Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Решение уравнения Гельмгольца в многосвязных волноводных областях с кусочно-постоянной границей 18
1.1 Математическая постановка краевой задачи 19
1.2 Понятие обобщенного решения краевой задачи 21
1.3 Теорема существования и единственности обобщенного решения краевой задачи 23
1.4 Вычислительный алгоритм решения краевой задачи...- 26
1.5 Обоснование сходимости алгоритма ..30
Выводы первой главы 36
Глава 2. Решение уравнения Гельмгольца в многосвязных волноводных областях с кусочно-гладкой границей 37
2.1 Физическая и математическая постановка краевой задачи 38
2.2 Численный алгоритм решения краевой задачи 41
2.3 Исследование существования и единственности приближенного решения краевой задачи 47
2.4 Исследование сходимости приближенного решения к точному 53
Выводы второй главы 60
Глава 3. Некоторые радиофизические приложения 62
3.1 Общие положения 62
3.1.1 Делители и сумматоры 63
3.1.2 Фильтры 65
3.2 Результаты моделирования волноведущих структур, включающих в себя разветвления и скачкообразные нерегулярности 67
3.2.1 Моделирование ступенчатого сочленения волноводов и анализ полученных результатов 68
3.2.2 Моделирование волноводно-диэлектрического резонатора 70
3.2.3 Моделирование многоканальных делителей мощности 77
3.2.4 Моделирование многозвенных фильтров и волноведущих структур, состоящих из последовательности базовых блоков 80
Заключение 88
Список литературы 90
Приложение 103
- Теорема существования и единственности обобщенного решения краевой задачи
- Исследование существования и единственности приближенного решения краевой задачи
- Моделирование ступенчатого сочленения волноводов и анализ полученных результатов
- Моделирование многозвенных фильтров и волноведущих структур, состоящих из последовательности базовых блоков
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена математическому исследованию и численному решению краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязных волноводных двумерных областях с бесконечными границами, имеющими критические точки.
Стремительный прогресс современной радиотехники и микроэлектроники сопровождается быстрым развитием теории и проектирования волноведущих систем и обладает ярко выраженной тенденцией к исследованию коротковолновой части сантиметрового и миллиметрового диапазона. При изучении волноводно-резонансных процессов в этом диапазоне длин волн возрастает потребность в точности проводимых расчетов и характеристик рассматриваемых систем. Размеры волноводных неоднородностей становятся соизмеримы с длиной волны, что требует рассматривать подобные задачи в многомодовом приближении, учитывая, таким образом, высшие типы волн и их дифракционное взаимодействие. Асимптотические методы и методы теории цепей не всегда могут обеспечить необходимую точность, а физический эксперимент часто является достаточно сложным, длительным и дорогостоящим, поэтому на первый план выходит разработка и обоснование математических методов решения волноводных задач в строгой электродинамической постановке.
В современной электронике широкое применение находят различные волноведущие системы: многоканальные линии передачи, устройства деления и умножения электромагнитной энергии, многоканальные и многозвенные фильтры, волноводные резонаторы и другие устройства.
Математическое моделирование физических процессов, происходящих в этих системах, приводит к необходимости постановки, теоретического исследования и численного решения соответствующих краевых задач для
уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязных волноводных областях с границами, имеющими критические точки.
Физические и геометрические особенности области и границ определяют математическую специфику рассматриваемых краевых задач: бесконечность и многосвязность волноводных областей, учет условий Мейкснера в критических точках границ этих областей, учет при численном решении краевых задач многомодовости и резонансного характера электромагнитных процессов.
Возникает потребность в разработке и обосновании соответствующего математического аппарата, построении эффективных математических моделей, учитывающих эти особенности, в частности, необходимость обобщения хорошо себя зарекомендовавших при решении подобных задач численных методов на многосвязные волноводные области.
Теория регулярных и нерегулярных волноводов как самостоятельное направление исследований в прикладной электродинамике начала развиваться ещё в 50-х годах прошлого века в связи с интенсивным развитием радиолокационной (техники, электроники и освоением дециметрового и сантиметрового диапазона электромагнитных волн. Результаты теоретических и экспериментальных исследований волноведущих систем того периода отражены в обширной литературе, в частности, в монографиях [1-6], справочниках [7,8], многочисленных периодических изданиях [9-21]. В них приведены сведения о собственных волнах волноводов различных поперечных сечений, об особенностях распространения электромагнитных волн, точные и приближенные методы расчета, эквивалентные схемы различных волноводных нерегулярностей в теории цепей и т.д.
Начало строгой математической теории волноводов было положено в классических работах А.Н. Тихонова и А.А. Самарского [11-13]. В работе [И] строго доказано, что любое поле в регулярном волноводе в области, свободной от внешних токов и зарядов, может быть представлено в виде суперпозиции ТЕ и ТМ волн. В работах [12,13] проведены фундаментальные исследования, послужившие основой для создания строгой математической теории возбуждения радиоволноводов произвольным распределением заданного тока. Большой вклад в развитие математических методов исследования и расчета дифракции электромагнитных волн в различных волноведущих системах внесли работы П.Е. Краснушкина, Г.В. Кисунько, Л.А. Вайнштейна [2,9,10,14]. В работах А.Г. Свешникова [20,21] впервые были предложены условия излучения, получившие название парциальных. Данный подход позволил при определенных условиях выделять единственное решение задачи дифракции электромагнитных волн на неоднородностях в волноводе. Установленные теоремы необходимы при строгой математической постановке и дальнейшем численном решении рассматриваемых задач.
Таким образом, можно сказать, что после фундаментальных работ указанных авторов и ряда других ученых высокочастотная электродинамика волноведущих систем превратилась в интенсивно развивающуюся строгую математическую теорию, определившую новое научное направление в математической физике.
Одновременно с развитием математической теории волноведущих систем развивались и численные методы их расчета. Решение задач распространения и дифракции электромагнитных волн на различных нерегулярностях в волноводе сводится к постановке и решению соответствующих краевых задач с учетом граничных условий и условий излучения [22-24]. Выбор математических методов решения поставленной краевой задачи прежде всего зависит от типа нерегулярности в рассматриваемой волноведущей области (волноводе) [25-27]. Эти нерегулярности носят обычно локальный характер, они могут быть сосредоточены в области порядка поперечных размеров волновода.
Если нерегулярный волновод мало отличается от регулярного или можно выделить какой-либо малый параметр, то достаточно эффективно применение методов, использующих асимптотические свойства решения при стремлении параметра малости к нулю [6]. Для расчета нерегулярных волноводов используются различные математические методы. Например, метод поперечных сечений [6], в котором требуется знание системы собственных функций соответствующей спектральной задачи в каждом сечении волновода, что делает это метод сложным для реализации в случае произвольной формы боковой поверхности волновода и ограничивает применимость метода достаточно частными случаями.
Достаточно распространено использование на практике метода частичных областей, позволяющего получать решение краевых задач для сложных областей, состоящих из простых подобластей. Формальная схема этого метода для задачи рассеяния на ступенчатом стыке двух произвольных волноводов была рассмотрена ещё в 1947 года Г.В. Кисунько [9]. Этот метод и его модификации применяются для расчета волноведущих систем, как с координатными, так и с некоординатными границами [4,9,28,44,45].
Весьма широкое применение для исследования нерегулярных волноводов получил предложенный и обоснованный А.Г. Свешниковым неполный метод Галеркина [15-19, 29-32]. Этот метод позволяет свести решение исходной краевой задачи к краевой задаче для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. На основе этого метода построены алгоритмы численного моделирования широкого класса волноведущих систем. Большой круг задач теории волноводов, в том числе с разной формой боковой поверхности и разными граничными условиями, с различным неоднородным заполнением внутренней области был решен при использовании неполного метода Галеркина и ряда его модификаций в работах А.С. Ильинского, В.П. Моденова и других авторов [33-39].
Для математического моделирования волноведущих структур различного типа, в частности со сложной формой боковой поверхности, где бывает трудно найти собственные волны для разложений полей, а также с неоднородным и анизотропным заполнением, весьма эффективно применение конечно-разностных методов и метода конечных элементов [40,43].
Отдельное место в решении волноводных задач занимает метод интегральных уравнений и его различные варианты [41,42,46,47]. Традиционно применяется ряд способов сведения исходной краевой задачи к интегральному уравнению. Так, например, интегральное уравнение можно получить с помощью формул Грина при сшивании представлений полей на границах частичных областей. Различные модификации рассматриваемого метода позволяют обойти ряд трудностей, которые могут возникнуть при решении рассматриваемых краевых задач с помощью других методов, применение которых порой бывает весьма трудоемким. Так, например, методом интегральных уравнений исследована разрешимость задачи дифракции на магнитодиэлектрическом теле [46].
Для решения волноводных задач в зависимости от ряда факторов применяются также вариационные методы [5], численно-аналитические методы [4,48,62,94], прямые проекционные методы [25,37,45,49-58] и другие.
При наличии в волноводе металлодиэлектрических нерегулярностей или частичного диэлектрического заполнения возникает необходимость обобщения традиционных подходов и методов на случай учета потерь в диэлектрике [59] или разработки дополнительного математического аппарата [26,27,60,61, 79,81,93]. Так для определения параметров частично заполненного волновода обычно достаточно исследовать его дисперсионное уравнение. К сожалению, такая возможность отсутствует в отношении большинства практически используемых волноводов, так как не всегда соответствующая задача имеет аналитическое решение.
Интересная специфика прослеживается при математическом моделировании волноведущих структур, содержащих нерегулярности с ребрами. В частности к ним относятся ступенчатые скачки поперечного сечения волновода, сочленения волноводов различного типа поперечного сечения (круглый и прямоугольный), системы щелей, различные диафрагмы и другие. При их моделировании возникает необходимость учета сингулярных особенностей полей в окрестности ребра (условия Мейкснера) [4,64]. Интерес к решению и разработке математических методов решения задач с ребрами стимулировался потребностями практики с самого начала развития математической теории волноводов. К настоящему моменту в этом вопросе накоплен значительный опыт, отраженный в обширной литературе [4,9,25,45,48,54-56,58,65,78,80,82,91]. В особый класс задач выделяется математическое моделирование волноводных узлов, имеющих в своей конфигурации сложную геометрию волноведущей области и границ: многоканальные разветвления бесконечными металлическими полуплоскостями как бесконечно тонкими, так и обладающими конечной толщиной, продольные и поперечные диафрагмы, последовательности одиночных и двойных ленточных диафрагм и т.д. Некоторые из таких структур представлены на рис. В. 1.
Рис. В.1. Различные типы многосвязных волноведущих областей: ) - разветвление волновода бесконечно тонкой идеально проводящей полуплоскостью; б) - разветвление волновода идеально проводящей полуплоскостью конечной толщины (делитель); в) - двойное разветвление волновода с добавлением переходного устройства (переходное устройство в данном случае описано линейной функцией); г) - каскадное разветвление волновода; д) -волноведущая система с разворотом (со стенкой и диэлектрическим заполнением); е) -волноведущая система с разворотом (без стенки); ж) - сочленение разветвленного и регулярного волновода (сумматор); з) - последовательность одиночных ленточных диафрагм конечной толщины в волноводе; и) - последовательность двойных ленточных диафрагм конечной толщины в волноводе. Черные области - металл, разной штриховкой показаны различные диэлектрические заполнения областей. Я10- подающая волна.
Эти задачи крайне важны в современной микроэлектронике и волноводной технике. Основываясь на них можно реализовать различные устройства: делители и сумматоры, линии передачи, многозвенные фильтры, волноводные резонаторы и волноведущие системы с разворотами [63,65-77,83-87,92].
Все рассматриваемые области обладают свойством многосвязности (см. рис. В.1), тем самым, определяя математическую специфику решения соответствующих краевых задач. Наличие у областей свойства многосвязности и бесконечности, а также критических точек границ вносит дополнительные трудности в математическое исследование, так, в частности, для электромагнитных полей в критических точках должны выполняться дополнительные условия (условие в форме Мейкснера) [4,64]. Для исследования данного класса задач применялись различные математические подходы и методы, с учетом указанных особенностей разрабатывались специальные численные алгоритмы.
К примеру, в [4] при использовании метода Винера-Хопфа решена задача о разветвлении в волноводе. Рассматривается разветвление основного волновода бесконечно тонкой полуплоскостью на две полубесконечные области в Н - плоскости при возбуждении их волной Я10, падающей из области основного
волновода. Таким образом, в данном случае изучается некая идеальная модель без анализа конечной толщины полуплоскости разветвления и условий на ребре. Однако реальные структуры содержат неоднородности, обладающие конечной толщиной, в связи с чем, возникает необходимость её учета.
В работе [88], используя некоторые результаты [90], рассматривается задача дифракции электромагнитной волны на идеально проводящей полубесконечной пластине конечной толщины (случай Е-поляризации). Найдено аналитическое решение задачи в виде двух перекрывающихся разложений по прямым и обратным степеням электрической толщины пластины.
В качестве примера использования полученного решения выписана асимптотика коэффициента отражения от открытого конца волновода с толстыми стенками.
Разветвление на три канала в Е-плоскости рассматривается авторами [89]. Задача решалась методом Винера-Хопфа. Функциональные уравнения были получены методом Джонса, когда преобразование Фурье применяется непосредственно к волновому уравнению, причем граничные условия накладываются на преобразование Фурье, а не на сами функции. В работе получены выражения для полей.
Дифракция волн на разветвлениях плоских нерегулярных волноводов исследуется в работе [62]. Решение задачи ведется на основе следующего подхода. Используется модификация метода полуобращения, предназначенная для расчета дифракции волн в плавнонерегулярных волноводах с произвольным законом нерегулярности, содержащих также скачкообразные неоднородности специального вида. Идея данного подхода состоит в том, что при помощи неполного метода Галеркина задача дифракции сводится к краевой задаче для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в граничных условиях к которой матричные операторы в качестве главной части содержат матричные операторы специального типа.
Ряд важных исследований в этой области проведен А.С. Ильинским и его учениками. В работах [56,86,87] с использованием методик, применяемых к задачам с ребрами, рассмотрена задача о разветвлении волновода полуплоскостью конечной толщины.
Вопросов многоканального разветвления волновода касаются в своей монографии и авторы [25].
Однако, несмотря на приведенные примеры, к настоящему времени изучению задач распространения и дифракции электромагнитных волн в многосвязных волноводных областях уделено не достаточно внимания, в то время как многообразие технических применений волноведущих структур стимулирует проведение более точных теоретических исследований и разработки вычислительных алгоритмов на основе строгих математических моделей.
Исследование физических процессов, происходящих в описываемых структурах в двумерном случае, приводит к необходимости постановки и решения соответствующей краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязной бесконечной области с границами, обладающими критическими точками, в которых выполнено условие Мейкснера [4,64]. До сих пор данная математическая проблема рассматривалась лишь в частных случаях. Не было проведено полного теоретического исследования краевой задачи для различного типа границ и различного диэлектрического заполнения, не всегда должное внимание уделялось выполнению условия Мейкснера в критических точках.
В настоящей диссертационной работе проводится математическая постановка, исследование и решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в бесконечной многосвязной волноводной области с кусочно-постоянной и кусочно-гладкой границами, обладающими критическими точками, в которых строго учитывается условие Мейкснера, заключающееся в требовании конечности энергии электромагнитного поля в любом ограниченном объеме Vp, содержащем критическую точку. С учетом особенностей типа границы многосвязной области [95-99,101,103,107,108] и заполняющей среды в диссертации разработаны вычислительные алгоритмы решения поставленной краевой задачи, а также проведено их строгое математическое обоснование [5,15,32,34,51,54,56,86,100,102-108,109-112, 115,117,122,125].
Диссертационная работа посвящена изучению следующих задач: 1. Математическое исследование краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязных волноводных областях, с границами, имеющими критические точки.
2. Разработка, математическое обоснование и численная реализация алгоритма решения исследуемой краевой задачи, основанного на применении интегральных условий проекционного сшивания, для случая многосвязных областей с кусочно-постоянной границей.
3. Разработка, математическое обоснование и реализация алгоритма решения рассматриваемой задачи, использующего неполный метод Галеркина и интегральные условия проекционного сшивания, для случая многосвязных областей с кусочно-гладкой границей.
4. Использование построенных алгоритмов на практике при решении конкретных практических задач в радиофизике (исследование волноводно- резонансных процессов) и микроэлектронике (математическое моделирование делителей и сумматоров мощности, многозвенных фильтров и базовых элементов и функциональных узлов систем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах СВЧ и КВЧ и оптического диапазонов [66,67]).
Работа состоит из 3 глав, введения, заключения, списка литературы и приложения. Объем работы составляет 114 страниц, включая 16 рисунков, 2 таблицы и списка литературы, содержащего 126 работ.
Перейдем к краткому описанию содержания работы.
Первая глава диссертации посвящена решению краевой задачи для уравнения Гельмгольца в многосвязной волноводной области с кусочно-постоянной границей и кусочно-постоянным заполнением. В первом параграфе этой главы рассмотрена строгая математическая постановка краевой задачи для уравнения Гельмгольца с граничными условиями Дирихле. Постановка проведена с учетом многосвязности области и особенностей границы, определено множество критических (особых) точек границы. Условия излучения на бесконечности, выделяющие единственное решение краевой задачи, сформулированы в виде парциальных условий излучения. Поставлено условие в форме Мейкснера, определяющее поведение решения в окрестности критической точки границы, также необходимое для однозначной разрешимости краевой задачи. Во втором параграфе вводится понятие обобщенного решения краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в рассматриваемой области. В третьем параграфе сформулирована и доказана теорема существования и единственности для обобщенного решения. Далее в четвертом и пятом параграфах рассматривается реализация и обоснование сходимости вычислительного алгоритма решения поставленной краевой задачи. Построение алгоритма проводится на примере ключевой задачи о распространении и дифракции электромагнитной волны Я10 на разветвлении плоского волновода полуплоскостью конечной толщины. Математическая задача заключается в нахождении решения уравнения Гельмгольца в указанной многосвязной области. Причем решение должно удовлетворять граничному условию Дирихле на идеально проводящих поверхностях, условиям излучения и возбуждения на бесконечности, интегральным проекционным условиям сшивания в плоскости стыка частичных областей, условиям Мейкснера [4] в критических точках границ. Алгоритм базируется на использовании метода частичных областей с представлением электромагнитных полей в каждой частичной области в виде разложения по нормальным волнам [14] соответствующего волновода. Коэффициенты разложения находятся из бесконечной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), получаемой при применении интегральных проекционных соотношений сшивания [49,50,54,56]. Эти интегральные соотношения позволяют учесть условие в критических точках границ, условия сопряжения и граничное условие на участках металлической поверхности в плоскости сшивания электромагнитных полей, являющейся границей частичных областей. Полученная бесконечная система линейных алгебраических уравнений решается методом редукции. В пятом параграфе проведено обоснование сходимости решения редуцированной СЛАУ к точному решению краевой задачи. Известно, что для сходимости последовательности приближенных решений к точному решению краевой задачи достаточно непрерывности обратного оператора рассматриваемой системы уравнений А 1 в координатном пространстве амплитуд нормальных волн /,. В конце приведены выводы первой главы.
Вторая глава посвящена решению уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязных волноводных областях с кусочно-гладкой границей. В первом параграфе второй главы представлена физическая и математическая постановка задачи распространения и дифракции электромагнитной волны Я10 в нерегулярном волноводе (плоский случай). Решение краевой задачи сводится к отысканию решения уравнения Гельмгольца во внутренней области волновода, удовлетворяющего граничному условию первого рода. Это решение должно также удовлетворять парциальным условиям возбуждения и излучения, условию в критических точках границ (условие Мейкснера) и условиям сопряжения на границах частичных областей. Во втором параграфе описывается численный алгоритм решения поставленной задачи. Алгоритм базируется на применении неполного метода Галеркина [15], однако тот факт, что рассматриваемая область является многосвязной, требует дополнения используемого метода интегральными проекционными соотношениями сшивания [54,86]. Рассматриваемый нерегулярный волновод отображается на регулярную полосу за счет перехода к другой системе (в общем случае не ортогональных) координат. Далее, применяя неполный метод Галеркина и проекционные условия сшивания, накладываемые на границах подобластей, рассматриваемая краевая задача сводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решается методом прогонки [113]. Пользуясь аналогичностью энергетического соотношения для точного и для приближенного решений поставленной краевой задачи, в третьем параграфе проводится исследование существования и единственности приближенного решения. В четвертом параграфе исследуется сходимость приближенного решения к точному при стремлении N - со. В конце сделаны выводы по результатам второй главы.
Третья глава посвящена некоторым применениям представленных алгоритмов в радиофизике при исследовании явления резонансной дифракции и микроэлектронике при моделировании и проектировании устройств СВЧ, в частности базовых элементов систем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах СВЧ и КВЧ диапазонов [66,67]. В первом параграфе рассматривается многообразие практических применений многоканальных волноведущих устройств, дается классификация делителей и сумматоров мощности, фильтров. Во втором параграфе рассматриваются частные случаи моделирования реальных устройств, их теоретические исследования, сравнение с результатами, полученными другими методами, и физическим экспериментом. Второй параграф разделен на несколько подпунктов, в которых отражены результаты исследований. Проведено математическое моделирование и анализ результатов на примере ступенчатого сочленения волноводов, волноводно-диэлектрического резонатора, многоканальных делителей мощности. Приведены результаты расчета многозвенных фильтров на одиночных и сдвоенных ленточных диафрагмах. Используемый вычислительный алгоритм базируется на применении комбинации проекционного метода сшивания [54,50] и метода декомпозиции [77] (метода S-матриц).
В заключении приводятся основные результаты, полученные в диссертационной работе.
Результаты диссертационной работы докладывались на международных и всероссийских конференциях и школах-семинарах:
1. VII Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000» секция «Физика» подсекция «Математическая и компьютерная физика». Москва. Апрель 2000.
2. XII Всероссийской школе-конференции по дифракции и распространению волн. Москва. МФТИ (ГУ). Декабрь 2001.
3. X Международной школе-семинаре «Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот». Фрязино. Август 2002.
4. IX Всероссийской школе-семинаре «Физика и применение микроволн». Звенигород. Май 2003.
5. II Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». Самара. Сентябрь 2003.
6. III Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». Волгоград. Сентябрь 2004.
7. Третьей всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике». Москва. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Январь 2005.
8. XII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов 2005». Москва. Апрель 2005.
9. IV Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». Нижний Новгород. Октябрь 2005.
Результаты работы докладывались на научных семинарах:
1. Семинаре «Численные методы электродинамики» МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством профессоров А.Г. Свешникова и А.С. Ильинского (Март 2005);
2. Научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под руководством профессора В.Ф. Бутузова (Март 2005).
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 13 печатных работах [114-126].
Теорема существования и единственности обобщенного решения краевой задачи
Первая глава диссертации посвящена решению краевой задачи для уравнения Гельмгольца в многосвязной волноводной области с кусочно-постоянной границей и кусочно-постоянным заполнением. В первом параграфе этой главы рассмотрена строгая математическая постановка краевой задачи для уравнения Гельмгольца с граничными условиями Дирихле. Постановка проведена с учетом многосвязности области и особенностей границы, определено множество критических (особых) точек границы. Условия излучения на бесконечности, выделяющие единственное решение краевой задачи, сформулированы в виде парциальных условий излучения. Поставлено условие в форме Мейкснера, определяющее поведение решения в окрестности критической точки границы, также необходимое для однозначной разрешимости краевой задачи. Во втором параграфе вводится понятие обобщенного решения краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в рассматриваемой области. В третьем параграфе сформулирована и доказана теорема существования и единственности для обобщенного решения. Далее в четвертом и пятом параграфах рассматривается реализация и обоснование сходимости вычислительного алгоритма решения поставленной краевой задачи. Построение алгоритма проводится на примере ключевой задачи о распространении и дифракции электромагнитной волны Я10 на разветвлении плоского волновода
полуплоскостью конечной толщины. Математическая задача заключается в нахождении решения уравнения Гельмгольца в указанной многосвязной области. Причем решение должно удовлетворять граничному условию Дирихле на идеально проводящих поверхностях, условиям излучения и возбуждения на бесконечности, интегральным проекционным условиям сшивания в плоскости стыка частичных областей, условиям Мейкснера [4] в критических точках границ. Алгоритм базируется на использовании метода частичных областей с представлением электромагнитных полей в каждой частичной области в виде разложения по нормальным волнам [14] соответствующего волновода. Коэффициенты разложения находятся из бесконечной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), получаемой при применении интегральных проекционных соотношений сшивания [49,50,54,56]. Эти интегральные соотношения позволяют учесть условие в критических точках границ, условия сопряжения и граничное условие на участках металлической поверхности в плоскости сшивания электромагнитных полей, являющейся границей частичных областей. Полученная бесконечная система линейных алгебраических уравнений решается методом редукции. В пятом параграфе проведено обоснование сходимости решения редуцированной СЛАУ к точному решению краевой задачи. Известно, что для сходимости последовательности приближенных решений к точному решению краевой задачи достаточно непрерывности обратного оператора рассматриваемой системы уравнений А 1 в координатном пространстве амплитуд нормальных волн /,. В конце приведены выводы первой главы.
Вторая глава посвящена решению уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязных волноводных областях с кусочно-гладкой границей. В первом параграфе второй главы представлена физическая и математическая постановка задачи распространения и дифракции электромагнитной волны Я10 в нерегулярном волноводе (плоский случай). Решение краевой задачи сводится к отысканию решения уравнения Гельмгольца во внутренней области волновода, удовлетворяющего граничному условию первого рода. Это решение должно также удовлетворять парциальным условиям возбуждения и излучения, условию в критических точках границ (условие Мейкснера) и условиям сопряжения на границах частичных областей. Во втором параграфе описывается численный алгоритм решения поставленной задачи. Алгоритм базируется на применении неполного метода Галеркина [15], однако тот факт, что рассматриваемая область является многосвязной, требует дополнения используемого метода интегральными проекционными соотношениями сшивания [54,86]. Рассматриваемый нерегулярный волновод отображается на регулярную полосу за счет перехода к другой системе (в общем случае не ортогональных) координат. Далее, применяя неполный метод Галеркина и проекционные условия сшивания, накладываемые на границах подобластей, рассматриваемая краевая задача сводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решается методом прогонки [113]. Пользуясь аналогичностью энергетического соотношения для точного и для приближенного решений поставленной краевой задачи, в третьем параграфе проводится исследование существования и единственности приближенного решения. В четвертом параграфе исследуется сходимость приближенного решения к точному при стремлении N - со. В конце сделаны выводы по результатам второй главы. Третья глава посвящена некоторым применениям представленных алгоритмов в радиофизике при исследовании явления резонансной дифракции и микроэлектронике при моделировании и проектировании устройств СВЧ, в частности базовых элементов систем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах СВЧ и КВЧ диапазонов [66,67]. В первом параграфе рассматривается многообразие практических применений многоканальных волноведущих устройств, дается классификация делителей и сумматоров мощности, фильтров. Во втором параграфе рассматриваются частные случаи моделирования реальных устройств, их теоретические исследования, сравнение с результатами, полученными другими методами, и физическим экспериментом. Второй параграф разделен на несколько подпунктов, в которых отражены результаты исследований. Проведено математическое моделирование и анализ результатов на примере ступенчатого сочленения волноводов, волноводно-диэлектрического резонатора, многоканальных делителей мощности. Приведены результаты расчета многозвенных фильтров на одиночных и сдвоенных ленточных диафрагмах. Используемый вычислительный алгоритм базируется на применении комбинации проекционного метода сшивания [54,50] и метода декомпозиции [77] (метода S-матриц).
Исследование существования и единственности приближенного решения краевой задачи
Быстрое развитие современной техники связи, систем радиолокации, радионавигации и других научных и промышленных отраслей, связанных с прикладной электродинамикой, ориентировано на использование коротких электромагнитных волн сантиметрового и миллиметрового диапазона, а также стимулирует разработку принципиально новых функциональных узлов и повышение требований к характеристикам уже существующих. Особое значение имеет бурно развивающееся во всем мире направление по созданию систем сверхбыстрой обработки информации (ССОИ) непосредственно на частотах радиосигнала в СВЧ и КВЧ областях электромагнитного спектра [66,67]. Создание эффективных, надежных и дешевых ССОИ в значительной степени опирается на успехи в микроэлектронике, когда СВЧ, КВЧ модуль ССОИ строится на объемных интегральных схемах (ОИС) и развитие методов моделирования и анализа новых базовых элементов.
Моделирование и проектирование СВЧ устройств [66-76,83-85] требует детального анализа электромагнитных волн в волноведущих системах достаточно произвольной конфигурации. Размеры волноводных неод-нородностей при этом соизмеримы с длиной волны электромагнитного поля, что приводит к сложной физической картине распределения полей. Описание и использование резонансных явлений в волноводных системах требует развития математических методов моделирования, в основе которых лежат строгие математические модели.
Широкое применение в современной микроэлектронике находят различные волноведущие системы, такие как: устройства деления и умножения электромагнитной энергии, многоканальные и многозвенные фильтры, волноводные резонаторы, металлические включения в волноводе, волноводные развороты, многоканальные линии передачи, а также функциональные узлы на их основе.
В настоящей главе на основе предложенных в диссертации алгоритмов рассматривается моделирование реальных СВЧ устройств, а также проводится сравнение полученных результатов с данными физического эксперимента и результатами других вычислительных методов.
Многоканальные волноводные устройства деления-суммирования (УДС) мощности в СВЧ, КВЧ и оптическом диапазоне являются важнейшим компонентом большинства радиотехнических систем [68-76]. Такие делители мощности находят применение, например, в радиолокационной аппаратуре, трактах многоэлементных антенных решеток (АР), связной и измерительной технике, системах фазовой модуляции сигнала. Они предназначены для деления мощности источника в требуемом соотношении между большим числом выходных каналов. Вопросам проектирования и исследования подобных УДС посвящено множество публикаций. Однако выдвигаемые на практике все более высокие требования к техническим характеристикам радиосистем оставляют актуальным разработку математических моделей для волноводных делителей мощности и решение на их основе задач проектирования излучающих систем СВЧ, КВЧ и оптических частот.
Делителем мощности называется устройство, предназначенное для разделения (распределения) мощности между двумя или несколькими каналами (см. рис. В.1, а - г); сумматором - устройство, сводящее в один канал мощность двух или нескольких источников СВЧ (см. рис. В.1, д - ж). Поскольку сумматор выполняет функцию, обратную делителю, то делителем и сумматором в большинстве случаев является одно и то же устройство. Простейшим является делитель мощности на два канала. Многоканальные делители или системы распределения мощности (СРМ), состоят из простейших двухканальных элементов деления. СРМ бывают параллельного, последовательного и смешанного типов.
Бывают волноводно-щелевые и полосковые делители мощности. Среди известных типов многоканальных делителей мощности (МДМ) большое распространение также получили делители, канализирующие СВЧ мощность в виде некоторой разветвляющей структуры. МДМ класса с разветвленной структурой обычно формируются из каскадно-включенных двухканальных делителей. За основу элементной базы делителя можно выбрать кольцевой мост. Также можно отметить синфазные и противофазные МДМ. Они осуществляют деление СВЧ сигнала в плоскости слоя диэлектрика (в одном этаже объемной интегральной схемы (ОИС)). Использование принципа ОИС [66,67] построение СВЧ модуля позволяет распределять СВЧ мощность в плоскости, перпендикулярной плоскости слоев диэлектрика (межслойное деление). Для этого целесообразно воспользоваться тройником. Таким образом, комбинируя базовые элементы ОИС (объемные тройники и многослойные переходы в виде их каскадного соединения), можно получить объемный МДМ.
При проектировании микроэлектронного устройства к делителю предъявляют следующие требования: функциональное назначение (в качестве балансного моста, ответвление части мощности или деление в требуемом отношении, суммирование, распределение мощности между излучателями антенной решетки); полоса частот, в которой сохраняются заданные характеристики; амплитудо- и фазочастотные характеристики; мощность, передаваемая по делителю, конструктивные характеристики, минимальные габаритные размеры, количество выходных каналов, распределение мощности, и другие. Делители мощности характеризуются следующими параметрами: коэффициентом связи (коэффициентом передачи) между входными каналами (плечами); фазой коэффициента связи; неравномерностью деления мощности; коэффициентом отражения; коэффициентом стоячей волны, развязкой между плечами и т.д.
Моделирование ступенчатого сочленения волноводов и анализ полученных результатов
С помощью предложенного в первой главе алгоритма, основанного на применении проекционного метода сшивания (ПМС) [45,50,54], были составлены и реализованы в виде комплекса ЭВМ-программ алгоритмы решения нескольких задач, а также проведены исследования всевозможных дифракционных характеристик и сравнения с результатами, известными в научной литературе. Были рассмотрены задачи дифракции электромагнитной волны Я10 на наиболее характерных нерегулярностях плоского волновода: скачке поперечного сечения, скачке диэлектрического заполнения и разветвлении волновода металлической полуплоскостью конечной толщины. Были исследованы качественные и количественные характеристики сходимости, проверено выполнение условия фазового синхронизма [80]. Все программы и расчеты реализованы в универсальной среде программирования MatLab 6.5.
На примере моделирования ключевой задачи о ступенчатом сочленении волноводов (рис. 3.1, б при d=0 вторую и пятую частичные области волновода для иллюстрации модели мы будем рассматривать как металлическую стенку -скачок поперечного сечения) было проведено исследование явления «относительной сходимости» [80,82] (т.е. сходимости редуцированных решений к различным пределам в зависимости от выбранного способа усечения подсистем СЛАУ). Исследование показало, что наилучший результат (коэффициент отражения R = 0,5139 ±0,006 при фиксированных параметрах волноводов а = \, Ьа = 0,5 и длине волны X = 0,045) получается, если отношение числа волн, взятых в первом Nl и третьем Nm волноводах, равно отношению поперечных сечений первого и третьего волновода (т.е. N}/Nm - aftba)), а так же если номер N усечения СЛАУ лежит в интервале от 10 до 20 волн. Таким образом, можно сделать вывод о способе усечения исходной бесконечной системы. Отношение числа волн, взятых в волноводах должно быть равно отношению их поперечных сечений. При исследовании внутренней сходимости оказалось, что значение коэффициента отражения "стабилизируется" (т.е. отличается от последующих в третьем знаке после запятой) при номере усечения СЛАУ N = 12.
Для иллюстрации эффективности используемого в работе проекционного метода сшивания [45,50,54,115,117] было проведено сравнение численных решений полученных с его помощью, с результатами, полученными двумя другими хорошо известными методами: методом моментов (ММ) и методом полуобращения матричных уравнений (МПО) (см., например, [48,62]).
В качестве модельной выбрана задача о рассеянии волны Я10 на "нижней ступеньке" в волноводе (см. рис. 3.1, б при d=0). Результаты расчетов для методов ММ и МПО, а также параметры модели для сравнения взяты из [53] с использованием [44]. Так, ab/a = 0,501 , к = а/Л = \,3 (практически во всех случаях, начиная с некоторого порядка N 2к, исследуемые характеристики не зависят от к, поэтому здесь приведены данные со "средним" значением к = 1,3). Сравнение трех методов показало, что проекционный метод сшивания обеспечивает хорошую сходимость и достаточную точность результатов. На рис.3.2 видно, что график зависимости модуля коэффициента отражения Щ ОТ порядка N усечения СЛАУ, полученный проекционным методом сшивания (на графике - красная линия с кружками), находится между графиками, рассчитанными с помощью метода моментов (зеленая линия с кружками) и метода полуобращения (синяя линия с кружками). Точным решением будем считать решение, найденное по МПО (метод полуобращения) при номере усечения N = 32, а именно модуль коэффициента отражения R = 0,478578. Таким образом, исследуемый результат (решение, найденное с помощью проекционного метода сшивания) отличается от эталонного решения (МПО) лишь на несколько десятитысячных (см. рис. 3.2), что говорит о верно проведенных расчетах и об эффективности используемого метода.
Волноводно-диэлектрический резонатор (ВДР) является одним из ключевых базовых элементов, использующихся при проектировании фильтров СВЧ диапазона. В данной работе рассматривается двухканальный волноводно-диэлектрический резонатор, представляющий собой металлодиэлектрическую волноведущую структуру, изображенную на (рис. 3.1, б). При использовании алгоритма первой главы было проведено математическое моделирование данной структуры [115] и детальное исследование различных дифракционных характеристик. Исследовалось поведение волны Я10 при падении её на серию неоднородностей. В данном случае построение вычислительного алгоритма основывается на следующих формулах и предположениях. Заполнение волноводов диэлектрической проницаемостью конечно:
Моделирование многозвенных фильтров и волноведущих структур, состоящих из последовательности базовых блоков
Рассмотренный приближенный метод расчета основных электродинамических характеристик многоканального волнового делителя мощности базируется на использовании неполного метода Галеркина с применением проекционных условий сшивания на границе частичных областей волноводов, обеспечивающих выполнение энергетических соотношений, как для точного, так и для приближенного решения задачи. Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений решалась методом прогонки. На основе предложенного алгоритма разработана серия программ для анализа и расчета основных характеристик волноводных делителей. Полученные в результате численного эксперимента данные могут быть применены при проектировании устройств СВЧ, КВЧ и оптического диапазона. Рассмотренный алгоритм допускает обобщение на расчет более сложных структур, в частности, структур со сложной формой поверхности переходного устройства, с различным диэлектрическим заполнением рассматриваемых волноведущих каналов и несамосопряженными граничными условиями.
Исследование электродинамических характеристик волноведущих систем, состоящих из последовательности идентичных волноводных узлов (элементарных базовых блоков), обладающих ярко выраженными резонансными свойствами, является особенно актуальным при конструировании полосно-пропускающих частотных фильтров в современной технике СВЧ и КВЧ диапазонов [68,75,76]. Многообразие практических применений вызывает потребность в решении новых типов задач и дальнейшем развитии методов проектирования. Использование при этом математических методов расчета на основе строгих электродинамических моделей позволяет учитывать более тонкие физические явления за счет многомодового приближения и существенно улучшать качество проектируемых фильтров.
Базовым блоком будем называть волноводный узел, включающий в себя различные нерегулярности, например, продольную ленточную диафрагму конечной толщины, двойную продольную ленточную диафрагму конечной толщины, поперечную диафрагму конечной толщины (рис. 3.7) и другие.
В данной работе проведена разработка и реализация вычислительного алгоритма для расчета волноведущих систем из последовательности базовых блоков. Проведено математическое моделирование некоторых систем и сравнение полученных результатов с данными физического эксперимента и результатами другого вычислительного метода.
Исследовалась дифракция волны Я10 на нескольких структурах, в частности, на последовательности одиночных и двойных продольных ленточных диафрагм конечной толщины в плоском волноводе (см. рис. 3.7). Предложенный вычислительный алгоритм опирается на метод многомодовых матриц рассеяния (метод декомпозиции) [77] с использованием алгоритма анализа разветвления волновода одиночным металлическим включением конечной толщины в качестве базового блока. Матрица рассеяния последнего по Нт0- волнам находилась с помощью метода нормальных волн с применением проекционного метода сшивания [54,115] (алгоритм, составлен на основе алгоритма, приведенного в первой главе). Математическая постановка задачи проводилась на примере структуры (рис. 3.7, а). Рассматривался плоский волновод с металлическими включениями конечной толщины, расположенными параллельно его стенкам. На нерегулярности слева падала волна Я10. Предполагалось, что электромагнитные колебания являются установившимися, а металлические стенки рассматриваемой системы обладают идеальной проводимостью. В основе разработанного алгоритма лежит применение комбинации метода многомодовых матриц рассеяния и проекционного метода сшивания [54,115].
Анализ такой структуры проводился в два этапа. Сначала рассчитывались компоненты многомодовой матрицы рассеяния S базового блока (коэффициенты прохождения и отражения волны Я10 при падении на неоднородность), а затем, на основе метода многомодовых матриц рассеяния [59,77], связывающих комплексные амплитуды падающих на структуру и рассеянных ею нормальных волн, проводилось вычисление электродинамических характеристик всей структуры.
Многомодовая матрица рассеяния Sz комбинации двух базовых блоков с матрицами рассеяния S и S, разделенных участком пустого волновода длинной /, может быть вычислена по следующим формулам [59]: матрица резонансного отрезка пустого волновода. Зная матрицу рассеяния базового блока, рекуррентно применяя формулу (3.5), можно получить матрицу рассеяния Sz всей структуры. Искомыми коэффициентами пропускания и отражения являются величины 5,1,2 и S,1,1. Компоненты многомодовой матрицы рассеяния S базового блока можно вычислить с помощью метода нормальных волн с применением проекционного метода сшивания. Как уже говорилось, расчет базового блока проводился на основе алгоритма, приведенного в первой главе.
С помощью разработанного алгоритма были составлены и реализованы комплекс ЭВМ-программ, алгоритмы решения нескольких задач, а также проведены исследования различных дифракционных характеристик и сравнения с экспериментом и с результатами, известными в научной литературе.
На рис. 3.8 представлены результаты математического моделирования структуры (см. рис. 3.7, а) с пятью одиночными продольными ленточными диафрагмами конечной толщины - сплошная линия, а также результаты физического эксперимента - кружки и расчет данной структуры с помощью другого метода - квадраты (результаты для сравнения взяты из [59]).
