Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Кинетическое уравнение для квантовых ферми-газов 34
1.1. Релаксационное кинетическое уравнение 34
1.2. Уравнение для ферми-газов 39
1.2.1. Линеаризация нелинейного релаксационного кинетического уравнения Законы сохранения 43
1.2.2. Кинетическое уравнение 47
1.2.3. Векторное кинетическое уравнение 52
1.3. Постановка задачи максвелла о тепловом скольжении квантового ферми-газа 56
1.3.1. Постановка задачи 56
1.3.2. Уравнение состояния в квантовых газах 58
1.3.3. Линеаризация задачи 60
1.3.4. Уравнение для квантового ферми-газа в задаче о тепловом скольжении 66
Глава 2 Аналитическое решение задачи о тепловом скольжении 70
2.1. Постановка задачи и основные уравнения 70
2.2. Разделение переменных и характеристическое уравнение 75
2.3. Собственные функции непрерывного спектра 78
2.4. Дискретный спектр. Нули дисперсионной функции 82
2.5. Свойства дисперсионной функции 86
2.6. Теорема о решении однородной краевой задачи Римана 92
2.7. Интегральное представление факторизующей функции з
2.8. Факторизация дисперсионной функции 103
2.9. Теорема о разложение решения по собственным функциям характеристического уравнения
2.10. Максвелловское приближение задачи о тепловом скольжении 114
2.11. Массовая скорость и функция распределения 116
2.12. Предельные случаи 123
Заключение 129
Библиография
- Линеаризация нелинейного релаксационного кинетического уравнения Законы сохранения
- Уравнение состояния в квантовых газах
- Собственные функции непрерывного спектра
- Теорема о разложение решения по собственным функциям характеристического уравнения
Введение к работе
Актуальность темы. В работах основоположников статистической механики Дж Максвелла и Л Больцмана были получены уравнения, описывающие разреженный газ с короткодействующим бинарным межчастичным потенциалом В рамках кинетической теории разреженных газов были корректно описаны процессы перехода системы к равновесию и определены коэффициенты переноса (диффузии, вязкости, теплопроводности) через молекулярные характеристики вещества Подтвержденное на практике, уравнение Больцмана является в настоящее время основным инструментом теоретического анализа и численных расчетов самых разноплановых задач от проблем нестационарного обтекания тела в газовой динамике и описания химически реагирующих смесей до теории ядерных реакторов и релятивистских квантовых газов
Уравнение Больцмана - нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, и, как таковое, является очень сложным математическим объектом, аналитическое решение которого возможно только в простых частных случаях Поэтому усилия математиков были сосредоточены на анализе свойств этого уравнения, важнейшим из которых является закон возрастания энтропии, и разработке различных приближенных методов его решения К последним относятся и модификации уравнения Больцмана, упрощающие его математическую структуру, но сохраняющие свойства исходного уравнения и позволяющие получать явные решения Это простейшая модель газа без столкновений (столкновительный член равен нулю), модель с линеаризованным столкновительным членом по .малому отклонению функций распределения от локально-равновесного состояния, а также релаксационное приближение, использующее характерную частоту парных соударений частиц как параметр, определяющий скорость релаксации системы к равновесию
Релаксационное приближение было предложено в 1954 г в работе П Бхатнагара, Е Гросса и М Крука (Bhatnagar Р L , Gross Е Р , Krook М
Model for collision processes in gases II Phys Rev , 1954, V 94, p 511-524) для линейной аппроксимации столкновительного члена в уравнении Больцмана, называемое теперь уравнением БГК Как и исходное уравнение, оно является диссипативным, а метод его решения в виде ряда по степеням малого параметра приводит к уравнениям гидродинамики в форме Навье-Стокса
Вследствие относительной простоты уравнение БГК приобрело большую практическую значимость как для проведения численных расчетов, так и для теоретического анализа, поскольку допускает широкий класс точных аналитических решений Построению и исследованию точных решений уравнения БГК посвящено большое число публикаций Обзор современного состояния в этой области содержится в книге А Латышева и А Юшканова (Латышев А В, Юшканов А А Кинетические уравнения типа Вильямса и их точные решения - М МГОУ 2005 - 273с ) Успешное применение классического уравнения БГК для слабонеравновесных гидродинамических задач, таких, как описание стационарного погранслоя или отыскание стационарного решения для функции распределения газа во внешнем поле, естественным образом привело к идее обобщения метода релаксационного приближения на случай равновесных распределений, отличных от максвелловского В частности, интерес представляет релаксация к равновесным распределениям идеальных квантовых газов.
Как и в классическом случае, формальным основанием для изучения квантовых аналогов БГК-приближения должно быть соответствующее квантовое уравнение, описывающее бинарные столкновения Такое кинетическое уравнение, обобщающее классическое уравнение Больцмана на случай нерелятивистских квантовых газов, было выведено ЮлинГом и Уленбеком в 1933 г (Uehhng Е , Uhlenbeck G - Phys Rev , 1933,v 43,р 552)
Задача о нахождении решений уравнения БГК для квантовых газов имеет теоретическую значимость и актуальность в связи с возросшим практическим значением микроэлектроники, требующей, в частности, умения решать граничные задачи для электронного газа в проводниках Постановка и точное решение граничной задачи для кинетического уравнения представляет не только теоретическую, но и практическую важность, поскольку может быть применено к решению реальной физической задачи Постановки граничных задач для ферми-газа изучались в работе А Латышева и А Юшканова (Латышев А В , Юшканов А А Граничные задачи для квантового ферми-газа // ТМФ 2001 Т 129 № 3 С 491-502 ) Решения одной из таких задач для случая полностью диффузного отражения о г границы и посвящена настоящая диссертация
Цель работы. Цель работы заключается в постановке граничной задачи для кинетического уравнения, описывающего квантовый ферми-газ, с условием полного диффузного отражения от стенки, и аналитическом решении соответствующей стационарной задачи для слабонеравновесного случая в релаксационном приближении Бхатнагара-Гросса-Крука
Научная и практическая ценность работы. Результаты работы относятся к теории аналитических решений граничных задач для кинетических уравнений Проведенное исследование имеет два аспекта методологический и прикладной Мегодологическая ценность работы состоит в переносе методики решения граничной задачи для классического кинетического уравнения Больцмана в БГК-приближении на квантовый случай, когда равновесное распределение отлично от максвелловского, и в обосновании предложенного метода ее решения с учетом ферми-статистики Эта методика может быть полезна для решения модельных задач кинетической теории квантовых газов и жидкостей при низких температурах, теории электронного газа в металлах, теории
переноса нейтронов в плотных средах (нейтронных звездах), а также в задачах теоретической астрофизики
Прикладное значение полученных результатов состоит в том, что найдено явное аналитическое решение для стационарной функции распределения газа в полупространстве в задаче о тепловом скольжении с диффузным отражением Аналитическое решение позволило в явном виде определить физически важные параметры, характеризующие систему в целом коэффициент скольжения, массовую скорость газа и другие функционалы от функции распределения
Научная новизна работы. В диссертации получен ряд новых научных результатов, связанных с постановкой задачи и нахождения решения в явном виде
В работе построено релаксационное кинетическое уравнение, описывающее поведение квантовых ферми-газов в задаче о тепловом скольжении
Для решения граничной задачи в диссертации обосновано применение анзаца Кейза, получено и решено уравнение на собственные функции и собственные значения соответствующего интегрального оператора в пространстве обобщенных функций
В работе доказаны теоремы о факторизационных свойствах дисперсионной функции, с помощью которых доказана теорема о решении однородной краевой задачи Римана для рассматриваемого случая
Как основной результат, в диссертации найдено явное аналитическое решение поставленной граничной задачи для функции распределения и определены физически значимые функционалы -коэффициент теплового скольжения и массовая скорость газа в полупространстве
Проведен также анализ полученного решения, показывающий его правильную асимптотику в ряде предельных случаев - для классической
задачи Максвелла о тепловом скольжении газа с постоянной частотой столкновения молекул и в случае, когда частота столкновений пропорциональна молекулярной скорости В последнем случае дисперсионная функция задачи переходит в известную дисперсионную функцию плазмы
Апробация работы. Результаты проведенных исследований докладывались соискателем на научных семинарах и конференциях
ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МГОУ (Москва, 2005 - 2007гг ),
ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава ЕГУ им Бунина (Елец, 2004 -2007гг ),
«Понтрягинские чтения - XVII» в рамках Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач» (3-9 мая 2006г , Воронеж, ВГУ, МГУ, МИ им В А Стеклова РАН),
III Всероссийская школа-конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященная памяти академика А Ф Сидорова (4-10 сентября 2006г , п Абрау-Дюрсо, ИММ Уральского отделения РАН (Екатеринбург) ),
Международная научная конференция «Современные методы физико-математических наук», посвященная 75-летию ОГУ (Орел, 9-14 октября 2006г ),
Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (27января - 2 февраля 2007г , Воронеж, ВГУ, МГУ, МИ им В А Стеклова РАН),
Международная научная конференция«Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященная 100-
летаю со дня рождения академика И Н Векуа (28 мая - 2 июня
2007г,Новосибирск), Семинар по математической физике ИПМ им М В Келдыша
РАН (рук В В Веденяпин и М В Масленников) Публикации. Все представленные в диссертации результаты являются новыми Они опубликованы в 13 работах соискателя, из которых 9 выполнены самостоятельно, без соавторов Работы [1], [10], [11], [13] напечатаны в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, перечень которых определен ВАК РФ В этих изданиях должны быть опубликованы основные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук
Вклад автора в совместных работах. В работах [1, 5] соискателю принадлежит аналитическое решение поставленной граничной задачи, а в работах [7, 9] соискателю принадлежат также и теоретические результаты о свойствах найденного аналитического решения и выводимого в работе дисперсионного уравнения
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии Объем работы составляет 140 страниц текста, в том числе 14 рисунков Библиография включает в себя 80 наименований, в т ч и публикации диссертанта по теме исследования Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу Формулы внутри каждого параграфа также имеют двойную нумерацию, с указанием на параграф, при ссылке на формулы из другой главы используется тройная нумерация, где первым идет номер главы Рисунки имеют сквозную нумерацию
Линеаризация нелинейного релаксационного кинетического уравнения Законы сохранения
С тех пор как она была предложена в 1954 году, БГК-модель была использована для анализа многих проблем кинетической теории газа и плазмы. Различные свойства и достоинства этой модели обсуждаются в работах ([59], [79], [15]).
История точных решений модельных кинетических уравнений начинается с 1960 года, когда Кейз в работе [60] ввел в рассмотрение метод решения уравнений переноса, состоящий в разложении решения по дискретным и сингулярным обобщенным собственным функциям соответствующего оператора переноса и нахождении коэффициентов этого разложения с помощью техники сингулярных интегральных уравнений. Этот метод стал источником точных решений, получаемых аналитически в замкнутой форме. Работа Кейза в дальнейшем послужила основой для разработки данного метода в других областях физики.
Так в 1962 году Черчиньяни в работе [61] разработал метод Кейза применительно к задачам кинетической теории, в частности, к задаче о сдвиговом течении разреженного газа при постоянной температуре (задача Крамерса). При этом, на основе аналитического решения уравнения Больцмана с оператором столкновений в форме БГК модели, была получена точная формула для вычисления коэффициента изотермического скольжения газа вдоль плоской твердой поверхности. В работе [61] Черчиньяни решил задачу Крамерса с учетом аккомодации молекул, в [63] рассмотрел нестационарный случай и в [62] выяснил зависимость коэффициента скольжения от частоты столкновений. В последствии были получены точные решения уравнения Больцмана с более сложным оператором столкновений, чем БГК - модель ([23], [37], [38], [39]).
В работах ([66] - [68]) Э. Фриш предложила свой метод, названный ею методом интеграла Коши, для решения в замкнутой форме уравнений переноса и показала, что решения, полученные ее методом, можно преобразовать в решения, полученные с помощью метода краевых задач.
Значительный вклад в метод Кейза внес Латышев А.В., в работе [24] был предложен принципиально новый математический подход, который позволяет получить точные решения линеаризованных уравнений Больцмана с оператором столкновений БГК или эллипсоидально-статистической - модели путем сведения их к интегро-дифференциальным уравнениям типа свертки. Полученные таким образом уравнения преобразованием Фурье сводятся к краевым задачам Римана-Гильберта и решаются затем методами теории функций комплексного переменного (ТФКП) ([12], [13], [45]). В работе Латышева А.В. и Юшканова А.А. [73] впервые был применен метод разложения решения по сингулярным собственным функциям для решения системы двух интегро-дифференциальных уравнений переноса. Значительное число аналитических решений граничных задач для различных модельных кинетических уравнений было получено в работах ([25] - [32]). Далее в работах Латышева А.В. и Юшканова А.А. [33] появляется новый метод решения граничных задач для кинетических уравнений, который они назвали методом аппроксимационных функций. Для решения кинетических уравнений применяется, также операторный подход, который изложен в [44]. Но одним из основных методов математической физики является метод решения граничных задач по собственным функциям [1].
Уравнение Больцмана до сих пор остается основой кинетической теории газов и оказывается плодотворным не только для исследования классических газов, которые имел в виду Больцман, но - при соответствующем обобщении — и для изучения переноса электронов в твердых телах и плазме, переноса нейтронов в ядерных реакторах, переноса фононов в сверхтекучих жидкостях и переноса излучения в атмосферах звезд и планет.
Круг вопросов рассматриваемых в диссертации связан с выводом кинетического уравнения для квантового ферми-газа из обобщенного уравнения Больцмана с оператором столкновений в форме БГК-модели на случай квантового ферми—газа, а затем и с построением аналитического решения граничной задачи Максвелла о тепловом скольжении для ферми-газа.
Применение теплового скольжения в вопросах фотофореза и термодиффузнофореза аэрозольных частиц рассматривалось Н.В. Малаем [40], Н.В. Малаем, М.А. Аматовым, А.А. Плесканевым [42]. Вопросы влияния внутреннего тепловыделения на движение частиц изучались в работах [41], [43].
Квантовые ферми—газы изучались главным образом в рамках рассмотрения кинетики электронов в полупроводниках и металлах (см., например, [16], [19]). Квантовые бозе-газы рассматривались при исследовании кинетики фононов, магнонов и экситонов в конденсированных средах [19].
Уравнение состояния в квантовых газах
Будем искать решение характеристического уравнения (T]-ju)0(7],ju,a) = 7]n(7],a), 7j,ju,aeR (3.1) в пространстве обобщенных функций D (R). Приведем некоторые сведения из теории обобщенных функций [9]. Основной (или пробной) функцией называют всякую вещественную функцию (р(х), определенную при X Є (-оо,+оо), непрерывную и имеющую производные (в обычном смысле) любого порядка и, кроме того финитную, т. е. обращающуюся в нуль вне конечного промежутка. Вся совокупность таких функций обозначается D.
Напомним [9], что обобщенной функцией называется всякий линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций D, т.е. функционал/, удовлетворяющий условиям 1. {f,axcpx + СС2Ф2)-a\(f &{) + ai(f Фі) Для любых основных функций ср{ и ср2 и любых вещественных чисел а, и а2; 2. если pv — 0 в D, то (f,(pv)- 0. Совокупность обобщенных функций обозначается D . Значение функционала (обобщенной функции) / на основной функции p =D записывают (f,(p). Обобщенную функцию / будем также записывать в виде/(х), подразумевая под х аргумент основных функций, на которые действует функционал/.
Под решением характеристического уравнения будем понимать всякий линейный непрерывный функционал на пространстве основ » ных функций D, т. е. мы ищем решение в пространстве D (R). Общее решение уравнения (3.1) в пространстве D (R) дается (см., например, [9]) формулой Ф(77, //, a) = rjP n(rj, а) + g(rj, a) S(TJ -JU), (З .2) когда 77, ju є R. Здесь g(rj,a) - произвольная непрерывная функция, определяемая ниже из условия нормировки n(r/,a)= \K({i\a)Q (7i,{i\a)dju\ (3.3) —оо символ Рх х означает распределение (обобщенную функцию) - главное значение интеграла по Коши при интегрировании выражения х-1, т. е. Рх х означает линейный функционал, действующий по формуле X J X є [ J J IX -00 V-oo є J где q є D(R).
Обобщенная функция Px l совпадает с обычной функцией д:"1 при х Ф 0. Она называется главным значением интеграла от х х, S(x) есть дельта-функция Дирака.
Дельта-функция является простейшим примером сингулярной обобщенной функции, (S, p) = (p(0), peD. Очевидно, что S eD ,S(x) = 0,x O, так что ее носитель spt5 = {0}. Одним из важнейших для приложений свойств -функции является следующее: свертка любой обобщенной функции/с -функцией равна/,/ 8 = 8 f—f, что формально можно записать в виде Первое слагаемое в (3.2) определяется выражением Ф (т],/л,а) = 7]Р n(rj,a). (3.4) 77-// Будем считать функцию n(jj,a) из (3.4) заданной функцией. Тогда функция Ф (rj,ju,a), определяемая равенством (3.4), является частным решением уравнения (3.1), а формула (3.2) является общим решением уравнения (3.1). Как уже отмечалось выше, функция g(rj) находится из условия (3.3). Подставляя (3.2) в (3.3), получаем Я(77, a) n{rj, а) = K(rj, a) g(ij, а), (3.5) где A(z,a) = l + z v } du (3.6) -І u-z есть дисперсионная функция, встретившаяся впервые в работе [45]. Подставляя g{rj,a) из выражения (3.5) в (3.2), находим: _. 1 Я(т],а) Яґ n(rj,a), (3.7) Ф(7/,//,«) = если rj,/j,a є R, или Ф(77, м, а) = F(n, ju, a)n{rj, а), (3.8) где F(t],ju,a) = 7]P + y a\s(fj-ju)- (3.9) 77- LI K({i,a)
Выражение (3.7) представляет собой собственную функцию непрерывного спектра (77 є R), отвечающая произвольной нормировке (3.3), в то время как выражение (3.9) представляет собственную функцию, отвечающую единичной нормировке (2.13). Выражение (3.7) (или (3.8)) означает, что собственная функция непрерывного спектра определяется неоднозначно, а с точностью до множителя - произвольной функции п{і]), не обращающейся в нуль.
Ясно, что непрерывный спектр характеристического уравнения заполняет сплошным образом всю действительную ось, ибо при изменении \х непрерывным образом от - оо до + оо нуль разности ц — /и пробегает непрерывным образом также всю действительную ось ц, т.е. 77 є R.
Подставляя собственную функцию (3.7) в анзац (3.1) получаем собственное решение уравнения (1.7) непрерывного спектра y/(x,ju,a) = Qxp ( х\ 1 Л(г/,а) _, Л 4 rj-ju K(ju,a) піт],а). (3.10) Ниже будем говорить не об одной собственной функции (3.8) (характеристического уравнения) непрерывного спектра, а о системе собственных функций непрерывного спектра, имея в виду то обстоятельство, что каждому значению г] є R отвечает конкретная собственная функция. Следовательно, мы имеем континуальное множество собственных функций (3.8) характеристического уравнения и соответствующее семейство собственных решений (ЗЛО) уравнения (1.7).
Собственные функции непрерывного спектра
На рисунке изображена зависимость коэффициента теплового скольжения от величины а - отношения химического потенциала к произведению постоянной Больцмана на абсолютную температуру. Из рисунка видно, что при больших положительных а (а 10) график выходит на свою асимптотику Кт (а) = CtKT + о(1), а — +оо (пунктирная кривая), а при отрицательных а график выходит на асимптотику Кт{—ю) = Кт + о(1) (пунктирная кривая) уже при а -1.
Неизвестный коэффициент непрерывного спектра найдем, если подставим решение (9.13) в формулу Сохоцкого (9.7). На этом пути получаем, что
Физически самое важное свойство полученного решения ((9.3) в предыдущем параграфе) заключается в том, что скорость газа в непосредственной близости от стенки не равна нулю. Это явление носит название скольжения, с чем и связано название всей задачи. Объяснение скольжения достаточно просто: в то время как молекулы, покидающие стенку, не обладают результирующим тангенциальным импульсом, молекулы, которые столкнутся со стенкой, такой импульс несут, поэтому результирующий тангенциальный импульс газа вблизи стенки отличен от нуля, хотя и на малую величину. На то, что дело именно в этом, по существу указал еще Максвелл. Он использовал для расчета скорости скольжения самые элементарные соображения, основанные на понятии средней длины свободного пробега. Грубо говоря, средний импульс молекул, которые ударяются о стенку, приблизительно должен соответствовать импульсу газа, удаленного от этой стенки на расстояние порядка средней длины свободного пробега. Однако таким импульсом обладает только половина молекул, ибо вторая половина, летящая от стенки, такого импульса не имеет. В результате Максвелл получил следующее выражение:
Это равенство записано в безразмерных величинах, поэтому коэффициент оказался точно равным —. Более тщательный анализ, не основанный на модели средней длины свободного пробега, дает аналогичный результат, но с несколько отличным численным коэффициентом. С точки зрения Максвелла поток Р =mV (у - компонента импульса) вдоль оси х равен нулю: Откуда \сгс с=о или, подробнее, учитывая, что 2/0(а) + г С2-д(а) Дх,С,а) = /0(С,а) 1 + С. С - V ) Л имеем: J 2-Сг С С е х у 2t/0(a) + gJC2--A(a) V d3C = 0, (10.1)
Анализ, проведенный Максвеллом, основывался на предположении, что распределение падающих молекул вблизи стенки не отличается от распределения в прилегающем объеме газа. Молекулы газа, перед тем как удариться о поверхность не испытывают не одного соударения с молекулами, покидающими поверхность и имеющими нормальное максвелловское распределение скоростей. Математически это означает, что
Таким образом, при a — оо получили искомую скорость скольжения для квантового ферми-газа с помощью максвелловского приближения
Из доказанной теоремы видно, что функция у/(х,/л,а) согласно найденным формулам для коэффициентов непрерывного и дискретного спектров вычисляется по формуле: y(x,ii,a) = gT\-Vl2(a) + V2 (ot)-ju2 )( (а) + Л)
Покажем, что разложение (11.1) есть разложение по синусам и косинусам угла (т,Ос). Этот угол является аргументом граничных значений дисперсионной функции: (т,а) = argА,+ (т,а), аєК с фиксированным в нуле условием (т,сс) = 0, а є R. В самом деле
Формулу (11.2) удобно использовать для построения профиля функции распределения в полупространстве. С помощью разложения (11.1) построим распределение массовой скорости. Для безразмерной массовой скорости имеем: 1 Wy (х, а) = — \К(\19 a) \j/(x, ц, a) d\x. —со Подставим в последнее равенство разложение (9.3). Имеем 1 Wy{x,a) = - j (n,a)[2t/0(a) + -оо X b + exp — Л d\i. Ф(г, ц, а) д(г, а) с/г Учитывая условие нормировки собственных функций lK(ju ,a) t (Tj,M ,a)dM =U находим: Л 1 / і W (x,a) = U0(a) + - fexp -- a(rj,a)dTj. 2 і І v) или, 119 W(x,a) = KT(a) л і (11.3) і (Гі(а) + Л) Л X л; І ехр 4тг/ Х+(л,а) Х"(л,а). Интеграл из правой части (11.3) при х = 0 можно вычислить аналитически [9]. Для этого воспользуемся интегральным представлением (7.13) dr/ 1 1 гГ 1 (ПА) -Z + К(а) = — ( —-і X(z,a) 1Ч 2яі \_X+(rj,a) X (rj,a)]Tj-z Устремляя в (11.4) z— 0 вдоль отрицательной части действительной оси, получаем, что 1_"гГ 1 тг/J У+(т І7ГІ Х+(л,а) Х-(я, а). dr/ _ Т"Х(-0,а) + Г.( ). (11.5) Из формулы факторизации дисперсионной функции (8.1) X(z, а) = -\2(a)X(z, a)X(-z, ос) находим: Х(—О, а) = л/- 2(а) Найдем скорость теплового скольжения газа у стенки. Представим равенство (11.3) в виде 2TT/J[ dr\ г 2 Л (11.6) г 1 2та J Х+(л,ос Х+(л,а) Х-(л, а) 1 OL" vi.-O Х"(Л СС). Значение первого интеграла из правой части (11.6) равно правой части (11.5). Второй интеграл из (11.6) определяется равенством \тг.і J 2тг/ J_X+(r,a) X (л,а)_ = 2(a)-V12(a) (11.7) Подставляя (11.5) и (11.7) в правую часть (11.6), получаем: Г,(0,а) = gT fX jfr a) - Полученная формула представляет скорость газа непосредственно у стенки в задаче о тепловом скольжении.
Теорема о разложение решения по собственным функциям характеристического уравнения
Физически самое важное свойство полученного решения ((9.3) в предыдущем параграфе) заключается в том, что скорость газа в непосредственной близости от стенки не равна нулю. Это явление носит название скольжения, с чем и связано название всей задачи. Объяснение скольжения достаточно просто: в то время как молекулы, покидающие стенку, не обладают результирующим тангенциальным импульсом, молекулы, которые столкнутся со стенкой, такой импульс несут, поэтому результирующий тангенциальный импульс газа вблизи стенки отличен от нуля, хотя и на малую величину. На то, что дело именно в этом, по существу указал еще Максвелл. Он использовал для расчета скорости скольжения самые элементарные соображения, основанные на понятии средней длины свободного пробега. Грубо говоря, средний импульс молекул, которые ударяются о стенку, приблизительно должен соответствовать импульсу газа, удаленного от этой стенки на расстояние порядка средней длины свободного пробега. Однако таким импульсом обладает только половина молекул, ибо вторая половина, летящая от стенки, такого импульса не имеет. В результате Максвелл получил следующее выражение:
Настоящая диссертация посвящена выводу уравнения, описывающего поведение квантового ферми-газа и точному решению задачи Максвелла о тепловом скольжении.
В первой главе приводится уравнение Больцмана, введены основные характеристики газа. Далее строится кинетическое уравнение для квантовых газов, на основании релаксационного кинетического уравнения, путем его линеаризации. Формулируется задача Максвелла о тепловом скольжении для квантового ферми-газа вдоль плоской поверхности. Основная идея состоит в замене локально-равновесной функции Максвелла-Больцмана на локально-равновесную функцию Ферми-Дирака. Квантовый характер уравнения приводит к построению целого однопараметрического семейства уравнений переноса. Параметром семейства служит величина а - отношение химического потенциала к произведению постоянной Больцмана на абсолютную температуру. Построенное семейство уравнений в предельном случае при а — - со содержит классическое БГК - уравнение для одноатомного газа с постоянной частотой столкновений.
Во второй половине работы — глава 2 - рассмотрена задача о тепловом скольжении для ферми-газа. Она решена методом разложения решения по сингулярным обобщенным собственным функциям для решения системы двух интегро-дифференциальных уравнений переноса, который разработали Латышев А.В. и Юшканов А.А. на основе метода Кейза.
Аналитическое решение задачи по данному методу состоит из следующих основных моментов: с помощью анзаца Кейза ) выводится характеристическое уравнение или уравнение на собственные значения для уравнения (1.7), отыскивается структура спектра собственных значений характеристического уравнения, и находятся собственные функции дискретного и непрерывного спектров, изучаются свойства дисперсионной функции, решение уравнения (1.7) ищется в виде разложения по собственным сингулярным обобщенным функциям соответствующего характеристического уравнения, что приводит к решению сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши, последнее сводится к краевой задаче Римана теории функций комплексного переменного, сначала решается соответствующая однородная краевая задача, Х-функция - решение краевой задачи. Для Х-функции выводятся необходимые в дальнейшем интегральные представления, доказывается факторизация дисперсионной функции. Затем решается неоднородная краевая задача. Решение последней находится в классе мероморфных функций. Причем коэффициенты, отвечающие непрерывному спектру, находятся из формул Сохоцкого, а коэффициенты дискретного спектра - из условий разрешимости краевой задачи.
В конце главы строится профиль массовой скорости в полупространстве и в явном виде строится функция распределения. Проведен численный анализ полученного решения. В заключение, хочется выразить искреннюю благодарность Латышеву А. В. за постановку задачи, постоянную поддержку и участие в обсуждении работы.
Похожие диссертации на Задача Максвелла о тепловом скольжении для квантовых ферми-газов
