы G являются скрученно ( -сопряженными в группе А, т.е. образ класса [x\v в группе А полностью содержит класс [х]$. Следовательно число R(f) не меньше числа R((p). 2. Пусть хі, Х2-, - бесконечное множество таких элементов группы N: что ХІ о ф Xj при і ф j (такое множество элементов существует, так как R(ift) = оо). Допусти, что R(f) оо, тогда среди элементов Х\,Х2, существует бесконечное подмножество -сопряженных элементов. Не ограничивая общНОСТИ, МОЖНО СЧИТаТЬ, ЧТО ВСе ЭЛемеНТЫ Жі,Ж2,... являются ( -сопряженными, т.е. для некоторых элементов 2/2, 2/з, выполнены равенства xi=ylxlif{y l)1 і = 2,3,... (1.4)
Переходя к прообразам в группе G, имеем для некоторых элементов 2/1,2/2,--- группы G и для некоторых элементов zi,Z2,... группы N равенства хі = Уіхцр{уі)хі, і = 2,3,... Так как N - конечна, то для некоторых индексов і ф j выполнено равенство Zi = Zj, следовательно yixiif(y 1)zi = Xi = yjXjip(yjl)zi. Умножая это равенство на у 1 слева и на z ltp(yi) справа приходим к ра венству Х{ = {y lyj)xjif{{y lyj) l)) которое означает, что Х{ Xj) что противоречит выбору набора х\, Х2, Из этого предложения вытекает, в частности, следующее утверждение СЛЕДСТВИЕ 1 Пусть имеет место короткая точная последовательность где N - характеристическая подгруппы группы G. Тогда 1. Если группа А обладает свойством R , то группа G также обладает свойством ROQ. 2. Если А - конечная группа и N обладает свойством Roo, то G также обладает свойством R . 3. Если N - конечная группа, G обладает свойством R и всякий автоморфизм группы А поднимается до автоморфизма группы G, то А обладает свойством R .
В работе [21] изложено другое доказательство следствия 1, которое содержит неточность в формулировке третьего пункта: отсутствует условие того, что произвольный автоморфизм группы А поднимается до автоморфизма группы G, однако этот факт неявно используется при доказательстве.
Множество Specn(G) = {R{(p) \ р є AutG} всех чисел Райдемайстера автоморфизмов группы G называется спектром Рай-демайстера группы G. Очевидно, что группа G обладает свойством R тогда и только тогда, когда SpecR(G) = {оо}. 1.3 Теория колец и полей
Под целостным кольцом в данной работе понимается ассоциативное, коммутативное кольцо без делителей нуля, которое содержит нейтральный по умножению элемент 1. Если R - целостное кольцо, то символом R обозначается мультипликативная группы кольца R. Для поля F символом char(T) обозначается характеристика поля F. Так как произвольное целостное кольцо R вкладывается в некоторое поле Т, то можно определить характеристику целостного кольца Л, положив ее равной характеристике поля F. Запись F\L обозначает, что поле F является расширением поля L (или L является подполем F).
Символами Z, Zp и Z[i] обозначаются соответственно кольцо целых чисел, кольцо целых р-адических чисел и кольцо гауссовых целых чисел. Через Q, К, Qp обозначаются соответственно поле рациональных чисел, поле вещественных чисел и поле р-адических чисел.
Символом F обозначается алгебраическое замыкание поля F. Если R и F - соответственно кольцо и поле, а Ті, Т2,... - некоторые переменные, то символами і2[Ті,Т2,... ] и Т(Ті, Т2,...) обозначаются соответственно кольцо многочленов над R и поле рациональных функций над F от переменных Ті,Т2,.... Ес
Пусть F\L - расширение поля L. Элементы xi,...,Xk называются алгебраически независимыми над L, если ни для какого многочлена /(Ті,..., Т&) ф 0 с коэффициентами из поля L не выполняется равенство f(xi,... ,Xk) = 0. Максимальное множество алгебраически независимых элементов поля F над L называется базисом трансцендентности поля F
Общая и специальная линейные группы
В силу предложения 9 присоединенная группа Шевалле Ai(R) изоморфна группе PSL/__i(i?), универсальная группа Шевалле типа А\ изоморфна группе SL/+i(i?), поэтому далее, всюду в этом параграфе, будем использовать классическое матричное представление групп Шевалле типа
В данном параграфе установлено свойство Лоо для групп Шевалле типа А\ над целостным кольцом R. Параллельно рассматривается общая линейная группа GL/+i(i?) и устанавливается свойство ROQ ДЛЯ нее. ТЕОРЕМА 1 Пусть G - общая линейная группа GL/__i(_R) или специальная линейная группа Shi+i(R), где I 2, a R - бесконечное целостное кольцо. Пусть также Н - подгруппа группы Aut(G), порожденная внутренними, центральными и контраградиентным автоморфизмами. Тогда для всякого if из Н число классов скрученной р-сопряженности группы G бесконечно. В частности, если кольцо R таково, что Н = Aut(G), то группа G обладает свойством R .
Доказательство. Пусть ер Є Н, тогда ср = f\ ... /s, где f\ - либо внутренний, либо центральный, либо контраградиентный автоморфизм. Пользуясь нормальностью подгруппы внутренних автоморфизмов и подгруппы центральных автоморфизмов в группе всех автоморфизмов, можем переписать р следующим образом:
Чтобы доказать, что количество классов скрученной ср - сопряжённости бесконечно, т. е. R((f) = оо, нужно указать бесконечное число попарно различных классов ( -сопряженности. В силу установленного равенства (2.1) достаточно найти бесконечное семейство матриц Ai,A2,... из Shi+i(R) таких, что ни для каких различных і и j не существует матрицы С из G, для которой выполнено равенство
По лемме 4, множество Р = {bl+l : Ъ Є R} бесконечно. Пусть (} -бесконечный набор элементов кольца R такой, что b\+l ф bl+l при і ф j. Несложно построить набор матриц i, 2,--- с заданным определителем i, у которых tr(Bi) = bi. Таковыми являются, например, следующие матрицы:
Обозначив снова В І = AiD: приходим к задаче построения таких матриц i, 2, с заданным определителем d: что ни для каких различных і и j не существует матрицы С из G, для которой справедливо равенство
Рассмотрим матрицы X и Y из Gl i?) с фиксированным определителем d и найдём необходимое условие того, что для некоторых обратимых матриц Z и Т = diag(,) выполнено равенство В силу леммы 4, множество Р = {Ь2 : Ь Є R] бесконечно. Пусть {bj} - бесконечный набор элементов кольца R такой, что Ь2 Щ при г ф j. Примером бесконечного набора матриц i, 2,--- из GL2(-R) с заданным определителем d, у которого atr(Bj) = Ь,и может служить следующий набор не может быть выполнено ни для каких матриц С и F = diag(/, /) из GL2(-R). Так как (аіт(Ві))2 ф (atr(Bj))2 при і ф j, то среди atr(Bj) может быть только один нулевой элемент. Выбросив матрицу с нулевым антиследом, получим, что все ВІ - несимметрические матрицы.
Пусть теперь Bi = 7/_і 0 ВІ. Утверждается, что і, 2, - искомый набор попарно не -сопряженных матриц. Действительно, допустим, что для некоторых і ф j матрицы ВІ И BJ связаны соотношением (2.3). Это или, что эквивалентно, Из последнего равенства, а также из того, что е и (Bj — Bj) обратимы (так как Bj - несимметричная матрица 2-го порядка), следует, что Ът = 2x(/-i)- Тогда равенство (2.5) примет вид c\Ii-\aaT = 7/_i, откуда следует обратимость матрицы а. Из (2.6) следует равенство ст = 0(/_i)X2- Наконец, из (2.8), имеем Вг = eBjCiI2eT, но это противоречит выбору i, 2,--- Следовательно, такой матрицы С не существует. Также det(-Bj) = det(Bi): следовательно Д; - действительно искомый набор, а значит, R((p) = 00. П ТЕОРЕМА 2 Пусть G - общая линейная группа GL/__i(_R) или специальная линейная группа Shi+i(R), где I 2, a R - целостное кольцо. Если R имеет нулевую характеристику и группа автоморфизмов кольца R периодична, то G обладает свойством R . Доказательство. Так как группа автоморфизмов кольца R периодична,
то для любого кольцевого автоморфизма 5 существует натуральное число —к к, для которого 5 = id. Рассмотрим автоморфизм ср = АтГ6 и покажем, что для всякого обратимого элемента d кольца R существует бесконечный набор матриц Ai,A2,... из GL/__i(i?) с определителем d таких, что ни для каких различных г и j матрицы АІ И AJ не являются ( -сопряженными. В зависимости от чётности т возможны два случая.
Случай 1: т - четно. Тогда (р = Г6. Матрицы X и Y из G будут скрученно ( "-сопряженными, если существует матрица Z из G, для которой выполнено равенство В силу этого равенства достаточно найти бесконечное семейство матриц Аі, А2,... из GL/__i(i?) с определителем d таких, что ни для каких различных г и j не существует матрицы С из G, для которой выполнено равенство
Замечание. Вообще говоря, доказательство второго случая теоремы 1 можно было провести аналогично доказательству второго случая теоремы 2, не вовлекая нового определения антиследа. Однако автор предпочел работать в терминах матриц АІ: а не АІА(АІ). Более того, использование антиследа по мнению автора дает более изящное доказательство.
Пусть R - целостное кольцо нулевой характеристики, обладающее периодической группой автоморфизмов, a G - либо группа Ше-валле типа А\ над кольцом R либо общая линейная группа Ghi+i(R) и I 2. Тогда G обладает свойством R . В частности, если R - одно из колец Ъ[г], Ж, Zp, Qp (для некоторого простого числар), Q(x) (для некоторого алгебраического над Q элемента х), либо R - произвольное подкольцо в Q; содержащее кольцо Ъ, то группа Шевалле типа А\ над кольцом R и общая линейная группа Ghi+i(R) при I 2 обладают свойством R .
Группы Шевалле типа B Di
По определению класс скрученной ( -сопряженности элемента х имеет вид [x]f = {zx(f(z l) z Є G} = {z lxp(z) I z Є G}. В частности, если p = ph - автоморфизм-сопряжение, то, для упрощения записи, вместо [x\iph будем писать [х]н- Тогда [%}h = {zxiph{z l) = zxhz lh l I z Є G}. Непосредственно из определения следует, что если є - тривиальный эндоморфизм группы G, т. е. s{G) = є, то [е]є = G. С другой стороны, для тождественного автоморфизма id группы G класс [e]id содержит только единичный элемент е. В работе [23] А. Фелынтыным и Е. Троицким установлено следующее утверждение о классе скрученной сопряженности единичного элемента в абелевой группе.
Если G - абелева группа, то класс скрученной сопряженности [e]v единичного элемента является подгруппой для любого автоморфизма р Є Aut(G); при этом любой другой класс (р-сопряженности является смежным классом по этой подгруппе.
Из этого предложения вытекает, в частности, что если G - абелева группа, a tp - некоторый ее автоморфизм, то R{p) = \G : [е] . В работе [20] установлена формула для вычисления числа R(p) в случае конечно порожденных нильпотентных групп без кручения, в которой также используется класс скрученной сопряженности единичного элемента. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 13 ( [20], лемма 2.1) Пусть G - конечно порожденная нильпотентная группа без кручения ступени нильпотентности k, ip -некоторый ее автоморфизм, а
Построенный ниже пример показывает, что в общем случае включение [є] ф Q [е] р[е]ф строгое. Более того, этот пример показывает, что из того, что классы [e\v и [e\v являются подгруппами для автоморфизмов (риф еще не следует, что класс [е] является подгруппой. Пример. Рассмотрим свободную двупорожденную двуступенно нильпо-тентную группу N = N2 2 со свободными порождающими ж, у и два ее автоморфизма
Покажем, что предложение 12 перестает быть справедливым уже для группы подстановок 5з, которая является полупрямым расширением циклической группы порядка 3 при помощи циклической группы второго порядка. Пример. Рассмотрим группу подстановок на трех символах
Доказательство следует непосредственно из определения. Хорошо известно (см., например, [39, теорема 2.5.6]), что число элементов, сопряженных с элементом g в G равно \gG\ = \G : Nc(g)\- Из этого равенства и предыдущего предложения легко получаем такое
Следовательно, класс [е\и образует подгруппу тогда и только тогда, когда множество коммутаторов [G, h] образует подгруппу. В частности, для любых элементов ж, у из G найдется элемент z Є G такой, что справедливо равенство а также для всякого элемента х Є G найдется элемент х Є G такой, что справедливо равенство [х) h] l = [х , h]. Отсюда следует, что примеры групп, для которых класс [е]и образует подгруппу для любого внутреннего автоморфизма cfh можно искать среди групп, у которых всякий элемент из коммутанта является коммутатором. Примерами таких групп являются симметрическая группа и знакопеременная группа. В следующем параграфе мы рассмотрим эти группы более подробно.
Следующая лемма очевидна. ЛЕММА 9 Класс [e]h, при е = h Є G, не содержит элемента h. Напомним (см. [39, 22]), что группа принадлежит классу Куроша -Черникова Z, если в ней всякую нормальную матрешку можно уплотнить до центральной матрешки. Справедлива ТЕОРЕМА 7 Пусть группа G такова, что для любого h Є G класс скрученной сопряженности [е]и является подгруппой группы G. Тогда группа G принадлежит классу Z. Доказательство. В книге Робинсона [46] получен следующий критерий принадлежности группы N классу Куроша - Черникова Z: группа N принадлежит классу Z тогда и только тогда, когда для всякого неединичного элемента h Є N выполняется условие:
Простые группы и группы подстановок
Для простых групп справедлива ТЕОРЕМА 10 Пусть G — простая неабелева группа, h — неединичный элемент из G. Тогда [е\и не является подгруппой в группе G. Доказательство. Будем рассуждать от противного. Пусть [e]h - подгруппа в группе G. По предложению 14 она является нормальной подгруппой. Так как G - простая группа, то [e]h = G. Это означает, что для любого элемента g Є G найдется элемент х Є G, для которого выполняется равенство
Возьмем д = h: получим [ж, h] = /г, т. е. h = е. Противоречие с тем, что h — неединичный элемент группы G. Теорема доказана. Замечание. Если в группе G класс [e]h является подгруппой, а по предложению 14 и нормальной подгруппой, то ввиду предложения 15 справедливо равенство [e]h = ([e]h)9 = И/із для любого д Є G. Поэтому, перебирая элементы /г, достаточно перебирать представители классов сопряженности.
Для знакопеременной группы справедливо ПРЕДЛОЖЕНИЕ 22 В группе Ап, п 4; найдется элемент h, для которого класс [e]h не является подгруппой.
Доказательство. При п 5 требуемое утверждение вытекает из предыдущего предложения. Рассмотрим группу Доказательство. Так как [e]h = [Sn, /г], то все элементы из [e]h лежат в Ап. Если [e]h является подгруппой, то по предложению 14 она является нормальной подгруппой. Учитывая, что центр группы Sn тривиален, заключаем, что множество [e]h содержит неединичные элементы, а потому совпадает с Ап. С другой стороны, по лемме 9 сам элемент h не принадлежит классу [e]h- Полученное противоречие и доказывает нужное утверждение.
Отметим, что группы 5з и АА являются полупрямыми расширениями абелевой группы при помощи циклической. Действительно, есть точная последовательность в которой Лз = 5 з и 5 з = Z3 X Z2, т. е 5з является расширением группы Z3 при помощи группы Z2. Аналогично, есть точная последовательность в которой КА = А А = 1 2 х 1 2: т- е _4 является расширением группы Z2 х Z2 при помощи группы Z3.
Как показано в предпоследнем примере параграфа 3.1, уже в дву-ступенно нильпотентных группах существуют автоморфизмы для которых класс скрученной сопряженности единичного элемента не является подгруппой. Тем не менее, для центральных автоморфизмов справедливо
Пусть G группа, a if : G — G - ее центральный автоморфизм. Тогда множество [e]v является подгруппой в G. Доказательство. Так как f - центральный автоморфизм группы G, то он действует по правилу Если при этом г = 2, то всякий IA-автоморфизм является центральным, а потому из доказанного предложения получаем такое Для всякого IА-автоморфизма f свободной двуступенно нильпотентной группы Nn класс [e]v является подгруппой. Покажем, что обобщить это утверждение на свободные нильпотентные группы произвольной ступени уже нельзя. В свободной трехступенно нильпотентной группе ранга 2 существует внутренний автоморфизм, для которого класс скрученной сопряженности единичного элемента не является подгруппой. Доказательство. Пусть G = Л з свободная 3-х ступенно нильпотентная группа ранга 2 с порождающими х,у: а ср - автоморфизм, действующий по правилу
Очевидно, что это /А-автоморфизм. Более того, ср является внутренним: ср = сру - сопряжение при помощи у.
Приведем описание классов скрученной сопряженности [e\v для всех эндоморфизмов f из End(G). В соответствии с предложением 15(1) достаточно выбрать представители множества End(G) по отношению сопряженности относительно группы Aut(G). Заметим, что любой эндоморфизм группы G определяется своим действием на порождающих ж, у. Так как ж, у — элементы второго порядка, то, учитывая определяющие соотношения группы G, получаем, что любое отображение
В верхней строке указано значение эндоморфизма на элементе ж, а в левом столбце — на элементе у. Буква А соответствует тому, что данной клетке отвечает автоморфизм, а буква Е соответствует тому, что данной клетке отвечает эндоморфизм (причем с нетривиальным ядром). Цифра после букв А, Е - номер класса сопряженности относительно элементов группы Aut(G).
Например, класс Е.О состоит из тривиального эндоморфизма є, действующего по правилу є(д) = е для любого д Є G. Класс А.О состоит из тождественного автоморфизма группы G.
В верхней строке данных таблиц указано значение эндоморфизма ср группы G на элементах х и у, в левом столбце перечислены все (за исключением единичного) элементы группы G, а на пересечении строки и столбца указан элемент g lf(g) для соответствующего элемента группы G и ее эндоморфизма. В случае, если все элементы вида g lf(g) образуют подгруппу, эта подгруппа указана в нижней строке. Итак, в группе G есть автоморфизм f (f(x) = у[х,у], f(y) = х), для которого класс [e]v не является подгруппой, но для любого эндоморфизма f из дополнения End(G)\Aut(G) класс [e\v является подгруппой.
