Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ОПЕРАТОР ЭВОЛЮЦИИ В ДВУМЕРНОЙ БЕЗМАССОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 23
1.1. Оператор эволюции 5 (Т) в кулоновской калибровке 25
1.2. Вычисление интеграла по ферми-полям 32
1.3. Окончательное выражение для оператора
эволюции 36
1.4. Спектр и кварковая структура возбуждений в
модели Швингера 42
ГЛАВА 2. КВАРКОВАЯ СТРУКТУРА ВАКУУМНЫХ СОСТОЯНИЙ В КЭД2 50
2.1. Вакуумное состояние с Q=K=0 в модели Швингера 52
2.2. Киральные и заряженные вакуумы в модели Швингера 63
2.3. Вакуумные состояния модели с несколькими сортами кварков 68
ГЛАВА 3. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ КЭД2 И МЕТОД БСВОНИЗАЦИИ 75
3.1. Бозонизация двумерных моделей и возбужденные состояния модели Швингера 76
3.2. Возбужденные состояния КЭД2 с несколькими флэйворами 83
3.3. Механизм исчезновения R и L зарядов в модели
с несколькими сортами кварков 86
ГЛАВА 4. КОНФИГУРАЦИИ Э.М.ПОЛЕЙ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ ЭКРАНИРОВАНИЕ ЗАРЯДА И НЕВЫЛЕТАНИЕ В КЭД2. ... 89
4.1. Классификация и свойства полей с ) (А)=0 ... 89
4.2. Физическая роль полей с 2) (А) = 0 в КЭД^ 98
ГЛАВА 5. ПРОЦЕСС е+е" - АННИГИЛЯЦИИ В КЭД2 104
5.1. Роль полей с б(А) = 0 в процессе е+е~-аннигиляции в КЗД2 105
5.2. Процесс адронизации в КЭД^ НО
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 115
ПРИЛОЖЕНИЕ 117
П.І. Диаграммный вывод выражения для &(*) 119
П.2. Амплитуда перехода ^0|SlO> v 123
П.З. Условие унитарности 131
ЛИТЕРАТУРА 135
- Оператор эволюции 5 (Т) в кулоновской калибровке
- Вакуумное состояние с Q=K=0 в модели Швингера
- Бозонизация двумерных моделей и возбужденные состояния модели Швингера
- Классификация и свойства полей с ) (А)=0 ...
- Роль полей с б(А) = 0 в процессе е+е~-аннигиляции в КЗД2
Введение к работе
В настоящее время единственным кандидатом на роль теории, описывающей сильные взаимодействия, является квантовая хромодина-мика (КХД) /1,2/. Эта теория достигла больших успехов при рассмотрении "микроскопических" свойств адронов при больших энергиях (см. например /3-5/). Успехи КХД связаны главным образом с тем, что эффективная константа связи LS в ней убывает на малых расстояниях /б/ и поэтому там можно использовать теорию возмущений. На больших расстояниях oCs становится большой и требуется выход за рамки теории возмущений. В последние годы был развит ряд таких методов (упомянем, например, подход, основанный на решеточной формулировке КХД /7-9/, использование правил сумм КХД /10,11/, разложение по числу цветов /12-14/ и т.д.) и найден ряд нетривиальных свойств этой теории /15-18/. Однако, до сих пор, большое число основных проявлений КХД, связанных с физикой больших расстояний (и в особенности с явлением конфайнмента) остаются непонятыми до конца. В этих условиях становятся актуальными сравнительно простые модели, которые воспроизводят те или иные черты КХД, но в которых соответствующие явления могут быть детально изучены (см.например /19-22/). Наиболее простой из них (и первой по времени открытия) остается квантовая электродинамика безмассовых электронов (кварков) в двумерном пространстве-времени (КЭДр_) /23/.
Несмотря на простоту КЭД (модель - точно решаема /24/) аналогия между ней и КХД оказывается достаточно глубокой. Прежде всего, в модели реализуется невылетание электрического заряда (играющего в КЭД2 роль цвета в КХД) и других квантовых чисел. Этот факт был продемонстрирован еще Швингером /23/ и доказан строго на основе точного операторного решения модели в работе /24/. Физические аспекты этого явления и его возможная связь с конфайнментом в КХД обсуждалась в работах /25-27/.
Подобно КХД модель содержит киральный конденсат /24/, механизм образования которого рассматривался в /28,29/. В настоящее время известно, что киральный конденсат в КХД /30/ играет весьма важную роль в образовании свойств адронов /10,31-32/. Проблема получения ненулевого значения кирального конденсата (в пределе безмассовых кварков) остается одной из центральных в КХД.
В связи с выпадением кирального конденсата в КЭДр, так же как и в КХД возникает V(i) -проблема /33/. Способы ее решения основанные на аномалии Адлера-Белла-Джакива (АБД) /34, 35/ и использующие, как известно (см. /36/ и обзор /37/) весьма нетривиальные свойства вакуумных состояний (конденсат топологического заряда, 9 -вакуум, необходимость существования духового полюса среди состояний теории) практически совпадают в обеих теориях. Отметим, что первые работы по U(0-проблеме при ее решении в КХД /38/ прямо апеллировали к аналогии с КЭДр.
Наконец, оказываются очень близкими и некоторые свойства физических процессов в КЭД2 и КХД. К сожалению, в КЭД^ существует только один такой процесс, который является аналогом процесса е+е" - аннигиляции в адроны /39/. В этом процессе воспроизводятся такие важные, экспериментально наблюдаемые свойства как: "мягкий конфайнмент" /40/ (несмотря на исходный линейный потенциал, действующий между кварками), независимость струй, различие времен экранировки заряда (цвета) и адронизации, партонная модель /39/, рождение последними наиболее быстрых адронов (см. /25,26/ и ссылки там) и т.д.
Из сказанного ясно, что свойства КЭД^ действительно во мно- гом напоминают основные черты КХД. В то же время в КЭДр эти свойства могут быть изучены и поняты до конца, поскольку модель является точно решаемой. Поскольку в КХД в ряде случаев механизм их возникновения неизвестен, изучение его в КЭДр представляется актуальной задачей.
Это обстоятельство вызвало появление большого количества работ по данной теме. С тех пор как модель была открыта Швингером в 1962 г. /23/ и решена им методом функциональных уравнений (уравнений Швингера), КЭДр исследовалась с разнообразных точек зрения. Операторное решение в инвариантной калибровке в формализме Гупты-Блейера /41/ было построено в работе /24/. Физическая интерпретация этого решения и его связь с проблемой обесцвечивания и конфай-нмента в КХД была указана в работах Кошера, Когута и Зускинда /25, 26/. Картина процесса е+е~ - аннигиляции в квазиклассическом подходе и его аналогия с соответствующим процессом в КХД была установлена ъ /26/. Дальнейшее обсуждение этого процесса можно найти,например, в работе /42-45/ (см.также /22/). Исследование процесса е+е~ - аннигиляции в простых обобщениях КЭДр_ (например в КЭДр с добавочным векторным бозоном) было проведено в /27/. С диаграммной точки зрения модель изучалась, например, в работах /46,47/. Связь tr(i) проблемы в КЭД и соответствующей проблемы в КХД была указана в /38/. Связь кирального конденсата с проблемой обесцвечивания и конфайнмента в КЭДр впервые обсуждалась в работе /48/.
В работе /49/ модель Швингера рассматривалась при конечной температуре и плотности и было показано, что переход при температуре Т-*оо отвечает фазовому переходу к состоянию в котором кон-файнмент заряда отсутствует. Как известно /50/,решеточные вычисления показывают, что аналогичный вывод справедлив и в КХД.Далее,мо- дель Швингера послужила объектом для целого ряда решеточных исследований, из которых упомянем лишь /51-52/. Именно в этой модели были проверены те методы с помощью которых теперь проводятся вычисления с фермионами в решеточной версии КХД (см.например /53/).
С точки зрения евклидова функционального интеграла модель Швингера обсуждалась впервые в /54/. В этой работе была указана связь конфайнмента в КЭДо с так называемыми С-инстантонами (псев-дочастицами с полуцелым топологическим зарядом - двумерный аналог меронов), введенными ранее в /55/. Далее, в работе /56/ было показано, что сумма по инстантонному газу в КЭДр правильно воспроизводит все калибровочно инваринатные корреляторы модели. Аналогичная гипотеза в КХД продолжает обсуждаться (см.например /57/ и ссылки там). Связь структуры вакуумов в Кд^ с нетривиальными калибровочными преобразованиями в этой теории рассматривалась впервые в /55/ и исследовалась далее в работах /58,59/. (Обсуждение аналогичных вопросов в КХД можно найти в ряде работ, упомянем например /60/ и /17/). В /59/ обсуждалось также возможное несохранение фермионно-го числа в КЭД>, а в /61/ на основе развитых там методов - несохранение барионного заряда в реалистической теории.
Миогофлэйворный вариант КЭД^ рассматривался впервые в работе /62/. Ее спектр и свойства возникающих в этой модели киральных конденсатов изучались в /63/ методом, использованным ранее в /24/. Обобщение этой задачи на массивный случай и обсуждение вопросов нарушения флэйворной симметрии можно найти также и в /64,65/.
Список работ, исследующих КЭДр нетрудно продолжить, но мы ограничимся уже приведенными ссылками.
Целью диссертации было последовательное изучение свойств КЭДр с кварковой точки зрения и выяснение роли этих свойств в общем Мб- ханизме конфайнмента, действующем в этой модели. Дело в том, что большинство работ по КЭД используют подход, основанный на так называемой "бозонизационной" процедуре /66,67/, которая использует как бы непосредственно "адронное" представление для изучаемых величин. Между тем КХД, аналогию с которой мы ищем в КЭД^ формулируется именно в терминах кварков (и глюонов), и выяснение квар-ковой структуры адронов является само по себе весьма сложной проблемой. Поэтому формулировка основных свойств КЗДр_ в терминах кварков представляется интересной /68/.
Механизм невылетания в КЭДр_ исследовался в ряде работ. Как утверждается в /63,69-70/ этот механизм аналогичен хорошо известному механизму Хиггса /71/, который не способен обеспечить невы-летание триальности в реалистической теории. Действительно, как мы увидим ниже, многие черты этого механизма напоминают механизм Хиггса. Однако, по существу, между ними есть принципиальная разница. Прежде всего (как будет показано в диссертации, см.главу 2) в вакууме теории отсутствует какой-либо заряженный конденсат и, следовательно, заряд здесь точно и локально сохраняется, а калибровочная инвариантность спонтанно не нарушена. Возбуждения ("ад-роны") являются в КЭД^э связанными состояниями определенного числа кварков и антикварков; их волновые функции - собственные функции оператора заряда (и других квантовых чисел) с собственным значением, равным нулю. Иначе говоря, экранировка заряда в КдЛ^ является точной, а не статистической (в среднем) как это бывает,когда действует механизм Хиггса. Именно такой, как мы ожидаем, должна быть экранировка цвета в КХД.
Как будет показано в диссертации в КЭДр действует другой механизм обесцвечивания и невылетания, связанный с поляризацией ва- куума безмассовых кварков и основанный на полях, обращающих в нуль кварковый детерминант Д) (А) для системы фермионов во внешнем поле. Эти поля определяют все характерные свойства моделей КЭДо. Условно их можно разбить на два класса.
Доля первого типа (класса А) запрещают в КЭДр рождение заряженных (цветных) состояний и обеспечивают локальную экранировку введенных в теорию локальных зарядов. Во всякой теории с невылетанием амплитуда вероятности обнаружить кварк на больших расстояниях от антикварка должна быстро падать с ростом расстояния между ними /7/. Как будет показано в диссертации (глава Ч) в КЭДр это падение связано с тем, что самосогласованное (с учетом поляризации вакуума) поле кварка является полем класса А и, следовательно, кварковый детерминант &(А) для него обращается в нуль. Поэтому оказывается равной нулю и искомая вероятность, которая как мы увидим пропорциональна квадрату модуля S) (А). Этот механизм представляется единственным способом, с помощью которого поляризация вакуума безмассовых кварков может запретить существование в теории заряженных частиц. Для этого поля, отвечающие каждой заряженной конфигурации должны обращать в нуль кварковый детерминант 5!) (А), поскольку как это хорошо известно, именно «9(A) описывает эффекты поляризации вакуума. В такой простой теории как КЭДо этот факт может быть прослежен для любой конфигурации (см.главу 4).
Поля класса А не только запрещают рождение заряженных частиц, но и обеспечивают экранировку зарядов, введенных в теорию извне. Поля, обращающие в нуль кварковый детерминант, приводят к обязательному рождению новых кварковых пар. Действительно, для данного поля Э (А) представляет собой амплитуду вероятности не родить не одну пару. Вновь рождаемые пары образуют заряд экранировки в КЭД
Если же заряд не будет заэкранирован, то новая конфигурация зарядов вновь создаст поле класса А и процесс повторяется.
Поля класса А являются с точки зрения функционального интеграла, полями "нормального" порядка величины. Они хорошо убывают с расстоянием (как I /X/) и действие на них оказывается конечным. Это также есть прямое следствие того факта, что поляризация вакуума уже привела к экранировке исходного (линейно растущего) куло-новского потенциала, действующего между кварками. Здесь уместно сделать следующее замечание.
Ряд исследований /7,8/ связывают конфайнмент кварков в КХД с линейным потенциалом, действующим между статическими кварками, введенными в вакуум чистой глюодинамики. В этом смысле в КЭДр без кварков конфайнмент задан линейным ростом кулоновского потенциала*'. Однако, с введением в КХД легких кварков ситуация кардинально меняется. Здесь, как и в КЭД^, поляризация вакуума кварков должна заэкранировать линейный потенциал чистой глюодинамики (струна между кварками рвется, рождая кварковые пары). Поэтому цветные поля приводящие в чистой глюодинамике к явлению невылетания, в КХД с легкими кварками могут почти не проявляться, а специфика этой теории может определяться совсем другими конфигурациями полей. Аналогия с КЭДр^ указывает, что такими полями могли бы быть поля, обращающие в нуль кварковый детерминант.
Важную роль в КЭДр играет также другой класс полей (поля класса В), которые также обращают в нуль кварковый детерминант,но которые убывают с расстоянием быстрее, чем 1/х. Эти поля характе- *^ Ряд авторов /63,69-70/ рассматривают КЭД? с кварками как аналог чистой глюодинамики. Эта аналогия основана на различном характере экранировки в КЭДр целых и дробных зарядов и имеет место, как известно /70/, только для случая массивных кварков. - II - ризуются ненулевым значением двумерного аналога топологического заряда /60/: - Эти поля управляют киральными свойствами моделей КЭДр_. Свойства процессов, происходящих в этих полях тесно связаны с аномалией Адлера-Белла-Джакива /34,35/. Благодаря аномалии в полях с ненулевым топологическим зарядом происходит обязательное рождение R и L зарядов, хотя исходное взаимодействие (э.м.) сохраняет правый и левый заряд по отдельности. Интерпретация этого явления в кулонов-ской калибровке*' рассмотрена в диссертации. Прежде всего в КЭДр поля о ненулевым топологическим зарядом являются обязательно полями класса В, т.е. обращают в нуль кварковый детерминант и следовательно приводят к обязательному рождению дополнительных кварковых пар. Далее, оказывается, что в таких полях пары R и L кварков обладают весьма несимметричным распределением по импульсам. Именно, если QT целое число, то (при QT*>0) рождается не меньше Qr пар R и L кварков и антикварков,причем QT R-кварков (антикварков при&р^О) и столько же L -антикварков (кварков) несут очень малые импульсы, стремящиеся к нулю когда объем системы стремится к бесконечности. Эти кварки не учитываются при рассмотрении локальных величин (таких как плотность R и L зарядов) отчего и возникает видимое несохранение правого и левого зарядов.
Оба вида кварков, рождаемых полями В, играют важную роль. Кварки с малыми импульсами (<}а^и qL$ пары) образуют киральный конденсат модели. При этом процессы, происходящие в полях класса *' В инвариантной калибровке возникает несколько иная интерпретация того же самого явления (см./72/).
В во взаимодействующей теории могут быть описаны как вынужденные переходы в киральные вакуумы модели с обязательным рождением локального R и L зарядов. Локальные же R и L заряды в физических процессах образуют заряд экранировки, причем экранируются не только полный заряд, но и правый и левый заряд кварка по отдельности. После этого взаимодействие нейтральных по всем квантовым числам "адронов" КЭД с вакуумом модели отключается и их киральность оказывается сохраняющейся величиной; несмотря на присутствие кираль-ного конденсата.
Поля класса В определяют свойства физических процессов,таких как процесс е+е~ - аннигиляции. (Поля класса А проявляются только при рассмотрении задачи экранировки). Именно специфика процессов, происходящих в этих полях приводит к таким привлекательным свойствам этого процесса в КЭД как различие времен экранировки и адро-низацми, независимость струй и "мягкий" конфайнмент (см.ниже).Механизм невылетания, основанный на полях, обращающих в нуль кварковий детерминант кажется не связанным непосредственно с двумерным характером теории и возможно, обобщается на более реалистическую ситуацию. В принципе, он способен также обеспечить и невылетание триальности.
Диссертация построена следующим образом. В первых главах (главы 1-3) изучается кварковая структура физических состояний с точки зрения необходимых для механизма невылетания свойств, а в главе 4 демонстрируется как работает в КЭД2 механизм невылетания, основанный на полях с ЙКА)=0, и как эти поля обеспечивают требуемую кварковую структуру состояний. В главе 5 рассмотрен процесс е+е"" -аннигиляции и на основе результатов глав 1-А обсуждается каким образом заданная кварковая структура состояний и действующий в КЭД ме- - ІЗ - ханизм невылетания определяют те свойства этого процесса, которые приближают его к реалистической теории.
Для того, чтобы определить кварковую структуру состояний КЭД в диссертации строится оператор эволюции (Т) при конечном времени Т. Как известно /73/, этот оператор есть сумма по всем состояниям теории и может быть построен в любом представлении, в том числе и кварковом. Он зависит от операторов рождения и уничтожения, кварков и антикварков, отвечающих "координатам" волновой функции в начальном и конечном состояниях. Представляя (Т) в виде, в котором операторы рождения и уничтожения факторизованы друг от друга, можно решить задачу о построении волновой функции системы в кварковом представлении.
В калибровочной теории (как КЭДр^) среди состояний теории следует выделить физические, т.е. только те, которые удовлетворяют дополнительному условию выражающему собой закон Гаусса. Соответствующая процедура ведет, как известно /74/» к переходу в кулонов-скую калибровку, которую для случая КЭД^ надо, однако, доопределить. Это построение представляется необходимым, так как в литературе /24,63/ имеются утверждения, что кулоновская калибровка в КЭДо содержит ряд паталогий, делающих ее бессмысленной. Построение выполненное в главе I, показывает, что физическая часть оператора эволюции в кулоновской калибровке свободна от этих трудностей. Вместе с тем кулоновская калибровка играет в КЭД^ (как и в любой другой теории) выделенную роль, поскольку в ней исключены нефизические степени свободы (так, в двумерном пространстве-времени физическая часть оператора эволюции не зависит вовсе от продольных компонент А0 и Aj э.м. потенциала). Все результаты,относящиеся к физическим величинам в этой калибровке являются калибро- вочно инвариантными и имеют наглядную интерпретацию*'. Поэтому на протяжении глав 1-5 мы используем кулоновскую калибровку и лишь в Приложении для сравнения показано как действует механизм невылетания в инвариантной калибровке на примере процесса е+е~ - аннигиляции с диаграммной точки зрения (изучается механизм сокращения кварковых сингулярностей).
Оператор эволюции (Т) в главе I строится для двух вариантов КЗД: КЭД-p с одним электроном (модель Швингера /23/) и КЭД с несколькими типами (флэйворами) электронов /62/. Сравнение двух вариантов КЭД проводится на протяжении всей диссертации и позволяет прояснить многие черты действующего здесь механизма невылетания.
Для того, чтобы вычислить оператор эволюции & (Т) необходимо прежде всего построить оператор эволюции для задачи во внешнем поле, т.е. вычислить кварковый детерминант 3) (А) при конечном времени Т и функции Грина С (*,*') в заданном внешнем поле. Обычно используемая процедура определения 8) (А) (при Г-*00 ) наталкивается на неопределенность /26/, связанную с ультрафиолетовой расходимостью единственной диаграммы в КЭД^, определяющей в этой теории поляризацию вакуума /26,46/. Обычно эту диаграмму доопределяют исходя из требования калиброванной инвариантности. Как показано, однако, в главе 2 вычисление оператора эволюции в терминах кварков и антикварков дает однозначное (и калибровочно-инвариант-ное) определение для «) (А) и одновременно правильно доопреде- *' Между тем, большинство работ по КЭДо используют инвариантную (лоренцеву) калибровку, что затрудняет интерпретацию получаемых в них результатов. Вычисление средних по вакууму - одновременных функций Грина (например < V+MVfrtP ) требует в других калибровках построения калибровочно инвариантных объектов ^в данном случае оператора "со струной" <" Ч/*(х) e*p(ie*J jj JxЛf(^)> ляет швингеровекую (в коммутаторе двух токов) и адлеровскую /34/ аномалии.
Дальнейшее вычисление 2 (Т) сводится к интегрированию по потенциалу AQ с весом, отвечающим действию э.м. поля. Соответствующий интеграл в КЭДр_ оказывается гауссовым, что позволяет провести интегрирование до конца. Одновременно находятся перевальные поля, определяющие все последующие свойства состояний. Это - поля А- и Б-типа, обсуждение роли которых в КЭд^ проводится ниже.
Оператор эволюции 5 (Т) в кулоновской калибровке
Дополнительное условие (5.1) удобно решать в калибровке А О где все поля (включая и продольный э.м. потенциал i\ ) являются динамическими переменными. Оператор 5(Ту в этой калибровке может быть записан в виде функционального интеграла
Все фермионные операторы в (6.1) должны быть выражены через операторы рождения и уничтожения кварков и антикварков. Удобно выбрать их как операторы рождения и уничтожения правых (R ) и левых ( L) частиц. Разобьем оператор У(х) на части %(х) и % ( ) с киральностями - которое и определяет указанные операторы а , о .
Оператор Нвх (А4) в (6.1) есть гамильтониан заряженных фер-мионов во внешнем поле «і . Он имеет вид: ( -полный гамильтониан системы). Последний член ( - %/21Г А ) в (9.1) связан с неинвариантностью обычного гамильтониана относительно калибровочных преобразований. Действительно, в силу хорошо известной /23/ Швингеровской аномалии в квантовой теории коммутатор плотности заряда отличен от нуля. Обычно Швингеровскую аномалию учитывают, используя процедуру раздвижки /24,26/. Это ведет к переопределению операторов р ( ) и І (х) и приводит к формуле (9.1) для гамильтониана. Делая калибровочное преобразование над Иех (А±) , которое имеет вид (здесь /( ) - калибровочная функция), нетрудно убедиться, что именно гамильтониан (9.1) преобразуется (при учете (ЮЛ) правильным образом.
Интересно отметить, что в двух измерениях процедура раздвижки не является необходимой. Чтобы убедиться в этом, покажем, что
(10.I) может быть получено непосредственно, если выразить обычным образом j)(x) и Д (х) через операторы рождения и уничтожения кварков и антикварков ft ( ), б х)
Вакуумное состояние с Q=K=0 в модели Швингера
Выражения для матричного элемента оператора эволюции (49.1)
с R,L(nft 0 Ri.(mfc 0 » "- кварками и антикварками в начальном (конечном) состоянии были приведены в (50-51.1),(60.1). Далее,, в разделе Ч главы I было показано, что зависимость от времени вида е", р т , отвечающая безмассовым частицам сокращается в модели Швингера. Отбрасывая наконец факторы "tt0 , связанные с массовыми частицами, получим вакуумную часть оператора эволюции в виде:
Обратим внимание, что оператор (TJ (1.2) в конечном объеме явно сохраняет R и L заряды ( nft L= nRl , &)R Le wft L) по отдельности. Несохранение QR И QL соответствующее АБД-аномалии может быть прослежено только в предельном переходе "V - о (см.главу 4).
Переменные, относящиеся к начальному и конечному состоянию в (1.2) не запутаны и следовательно Sv&c сразу же имеет факто-ризованный вид (I.I). Это означает, что в каждом секторе с заданными квантовыми числами QR и QL в модели Швингера существует одно вакуумное состояние - вакуум -ftiQ (Q - заряд; KsQR-QL _ киральность рассматриваемого состояния).
Рассмотрим вначале сектор с Q=K=0. Тогда из (I.I) получаем следующую волновую функцию вакуумного состояния:
В формуле (3.2) мы восстановили для наглядности операторы кварков. Здесь jL - статсумма вакуума SIQ (она обеспечивает нормировку ЛПІ І)» которая дается формулой (65.1). Поскольку величина 2 экспоненциально велика в зависимости от объема, то, очевидно,что главный вклад в нормировку SLQ вносят члены с числом частиц, пропорциональным объему. Таким образом, вакуум SL0 представляет собой состояние взаимодействующих кварков и антикварков с конечной плотностью. Взаимодействие частиц в вакууме описывается функциями . В свободной теории Ф( )= I И OUQ = t0 .
Перейдем теперь к детальному обсуждению волновой функции вакуума (3.2). Из произвольного члена в Jt/0 с И операторами: можно выделить "связную часть" HV» , которая убывает при отведении любого комплекса wi частиц от остальных и- п частиц. Мы хотим написать для вакуума Л0 формулу аналогичную обычному представлению h -частичных функций Грина только через вклады от связных диаграмм /82/. Как известно, при этом функция Грина представляется в виде экспоненты от суммы связных диаграмм. Аналогичное представление существует и для dl0 , но оно усложняется тем обстоятельством, что как мы сейчас увидим, в вакууме Sh0 присутствуют связные комплексы с киральностью Н.+0 . В то же время из (4.2) следует, что вакуум ShD в целом должен быть полностью нейтрален. Это приводит к тому, что в обычной формуле в виде экспоненты от суммы связных частей, необходимо в ее разложении оставлять лишь члены с полной киральностью К=0. Мы обозначим эту процедуру про-ектором Б(К=0).
Бозонизация двумерных моделей и возбужденные состояния модели Швингера
С помощью введенных в главе I операторов плотности R и L зарядов QR и Q.L (В кулоновской калибровке эти операторы выражаются через операторы рождения и уничтожения кварков согласно (12.I)) построим операторы /87/
Тогда из формулы (10.I) для Швингеровской аномалии следует, что они коммутируют обычные операторы рождения и уничтожения бозонов
Обычно указывают, что плотности R и L зарядов Уи1 )% J- ) нуждаются в калибровочно инвариантном доопределении с помощью процедуры раздвижки. Однако, в главе I было показано, что p».t(x , выраженное через операторы рождения и уничтожения согласно (12.I) определено, и правильно воспроизводит Швингеровскую аномалию. В произвольной калибровке p ,tsPiele ЗДітЯ Сне зависит от к0)
Можно показать /77/, что именно эта величина калибровочно инвариантна и определяет число R. и L кварков.
Покажем, что с точностью до VV гамильтониан Н0 свободных безмассовых фермионов может быть выражен через эти операторы:
Полная эквивалентность этих выражений для Н0 не была замечена в работе /87/, поэтому решение модели в ней не было доведено до конца.
Для того, чтобы доказать формулу (4.3) выразим Ся и CL через операторы рождения и уничтожения кварков Х L и , согласно (12.I) и подставим в (3.3).
При перемножении выражений в квадратных скобках в (4.3) получится шестнбідцать членов, содержащих произведения четырех операторов рождения и уничтожения. Из дальнейших вычислений (которые проводятся одинаково для всех членов) станет ясно, что вклад в дают только два из них:
Представим И0 в виде полусуммы интеграла (5.3) и такого же интеграла, в котором проведена замена Мык прокоммутировали здесь операторы так, чтобы два оператора 2 (и 6R ) стояли рядом (коммутатор выписан в (13.I)). Возьмем теперь в первом члене интеграл по Р . Интеграл дает Ь(х #) и первый член переходит в:
что равно нулю в силу принципа Паули. Берем теперь интеграл по р в оставшихся двух членах в формуле (б.З). В результате интегрирования в них возникает полюс второго порядка при =х± /0 . Учитывая теперь, что а(х) (л( )) аналитично в верхней полуплоскости (см.(8.1)) можно выполнить интегрирование, замыкая интеграл на полюс. Окончательно получим - член, связанный с R кварками в формуле (3.3). Аналогично получается и член с L кварками.
Классификация и свойства полей с ) (А)=0
В этой главе, основанной на результатах работ /77,81/ будет показано, что центральную роль в моделях КЭД2 играют э.м. поля, в которых обращается в нуль определитель оператора Дирака системы фермионов во внешнем поле 2)(7)) . Именно эти поля ответственны за экранирование заряда и невылетание квантовых чисел в КЭД? к Уже говорилось во введении существенны поля двух типов с 3)(А) =0 (класс А и класс В). Поля класса А создают в КЭДо механизм экранирования, основанный на обязательном рождении компенсирующих зарядов в таких полях. Для полей класса В можно определить понятие изменения двумерного топологического числа. Поля класса В а) ведут к появлению кирального конденсата в вакууме КЭД2; б) определяют свойства состояний модели, обеспечивая (несмотря на присутствие кирального конденсата) сохранение киральности физических состояний; в) отвечают за "мягкий характер" перехода кварков модели в адроны в процессе разлета кварковой пары fo fL Се+е - аннигиляция" в КЭД2 - подробнее см.главу 5).
Классификация и свойства полей Э.М. поля, для которых детерминант оператора Дирака 2)(/?) равен нулю определяют кварковые конфигурации, которые система избегает в ходе своего развития.
Поясним это утверждение. Для этого выпишем вновь выражение для оператора эволюции 5 (Т) В КЭД2. через оператор эволюции во внешнем поле:
(см.формулу (39.1). Матричные элементы S(T) определяются заданием конфигураций кварков и антикварков в начальном ($( ), (Ю) и конечном (а (х), & (xf) состояниях. Очевидно, что если для каких-то квар-ковых конфигураций интеграл (1.4) определяется исключительно полями с 2)(4)=0, а функции Грина Ст7 остаются конечными в таких полях, то система не переходит в такие конфигурации, существует запрет на их рождение. Это особенно ясно в КЭД , где интегрирование по полю А всегда является гауссовым (см.главу I), а потому сводится (с точностью до несущественного для нас общего множителя) к подстановке в Sb(A) перевального поля А . Если же Я#)-+0 , то рассматриваемая кварковая конфигурация вносит малый вклад в норму любой физической волновой функции:
Роль полей с б(А) = 0 в процессе е+е~-аннигиляции в КЗД2
Полученные в /26/ выражения для плотности ft и L зарядов кварков: наглядно показывают лидирующий заряд ( -функция) и постепенно увеличивающийся вблизи светового конуса заряд экранировки. При /х- -; і второе слагаемое равно - и»1 , и при і$ ю"4- в малой области /тг1 скапливается заряд, достаточный для полной локальной экранировки, т.е. полной компенсации поля частицы.
На первый взгляд в процессе е е" - аннигиляции в КЭДр эффект поляризации вакуума не может привести к экранировке зарядов лидирующих кварков. Действительно, э.м. поле рождает лишь пары 9А$Л или %ІЛІ. частиц» летящих в одну сторону . Эти пары не меняют полного заряда ни в правой, ни в левой струе. Поэтому приходится предпола
Напомним, что в двух измерениях Я -кварки летят только направо, a L -кварки - только налево /26,43/, что между двумя лидирующими кварками натягивается струна зарядов экранировки, способная передать заряд от одного квар ка к другому. Кварки и адроны в такой картине рождаются в основном из области, лежащей посередине между лидирующими частицами, а струи должны быть жестко связаны вплоть до завершения процесса адрониза-ции системы (т.е. времен і Ро/т , где Р0 - начальная энергия лидирующей частицы).
Однако, как было показано в предыдущей главе, система КЭДр не может изменить свою киральность. Поэтому киральность рожденной внешним источником пары % L должна быть заэкранирована за счет эффектов, возникающих в полях класса В. Вычисляя э.м. поле Е(х,0» возникающее в процессе (см.(1.5),
