Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 3
1.1 Актуальность исследований 3
1.2 Цели и задачи работы 4
1.3 Защищаемые положения 5
1.4 Научная новизна б
1.5 Теоретическая и практическая ценность 7
1.6 Апробация работы 7
1.7 Содержание работы 8
2 Теория Ферстенберга для уравнения Якоби 14
2.1 Постановка задачи 14
2.2 Модель Я. Б. Зельдовича 15
2.3 Уравнение Якоби па геодезической 17
2.4 Случайная кривизна 19
2.5 Мультипликативное решение уравнения Якоби 20
2.6 Теория Ферстенберга для произведения независимых случайных матриц 25
2.7 Задачи численного эксперимента 31
3 Численное моделирование решений уравнения Якоби и статистических моментов 34
3.1 Постановка задачи 34
3.2 Численный эксперимент 35
3.3 Генераторы случайных чисел 36
3.4 Результаты численного исследования 38
3.4.1 Типичная реализация поля Якоби 38
3.4.2 Среднее и высшие статистические моменты модуля поля Якоби 40
3.4.3 Среднее поле Якоби 44
3.5 Обсуждение результатов главы 51
4 Численное моделирование распределения сопряженных точек на геодезической со случайной кривизной 52
4.1 Постановка задачи 52
4.2 Численный эксперимент 52
4.3 Результаты численного исследования 53
4.4 Обсуждение результатов главы 57
5 Моделирование мелкомасштабного динамо уравнением Якоби 70
5.1 История исследования проблемы мелкомасштабного динамо . 70
5.2 Уравнение Якоби и уравнение индукции 73
5.3 Модель с обновлением. Результаты численного ис следования 75
5.4 Модели с эффектом памяти. Результаты численного ис следования 77
5.5 Обсуждение результатов главы 91
Заключение 102
Список литературы
- Теоретическая и практическая ценность
- Уравнение Якоби па геодезической
- Генераторы случайных чисел
- Результаты численного исследования
Введение к работе
Еще в 1964 году Я. Б. Зельдович обратил внимание на то, что влияние небольших неоднородностей плотности во Вселенной, которые присутствуют в ней, несмотря на ее исключительную степень однородности и изотропии, не сводится к флуктуациям сети изотропных геодезических и некоторому шуму, вносимому таким образом в космологические тесты [Зельдович 1964]. Оказывается, что возникает небольшое систематическое искажение космологических тестов, которые делают Вселенную, кривизна пространственного сечения которой в среднем равна пулю, в определенной степени похожей на открытую космологическую модель. Удается ввести понятие эффективной кривизны, которая оказывается отрицательной и пропорциональной величине неоднородностей. Во Вселенной с неоднородностями наблюдатель, измеряющий кривизну пространственного сечения путем сопоставления угловых размеров и расстояния до стандартного объекта, получит вместо осредпенного значения кривизны, равного нулю, ее эффективное значение, которое окажется отрицательным.
Несмотря на большой аналитический прогресс в изучении эффекта Я. Б. Зельдовича, представляется необходимым поддержать эти результаты данными численного моделирования. Во-первых, аналитические результаты представляют собой некоторые утверждения об асимптотическом поведении решений без оценки скорости выхода на ассимптотику. Во-вторых, теория в полной мере использует модель флуктуации как случайного поля. Эта модель хорошо зарекомендовала себя в физике, но все же она не всегда может адекватно применяться к конкретным физическим задачам; в контексте космологии на эту ограниченность указывал Я. Б. Зельдович. Поскольку аналитические результаты о поведении решений уравнения Якоби [Ламбурт и др. 2003а] кардинально нарушают привычные представления статистической физики, их верификация методами численного моделирования представляется необходимой. В то же время такие работы практически отсутствуют в литературе.
Работа Я. Б. Зельдовича [Зельдович 1964] была одной из ранних работ, в которых были обнаружены неожиданные свойства уравнений со случайными коэффицентами. В дальнейшем изучение этих явлений проходило в основном на материале физики конденсированного состояния, где они входят в круг явлений локализации (физика твердого тела) и перемежаемости (гидродинамика). Уравнение Якоби интересно не только в космологическом контексте, но и как достаточно простое модельное уравнение, на котором поведение решений уравнений со случайными коэффициентами можно изучить гораздо глубже, чем на сложных уравнениях физики конденсированного состояния.
В частности, модель уравнения Якоби, описывающая эффект Я. Б. Зельдовича, может быть использована и в приложении к магнитной гидродинамике в задаче турбулентного динамо. Аналитическое исследование обеих задач опирается на общие свойства матричных операторов, такие как некоммутативность и унимодулярность, поэтому уравнение Якоби может рассматриваться как модель мелкомасштабного динамо. Преимущество этой простой модели в рамках обыкновенных дифференциальных уравнений перед известными трехмерными аналогами в численном эксперименте состоит в том, что для уравнения Якоби реально получить огромный объем выборки случайных реализаций, который позволяет оценить среднее и статистические моменты.
1.2 Цели и задачи работы
Основной целью настоящей работы является численное исследование поведения решений уравнения Якоби и сопоставление результатов численного исследования с аналитическими результатами в контекстах двух актуальных областей в современной физике: космологии и магнитной гидродинамики.
В ходе исследования решались следующие задачи:
1. Вычисление типичной реализации уравнения Якоби, среднего и высших статистических моментов. Сопоставление полученных численных результатов с известными теоретическими результатами.
2. Численное построение статистических распределений расстояний между сопряженными точками вдоль геодезических. Сравнение полученных результатов в известными теоретическими оценками.
3. Выявление общих свойств решения уравнения Якоби и уравнения индукции. Обоснование моделирования мелкомасштабногогалактического динамо уравнением Якоби на геодезической со случайной кривизной.
4. Определение минимальных объема выборки и масштаба времени для возможности численного моделирования мелкомасштабного динамо.
5. Выявление роли памяти в турбулентном потоке для перемежаемости и роста магнитного поля. Вычисление типичной реализации, среднего и статистических моментов для уравнения Якоби с учетом эффекта памяти.
1.3 Защищаемые положения
1. Численно продемонстрирован экспоненциальный рост и эффект перемежаемости поля Якоби. Вычислены скорости роста типичной реализации и высших статистических моментов. Численно получен показатель скорости роста среднего значения решения уравнения Якоби, который совпадает с теоретическим показателем с высокой точностью.
2. Численно показано, что функция распределения расстояний между сопряженными точками на геодезической напоминает распределение Пуассона, а также выявлены небольшие отличия от этого распределения. Получена оценка среднего расстояния между сопряженными точками, которая согласуется с теоретическими оценками сверху и снизу. 3. Показано, что рассматриваемая модель эффекта Я. Б. Зельдовича может служить моделью для задачи мелкомасштабного динамо в магнитной гидродинамике.
4. Оценен объем выборки случайных реализаций необходимый для моделирования среднего и статистических моментов уравнения Якоби. Этот объем оказался неожиданно большим, порядка 105.
5. Показано, что эффекты памяти, присутствующие в реальном физическом процессе не подавляют перемежаемость, а иногда даже увеличивают ее.
1.4 Научная новизна
Известно, что решения эволюционных уравнений со случайными коэффициентами имеют много общих свойств, мало зависящих от конкретного вида уравнения. В данной работе проведено систематическое численное исследование простого модельного уравнения Якоби со случайными коэффициентами, которое позволило детально изучить свойства, характерные для широкого круга задач.
Проведено сопоставление результатов, полученных с помощью разных стандартных генераторов псевдослучайных чисел: Visual С++ и Maple5. Несмотря на то, что генераторы имеют приблизительно одинаковые периоды повторения, структура каждого из них индивидуальна, что приводит к небольшому отличию численных результатов (см. ниже п. 3.4).
Продемонстрирована связь между простым двумерным уравнением Якоби в космологии и трехмерным уравнением индукции в магнитогидродинамике. Обоснована постановка задачи численного моделирования мелкомасштабного динамо с помощью простого модельного уравнения Якоби. Численное исследование этого уравнения неожиданно показало, что необходимый объем выборки случайных реализаций очень велик и явно недостижим для прямого численного моделирования трехмерной задачи. 1.5 Теоретическая и практическая ценность
Результаты данной работы могут представить интерес для космологии, в частности, для построения оценок расстояния до гравитационных линз, вызванных когерентным действием малых возмущений кривизны в пространстве, поскольку в работе получены статистические распределения расстояний между гравитационными линзами, изучена зависимость формы распределения от масштаба флуктуации плотности в пространстве.
Проведенное исследование может принести пользу в численном моделировании уравнения индукции для задачи мелкомасштабного динамо. Полученная оценка минимального объема выборки, необходимая для того, чтобы воспроизвести усредненное решение уравнения Якоби и продемонстрировать явление перемежаемости, позволит оценить точность расчетов трехмерной задачи и позволит более и обоснованно планировать дальнейшие численные эксперименты.
Теоретическая и практическая ценность
Известно, что решения эволюционных уравнений со случайными коэффициентами имеют много общих свойств, мало зависящих от конкретного вида уравнения. В данной работе проведено систематическое численное исследование простого модельного уравнения Якоби со случайными коэффициентами, которое позволило детально изучить свойства, характерные для широкого круга задач.
Проведено сопоставление результатов, полученных с помощью разных стандартных генераторов псевдослучайных чисел: Visual С++ и Maple5. Несмотря на то, что генераторы имеют приблизительно одинаковые периоды повторения, структура каждого из них индивидуальна, что приводит к небольшому отличию численных результатов (см. ниже п. 3.4).
Продемонстрирована связь между простым двумерным уравнением Якоби в космологии и трехмерным уравнением индукции в магнитогидродинамике. Обоснована постановка задачи численного моделирования мелкомасштабного динамо с помощью простого модельного уравнения Якоби. Численное исследование этого уравнения неожиданно показало, что необходимый объем выборки случайных реализаций очень велик и явно недостижим для прямого численного моделирования трехмерной задачи.
Результаты данной работы могут представить интерес для космологии, в частности, для построения оценок расстояния до гравитационных линз, вызванных когерентным действием малых возмущений кривизны в пространстве, поскольку в работе получены статистические распределения расстояний между гравитационными линзами, изучена зависимость формы распределения от масштаба флуктуации плотности в пространстве.
Проведенное исследование может принести пользу в численном моделировании уравнения индукции для задачи мелкомасштабного динамо. Полученная оценка минимального объема выборки, необходимая для того, чтобы воспроизвести усредненное решение уравнения Якоби и продемонстрировать явление перемежаемости, позволит оценить точность расчетов трехмерной задачи и позволит более и обоснованно планировать дальнейшие численные эксперименты.
Результаты диссертации докладывались автором на следующих международных семинарах и конференциях: 1. "Актуальные проблемы внегалактической астрономии", г. Пущино, 2003. 2. "Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова", п. Абрау-Дюрсо, 2004. 3. "Perm Dynamo Days", г. Пермь, Институт механики сплошных сред УРО РАН, 2005. 4. "International Conference on Theoretical Physics", г. Москва, ФИАН, 2005. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Геометрия в целом", механико-математический факультет МГУ. Публикации Результаты диссертации опубликованы в 3 статьях в рецензируемых журналах и 5 публикациях в материалах конференций. Объем работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 50 наименований. Диссертация содержит 107 страниц, включая 28 рисунков.
Первая глава является вводной. В этой главе излагается описание эффекта Я. Б. Зельдовича с помощью уравнения Якоби. Приводятся известные результаты аналитического исследования эффекта и поясняется потребность в подтверждении этих результатов посредством прямого численного моделирования. Показано, что уравнение Якоби может являться моделью задачи мелкомасштабного динамо.
Эффект Я. Б. Зельдовича удобно описать в терминах полей Якоби. Пусть 7(0 я) - семейство геодезических, проходящих через некоторую точку на пространственном сечении, причем х - расстояние от точки их пересечения, а в - угол, отсчитываемый от некоторой базовой геодезической, для которой 9 = 0. Тогда расстояние между точками, находящимися на расстоянии х на близких геодезических семейства равно у(х)9, где у и есть поле Якоби вдоль базовой геодезической. Поле Якоби можно найти из уравнения Якоби: у" + К(х)у = 0, (1) где К - кривизна двумерного среза, а производные берутся по расстоянию от начальной точки. Естественные начальные условия для уравнения (1) имеют вид: 1/(0) = 0 и у (0) = 1. Мы рассматриваем кривизну К(х) как случайный процесс с обновлением. Тогда решение уравнения
Якоби может быть представлено в виде произведения независимых случайных матриц. В работе [Ламбурт и др. 2003а] к решению уравнения Якоби была применена теория Ферстенберга. В этой теории изучено произведение независимых случайных матриц и показано, что оно растет экспоненциально. Поэтому модуль поля Якоби растет экспоненциально, причем скорость роста постоянна и не зависит от реализации, и поле Якоби обладает сильной перемежаемостью, т. е. каждый высший статистический момент р-го порядка растет с постоянной скоростью, которая увеличивается с ростом номера момента. Аналитически получен только один показатель скорости роста для среднего поля, а не его модуля. Для остальных показателей скоростей роста удается получить лишь некоторые неравенства. Естественно получить конкретные значения этих показателей в численном эксперименте.
Уравнение Якоби па геодезической
В рамках представления стандартной метрики (2) эффект Я. Б. Зельдовича удобно описывать в терминах полей Якоби на геодезических пространственного сечения, вдоль которых и распространяются лучи света.
Рассмотрим два световых луча, распространяющихся по изотропным геодезическим 7i и 72 сходящихся в данной пространственно-временной точке Р (точке наблюдения) под бесконечно малым углом 0, соответствующим угловому размеру какого-либо объекта. На этих геодезических можно ввести согласованные геодезические параметры и, соответствующие фотонам, которые в системе отсчета (2) имеют в точке Р одинаковые частоты, и при этом в точке Р параметры и = 0. Пусть YQ -расстояние, соединяющее точки на бесконечно близких геодезических, находящиеся на одинаковом расстоянии от Р. Величина Y удовлетворяет [De Felice, Clarke 1990] уравнению, связывающему ее с компонентами тензора Римана [Синг 1963]: Jlyi — + R)kmWYkUm = 0, (6) где U - касательный вектор к первой геодезической. Уравнение (б) представляет собой хорошо известное в вариационном исчислении уравнение Якоби. Следует дополнить его начальными условиями. Так как в точке пересечения геодезических Р параметры и равны нулю, можно положить решение в этой точке равным нулю, второе условие для и=о следует выбрать так, чтобы решение было нормированным, т. е. = 1. (7) и=0
Уравнение (6, 7) может быть приведено к скалярному виду. В соответствии с экстремальным свойством геодезических, вариация ds2 вдоль 7i равна нулю: Sds2 = 0 [Ландау и Лифшиц 2001 ]. Здесь S означает вариацию, взятую как по временной, так и по пространственным переменным. Из этого следует, что вариация по пространственным переменным 5z также равна нулю. Используя метрику (2), получаем: 5E(ds2) = 6z{c2dt2 - a2(t)dE2) = 6z(-a2(t)dZ2) = -a2(t)5s(dE2).
Исходя из этого заключаем, что 6%(dY?) = 0. Следовательно проекция геодезической 7і "& пространственное сечение также является геодезической. Теперь можно спроектировать геодезическую 7i и вектор геодезического отклонения Y на сопутствующее пространство. В результате они перейдут в геодезическую Г и геодезическое отклонение у на пространственном сечении, которое подчиняется уравнению Якоби: у" + К(х)у = 0, (8) где у - длина вектора у, х - расстояние вдоль пространственноподобной геодезической Г, штрих означает производную по этому параметру, К(х) = К + к(х) - кривизна в двумерном направлении, натянутом на базовую геодезическую Г. В качестве начальных условий для уравнения можно выбрать: 2/(0) = 0, 1/(0) = 1. (9) Первое условие означает что все геодезические исходят из одной точки, второе - условие нормировки.
Флуктуации плотности приводят к флуктуациям кривизны, поэтому кривизну К(х) в уравнении (8) удобно представить себе как случайным процесс. При этом для сохранения представления (2) необходимо потребовать постоянства осредиенной кривизны и статистической однородности и изотропии флуктуации кривизны. Для определенности будем считать, что К = 0. Для описания случайного процесса
К(х) воспользуемся моделью с обновлением. Эта модель, в частности, используется для описания скоростей в процессах переноса величин в космической турбулентности [Молчанов и др. 1985, Ламбурт и др. 2000b].
Модель с обновлением строится следующим образом. Базовая геодезическая разбивается на сегменты одинаковой длины 8: [0; 8), [8; 28),..., [п8; (п + 1)5),.... На каждом сегменте задается постоянное значение случайной величины Кп Є [—К ; К }. Будем считать, что в точках разбиения 5,28,... ,п6,... происходит внезапная потеря памяти так, что на сегментах величины Кп представляют собой равнораспределенные независимые случайные числа. Таким образом 8 имеет смысл корреляционной длины.
Заметим, что систематическое влияние на распространение света могут оказывать не только возмущения плотности и кривизны в космологии, но и аналогичные возмущения, возникающие из-за движений тел, составляющих галактики. В результате возникают явление микролинзирования [Sazhin at al. 2001, Sazhin at al. 1998] и фундаментальный предел точности астрометрических измерений [Сажин 1996, Жаров и др. 2000].
Мультипликативное решение уравнения Якоби Очевидно, что для случайного распределения кривизны К(х) решение у(х) является также случайным.
Для данной модели кривизны решение уравнения Якоби может быть представлено в виде произведения независимых случайных матриц. Перепишем (7) в виде системы линейных уравнений для двухкомпонентного вектора-строки z с компонентами z\ = у, Zi = у 8:
Здесь у умножено на 8 для того, чтобы придать компонентам вектора z одинаковую размерность. Уравнение следует дополнить начальным условием Zi(0) = 0, z2(0) = 6. Пусть - ч (о -6К(х) , A{l)=[us о (П) Воспользуемся методом последовательных приближений для определения нормированного решения системы [Гантмахер 1967], т. е. решения, обращающегося в z = Е при х = 0. Последовательные приближения Zk(k = 0,1,2...) будем находить из реккурентных соотношений
Генераторы случайных чисел
Напомним уравнение Якоби, введенное п. 1.7: у" + К(х)у = 0, (44) где у - поле Якоби, х - расстояние вдоль базовой геодезической геодезической, К{х) - кривизна в двумерном направлении, заданная моделью с обновлением. Начальные условия: у(0) = 0,у (0) = 1.
Требуется вычислить типичные реализации уравнения Якоби у(х), и высшие статистические моменты ур(х) , сопоставить полученные результаты с данными соответствующего теоретического анализа (см. п. 2.6). Согласно предсказаниям теории, с одной стороны, вдоль типичной геодезической ожидается рост у с некоторой скоростью 7 (показатель Ляпунова), не зависящей от выбора базовой геодезической. С другой стороны, скорости роста 7Р высших статистических моментов \у\р 1/р отличаются друг от друга. Каждый из них определяется вкладом различных реализаций поля кривизны, а среди реализаций встречаются такие, на которых поля Якоби растут аномально быстро. В этом заключается явление перемежаемости. Чем выше номер момента, тем быстрее этот момент растет, так что аналитически можно вычислить скорость роста у для у , где ... - знак статистического среднего. Мы промоделируем большую выборку и проверим наличие эффекта перемежаемости.
Для численного решения уравнения Якоби при заданной реализации поля кривизны мы будем использовать подход, связанный с тем, что на каждом интервале обновления решение легко выражается через значение решения и его производной на левом конце и некоторую стандартную матрицу преобразования, зависящую лишь от значения кривизны на данном интервале обновления. Решение через несколько интервалов обновления выражается как произведение соответствующих случайных матриц (см. 2.5): фп+і) = z(xn)Bn = zQBnBn-i Ви (45) z(0) = zo, где z - двухкомпонентный вектор-строка с компонентами Z\ — у, %2 = y S, Вп - случайные независимые унимодулярные матрицы (24, 25). Подсчитать это произведение используя явные формулы для матриц преобразования можно гораздо быстрее и точнее, чем по стандартным неспециализированным методам численного моделирования дифференциальных уравнений. Для сравнения мы проведем также вычисление по методу Рунге-Кутта 2-го порядка.
Для того чтобы построить численное решение нашей задачи, необходимо конструктивно описать свойства случайного процесса К(х). Мы ориентируемся на модель с обновлением, применяющуюся для аналитических исследований. Мы разбиваем базовую геодезическую на отрезки длины 5 (6 - интервал обновления) и на каждом отрезке с помощью генератора случайных чисел задаем независимые постоянные значения кривизны, равномерно распределенные на отрезке [—К , К ]. Как показывают аналитические результаты [Ламбурт и др. 2003а], решения уравнения Якоби для такого случайного процесса растут вдоль геодезической со скоростью, определяемой величиной У/К /8 v, где и - типичный угол, на который отклоняется луч света индивидуальной неоднородностью. В этом и состоит, грубо говоря, эффект Я. Б. Зельдовича. Чем меньше К , тем длиннее нужно выбирать отрезок, на котором мы моделируем решение, для того, чтобы заметить интересующий нас рост. С другой стороны, отрезок моделирования не хотелось бы выбирать слишком большим потому, что задать численно достаточное для моделирования количество независимых случайных чисел непросто (см. ниже). Отметим, что нельзя выбрать К » 1/62, поскольку длина большого круга сферы обратно пропорциональна корню из ее кривизны. Поэтому мы выбираем К = 1, близкое к предельно возможному значению. Реально во Вселенной флуктуации кривизны существенно меньше, так что пропорционально увеличиваются размеры отрезка х, на котором нужно проводить численное моделирование, а также требуемая для этого выборка случайных чисел. Выбор v и, соответственно, К по астрономическим данным выходит за рамки настоящей работы, в которой мы хотим продемонстрировать физическое явление, лежащее в основе эффекта Я. Б. Зельдовича. Перейдем к обсуждению вопроса выбора генератора случайных чисел.
При построении численного эксперимента возникает вопрос о выборе генератора случайных чисел. Для моделирования случайной кривизны мы использовуем стандартный генератор случайных чисел, встроенный в программный пакет. Последовательности чисел, воспроизводимые существующими стандартными генераторами, являются, строго говоря, псевдослучайными. Наилучшие известные датчики представляют собой частные следующей схемы [Кнут 1977], предложенной Д. X. Лемером в 1948 г. Выбираются четыре параметра: начальное значение А о 0, . множитель а 0, приращение с 0, модуль т, причем т Х0, т а, т с. Тогда искомая последовательность случайных чисел Хп получается из соотношения Xn+i = {аХп + с)т,п 0. (46) Она называется линейной конгруэнтной последовательностью. Например, при А о = а = с = 7, т = 10 последовательность выглядит так: 7,6,9,0,7,6,9,0,... (47)
Как видно из приведенного примера, последовательность не всегда оказывается "случайной", если выбирать Хо,й,с,т произвольно. Этот пример иллюстрирует тот факт, что конгруэнтные последовательности всегда "зацикливаются", т. е. числа образуют цикл, который повторяется бесконечное число раз. Это свойство присуще всем последовательностям, имеющим общий вид Xn+i = f(Xn). Длина периода у последовательности (47) равна 4. Реальные последовательности, которые вырабатываются стандартными генераторами имеют, конечно, несравненно больший период.
Поскольку интересующее нас явление перемежаемости связано с редкими реализациями [Зельдович и др. 1987], то для оценки степени его наблюдаемости на астрономическом материале нам необходимо воспроизвести много реализаций решения уравнения Якоби. Будем использовать генератор случайных чисел встроенный в пакет Visual С++ (version 6.0) и в пакет Maple5; эти генераторы выдают последовательности псевдослучайных чисел с периодом повторения
Результаты численного исследования
Перейдем теперь к проверке теоретического предсказания о том, что статистические моменты поля Якоби растут быстрее типичной реализации и скорость этого роста тем выше, чем выше номер момента. Для этого мы получили решения уравнения Якоби для 5 105 реализаций случайного поля кривизны, полученных с помощью генератора С++. С помощью этих решений мы построили среднее и два последующих статистических момента, поведение которых вдоль геодезической показано на рис. 3. На этом же рисунке для сравнения показано поведение типичной реализации. Видно, что статистические моменты растут экспоненциально во времени и скорость роста увеличивается с номером момента. На рассмотренных масштабах экспоненциальный рост типичной реализации еще не начался. Обратим внимание на то, что со временем рост статистических моментов замедляется, причем точка начала замедления hp тем ближе к началу
координат, чем выше номер момента. Это замедление связано с тем, что наша выборка хотя и велика, но конечна. Согласно аналитическим результатам для поддержания экспоненциального роста моментов вдоль всей геодезической и объем выборки должен экспоненциально расти с удалением точки от начала координат. Для моделирования поведения моментов с номером выше 3 также потребовалось бы чересчур большое количество реализаций.
Далее мы построили те же самые кривые In \у\р 1 р для р = 1,2,3, но для выборки из N2 = Ю3 реализаций (рис. 4). Рисунок показывает, что при меньшем объеме выборки кривые становятся менее гладкими, а скорости роста высших моментов становятся ниже. Следовательно, ограничение в выборке влияет на точность вычислений статистических моментов.
Мы провели сравнение генератора С++ с генератором Mapleb также и для среднего решения уравнения. На рис. 5 изображены средние In \у\ для 105 реализаций соответствующих генераторов. Скорости роста их не совпадают, но различие между скоростями роста намного меньше, чем у типичных реализаций на рис. 2. Таким образом, после осреднения большого количества типичных реализаций сближаются результаты, полученные на разных генераторах.
В целом, можно сказать, что данные численного эксперимента воспроизводят предсказания аналитических результатов по крайней мере качественно. Количественные данные о характеристиках роста моментов приведены в таблице 2, где hp (р=1... 3) - точка начала замедления, а 7Р -скорость роста р-го момента. При построении этой таблицы мы проверили также устойчивость результата к изменению объема выборки N.
Специфическим результатом аналитического изучения полей Якоби является утверждение о том, что растет не только среднее значение модуля поля Якоби, но и среднее значение самого поля Якоби.
Нетривиальность этого утверждения состоит в том, что в сопряженных точках, возникающих рано или поздно на каждой геодезической, знак поля Якоби меняется и вклады различных реализаций в у начинают не складываться, а вычитаться. Поведение у несомненно отличается от поведения \у\ , и, тем не менее, перемежаемость имеет место и в случае отсутствия модуля у.
Поведение средних значений ур (р=1...3) для 5 105 показано на рис. 6, который похож на соответствующий рис. 3. Экспоненциальный рост моментов ур , как и моментов \ур\ продолжается лишь на конечном интервале х. В таблице 2 приведены точки начала замедления h p и скорости роста у р, посчитанные как тангенсы углов наклона касательных в точках замедления h p моментов ур , для различных объемов выборки N. Аналитические исследования роста среднего поля Якоби [Ламбурт и др. 2003а] 0,288. Мы получили Уі ft2 0,377.
Очевидно экспериментальное значение 7i больше теоретического. Разница между значениями равна 0,009, и она много меньше самих значений, поэтому значения оказываются близкими. Это небольшое различие, вероятно, связано с погрешностью, вносимой генератором случайных чисел.
В результате проведенного анализа уравнения Якоби мы приходим к выводу, что с помощью стандартных генераторов случайных чисел оказывается возможным численно обнаружить экспоненциальный рост решения и воспроизвести достаточное количество случайных реализаций для моделирования перемежаемости. Качественно результаты теории подтверждаются, однако разные генераторы случайных чисел дают различные оценки показателей скоростей роста. Тем не менее показатель Ляпунова, полученный в эксперименте для среднего поля Якоби совпадает с теоретической оценкой с разумной точностью.
