Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 4
2 Псевдощель в высокотемпературных сверхпроводниках 10
2.1 Основные представления и проблемы физики ВТСП-систем 10
2.2 Основные экспериментальные факты о псевдощелевом состоянии высокотемпературных сверхпроводников 17
2.3 Теоретические соображения о природе псевдощели 23
3 Модель "Горячих точек" 30
3.1 Одноэлектронпая функция Грина 30
3.2 Спектральная плотность и плотность состояний 40
4 Оптическая проводимость 47
4.1 Вершинная часть 47
4.2 Расчет проводимости и основные результаты 51
5 Сверхпроводимость в псевдощелевом состоянии 64
5.1 Разложение Гинзбурга-Ландау 65
5.1.1 Вершина взаимодействия со сверхпроводящими флуктуациями 65
5.1.2 Влияние примесей 68
5.1.3 Расчет температуры сверхпроводящего перехода 71
5.1.4 Расчет коэффициентов Гинзбурга- Ландау 80
5.1.5 Физические характеристики сверхпроводников с псевдощелью 83
5.2 Уравнения Горькова 97
5.2.1 Уравнения Горькова в сверхпроводнике с псевдощелью 97
5.2.2 Сверхпроводник с примесями 100
5.2.3 Критическая температура и температурная зависимость щели 104
5.3 Моделирование фазовой диаграммы 110
Основные результаты 117
- Основные экспериментальные факты о псевдощелевом состоянии высокотемпературных сверхпроводников
- Спектральная плотность и плотность состояний
- Расчет проводимости и основные результаты
- Уравнения Горькова
Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ
Исследования сверхпроводимости продолжают оставаться в числе наиболее актуальных областей современной физики конденсированного состояния. Это связано прежде всего с открытием в 1986 году замечательного явления высокотемпературной сверхпроводимости (ВТСП). Несмотря набольшие усилия как экспериментаторов, так и теоретиков, природа этого явления остается не вполне выясненной.
Общеизвестно, что основные трудности здесь связаны с весьма необычными свойствами этих систем в нормальном (несверхпроводящем) состоянии, без понимания природы которых трудно рассчитывать на окончательное выяснение микроскопического механизма ВТСП. Аномальные свойства нормального состояния ВТСП в области фазовой диаграммы, соответствующей концентрациям носителей тока меньше оптимальной (в том числе поведение оптической проводимости, теплоемкости, спиновой восприимчивости) связывают с появлением псевдощели в электронном спектре ВТСП. Понимание природы и свойств псевдощелевого состояния является центральной проблемой в любом подходе к описанию сложной фазовой диаграммы высокотемпературных сверхпроводников. При этом, возникновение псевдощелевого состояния можно связать с наличием "горячих точек" - точек пересечения поверхности Ферми с магнитной зоной Бриллюэна, в окрестности которых в антиферромагнитной фазе открывается диэлектрическая щель. Соответственно, встает вопрос об изучении влияния этого необычного явления на основные физические свойства ВТСП-купратов не только в нормальной, но и в сверхпроводящей фазе.
Целый ряд аномалий в свойствах металлооксидных высокотемпературных сверхпроводников вызывает обоснованные сомнения в применимости к ним традиционных подходов. Появление ВТСП-систем породило довольно много теоретических моделей с новыми механизмами куперовского спаривания. Наибольший интерес вызывают модели с анизотропным спариванием, так как большинство экспериментальных данных указывает на наличие в ВТСП анизотропной щели с симметрией ^„^-типа.
Структурная и химическая неоднородность ВТСП- систем делает их существенно неупорядоченными. Изучение влияния беспорядка на сверхпроводимость и свойства вещества в сверхпроводящей фазе играет большую роль в физике ВТСП- систем.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ - теоретическое исследование псевдощелевого состояния в рамках двумерной модели, основанной на концепции "горячих" точек на поверхности Ферми, и разработка практических методов расчета физических свойств сверхпроводников в таком состоянии как в нормальной, так и сверхпроводящей фазе.
К числу рассматриваемых проблем относятся: влияние псевдощели па физические свойства сверхпроводников с различными типами спаривания как в нормальной, так и в сверхпроводящей фазе, влияние нормального беспорядка на сверхпроводимость в псевдощелевом состоянии, объяснение характерного вида фазовой диаграммы ВТСП-купратов.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА
В диссертации впервые проведен расчет оптической проводимости в реалистической модели "горячих точек" для различных форм поверхности Ферми. Показано, что псевдощелевые флуктуации могут приводить к ряду аномалий в оптической проводимости, в том числе к проявлению эффектов локализации электронных состояний.
В рамках двумерной модели псевдощелевого состояния, выполнен микроскопический вывод разложения Гинзбурга-Ландау для сверхпроводимости с различными типами спаривания (з или d), с учетом всех фейнмановских диаграмм теории возмущений по взаимодействию электрона с различными типами псевдощелевых флуктуации ближнего порядка (зарядовые флуктуации (CDW) или спиновые изинговского (SDW-I) и гейзеперговского типа (SDW-H).
В диссертации выявлены два возможных типа взаимодействия сверхпроводящего параметра порядка с псевдощелевыми флуктуациями, приводящих к существенно различным энергетическим масштабам их влияния на сверхпроводимость.
Проанализировано влияние немагнитных примесей на сверхпроводимость в псевдощелевом состоянии и показано, что разрушение сверхпроводящего спаривания d-типа в псевдощелевом состоянии за счет примесного рассеяния (разупорядочения), происходит быстрее нежели в отсутствие псевдощели. Определена зависимость критической температуры сверхпроводящего перехода и других характеристик сверхпроводника вблизи Тс (глубины проникновения магнитного поля, длины когерентности, верхнего критического поля, скачка теплоемкости) от параметров псевдощели и величины примесного рассеяния. В поведении этих величин наблюдаются существенные аномалии по сравнению с обычными сверхпроводниками.
Построена система уравнений Горькова для сверхпроводников с различными типами спаривания, учитывающая как рассеяние на псевдощелевых флуктуациях, так и рассеяние на немагнитных примесях и проведено исследование особенностей сверхпроводящего состояния в широкой области температур ниже критической.
Проведено моделирование типичной фазовой диаграммы ВТСП-купратов. Показано, что модель формирования сверхпроводящего состояния на фоне псевдощелевых флуктуации ближнего порядка с учетом роли примесного рассеяния позволяет получить полуколичественное описание фазовой диаграммы ВТСП-купратов.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ
Псевдощелевое состояние приводит, как известно, к ряду аномалий в физических свойствах ВТСП - систем как в нормальной, так и сверхпроводящей фазе. Подобные аномалии наблюдаются экспериментально во всех высокотемпературных сверхпроводниках на основе оксидов меди в области недодопированных составов. Понимание природы и свойств псевдощелевого состояния позволяет продвинуться в понимании основных проблем описания сложной фазовой диаграммы ВТСП оксидов.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:
Поведение плотности состояний и оптической проводимости для различных форм поверхности Ферми в модели "горячих точек" .
Результаты расчетов критической температуры Тс сверхпроводящего перехода в зависимости от величины псевдощели и частоты рассеяния на примесях.
Модельная фазовая диаграмма высокотемпературных сверхпроводников,
Зависимости для ряда характеристик сверхпроводящего состояния вблизи температуры Те (коэффициенты разложения Гинзбурга-Ландау, глубина проникновения, длина когерентности, верхнее критическое поле, скачок теплоемкости) для $- и d- спаривания от величины псевдощели.
Зависимости основных характеристик сверхпроводящего состояния вблизи температуры Тс (коэффициенты разложения Гинзбурга-Ландау, глубина проникновения, длина когерентности, верхнее критическое поле, скачок теплоемкости) для s- и d-спаривания при заданной величине псевдощели от частоты примесного рассеяния.
Зависимость сверхпроводящей щели от величины псевдощели и беспорядка в широкой области температур Т < Тс.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ
Основные результаты диссертации докладывались на конференции молодых ученых Института Электрофизики (2002 г., 2004 г.) на XXIX и XXX Международных школах-симпозиумах физиков-теоретиков "Коуровка" (Кунгур, 2002 г.; Челябинск, 2004 г.), на 33-м всероссийском совещании по физике низких температур НТ-33 (Екатеринбург, 2003 г.), на VII и VIII школе-семинаре молодых ученых "Проблемы физики твердого тела и высоких давлений" (Сочи, 2002 г., 2004 г.), на международной конференции по высокотемпературной сверхпроводимости M2S — IITSCVII (Рио де Жанейро, Бразилия, 2003 г.), на 1-ой международной конференции "Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости" ФПС'04 (Звенигород, 2004 г.), на гордоновской конференции по сверхпроводимости GRC'04 (Оксфорд, Великобритания, 2004 г.), на международной конференции "Спектроскопия новых сверхпроводников" SNS'04 (Ситжес, Испания, 2004 г.).
ПУБЛИКАЦИИ
По теме диссертации опубликовано б научных работ [57, 58, 73, 74, 75, 76].
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и трех приложений. Она изложена на 140 страницах, включая 54 рисунка и список литературы из 94 наименований.
ВО ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность темы диссертационной работы, кратко раскрывается содержание рассматриваемых в ней задач, формулируется цель работы, а также научная новизна и практическая ценность результатов исследования.
В ВТОРОЙ ГЛАВЕ проводится обзор основных свойств ВТСП, связанных с наличием псевдощелевого состояния в широкой области фазовой диаграммы. Рассматриваются экспериментальные результаты, которые показывают существенные отличия этих соединений от нормальных металлов и традиционных сверхпроводников. Приводятся теоретические соображения о природе псевдощели.
В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ рассмотрена реалистическая модель псевдощелевого состояния в двумерной электронной системе с "горячими точками" на поверхности Ферми, которая качественно соответствует ряду наблюдаемых особенностей электронной структуры иедодопированных ВТСП-систем. В рамках этой модели построено рекуррентое уравнение для одночастичной функции Грина. Рассмотрено поведение спектральной плотности и одноэлектронной плотности состояний для различных комбинаторик диаграмм.
В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ в рамках модели "горячих точек" построена система ре-куррентых уравнений для вершинной части, описывающей взаимодействие электронов с внешним электромагнитным полем. Приведены результаты детальных расчетов плотности состояний и оптической проводимости для различных форм (топологий) поверхности Ферми.
В ПЯТОЙ ГЛАВЕ дан микроскопический вывод разложения Гинзбурга-Ландау для куперовского спаривания s- и й-типа и изучено влияние лсевдощелевых флуктуации и немагнитных примесей на температуру сверхпроводящего перехода и на основные свойства сверхпроводника вблизи Тп такие как: глубина проникновения магнитного поля, длина когерентности, наклон верхнего критического поля, скачок теплоемкости. Построена система рекуррентных уравнений Горькова для упомянутых типов спаривания. Проанализировано влияние псевдощели и немагнитных примесей на температуру сверхпроводящего перехода и на температурное поведение энергетической щели. Показано, что в рамках рассмотренной модели удается объяснить характерный вид фазовой диаграммы высокотемпературных сверхпроводников.
В ЗАКЛЮЧЕНИИ сформулированы основные результаты и выводы, полученные в диссертации.
Некоторые технические расчеты, во избежание загромождения основного текста, вынесены в ПРИЛОЖЕНИЯ.
2 ПСЕВДОЩЕЛЬ В ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СВЕРХПРОВОДНИКАХ
Основные экспериментальные факты о псевдощелевом состоянии высокотемпературных сверхпроводников
Псевдощель наблюдается в целом ряде экспериментов [19,21], но наиболее яркие свидетельства существования этого необычного состояния были получены в экспериментах по фотоэмиссии с угловым разрешением (ARPES) [22], которые продемонстрировали наличие, существенно анизотропных изменений спектр альЕЮЙ плотности носителей тока в широкой области температур в нормальной фазе (Г Тс) этих систем. Замечательной особенностью, проявившейся в этих экспериментах, оказалось наличие максимума псевдощели вблизи точки (0, тг) в зоне Бриллюэна при полном отсутствии псевдощели в направлении диагонали зоны (точки (тг,5г)}. Соответственно, в окрестности точки (0, я1} происходит "разрушение" поверхности Ферми, тогда как в направлении диагонали сохраняется фермижидкостное поведение. Поэтому обычно принято говорить о симметрии псевдощели "d-типа", совпадающей с симметрией сверхпроводящей щели в этих системах [5, 22], что часто интерпретируется в том смысле, что псевдощель имеет сверхпроводящую природу, переходя в истинную щель при Т Тс. В сверхпроводящей фазе при Т Тс, в окрестности точки пересечения поверхности Ферми с диагональю зоны Бриллюэна (направление (0,0) - (тг, х)), где сверхпроводящая щель обращается в нуль, появляется достаточно острый пик спектральной плотности, соответствующий хорошо определенным квазичастицам [23], При этом вблизи точки (0,7г) поверхность Ферми остается "разрушенной" сверхпроводящей щелью и псевдо-щелыо. Последние эксперименты показывают, что квазичастичпый пик в диагональном направлении сохраняется и при температурах существенно превышающих Тс [24]. Существование псевдощели четко проявляется также в виде характерной "двугорбой" структуры спектральной плотности в окрестности точки (0, тг) [25], возникающей при Т Тс. Сам факт наблюдений псевдощелевых аномалий при температурах значительно превышающих температуру сверхпроводящего перехода в области недодопироваииых концентраций носителей, может указывать на совершенно другую природу этих анома- лий, не связанную непосредственно с явлением куперовского спаривания.
Существует много фактов в пользу того, что псевдощель, на самом деле, конкурирует со сверхпроводимостью, имея, скорее всего, диэлектрическую природу [3, 19], т.к. псевдощелевые аномалии в ВТСП нарастают по мере движения вглубь области недодопированных составов, где сверхпроводимости нет. Существуют прямые экспериментальные данные, которые свидетельствуют о "диэлектрической" природе псевдощели. На Рис. 3 приведены ARPES данные о поверхности Ферми электронного сверхпроводника Nd-i.s5Ce0.i5CuO4 [26], которые четко показывают, что "разрушение" поверхности Ферми за счет образования псевдощели происходит в окрестности "горячих точек", возникающих при пересечении этой поверхности с границей "будущей" антиферромагнитной зоны Бриллюэна, которая возникла бы при установлении дальнего антиферромагнитного порядка. Соответствующая щель в спектре имеет обычный "зонный" или "диэлектрический" характер, а куперовское спаривание, по-видимому, тут не причем. Просто большинство экспериментов по ARPES в ВТСП выполнены на системах с дырочной проводимостью, где расстояние между сторонами поверхности Ферми в окрестности (0,тг) заметно меньше, чем в системе NdCeCuOi, как и энергетический масштаб псевдощели. Соответственно, разрешающей способности ARPES, скорее всего просто не хватает для того, чтобы пыделить отдельные "горячие точки", находящиеся достаточно близко друг другу в окрестности (0,7г). Результаты работы [26] однозначно решают вопрос в пользу "диэлектрического" сценария формирования псевдощели в ВТСП-купратах. В работе [22] с помощью ARPES метода было получено угловое поведение ширины щели в зоне Бриллюэна и температурная зависимость ее максимального значения для ряда образцов Bi — 2212 разных составов. Было получено, что при общей J-волновой симметрии, щель в спектре оптимально допированной системы обращается в нуль практически при Т = Тс, тогда как для недодопированных образцов возникают "хвосты" температурной зависимости щели в области Т Тс. Качественно можно утверждать, что образование анизатропной в обратном пространстве псевдощели при Т Тс приводит к "разрушению" поверхности Ферми недодопированных образцов уже при Т Т" на участках вокруг точки (0,тг) (и симметричных к ней), причем ширина этих участков растет с понижением температуры [27]. Образование псевдощели в области недодопированных составов ВТСП-купратов четко проявляется также в многочисленных экспериментах по измерению оптической проводимости, как при направлении вектора электрического поля вдоль хорошо проводящей плоскости СиОг, так и для ортогонального направления вдоль оси с. Соответствующие данные достаточно подробно описаны в [18]. В качестве типичного примера на Рис. 4 приведены данные работы [28] по оптической проводимости в плоскости Си02 для нескольких составов оксида Nd2-xCexCu04 с электронной проводимостью. Характерной особенностью здесь является появление, что особенно заметно для недодопированных образцов с х — О,05 и х — 0,1, "псевдощелевого провала" в районе частот порядка 0,25 эВ с размытым максимумом поглощения через необычно широкую псевдощель в окрестности ш — 0, 5 эВ, Природа дополнительного максимума поглощения, заметного при и 0,1 эВ, как мы увидим в дальнейшем, может быть связана с эффектами локализации.
В недодопированных купратах с дырочной проводимость, оптическая проводимость обычно характеризуется узким "друдевским" пиком поглощения на малых частотах, с последующим "провалом" и размытым пиком поглощения через псевдощель с шириной порядка 0,1эВ [18, 19]. "Локализационный" пик в них наблюдается достаточно редко, при введении дополнительного разупорядочения [29, 30, 31]. Необходимо отметить, что в различных экспериментах, обсуждавшихся выше, характерная температура Г , ниже которой проявляются аномалии приписываемые образованию псевдощели, несколько меняется, в зависимости от того, какая величина измеряется. Однако во всех случаях имеется систематическая зависимость Т от степени легирования и эта температура обращается в нуль при концентрации носителей равной или слегка превышающей оптимальную. На Рис. 5 приведена обобщающая сводка данных (найденным из обработки самых разных экспериментов) по энергетической ширине псевдощели Ед в системе YBCO в зависимости от концентрации дырок [3] (в этой работе принимается достаточно произвольное модельное соотношение Е3 = 2,5Т ). Видно, что псевдощель "закрывается" при критическом значении концентрации хс и 0,19, что само по себе, также указывает на несверхпроводящую природу псевдощели в ВТСП-купратах. Как уже отмечалось ранее, существует два основных теоретических сценария для объяснения псевдощелевых аномалий ВТСП - систем. Первый основан на модели формирования куперовских пар уже выше температуры сверхпроводящего перехода [32, 33, 34], а второй предполагает, что происхождение псевдощелевого состояния связано с флуктуациями ближнего порядка "диэлектрического" типа (например антиферромагнитного или типа волн зарядовой плотности) [35, 36, 37], существующими в области недодопировалных составов, на которых происходит сильное рассеяние электронов, приводящее к псевдощелевой перестройке их спектра. Второй сценарий представляется более предпочтительным, как исходя из основных экспериментальных данных, обсуждавшихся выше, так и из того простого обстоятельства, что все псевдощелевые аномалии усиливаются по мере уменьшения концентрации носителей, когда система все дальше "уходит" от оптимальной для сверхпроводимости области фазовой диаграммы, приближаясь к области диэлектрической (антиферромагиитной) фазы.
Спектральная плотность и плотность состояний
В этом разделе рассмотрим спектральные свойства ВТСП-систем [57, 58, 45], используя полученное ранее рекуррентное соотношение для одноэлектронной функции Грина (14). С помощью (14) нетрудно провести численные расчеты одноэлектронной спектральной плотности и плотности состояний: В (20) величина GR(Ep) представляет собой запаздывающую функцию Грина, полученную обычным аналитическим продолжением (14) с мацубаровских частот на вещественную ось энергий Е (ієп — Е + г , 6 — 0). Численные расчеты проводились непосредственно по формулам (20,21) и (14), причем рекуррентная процедура обрывалась на достаточно высоком "этаже" к, где все St и Gh полагались равными нулю. Исходный спектр электронов брался в виде (1). Интегрирование в (21) осуществлялось по всей двумерной зоне Бриллюэна. Импульсы интегрирования естественным образом обезразмериваются постоянной решетки а, а все энергии далее приводятся в единицах интеграла переноса t. Спектральная плотность при этом также измеряется в единицах , а плотность состояний -— в единицах 1/ta2. Рассмотрим сначала поведение спектральной плотности (20) в нескольких характерных точках на поверхности Ферми, полученной при "включении" интеграла переноса t между вторыми ближайшими соседями и (і — 0 (вставка Рис. 11 (а)) [57]. Видно, что она имеет характерное нефермижидкостпое поведение практически везде на поверхности Ферми пока форма этой поверхности не очень сильно отличается от квадратной. При этом "горячая точка" лежит строго на пересечении поверхности Ферми с диагональю зоны Бриллюэна. На Рис. 11 (Ь) представлены поверхности Ферми, форма которых достаточно близка к квадратной, полученные при различных значениях ц/t и i = 0. Строго говоря, горячие точки на этих поверхностях Ферми вообще отсутствуют, однако спектральная плотность, показанная на вставке Рис. 11 (и), сохраняет характерный псевдощелевой вид [57]. На Рис, 13 приведены энергетические зависимости спектральной плотности при t ji — —0.4 и fift — —1.3 (кривая 3 на Рис. 12 (а)) для различных комбинаторик 8, полученные в работе [45]. В несоизмеримом случае (18) (Рис. 13 (а)) и соответственно в случае комбинаторики спии-фермионной модели (19) спектральная плотность в "горячей точке" ( I на Рис. 12 (а)) демонстрирует явно нефермижидкостное поведение (при достаточно больших значениях корреляционной длины флуктуации f).
В случае соизмеримой комбинаторики (17) (Рис. 13 (Ь)), непосредственно в "горячей точке" спектральная плотность имеет один пик и, в этом смысле, похожа на обычную ферми-жидкостную, даже при больших . Однако, уже в ближайшей окрестности "горячей точки" спектральная плотность при достаточно больших обладает двух-пиковой структурой нефермижидкостного вида (вставка на Рис. 13 (Ь)). На вставках Рис. 13 видно, что вдали от горячей точке спектральная плотность имеет острый пик, соответствующий хорошо определенным квазичастицам. Для t /t = —0.6 и (ift = —1,8 (Ферми поверхность типа 1 на Рис. 12 (Ь)), где процедура (14) является точной, поведение спектральной плотности абсолютно аналогично и приведено на Рис. 14 [45]. Перейдем к рассмотрению одноэлектронной плотности состояний, которая определяется интегралом от спектральной плотности А(Ер) по всей зоне Бриллюэна (21). В работе [57] нами было получено поведение плотности состояний для случая V — 0 при различных значениях обратной корреляционной длины (Рис. 15 (а)). Видим, что на уровне Ферми наблюдается псевдощель, т.е. характерное понижение плотности состояний. Отметим, что такое поведение плотности состояний находится в полном качественном соответствии с результатами полученными для аналогичной двумерной модели пайерлсовского перехода квантовым методом Монте-Карло [65]. яний при "включении" t . Видно, что для достаточно типичного значения t /t = — 0.4 наблюдается лишь небольшой провал (псевдощель) (Рис. 15 (Ь)). В более ранней работе [45] было показано, что это понижение плотности состояний довольно слабо зависит от величины корреляционной длины (см. вставку Рис. 16 (а)). На Рис. 16 приведены данные по плотности состояний для различных комбипа-торик диаграмм при t /t = —0.4 и t /t — —0.6 [45]. Видно, что при t /t — —0.6 (что нехарактерно для ВТСП-купратов) "горячие точки" на поверхности Ферми имеются (см. Рис. 12 (Ъ)), но псевдощель в плотности состояний практически не видна (Рис. 16 (Ь)). Заметно лишь замытие Ван-Хововской особенности, существующей в отсутствие рассеяния на флуктуациях. В этом смысле, наиболее яркие проявления псевдощели имеют место не в плотности состояний, а в спектральной плотности, что, Б общем, вполне соответствует эксперименту.
В следующей главе диссертации получено рекуррентное соотношение для вершинной части и рассчитана оптическая проводимость для различных геометрий поверхности Ферми. В предыдущей главе были проанализированы одночастичные свойства рассматриваемой модели "горячих точек", такие как спектральная плотность и плотность состояний. Замечательной особенностью этой модели является возможность суммирования всего ряда фейнмановских диаграмм также и в двухчастичной задаче вычисления вершинной части, описывающей отклик системы на внешнее возмущение (например электромагнитное поле) [38, 41, 42]. В упрощенном варианте модели "горячих участков" на поверхности Ферми соответствующие расчеты оптической проводимости в двумерном случае были проведены в работе [69]. Целью настоящей главы является детальное рассмотрение как теоретических основ расчета двухчастичных свойств в рамках общей модели, так и проведение расчетов оптической проводимости для различных геометрий (топологий) поверхности Ферми (Рис, 11,12), возникающих при использовании достаточно "реалистического" вида спектра свободных электронов (1). Дальнейшие изложение этой главы основано на работах автора с Садовским [57, 58]. Для расчета оптической проводимости требуется вычисление вершинной части, описывающей электромагнитный отклик системы. Эта вершина может быть найдена методом, предложенным для аналогичной одномерной модели в работах [41, 42]. Любой график для неприводимой вершинной части может быть получен вставкой линии внешнего поля в соответствующий график для собственно энергетической части [38,39]. Поскольку в нашей модели можно учитывать только диаграммы для собственно - энергетической части без пересечения линий взаимодействия с дополнительными комбинаторными множителями s(k) в "начальных" вершинах, при вычислении вершинных поправок достаточно рассмотреть только диаграммы типа показанной на Рис. 17 (а). Отсюда сразу же возникает система рекуррентных уравнений для вершинных частей, показанная графически на Рис. 17 (Ь).
Расчет проводимости и основные результаты
Численные расчеты проводились непосредственно по формулам (32), (27), (14), причем рекуррентная процедура, как и при расчете одночастичных свойств, обрывалась на достаточно высоком "этаже" к, где все Sfc и Г полагались равными нулю. Интегрирование в (32) осуществлялось по всей двумерной зоне Бриллюэна. Импульсы интегрирования естественным образом обезразмериваются постоянной решетки а, а все энергии, как и ранее, приводятся в единицах интеграла переноса t. Проводимость при этом измеряется в единицах универсальной проводимости двумерной системы то = % = 2.5 10" ом-1. Следуя работам [57, 58], примем значение W = t и проанализируем зависимости проводимости от частоты для различных форм поверхности Ферми. Рассмотрим сначала случай поверхностей Ферми вблизи половинного заполнения зоны {і = 0 и t = 0, которые показаны (для первого квадранта зоны Бриллюэна) на Рис. 11 (а). Для fj, = 0 и t = 0 поверхность Ферми представляет собой, как хорошо известно, квадрат (полный "нестинг"), так что ситуация, в известном смысле, эквивалентна одномерному случаю, который рассматривался в [38, 39, 41, 42]. Результаты расчетов для действительной части оптической проводимости в рассматриваемой здесь двумерной модели, для случая спин - фермионной комбинаторики диаграмм и различных значений корреляционной длины ближнего AFM порядка (параметра к = -1, где измеряется в единицах постоянной решетки а) приведены на Рис. 20. Качественный вид проводимости вполне аналогичен найденному для одномерной модели (для случая несоизмеримых флуктуации CDW - типа) в работах [41, 42, 62]. Он характеризуется наличием ярко выраженного пика поглощения через псевдощель (соответствующие кривые для плотности состояний, демонстрирующие наличие псевдощели вблизи уровня Ферми, были показаны на Рис. 15 (а)) при w 2W и наличием максимума в области малых частот, связанного с локализацией носителей в статическом случайном поле AFM флуктуации. Сужение локализационного пика при уменьшении корреляционной длины флуктуации объясняется, как это отмечалось в [42], уменьшением эффективного взаимодействия (6) при уменьшении (при фиксированной величине W), что приводит к общему уменьшению рассеяния, в том числе и на "холодной" части поверхности Ферми. Отметим, что найденное здесь поведение опти- ческой проводимости находится в полном качественном соответствии с результатами, полученными для аналогичной двумерной модели пайерлсовского перехода квантовым методом Монте - Карло в работе [65].
Если теперь, сохраняя значение ft = 0, "включить" интеграл переноса / между вторыми ближайшими соседями в (1), мы перейдем к отличным от квадрата поверхностям Ферми, показанным на Рис. 11 (а). Соответствующие кривые для действительной части оптической проводимости показаны на Рис. 21 (а). Видно, что по мере отхода от ситуации полного "нестинга", пик поглощения через псевдощель уменьшается, а лока-лизационный пик (в соответствии с общим правилом сумм для проводимости) растет. Заметим, однако, что пик поглощения через псевдощель остается достаточно заметным, даже когда псевдощель в плотности состояний практически не заметна (кривые 4 на Рис. 15 (Ъ) и Рис. 21 (а)). Вернемся к случаю t = 0, но будем менять величину , переходя к поверхностям Ферми достаточно близким к квадрату, показанным на Рис. 11 (Ь). В этом случае "горячие точки" на этих поверхностях Ферми вообще отсутствуют, однако спектральная плотность, показанная на вставке на Рис. 11 (Ь), сохраняет характерный псевдощелевой вид. Соответствующие зависимости для действительной части оптической проводимости показаны на Рис. 21 (Ь). Перейдем теперь к рассмотрению различных геометрий поверхности Ферми с "горячими точками", показанных на, Рис. 12. На Рис. 22, 23 показана действительная часть оптической проводимости, рассчитанная (при различных комбинаториках диаграмм) для двух характерных значений f — —0.4І и f = — О.бі при значении хим-потенциала ц = 0, когда "горячие точки" находятся па диагонали зоны Бриллюэна (кривая 5 па Рис. 12 (а) и кривая 4 на Рис. 12 (Ь)). Из Рис. 23 видно, как происходит "замытие" псевдощелевого максимума проводимости при уменьшении корреляционной длины ближнего порядка. Локализационная природа наблюдаемого максимума при малых частотах подтверждается его превращением в характерный "друдевский" пик (с максимумом при w = 0) при расчетах в "лестничном" приближении (пунктирная кривая на Рис. 22), когда комбинаторные множители s(k) = 1, что соответствует "выключению" вклада перекрестных графиков, непосредственно приводящих к двумерной андерсоновской локализации [66, 67]. Качественный вид проводимости в этом случае также вполне аналогичен найденному в [42]. Для большинства высокотемпературных сверхпроводников на основе оксидов меди характерна геометрия поверхности Ферми, описываемая случаем t = —0.4t и ц = — 1.Зі [37] (показанная кривой 3 на Рис. 12 (а)). Результаты расчетов оптической проводимости для этой ситуации при различных значениях обратной корреляционной длины к приведены на Рис. 24, как для соизмеримой комбинаторики (Рис. 24 (а)), так и для спин - фермионной комбинаторики диаграмм (Рис. 24 (Ь)).
При этом мы ввели дополнительное слабое рассеяние за счет неупругих процессов путем стандартной замены ш -4 ш + г 7 [68], которое приводит к появлению узкого "друдевского" пика в области частот и 7 (разрушение двумерной локализации за счет процессов сбоя фазы). Нетрудно убедиться, что с ростом частоты неупругого рассеяния 7) локализационный максимум "замывается" и переходит в "обычный" друдевский пик в области малых частот. Максимум поглощения через псевдощель в спии-фермионном случае (Рис. 24 (Ь)) становится более заметным с ростом корреляционной длины (уменьшением параметра к). Для модели с комбинаторикой диаграмм, соответствующей соизмеримым флуктуациям CDW - типа, максимум поглощения через псевдощель практически незаметен (Рис. 24 (а)). На Рис. 25 приведены частотные зависимости эффективной частоты рассеяния 1/т(ш) и эффективной массы т (ш), определяемых из результатов наших расчетов с помощью обобщенной формулы Друде, часто используемой при обработке экспериментальных данных [18]: Представляет интерес привести данные расчетов оптической проводимости в той области изменения ft на Рис. 12 (Ь), в которой происходит изменение топологии поверхности Ферми. Соответствующие результаты для случая соизмеримой комбинаторики приведены на Рис. 20, где можно проследить изменение локализационного пика проводимости при прохождении химического потенциала через область топологического перехода, связанного с изменением поверхности Ферми. Слабый максимум, со- ответствующий поглощению через псевдощель при этом практически не меняется. На вставке на Рис. 26 показана эволюция локализационного пика при "включении" неупругих процессов рассеяния (параметра 7) Для случая ц — —1.82. Ясно видно, как происходит переход от локализационного к друдевскому поведению за счет процессов сбоя фазы. Полученные результаты показывают, что само по себе изменение топологии поверхности Ферми не приводит к сильным качественным изменениям в оптической проводимости в рамках рассматриваемой модели. Проведенное в данной главе диссертации рассмотрение демонстрирует многообразие результатов, которые могут быть получены в рассматриваемой модели для различных топологий поверхности Ферми, возникающих при изменении параметров "затравочного" спектра квазичастиц (1). Интересно сравнить эти данные с результатами, полученными ранее в упрощенной модели "горячих участков" на поверхности Ферми [69]. В силу того, что псевдощелевые особенности в модели "горячих участков" определяются, в основном, сильным рассеянием именно на этих (плоских) участках поверхности Ферми и их относительным размером, локализационный пик проводимости в этой модели был почти не заметен, а доминирующую роль в области малых частот играл друдевский пик, связанный с рассеянием на "холодных" участках, определявшийся дополнительным параметром рассеяния 7 (аналогичным по смыслу, вводившейся выше частоте рассеяния за счет неупругих процессов).
Уравнения Горькова
В предыдущем разделе диссертации были рассмотрены характеристики сверхпроводящего состояния вблизи температуры Тс, а сейчас, следуя работе автора с Кучинским [74] j проанализируем сверхпроводящие свойства сверхпроводника (з и й-типа) с псевдощелью в широкой области температур Т Тс. Для этого в данном разделе диссертации построена система рекуррентных уравнений Горькова, с учетом всех фейнмановских диаграмм теории возмущений по взаимодействию электрона с флуктуациями ближнего порядка, вызывающими сильное рассеяние вблизи "горячих точек". Анализируется влияние немагнитных примесей на сверхпроводимость в таком псевдощелевом состоянии. Найдены критическая температура сверхпроводящего перехода и температурное поведение энергетической щели в зависимости от эффективной ширины псевдощели, величины корреляционной длины флуктуации ближнего порядка и частоты рассеяния на примесях. В сверхпроводящем состоянии теория возмущений по взаимодействию с AFM флуктуациями (6) должна строиться на "свободных" нормальных и аномальных функциях Грина сверхпроводника: В общем случае сверхпроводящая щель анизотропна и имеет вид (35): А{р) — Де(р). Здесь и далее, чтобы не загромождать формулы, под щелью Д будем понимать именно Д(р), явно выписывая импульсную зависимость только там, где это необходимо. Следуя работе Кучинского и Садовского [71], можно сформулировать систему рекуррентных уравнений Горькова, учитывающих рассеяние на флуктуациях ближнего порядка во всех порядках теории возмущений. Вклад произвольной диаграммы N-го порядка по взаимодействию (6) в полную нормальную или аномальную функцию Грина имеет вид произведения N -f 1 "свободных" нормальных Gokj и аномальных FQJ.- Функций Грина с определенным образом перенормированными частотами и щелями. Здесь kj - число линий взаимодействия, охватывающих данную j-ю (от начала диаграммы) электронную линию. Как и в нормальной фазе, вклад любой диаграммы определяется набором целых чисел kj, а каждая диаграмма с пересечением линий взаимодействия оказывается равной некоторой диаграмме того же порядка без пересечения этих линий.
Поэтому мы можем рассматривать лишь диаграммы без пересечения линий взаимодействия, учитывая вклад остальных диаграмм комбинаторными множителями г (А;), которые приписываются линиям взаимодействия 14. В результате получаем диаграммный аналог уравнений Горькова [79], приведенный на Рис. 46 (а). Здесь, как и в дальнейшем, верхний знак перед W2 в соотношении для F+ относится к случаю как зарядовых (CDW) так и гейзенберговских спиновых (SDW-Н) (см. Приложение А) флуктуации, нижний - к случаю изинговых спиновых (SDW-I) флуктуации. Соответственно возникает два связанных рекуррентных уравнения для нормальных и аномальных функций Грина 15: Интересующие нас нормальная и аномальная функции Грина сверхпроводника определяются через JRO, Jo и Д: и представляют собой полностью просуммированный ряд теории возмущений по взаимодействию электрона в сверхпроводнике с диэлектрическими флуктуациями ближнего порядка. В случае s -спаривания сверхпроводящая щель при перебросе на вектор Q остается неизменной, т.е. е(р + Q) = е(р), также как в модели с плоскими участками на поверхности Ферми рассмотренной в работе [71], тогда Д +і = Ак. В частности, в случае 5-спаривания и зарядовых (CDW) флуктуации, когда г (A;) = s(k), рекуррентные соотношения для Jk и Д полностью совпадают, так что J = Д. В случае d i спаривания сверхпроводящая щель при перебросе на Q меняет знак (е(р + Q) = — е(р)), поэтому Діь+і = — Ak и рекуррентные соотношения для fk и Jk отличается знаком перед вторым слагаемым в случаи зарядовых (GDW) и гейзенберговских флуктуациях (SDW-H). Таким образом, изменение знака щели при перебросе полностью эквивалентно смене знака перед вторым слагаемым в рекуррентном уравнении для аномальной функции Грина (последнее уравнение в (79)), т.е. эквивалентно переходу к случаю изинговых спиновых (SDW-I) флуктуации (r(fc) = s(k)). Поэтому в случае изинговых спиновых (SDW-I) флуктуации виды спаривания меняются местами. Случаю $ спаривания, когда щель при перебросе неизменна, соответствуют рекуррентные уравнения для Jk и /к различающиеся знаком, а в случае ds2„y-i спаривания рекуррентные соотношения для этих величин совпадают и Jk — /ь Таким образом, ± в (79) относятся к типу флуктуации, а знак отношения - - определяется типом спаривания. Окончательно, рекуррентное уравнение для аномальной функции Грина принимает вид: где теперь знак перед W2 полностью определяется Таблицей I. При рассмотрении сверхпроводника с примесями в псевдощелевом состоянии, считая беспорядок достаточно слабым, ограничимся классом диаграмм, в которых пунктирные линии рассеяния на примесях не пересекаются между собой и с волнистыми линиями рассеяния на диэлектрических флуктуациях 16 Рассмотрим нормальную GQO И аномальную оо функции Грина, определяемые диаграммным уравнением, представленным на Рис. 46 (Ь), где под примесной линией стоят полные "одетые" рассеянием на примесях и на диэлектрических флуктуациях нормальная G и аномальная F функции Грина. В явной форме соответствующие уравнения имеют вид:
В отсутствие диэлектрических флуктуации G — Goo, F = Foo и диаграммные уравнения на Рис. 46 (Ь) и (82) переходят в обычные уравнения Горькова для сверхпроводников с примесями [79]. Нормальные и аномальные функции Грина Goo, оо, определяемые уравнениями (82), имеют вид свободных функций Грина (71) с перенормировашюй примесями частотой и щелью: 17 Перенормирующие частоту и щель множители г)с и 7/д, введенные в (85), зависят от рассеяния на диэлектрических флуктуациях, т.е. от W, однако эти множители не зависят от импульса. Это позволяет построить теорию возмущений по взаимодействию с диэлектрическими флуктуациями на "одетых" рассеянием на примесях нормальной и аномальной функциях Грина Goo, - аналогично тому, как это делалось на свободных функциях Грина (71) в отсутствие примесей. Все результаты, полученные в отсутствие примесей, воспроизводятся с учетом замены п І/ЇЄТІ, Д — 7л Д- В результате система рекуррентных уравнений для Jk, Rk и / , определяемых (78), имеет такой же вид (79), 17 Перенормировка действительной части спектра р = р + pU2 \ ReG сводится к незначительной (как показывают численные оценки) нерепормировке химического потенциала и которой мы в дальнейшем пренебрегаем. Рекуррентное уравнение для аномальной функции Грина Д переписывается в виде (81) с учетом замены (87) в присутствие примесного рассеяния. В случае s-спаривания T}S = т/д и мы имеем: при этом, как и в отсутствие примесей, рекуррентные уравнения для J& и Д просто совпадают в случае зарядовых флуктуации, т.е. Jj, = Д. В случае -спаривания вследствие анизотропии сверхпроводящей щели р F — 0 и т/д = 1, соответственно (86), (87) принимают вид: Коэффициенты перенормировки i?e, 7}д должны определятся самосогласованно с рекуррентной процедурой, так что из (85) для этих коэффициентов получаем: Такое самосогласование перенормированных коэффициентов и рекуррентной процедуры (79) приходится проводить для каждого значения мацубаровской частоты, что сильно замедляет численный счет. Поэтому, наряду с описанной выше самосогласованной схемой учета примесей и диэлектрических флуктуации, будем использовать и более простое не самосогласованное приближение, в котором предполагается, что под примесными линиями в диаграммных уравнениях Рис. 46 (Ь) стоят свободные функции Грина Goo и FOQ. 1S В этом приближении определение коэффициентов перенормировки Tjs, т)ъ. не вызывает затруднения:
