Введение к работе
Актуальность темы. В последние два десятилетия среди специалистов по математической и теоретической физике возрос интерес к таким мезоскопическим структурам, как квантовые точки и периодические массивы фуллеренов. Этот интерес отчасти обусловлен возможностью создания на их основе разнообразных электронных и оптоэлек-тронных устройств, в частности, эффективных лазеров.1 При теоретическом обосновании и предсказании спектральных свойств вышеупомянутых систем важную роль играют получаемые в тех или иных приближениях явнорешаемые модели. В настоящей диссертации изучаются две такие модели: точечные возмущения оператора Шредингера с потенциалом квантовой точки и операторы Шредингера на декорированных графах. С точки зрения математики интерес к декорированным графам обусловлен также тем, что они в подходящей топологии приближаются римановыми многообразиями, поэтому спектральный анализ на периодических декорированных графах позволяет пролить свет на некоторые вопросы спектральной теории периодических эллиптических операторов на многообразиях, в частности, на гипотезу Вете-Зоммерфельда. В связи с этим исследование спектральных свойств явнорешаемых моделей мезоскопических систем представляется актуальным.
Целью работы является описание спектральных свойств точечного возмущения оператора Шредингера с потенциалом конфайнмента квантовой точки, а также спектральных свойств операторов Шредингера на декорированных графах, имея в виду их возможное применение к изучению транспортных и оптических свойств квантовых точек и периодических массивов фуллеренов.
Общая методика исследования. Исследования явнорешаемых моделей, проводимые в диссертации, объединены общим методом, осно-
1 Леденцов Н. Н., Устинов В. М., Щукин В. А., Кольев П. С, Алферов Ж. И., .Бимберг Д. Гетероструктуры с квантовыми точками: получение, свойства, лазеры. // Физика и техника полупроводников. - 1998. - Т. 32, N 4. - С. 385-411.
э mi»*
ванном на спектральном анализе возмущений конечного ранга операторов с дискретным спектром и, в частности, методе потенциалов нулевого радиуса (точечных потенциалов). Метод потенциалов нулевого радиуса использовался в квантовой механике начиная с 1930-х годов (см. работы Р. Кронига, В. Пенни, Э. Ферми, И. Е. Тамма, Г. Бете, Р. Пайерлса, Я. Б. Зельдовича и др.) Строгое математическое обоснование метода потенциалов нулевого радиуса в рамках теории самосопряженных расширений было дано Ф. А. Березиным и Л. Д. Фаддеевым. Систематически метод потенциалов нулевого радиуса был изложен в монографиях Ю. Н. Демкова и В. Н. Островского, А. И. Базя, Я. В. Зельдовича и А. М. Переломова. Дальнейшее развитие метода связано с работами Б. С. Павлова, С. Альбеверио, П. Экснера, их коллег и учеников.
Кроме того, исследование периодических операторов на декорированных графах опирается на комбинацию методов теории расширений и гармонического анализа как на коммутативных группах (теория Флоке-Блоха), так и на группах общего вида. В последнем случае мы используем подходы, основанные на теории С* -алгебр, называемые также методами некоммутативной геометрии.
Научная новизна определяется следующими основными результатами теоретического исследования:
детально описан спектр точечного возмущения оператора Шредин-гера с потенциалом квантовой точки, доказано наличие эффектов падения частицы на центр и позиционного беспорядка;
для точечного возмущения оператора Шредингера со сферически симметричным параболическим потенциалом найден явный вид функции Грина, вычислены асимптотики собственных значений при больших значениях интенсивности возмущения, показана возможность восстановления потенциала по зависимости основного состояния от положения возмущения;
для периодического оператора Шредингера на декорированном гра-
фе найдены достаточные условия, при которых его спектр имеет зонную структуру, а также условия, при которых он приближается в топологии равномерной резольвентной сходимости периодическими операторами с канторовским спектром, доказано отсутствие собственных значений конечной кратности (как изолированных, так и погруженных в непрерывный спектр);
для широкого класса операторов Шредингера на декорированных графах с абелевой группой периодичности (включая локальные операторы) доказано отсутствие непрерывно сингулярного и плотного точечного спектров;
доказано, что для каждого периодического оператора Шредингера на метрическом графе найдется дискретное множество А С R, такое что для любого компакта К С R \ А подбором декорации этого метрического графа можно добиться открытия лакун, содержащих К.
найден широкий класс операторов Шредингера на декорированных графах с группами периодичности Zd, d ^ 2, для которых не верна гипотеза Бете-Зоммерфельда о конечности числа лакун.
Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть применены для моделирования короткодействующей примеси в квантовой точке и периодических массивах фуллеренов. С математической точки зрения работа дает ответы на ряд вопросов о спектральных свойствах возмущений конечного ранга операторов с дискретным спектром, в частности, точечных возмущений операторов Шредингера, и о спектральных свойствах самосопряженных расширений на семействах инвариантных гильбертовых пространств, в том числе, периодических операторов Шредингера на декорированных графах.
Личное участие автора. Вывод функции Грина и Q -функции Крейна для точечного возмущения гармонического осциллятора, описа-
ние спектра.точечного возмущения с помощью Q-функции, вычисление асимптотик собственных значений, доказательство теорем о зонно-сти и фрактальности спектров калибровочно-периодических расширений на инвариантных семействах гильбертовых пространств, доказательство отсутствия непрерывно сингулярного и плотного точечного спектров периодических операторов Шредингера на декорированных графах с группой периодичности Zd, доказательство открытия лакун при декорации проведены автором самостоятельно. Результаты диссертации, касающиеся описания возмущений конечного ранга операторов с дискретным спектром, доказательств наличия эффектов падения на центр и позиционного беспорядка, а также теорема о бесконечности числа лакун операторов Шредингера на декорированных графах, получены совместно с научным руководителем В. А. Гейлером и профессором Й. Брюнингом, при этом вклад автора заключался в проведении части доказательств. Положения, выносимые на защиту.
Детальное описание спектра точечного возмущения оцератора Шре-дингера с потенциалом конфайнмента квантовой точки, описание соответствующих собственных подпространств, доказательства наличия эффектов падения на центр и позиционного беспорядка для точечных возмущений оператора Шредингера с потенциалом квантовой точки.
Явный вид функции Грина точечного возмущения произвольного положения оператора Шредингера со сферически симметричным параболическим потенциалом конфаймента квантовой точки, асимптотики зависимости собственных значений возмущения от интенсивности возмущения, утверждение о возможности восстановления потенциала по положению примеси.
Достаточные условия отсутствия дискретного спектра и зонности непрерывного спектра для калибровочно-периодических операторов Шредингера на декорированных графах; условия плотности опе-
раторов с канторовским спектром в пространстве калибровочно-периодических операторов Шредингера на декорированных графах.
Теорема об отсутствии непрерывно сингулярного и плотного точечного спектров периодических операторов Шредингера с абелевой группой периодичности на декорированном графе.
Теорема о существовании декораций, открывающих в спектре периодических операторов Шредингера на метрических графах лакуны, содержащие наперед заданный компакт, не пересекающий некоторое фиксированное дискретное множество.
Теорема о бесконечности числа лакун в спектре периодических операторов Шредингера на декорированных графах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены на конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара,1 Россия, 2002), международной конференции INTAS «Спектральные проблемы для операторов типа Шредингера» (Берлин, Германия, 2003), международной конференции «Успехи в моделировании полупроводниковых устройств» (Берлин, Германия, 2004), международной конференции «Математические результаты в квантовой механике» (Жи-ен, Франция, 2004), конференции «Огаревские чтения» (Саранск, Россия, 2004), регулярном семинаре проф. Й. Брюнинга «Геометрический анализ и спектральная теория» (Гумбольдтовский университет, Берлин, Германия, 2003), регулярном семинаре проф. Г. Гюйскена «Геометрический анализ и гравитация» {институт гравитационной физики имени Макса Планка при институте Альберта Эйнштейна, Голм, Германия, 2004), семинаре їіроф. Т. Каппелера (Цюрихский университет, Цюрих, Швейцария, 2005).
Публикации. Основное содержание работы отражено в четырех публикациях, список которых приведен в конце автореферата.,
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Материал диссертации изложен на 154 страницах ма-
