Содержание к диссертации
Введение
Часть I. Слабопелокальные структуры, интегрируемые иерархии и метод Уизема. 60
Глава 1. Общие свойства слабо-нелокальных Гамильтоновых и Симплектических структур. 60
Глава 2. Структуры гидродинамического типа. 70
Глава 3. Согласованные скобки гидродинамического типа и интегрируемые иерархии . 102
Глава 4. Метод Уизема и усреднение слабо-нелокальных гамильтоновых структур. 125
Глава 5. Усреднение слабо-нелокальных симплектических структур . 171
Глава 6. Слабо-нелокальные 1-формы и усреднение слабо-нелокальных Лагранжианов . 217
Часть II. Квазипериодические функции на плоскости и транспортные явления. ' 229
Глава 7. Теория квазипериодических функций и "модулированный"двумерный электронный газ. 229
Заключение. 279
Список литературы.
- Согласованные скобки гидродинамического типа и интегрируемые иерархии
- Усреднение слабо-нелокальных симплектических структур
- Слабо-нелокальные 1-формы и усреднение слабо-нелокальных Лагранжианов
- Теория квазипериодических функций и "модулированный"двумерный электронный газ.
Введение к работе
Актуальность исследования. Появление интереса к слабо-нелокальным гамильтоновым и симплектическим структурам связано прежде всего с теорией интегрируемых уравнений в частных производных. Насколько нам известно, первым примером гамильтоновой структуры, записанной в таком виде, стала скобка Соколова ([1]) для уравнения Кричевера-Новикова ([2]), связанного с решениями "ранга 2"уравнения Кадомцева-Петвиашвили. До этого были хорошо известны локальные гамильтоновы операторы, обобщением которых и являются слабо-нелокальные операторы. Важным моментом в развитии теории таких операторов явилась работа [3] (B.Enriquez, А.Орлов, В.Рубцов), в котором была выявлена слабо-нелокальная структура всех "высших"гамильтоновых операторов для иерархии КдФ, получаемых с помощью оператора рекурсии.
Другие важные примеры слабо-нелокальных гамильтоновых структур связаны с системами гидродинамического типа и также носят название гамильтоновых структур гидродинамического типа. Гамильтонов формализм систем гидродинамического типа, связанный с дифференциальной геометрией, появился в работах Б.А. Дубровина и СП. Новикова ([4, 5]), где была построена теория локальных дифференциально-геометрических скобок гидродинамческого типа. Как оказалось, именно такой формализм является тесно связанным с теорией интегрирования систем гидродинамического типа, т.е. систем вида
щ = v;(u)t/
Именно, как предположил СП. Новиков, системы гидродинамического типа, приводимые к диагональному виду
щ = v;(u)t/
и гамильтоновы по отношению к скобке Дубровина-Новикова произвольного вида с локальным гамильтонианом
/
+00 ft(U) dX 00
і *ОС^АЦЦОНАЛЫи'я /
і внммогЕкХ Я
являются вполне интегрируемыми.
Гипотеза СП. Новикова была доказана СП. Царевым ([6]), который предложил "обобщенный метод годографа", позволяющий решать системы такого типа.
Заметим при этом, что гамильтонова теория и теория интегрирования систем такого типа тесно связана также с методом усреднения Уизема ([7]) для интегрируемых уравнений. Именно, замечательным фактом системы Уизема, описывающей эволюцию медленно-промодулированных параметров точных m-фазных решений интегрируемых уравнений является ее диагонализуемость ([7, 8]) в указанном выше смысле. Кроме того, Б.А. Дубровиным и СП. Новиковым ([4, 5]) была предложена также процедура усреднения локальных теоретике-полевых гамильтоновых структур, дающих локальные гамильтоновы структуры гидродинамического типа (скобки Дубровина-Новикова) для соответствующих систем Уизема. Уаказанные обстоятельства составили при этом основу теории интегрирования систем Уизема для интегрируемых уравнений, а также построения важных решений таких систем.
Позднее, О.И. Моховым и Е.В. Ферапонтовым ([9]), а также Е.В. Ферапонтовым ([10, 11]), были построены важные слабо-нелокальные обощения скобки Дубровина-Новикова, представляющие собой наиболее общие гамильтоновы операторы для систем гидродинамического типа. Важнейшим обстоятельством для таких операторов явилось при этом то, что они также связаны с теорией диагонализуемых интегрируемых систем гидродинамического типа, как и локальные операторы Дубровина-Новикова. А именно, как следует из теоремы СП. Царева ([6]), интегрируемой с помощью "обобщенного метода годографа"является любая диагональная система гидродинамического типа допускающая гамиль-тонову структуру Дубровина-Новикова, Мохова-Феропонтова или Феро-понтова. Скобки Ферапонтова, являющиеся при этом операторами наиболее общего вида, могут рассматриваться при этом как наиболее общие слабо-нелокальные операторы гидродинамического типа.
В работе [12] СП. Новиковым и автором, был доказан факт, аналогичный результату [3] для иерархии НУШ. Именно, было доказано, что все "высшие"гамильтоновы операторы для иерархии НУШ имеют слабо-нелокальную структуру. Кроме того, было отмечено, что как в слу-
чае иерархии КдФ, так и в случае иерархии НУШ, слабо-нелокальную структуру имеют также "отрицательные "симплектические операторы, обратные к "отрицательным"операторам Гамильтона. Там же было отмечено, что структуры такого типа (т.е. слабо-нелокальные "положи-тельные"гамильтоновы операторы и "отрицательные"симплектические структуры), видимо, свойственны большинству интегрируемых иерархий.
Задача об описании геометрии линий уровня квазипериодических функций на плоскости была поставлена СП. Новиковым. Наиболее фундаментальное значение эта задача имеет в случае квазипериодических функций, имеющих три квазипериода. Именно этот случай соответствует задаче описания геометрии квазиклассических электронных траекторий на поверхностях Ферми сложной структуры в присутствии однородного магнитного поля В. Важность геометрических свойств таких электронных траекторий для гальваномагнитных явлений в пределе сильного магнитного поля была открыта школой И.М. Лифшица (И.М. Лифшиц, М.Я. Азбель, М.И. Каганов, В.Г. Песчанский). Тогда же ([13]-[19]) были исследованы многие примеры весьма интересных поверхностей Ферми и описаны различные режимы поведения проводимости в пределе сильного магнитного поля. Исследования, проведенные школой И.М. Лифшица, образовали классическую область физики твердого тела, которая и на данный момент является весьма важной при исследовании поверхностей Ферми и представляет собой, на наш взгляд, одну из наиболее красивых областей.
Теория гальваномагнитных явлений в металлах, развитая школой И.М. Лифшица, явилась основным стимулирующим фактором для построения математической теории слоений на периодических поверхностях, образованных линиями уровня замкнутой 1-формы, имеющей постоянные коэффициенты. Соответствующая задача была поставлена СП. Новиковым и детально исследовалась его школой (С.П. Новиков, А.В. Зорич, И.А. Дынников, СП. Царев). Как при этом оказалось, соотвествующая задача может являться источником довольно глубоких топологических наблюдений и нетривиальных структур. На данный момент можно сказать, что получено полное описание всевозможных возникающих случаев
в данной ситуации, так что в целом, эту задачу можно считать решенной ([20]-[29]).
Заметим, что полученные результаты являются важными также для теории гальваномагнитных явлений в металлах. Физические приложения топологических теорем исследовались СП. Новиковым и автором. В частности, при этом были введены топологические характеристики устойчивых "нетривиальных"режимов поведения проводимости, имеющие вид "топологических чисел", а также описаны новые режимы проводимости, могущие возникать при наличии сложных "хаотических"тра-екторий на поверхности Ферми.
В данной работе, однако, мы уделяем основное внимание более общей проблеме СП. Новикова, связанной с описанием геометрии линий уровня произвольной квазипериодической функции на плоскости. Отметим, что описанный выше случай является при этом частным случаем данной проблемы, соответствующим функциям с тремя квазипериодами. Надо сказать, что общая проблема СП. Новикова, вообще говоря, является еще более сложной и топологическая сложность этой проблемы нарастает с увеличением числа квазипериодов функции. На данный момент основным результатом на случай функций с четырьмя квазипериодами является теорема СП. Новикова ([30, 31]), утверждающая существование всюду плотных открытых множеств квазипериодических функций с "топологически регулярным "поведением линий уровня. Более сложные случаи также исследуются в настоящее время.
Мы будем рассматривать в части II квазипериодические модуляции двумерного электронного газа и соответствующие линии уровня возникающего модуляционного потенциала. Проблема описания геометрии таких линий уровня имеет при этом прямое отношение к гальваномагнитным явлениям в таких системах в пределе большой длины свободного пробега. Мы остановимся при этом подробно на случаях трех и четырех квазипериодов и будем интересоваться , главным образом, "топологически регулярным"поведении линий уровня. В частности, мы рассмотрим аналоги "топологических чисел", введеных ранее для гальваномагнитных явлений в металлах. Вообще же говоря, данное приложение по всей видимости, не является единственым для данной проблемы. Мы ожидаем, что в ближайшее время должны появиться как новые топологические
результаты, посвященные этой задаче, так и различные приложения, где она играет важную роль.
Научная новизна. Основные результаты, положенные в основу диссертации, получены впервые. Исследованы общие свойства слабо-нелокальных гамильтоновых и симплектических структур. Исследованы свойства слабо-нелокальных структур гидродинамического типа, согласованных структур такого типа и соответствующих интегрируемых иерархий. Исследована связь слабо-нелокальных структур с методом Уизема. Получены процедуры усреднения слабо-нелокальных структур. Исследована возможность создания квазипериодических потенциалов для двумерных электронных систем и рассмотрена задача СП. Новикова об описании геометрии линий уровня квазипериодических функций в применении к таким системам. Проведено сопоставление соответствующих результатов с рассматриваемыми ранее приложениями теории квазипериодических функций в теории нормальных металлов. Обсуждены также более сложные случаи, могущие возникать в таких системах.
Цель работы. В данной работе мы исследуем некоторые общие свойства слабо-нелокальных гамильтоновых и симплектических структур, касающиеся их нелокальных частей и важные для дальнейшего изложения. Затем мы более подробно остановимся на слабо-нелокальных гамильтоновых структурах гидродинамического типа, и, в частности, рассмотрим "Лиувиллевы"и "Канонические"формы таких скобок, а также подробно рассмотрим пространства их аннуляторов и "канонических функционалов". Мы рассмотрим затем симплектические структуры, соответствующие слабо-нелокальным скобкам гидродинамического типа, и, в частности, покажем, что они также имеют слабо-нелокальную структуру. Используя явный вид таких структур мы докажем существование "функционала импульса"для общей слабо-нелокальной скобки гидродинамического типа. Явный вид симплектических структур для скобок гидродинамического типа при этом будет также играть основную роль в определении "слабо-нелокальных симплектических структур гидродинамического типа". После этого мы рассмотрим пучки согласованных скобок гидродинамического типа и исследуем "интегрируемые иерархии", порожденные такими пучками. Затем мы обратимся к методу усреднения
Уизема и предложим процедуры усреднения как слабо-нелокальных га-мильтоновых структур общего вида, так и слабо-нелокальных симплек-тических структур, а также "слабо-нелокальных"Лагранжианов. Процедура усреднения слабо-нелокальных гамильтоновых структур будет давать при этом обшие скобки типа Ферапонтова для системы Уизема при условии, что исходная система допускает слабо-нелокальную гамильто-нову структуру общего вида. Процедура усреднения слабо-нелокальных симплектических структур позволяет строить слабо-нелокальные сим-плектические структуры гидродинамического типа для системы Уизема, исходя из слабо-нелокальных симплектических структур для исходной системы. Процедура усреднения "слабо-нелокальных" Лагранжианов позволит получать слабо-нелокальный формализм "гидродинамического ти-па"для систем Уизема, исходя из общего слабо-нелокального формализма исходной системы.
В части II мы подробно рассмотрим применение метода лазерного возбуждения низколежащих уровней для создания квазипериодических потенциалов в двумерных электронных системах. Мы покажем, что данный метод легко позволяет строить квазипериодические модуляционные потенциалы с произвольным числом квазипериодов, и расмотрим топологические характеристики получаемых потенциалов, учитывая специфику метода. В частности, мы рассмотрим с этой точки зрения действие "группы квазипериодов "и введем "топологичекие числа" для регулярных открытых линий уровня потенциала, исходя из специфики созданных потенциалов. После этого мы обсудим вопросы экспериментального наблюдения описываемых явлений, а также структуру "пространства параметров" квазипериодических потенциалов, естественно возникающих в описываемом подходе.
Практическая и теоретическая ценность работы. Полученные в диссертации теоретические результаты должны быть полезными при исследовании слабо-нелокальных гамильтоновых и симплектических структур общего вида, а также структур гидродинамического типа. Результаты должны иметь применение при изучении интегрируемых иерархий общего вида и гидродинамического типа, а также применение в теории медленных модуляций. Так, мы полагаем, что процедуры усреднения
слабо-нелокальных структур позволят получить слабо-нелокальные га-мильтоновы и симплектические струтуры для уравнений Уизема многих интегрируемых уравнений. Исследование квазипериодических модуляций двумерных электронных структур, на наш взгляд, может оказаться полезным при исследовании свойств двумерного электронного газа в таких структурах. Современные методы позволяют при этом получает самые разные квазипериодические модуляции с различными свойствами. Мы верим при этом, что рассмотренные вопросы могут оказаться полезными во многих таких структурах при исследовании транспортных явлений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседаниях Ученого Совета и семинарах ИТФ им. Л.Д. Ландау РАН, на семинарах SISSA-ISAS (Триест), University of Maryland, Конференциях: "Solitons, Collapses and Turbulence"Черноголовка, Август 1999; "Workshop on Whitham Equations and Their Applications in Mathematics and Physics"SISSA-ISAS, Триест, Ноябрь 27 - Декабрь 03, 2000; "Topology in Condensed Matter Physics", Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems, Дрезден, Июнь 17 - 21, 2002; "Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements, Developments and Perspectives", Черноголовка, Август 18-22, 2002; "Classification Problems in the Theory of Integrable Systems", SISSA-ISAS, Триест, Октябрь 1-5, 2002; Конференция им. И.Г. Петровского "Differential Equations and Related Topics", МГУ, Москва, Май 16-22, 2004; "12 Сессия Научного Совета РАН "Нелинейная Динамика", Институт Океанологии РАН им. Ширшова, 20-21 декабря 2004.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух частей, заключения и списка литературы.
Согласованные скобки гидродинамического типа и интегрируемые иерархии
Окончательное доказательство справедливости тождества Якоби для скобки (0.28) в общем случае было дано в [66]. Кроме того, в [62] была показана согласованность процедуры Дубровина-Новикова с процедурой Уизема усреднения локальных Лагранжианов в тех случаях, когда проведение обеих процедур является возможным.
В работе [63] были найдены все локальные скобки (0.11) для уравнений Уизема в случае уравнений КдФ, НУШ и Sine-Gordon. Кроме того, в работах [61, 64] были найдены иерархии слабо-нелокальных гамильтоновых структур для систем Уизема, соответствующих КдФ.
Мы в данной работе предложим процедуру усреднения абстрактной слабо-нелокальной скобки Пуассона (0.1), дающую слабо-нелокальную скобку (0.17) для системы Уизема (0.13) ([68, 69]). Кроме того, мы приведем также процедуру усреднения слабо-нелокальной симплектической структуры (0.2), и покажем также, что результатом такого усреднения является слабо-нелокальная симплектическая структура "Гидродинамического типа", допускаемая системой Уизема. В конце Части I мы рассмотрим также "слабо-нелокальные"Лагражианы, а также процедуру их усреднения. В целом, Часть I диссертации включает в себя следующие разделы: В главе 1.1 мы рассматриваем общие свойства слабо-нелокальных Гамильтоновых и Симплектических структур (0.1), (0.2), важные для дальнейшего изложения; В главе 1.2 мы подробно рассматриваем "Лиувиллеву"и "Канониче 28 скую" формы для ел або-нелокальных скобок гидродинамического типа, вводим "канонические функционалы"для скобок этого типа, а также вводим слабо-нелокальные симплектичєские структуры гидродинамического типа, связанные со скобками (0.17); В главе 1.3 мы рассмотрим пучки согласованных скобок (0.17) и выведем некоторые общие свойства для соответствующих интегрируемых иерархий; В главе 1.4 мы рассматриваем процедуру усреднения абстрактной слабонелокальной скобки Пуассона (0.1), дающую слабо-нелокальную скобку (0.17) для системы Уизема;
В главе 1.5 мы рассмотрим процедуру усреднения слабо-нелокальных симплектических структур (0.2), дающей слабо-нелокальные симплектичєские структуры гидродинамического типа для систем Уизема; В главе 1.6 мы рассмотрим "слабо-нелокальные"Лагражианы для исходной системы (0.7), а также их усреднение. Дадим теперь описание Части II.
Согласно стандартному определению, квазипериодическая функция в Rm с п квазипериодами (п т) есть ограничение n-периодической функции в пространстве R на плоскость Жт размерности твМ". В случае общего положения квазипериодическая функция не имеет точных периодов в Мт.
В нашем случае мы полагаем т = 2 и рассматриваем ограничения п-периодических функций на двумерные плоскости, имеющие различные направления в Жп.
Плоскость Ш2 в Rn может быть определена системой (п — 2) линейных уравнений имеющих форму l Xl + l X2 + ... + l Xn = с1 (0.30) 1(Г2)Х1 + ф 2)Х2 + ... + t 2)Xn = с""2 где Xі - Евклидовы координаты в Шп. Мы фиксируем при этом решетку С в Шп и соответствующую ей n-периодическую функцию F(X). На плоскости Ж2 мы фиксируем (линейные) координаты г — (х, у) и рассматриваем ограничение функции F(K).
Задача о классификации линий уровня квазипериодических функций на плоскости (проблема Новикова) состоит при этом в описании геометрии всех возможных незамкнутых линий уровня f(x,y) = const на плоскости М2.
Надо сказать, что тематика, связанная с геометрией линий уровня таких функций, обязана своим появлением исследованиям квазиклассических электронных траекторий на Ферми-поверхностях, начатым школой И.М. Лифшица (И.М. Лифшиц, М.Я. Азбель, М.И. Каганов, В.Г. Пес-чанский) в 1950-е годы. Именно, как было показано в [72], поведение маг-нитопроводимости в нормальном металле в пределе сильных магнитных полей существенно зависит от геометрии квазиклассических электронных траекторий, задаваемых системой
Усреднение слабо-нелокальных симплектических структур
Обсудим теперь другие возможности, связанные с "неустойчивыми"открытыми траекториями на поверхности Ферми. Заметим, что мы называем здесь открытую траекторию неустойчивой, если она исчезает или существенно изменяется при малых вращениях направления В.
Для этой цели мы разделим теперь направления В на три "категории":
1) Рациональные направления В. Мы называем направление В - рациональным, если плоскость, ортогональная В, содержит два линейно независимых вектора обратной решетки.
2) Направления В иррациональности 2. Мы называем направление В - направлением иррациональности 2, если плоскость, ортогональная В, содержит лишь один (с точностью до множителя) вектор обратной решетки.
3) Направления В иррациональности 3. Мы называем направление В - направлением иррациональности 3, если плоскость, ортогональная В, не содержит векторов обратной решетки.
Легко видеть, что направления иррациональности 3 являются направ лениями общего положения, в то время как два других типа имеют меру нуль на единичной сфере.
Для начала мы заметим, что для рациональных направлений В соот ветствующие картины в плоскостях, ортогональных В, являются пери одическими. Все незамкнутые траектории в этом случае (если они су .« ществуют) также являются периодическими и нетрудно показать, что они всегда в этом случае лежат в прямых полосах конечной ширины и проходят их насквозь. Единственное замечание здесь состоит в том, что периодические траектории не обязательно являются устойчивыми по отношению к малым вращениям В, и, следовательно, не проявляют в полной мере тех свойств, которые мы описали для устойчивых топологически регулярных траекторий. Простейший пример такой неустойчивой траектории приведен на Рис. 1, о. Кроме того, при наличии неустойчивых периодических траекторий такие траектории могут иметь различ-ные средние направления в различных плоскостях, ортогональных В. В последнем случае, суммируя вклады (0.33) в различных системах координат, мы получим тензор магнитопроводимости, имеющий полный ранг при и вт — со для данного направления В.
Замечания приведенные выше исчерпывают, вообще говоря, все возможности для несингулярных незамкнутых траекторий в случае рациональных направлений В.
Опишем теперь ситуацию в случае направлений В иррациональности 2. Заметим сразу, что неустойчивые периодические траектории могут су-ществрвать также и в этом случае. Простейший пример такой ситуации дается той же картиной Рис. 1, Ь, где периодические траектории возника ют всегда если В ортогонально оси цилиндра. Надо сказать, что вообще направления В, для которых возникают такие траектории всегда задают отрезки "больших"окружностей на единичной сфере. Тем не менее, ситуация, когда периодические траектории в разных плоскостях, ортогональных В, имеют разные средние направления в этом случае невозможна. Общий вклад всех таких траекторий в магнитопроводимость всегда, таким образом, имеет вид (0.33) в подходящей системе координат и общий тезор проводимости всегда в этом случае обладает сильной анизотропией при UJBT со в плоскости, ортогональной В.
Однако, неустойчивые периодические траектории уже не исчерпывают всех возможностей для неустойчивых траекторий в случае направления В иррациональности 2. Так, более сложные "хаотические"траектории могут возникать уже в этой ситуации. Соответствующий пример был впервые построен СП. Царевым ([85]) и явился первым примером хаотической траектории на поверхности Ферми. Мы не будем здесь описывать пример Царева подробно и скажем лишь, что несмотря на топологическую нерегулярность траектории Царева все же имеют асимптотическое направление в плоскостях, ортогональных В. Таким образом, в этих случаях мы все-таки имеем регулярный "дрейф"электронных состояний вдоль некоторого направления в р-пространстве, однако "осцилляции"в ортогональном направлении могут быть при этом сколь угодно большими для больших отрезков траектории. Как может быть показано ([90]), такая ситуация всегда имеет место для хаотических траекторий в случае направлений В иррациональности 2. Все такие траектории имеют одно и то же асимптотическое направление при фиксированном направлении В и никакие другие открытые траектории не могут при этом существовать дополнительно на поверхности Ферми. Мы будем называть траектории такого типа хаотическими траекториями Царева.
Слабо-нелокальные 1-формы и усреднение слабо-нелокальных Лагранжианов
Определение 7.1. Мы называем траекторию несингулярной, если она не примыкает к критической (седловой) точке функции V(r). Траектории, примыкающие к критическим точкам, также как и сами критические точки, мы называем сингулярными (Рис. 8).
Определение 7.2. Мы нызаваем несингулярную траекторию компактной, если она замкнута в плоскости Ж2. Мы нызаваем несингулярную траекторию - открытой, если она неограниченна в R2. Примеры сингулярной, компактной и открытой траекторий приведены на Рис. 9, ас. Легко видеть также, что сингулярные траектории имеют меру нуль среди всех траекторий на плоскости. Мы прежде всего будем интересоваться здесь геометрией открытых траекторий, поскольку мы собираемся рассматривать "геометрический"
Сингулярная, компактная и открытая квазиклассические траектрии. Знаки "+" и "—" отвечают областям больших и меньших значений V(r) соответственно. предел, соответствующий большому времени свободного пробега. В этом пределе, мы полагаем, что каждый центр дрейфующей орбиты принадлежит достаточно долгое время той же самой траектории дрейфа. Это означает, в частности, что все компактные траектории проходятся много раз центрами циклотронных орбит в промежутке между двумя актами рассеяния. Эта ситуация в точности соответствует также "геометрическому пределу сильных магнитных полей "в теории нормальных металлов ([72, 73, 74, 88, 93, 98]), где изучается проводимость нормальных металлов в присутствии магнитного поля. Здесь однако, "геометрический"предел не соответствует пределу сильных магнитных полей, в отличие от магни-топроводимости в металлах. В ситуации с двумерным электронным газом только предел оо может, таким образом, рассматриваться в качестве " геометрического" предела.
Определение 7.3. Мы называем открытую траекторию топологически регулярной или соответствующей топологически интегрируемому случаю, если она лежит в прямой полосе конечной ширины в плос 232
В простом случае периодической функции V(r) (N = 2) все открытые траектории являются периодическими, и мы имеем только "топологически регулярный"случай согласно нашей классификации. Однако, ситуации квазипериодической функции является более сложной и возникновение хаотических траекторий возможно уже в случае трех квазипериодов N = 3 ([85, 89]). Эти специальные траектории демонстрируют довольно сложное стохастическое поведение для квазипериодических потенциалов общего вида, однако в случае трех квазипериодов открытые траектории общего положения все-таки еще являются регулярными. Отметим здесь снова, что этот факт был впервые сформулирован СП. Новиковым в виде гипотезы и играет в настоящее время одну из важнейших ролей в теории гальваномагнитных явлений в металлах ([88, 93, 98]). Здесь мы также уделим основное внимание "топологически регулярной"ситуации в случае трех и четырех квазипериодов, и, в частности, покажем, каким образом здесь возникают аналоги топологических чисел наблюдаемых в нормальных металлах и упомянутых во Введении.
Опишем здесь вкратце квазиклассический подход к двумерному электронному газу, который мы собираемся рассматривать.
Квазиклассическое рассмотрение двумерного электронного газа в присутствии сильного магнитного поля В и потенциала V(r) было начато в [104] (C.W.J.Beenakker) всвязи с обнаружением осцилляции проводимости в зависимости от величины В ([101]). В экспериментах [101] (D.Weiss, K.v.KHtzing, K.Ploog, G.Weimann) был использован метод лазерного облучения (holographic illumination) двумерных структур AlGaAS — GaAS с большим временем свободного пробега при температурах Т А.2К. При этом уширенный лазерный пучок разбивался на два пучка, которые и создавали интерференционную картину с периодом а в плоскости образца. Лазерное облучение образца вызывало при этом дополнительную ионизацию нижележащих электронных уровней, при этом время обратной релаксации электронов на эти уровни в отсутствии излучения было достаточно большим. Как следствие этого, довольно длительное время после облучения в плоскости образца присутствовал (слабый) периодический потенциал V(x), влияющие на движение электронов в плоскости. В экспериментах изучалась при этом проводимость электронного газа в плоскости и ее зависимость от значения магнитного поля В, направленного перпендикулярно
Теория квазипериодических функций и "модулированный"двумерный электронный газ.
Добавим также, что топологически регулярные открытые траектории устойчивы также по отношению к малым локальным вариациям потенциала Vg (г), что позволяет наблюдать их также для "слегка неидеальных "квазипериодических потенциалов.
Перед тем, как обсудить специальные особенности, могущие возникать для полностью периодических (иррациональности 1) или "частично периодических" (иррациональности 2) потенциалов, мы скажем здесь несколько слов о "хаотическом"поведении открытых траекторий, возможных в случае єі(В) = єг(В) = єо{В).
Как мы уже говорили, для случая і(В) = {В) возможна как ситуация "топологически регулярных"траекториЙ, так и "хаотических"траекторий, ервая ситуация соответствует при этом случаю, когда соответствующий набор параметров (щ, щ, Т?з? яъ 2, &з ht h, h)i В принадлежит границе какой-либо из зон устойчивости Га. В этом случае все несингулярные открытые траектории являются регулярными и отвечают тем же самым числам (т т т ). Другая ситуация возникает, если набор параметров (771, 72, 3i аъ a2i a3i h, h, h)i В является точкой накопления уменьшающихся зон Га и не принадлежит границе никакой из зон Га. В этой ситуации на уровне Vg (г) = ео(В) возникает более сложное "хаотическое"поведение открытых траекторий дрейфа. Очевидно, что хаотическое поведение открытых траекторий является возможным только для потенциалов иррациональности 2 или 3 и невозможно для полностью периодических потенциалов. При этом оказывается, что хаотическое поведение, отвечающее случаю иррациональности 2 (хаотическое поведение Царева) и случаю иррациональности 3 (хаотическое поведение Дыннико 265
ва), существенно отличаются друг от друга.
Первый пример хаотической открытой траектории был построен СП. Царевым ([85, 89]) для случая иррациональности 2. Соответствующая хаотическая траектория имеет при этом асимптотическое направление но не может быть ограничена никакой прямой полосой конечной ширины в плоскости. R2. Как было позднее показано И.А. Дынниковым ([89]), только такое хаотической поведение и может наблюдаться для случая иррациональности 2. Асимптотическое поведение тензора проводимости также демонстрирует при этом сильную анизотропию в пределе т — со с несколько отличающейся от (7.5) зависимостью от т.
Примеры более сложных хаотических траекторий были построены И.А. Дынниковым ([89]) для потенциалов общего положения. Форма таких траекторий при этом действительно довольно "хаотична" (Рис. 10, Ь). Траектории этого типа не имеют асимптотических направлений и "заметают" всю плоскость Ж2. Форма тензора проводимости для таких траекторий также может быть выписана по аналогии со случаем нормальных металлов ([92]) и является более сложной, чем (7.5). Сделаем здесь при этом одно замечание. А именно, для траекторий такого типа, в случае со, вообще говоря уже нельзя исходить только из геометрических свойств траектории при расчете тензора проводимости. Причина этого заключается в том, что на достаточно больших расстояниях такая траектория подходит сколь угодно близко к самой себе в некоторых точках плоскости, что обусловлено близостью к седловым особым точкам при действии "группы квазипериодов"(Рис. 8, Ь). Как результат этого, в таких точках возможны "скачки"циклотронной орбиты с одной части такой
266
траектории на другую, что вносит случайность в дрейф циклотронной орбиты в К2. (Заметим, что в случае нормальных металлов аналогичные процессы обусловлениы внутризонным магнитным пробоем). Таким образом, чисто геометрические характеристики траектории престают играть при этом основную роль, и при достаточно больших г уже вероятностное блуждание орбиты начинает проявляться в поведении проводимости. Надо сказать, что эффекты такого типа проводят при этом к быстрому спаданию дрейфовой проводимости в пределе .
Заметим также, что оба описанных типа хаотических траекторий являются абсолютно неустойчивыми по отношению к малым вариациям параметров (т}1, Г}2, щ, оі, аг, аз 1, hi h) (но остаются хаотическими с теми же самыми глобальными свойствами при действии "группы квазипериодов "),
