Содержание к диссертации
Введение
1 Погранслойное решение в стационарном случае 8
1.1 Постановка задачи 8
1.2 Построение асимптотики 9
1.2.1 Нахождение регулярной части решения 10
1.2.2 Нахождение левой иогранслойной части решения 11
1.2.3 Нахождение правой иогранслойной части решения 14
1.2.4 Установление экспоненциальных оценок погранчленов 15
1.3 Обоснование асимптотики 19
1.3.1 Построении барьерных решений 19
1.3.2 Доказательство существования решения и его асимптотического представления . 25
1.4 Пример 28
2 Контрастная структура типа ступеньки для стационарного уравнения 31
2.1 Постановка задачи 31
2.2 Внутренний переходный слой резкого тина 33
2.2.1 Построение асимптотики 33
2.2.2 Обоснование асимптотики 42
2.3 Внутренний переходный слой плавного типа 47
2.3.1 Построение асимптотики 47
2.3.2 Обоснование асимптотики 52
2.4 Пример 56
3 Погранслойное решение в случае параболического уравнения 60
3.1 Постановка задачи СО
3.2 Построение асимптотики 60
3.2.1 Установление экспоненциальных оценок погранчленов 63
3.3 Обоснование асимптотики 70
3.3.1 Построение барьерных решений 70
3.3.2 Доказательство существования решения и его асимптотического представления 73
4 Контрастная структура типа ступеньки для параболического уравнения 76
4.1 Постановка задачи 76
4.2 Внутренний переходный слой резкого вида 78
4.2.1 Построение асимптотики 78
4.2.2 Обоснование асимптотики 81
4.3 Внутренний переходный слой плавного вида 84
4.3.1 Построение асимптотики 84
4.3.2 Обоснование асимптотики 87
О построении верхних и нижних решений по методу Нагумо 90
- Нахождение левой иогранслойной части решения
- Доказательство существования решения и его асимптотического представления
- Установление экспоненциальных оценок погранчленов
- Доказательство существования решения и его асимптотического представления
Введение к работе
Данная диссертация посвящена изучению ряда краевых задач с малыми параметрами, возникших на основе усложнения и развития следующей сингулярно возмущённой задачи (см. [1], [2]).
2y" = F{ytx), х (0,1),
у{0,є)=у, ї(1,є) = у1, (1)
є > 0 — малый параметр.
Наиболее простым из возможных решений (1) является погранслойное решение, характерная особенность которого заключается в наличии вблизи граничных точек областей резкого изменения искомой функции от граничных значений до некоторого решения вырожденного уравнения (уравнения, получающегося из исходного при обращении параметра возмущения в нуль).
При рассмотрении сингулярно возмущенных уравнений, как нраішло, ставится за дача построения асимптотического представления некоторого точного решения. В работах [1], [2] с помощью метода пограничных функций была построена асимптотика ногранслойного решения (1). Суть этого метода заключается в представлении решения у{х,е) в виде суммы трех составляющих: регулярной y(xte), левой П(т,є) и правой Q(p, є) пограничных и построении асимптотического разложения каждой из них в отдельности. При этом члены левого погранслоя зависят от растянутой переменной т = х/є, а правого от р = (х — 1)/е
У(*»с) = Уо(х) + єУі(х) + -,
П(т,) = По(т) + еП,(г) + --, (2)
Q(P,e) = Qa(P) + eQx{p) + .
Таким образом, метод пограничных функций даёт представление решения в виде некоторого ряда по степеням малого параметра
!/(*,) = Ш*) + ПоИ + Qa(p))+e(Vi{x) + Пі (г) + Qi{p)) + -.
Каждая конечная сумма этого ряда удовлетворяет уравнениям задачи (1) по невязке (сам ряд, вообще говоря, расходится). Недостатком метода погранфунций является то, что сам но себе он не предлагает доказательства существования решения близкого к получаемому на основе данного метода представлению. Указанное доказательство обычно называют обоснованием асимптотики.
Для обоснования асимптотического разложения может быть использован метод дифференциальных неравенств (см. [3], [Л]). В основе его применения для краевых задач первого рода лежит построение упорядоченной пары функций (так называемых барьеров), удовлетворяющих некоторым конечным и дифференциальным неравенствам. После осуществления этого построения на основании соответствующей теоремы, делается вывод о существовании решения, заключённого между данными барьерами. Таким образом, мы получаем приближение этого решения с точностью, определяемой расстоянием между барьерными функциями (чем меньше расстояние, тем выше точность).
Недостаток метода дифференциальных неравенств, в свою очередь, заключается в том, что он не предлагает никакого ответа на вопрос о способе построения барьерных функций. Этот ответ в определённом смысле даёт метод пограничых функций (см. [5]). Дело в том, что барьерные решения могут быть получены с помощью незначительных модификаций любой из конечных сумм получаемого с его помощью ряда. Поскольку расстояние между барьерами при этом оказывается асимптотически малым, то можно говорить о получении асимптотического представления рассматриваемого решения.
Таким образом, видно, что соединённые вместе, эти методы лишают друг друга присущих им недостатков. Метод пограничных функций способствует построению барьерных решений, а метод дифференциальных неравенств обоснованию асимптотичности получаемого на основе метода погранфункций представления.
В работах [1], [2] помимо погранслойных исследуются решения с внутренними слоями (называемые также контрастными структурами). Под последними подразумеваются решения, имеющие резкие изменения в окрестностях внутренних точек области определения. Частным случаем подобных решений являются контрастные структуры типа ступеньки (КСТС). В них речь идёт об изменении искомой функции от одного решения вырожденного уравнения до некоторого другого его решения.
В своё время был поставлен вопрос об обобщении уравнения (1) на случай зависимости правой части от первой производной
s2y" = F(y',y,x). (3)
Метод пограничных функций для построения асимптотического разложения (3), вообще говоря, не работает, т.к. у* — величина ~ І/є. Здесь возможно использование метода сращивания (см. [6]). Были предприняты попытки отыскать классы функций F, для которых метод иограпфупкций всё же оказывается применим. Было избрано два
варианта: первый — линеаризация F по т/' и второй — ослабление её первого аргумента
1) F = у'А(у,х) + В(у,х),
2) F = F(eky'ty,x).
Для первого случая соответствующая задача рассмотрена в [7]. Использование метода погранфункций не встретило здесь принципиальных ограничений. Отметим только, что растянутые переменные, задействованные при построении асимптотики её решений, имели порядок І/є2.
Do втором варианте допрос о применимости метода погранфункций во многом ставится в зависимость от величины к (предполагается, что к принимает лишь положительные рациональные значения). Можно выделить две качественно различные ситуации. При к > 1 данная задача как по виду решений так и по характеру их построений сближается со случаем (1) (т. е. с полным отсутствием зависимости правой части от первой производной). Для к = 1 она рассмотрена в [8]. Если же к < 1, то получение асимптотики для случая с произвольной правой частью прежними способами, вообще говоря, не представляется возможным. В связи с этим, в работе [9] проанализирована задача с функцией F линейной по первому аргументу: F = л/еу'А(у,х) + В(у,х) (в качестве к взято конкретное значение к = 1/2).
Итак, п [9] была рассмотрена задача
є4у" = єу'А(у,х) + В(у,х), (4)
при прежних граничных условиях (1) (с целью удобства изложения %/ё нереобозначен через є). Было построено асимптотическое разложение для случая погранслойного решения и с помощью метода дифференциальных неравенств проведено его обоснование. Отличительной особенностью данного решения является то, что его левая и правая погранслойные частії зависят от растянутых переменных разного порядка (одна из них имеет порядок І/є, а другая — 1/е3). Что касается КСТС (т. е. решений с внутренними переходными слоями) для уравнения (4), то их построение, составляет одно из основных направлений исследования настоящей диссертации (см. также [10]). Выяснилось, что здесь, при определённых условиях, могут возникать КСТС двух видов. В ступеньках первого вида растянутая переменная внутреннего переходного слоя имеет порядок 1/е (переход плавного типа), а в ступеньках второго — І/є3 (переход резкого типа).
Другим важным направлением исследования данной диссертации, является изучение возможности применения результатов, полученных при рассмотрении (4) для случая, когда функции An В, входящие в правую часть, допускают зависимость от первой производной (см. также [12]—[14]). Это удалось сделать для следующего уравнения
е4 у" = е у' А(е3у'у у, х) + В(еУ, у, х). (5)
Именно, в случае (5) с помощью метода пограничных функций было построено по-гранслойное решение, в качестве растянутых переменных левой и правой пограничных частей которого использовались т = х/є3 и р — (х — 1)/є соответственно. Обоснование асимптотики было проведено методом дифференциальных неравенств.
Отметим одно важное обстоятельство, связанное с применимостью последнего. Дело в том, что метод дифференциальных неравенств, вообще говоря, не может быть использован в случае, когда правая часть уравнения имеет более чем квадратичный рост по первой производной (при у' -> оо). В то же время в (5) никаких специальных ограничений на характер роста функций А и В по своим первым аргументам не накладывается. Таким образом, возникает задача распространения метода дифференциальных неравенств на уравнения, правая часть которых допускала бы произвольный порядок роста по производной искомой функции. Её разрешение также представляет собой один из основных результатов данной диссертации (см. также [15], [16])-
Завершающим этапом диссертации является естественное обобщение на задачи для уравнений параболического типа соответствующих постановок для обыкновенных дифференциальных уравнений. Аналогом (4) выступает задача по отысканию Т-периодиче-ского но t решения следующей системы (о иериодичесуих решениях сингулярно возмущенных параболических уравнений см. также в [17]—[19])
(С)
єл^~^=є^А(у,х,і) + В(у,х,і), (x,l)e (0,1) xJR,
Sf(
мри условии Т-периодичности по і всех входящих в неё величин. В качестве аналога (5) используется уравнение
при дополнительных условиях задачи (6).
Всё сказанное по поводу обыкновенных дифференциальных уравнений в полной мере относится и к этим постановкам. Так же как и в случае с (5) при рассмотрении (7) для обоснования асимптотики пришлось пойти на расширение границ области применимости метода дифференциальных неравенств, распространив его на уравнения, допускающие более чем квадратичный рост правой части по пространственной производной ду/дх.
Отметим в заключение, что параболическое уравнение (6) является уравнением типа реакция-адвекция-диффузия и может выступать в качестве модельного для описания динамики вязкой жидкости, а также процессов тенло-массопереноса с конвективными потоками.
Нахождение левой иогранслойной части решения
Эта задача является частным случаем изученной в предыдущей главе. На сё примере будет проведено построение качественно более сложного (по сравнению с погран-слойным) решения, а именно контрастной структуры типа ступеньки. (О контрастных структурах типа ступеньки см. также в [23]).
Пусть вырожденное уравнение В{у,х) = 0 имеет три изолированных корня у = (fi[x), і 1,2,3, таких что і(х) 2{х) 3( )1 причём By(iplt2(x),x) 0. Тогда при определённых условиях могут возникать два вида контрастных структур типа ступень ки с переходом с фі(х) на з{х) в окрестности некоторой точки х (е) = Хо+ЄХі -\ (0 х0 1). Будем преднолагать, что у0 принадлежит области влияния нижнего корня ірі (х), а ух — верхнего рг(х) (это приведёт к тому, что левее точки перехода решение прижимается к ( i(x), а правее к (рз(х)). Отметим, что области влияния нижнего и верхнего корней могут пересекаться. Предположим, что Хо — точка перехода в пулевом приближении — уже известна. Тогда в зависимости от знаков Л на решениях вырожденного уравнения при х = х$, внутренний переходный слой является функцией следующих растянутых переменных: 1) если A(tpi(x0),xQ) О, Л((рз(хо),х0) О, то т/ = (х — т )/с3 — КСТС резкого вида, 2) если A{ipi(xQ),xQ) 0, А((р3{хо),х0) О, то rj (х — х )/є — КСТС плавного вида. Итак, будем искать решение вида где II и Q — суть пограничные слои в окрестностях точек х = 0 и х = 1 соответственно, ТУ1 иГ — соответственно левая и правая части переходного слоя в окрестности х — х . Считаем, что в точке перехода значение функции равно у(х ,є) = 7 ( ) — 7o+7i f {(pi{x0) 7о з( о)) Схематично вид решения для случая первой и второй ступенек изображён на рис. 2 и рис. 3 соответственно. Ниже строим только внутренние переходные слои, считая регулярные и пограничные ряды уже построенными (в полном соответствии с алгоритмом, предложенным в главе 1). 2.2 Внутренний переходный слой резкого типа Начнем со случаи 1). Здесь имеет место резкий переход. При его описании используем следующие обозначения: Сгп(т() -— известная, при условии, что найдены т/JJ, ..., у, У1 , .. -, І_і» а также х0, ..., хп, функция; /изв — некоторое известное в данном контексте выражение. Обозначая правую часть уравнения (2Л) через произведём выделение ее регулярных, иогранслоиных и переходных составляющих Согласно методу пограничных функций Т и Т" должны удовлетворять следующим уравнениям T"F, или, в явном виде, Обратим внимание на то, что дополнителные условия на функции Т и Т при т/ = 0 (или, что тоже самое х = і ) обеспечивают непрерывность асимптотики решения в точке перехода, но, вообще говоря, не гарантируют её гладкости. Для обеспечения последней потребуем Как будет показано ниже, это соотношение послужит для определения составляющих точки перехода (т. е. для построения её асимптотического разложения). Представляя у , у", Тл, Т" в виде рядов по малому парметру
Доказательство существования решения и его асимптотического представления
Поскольку члены переходного ряда в данном случае определяются из уравнений первого порядка, то их гладкость в переходной точке будет следствием их непрерывности, так что для определения составляющих ж (є) придётся задействовать иные соображения (см. параграф 3 главы 2).
Представляя х , 7 , ЇҐ\ у", Т 1, Т" в виде рядов по малому параметру, согласно методу пограничных функций папучаем ряд задач для определения переходных членов асимптотики.3 Поскольку структуры задач для 1п и Тп полностью идентичны, ниже ограничиваемся построением первых. В нулевом приближении имеем Вспоминая, что i 41 О, Лл 0, а Л" 0, легко убеждаемся it том, что Т$ = 0 н ГЦ = О — устойчивые точки покоя при 7] — —оо и J -f оо соответственно. Значит, если 7о — Vi и 7о — V3 принадлежат областям влияния этих корней, то TJJ(—со,/) = Тд(+оо,І) — 0. Для выполнения условия данной принадлежности необходимо, чтобы P"(rl0,t) и Pn(To,f) не обращались в нуль на (0,7() — i] X Уй и [70 — 3)0) X iR соответственно. Поэтому приходим к выводу, что иначе (в силу B t oCOtO otO ) = ) "( о-О ПРИ о = Vz — Vi либ "( о,0 при Тр = 9?2 — з будет равно нулю, причём для того, чтобы РЛ "(Т ", t) при этом действительно не обращалось в нуль (или бесконечность), потребуем А„{ ргЫ ) 0. М ) 0 0. Я,М о(0 0. о(0.0 0 (4Л2) (в этом случае Ву тогда будет меньше нуля, а Лу — больше). Кроме того, Рл п{Т п1 t) не должно обращаться в бесконечность всюду на [ Px(t), 9з(0]х В1.4 Отсюда приходим к ещё одному требованию на XQ(1): А(7, о(0.0 Ф 0 при 7 Є ї ,(0. з(0ІШ0 (4.13) (при его выполнении на первом полуинтервале Л естественно будет иметь отрицательный знак, а на втором — положительный). (4.11), ( 1,12), ( 1.13) можно рассматривать как систему соотношений для определения x0(t). Будем считать, что существует сё решение х = хо{І), такое что Решением задачи (4.15) будет П = (7.(0 - ff fO i(0 - rf- (0) %, 0 - / w4 5 л- 4-16 Пусть для определённости ?г(0 7о(0 9з(0- Тогда обратим внимание на то обстоятельство, что подынтегральное выражение из (4.16) имеет смысл, вообще говоря, не при всех значениях аргумента. А именно, при5 і) — t] : T (tfyt) — t 2(0 9i(0» стоящее в знаменателе А обращается в нуль. Поэтому для обеспечения корректности определения (4.16) (а имеете с тем и самой постапопки (4.15)) потребуем, чтобы GfoV) = 0. В силу (4.14) последнее уравнение разрешимо и i(f) можно считать определённым: (0 = - (70,0 Выясним вопрос о взаимно однозначной зависимости rf и 70 (а следовательно и xi и то)- Т. к. f- ф 0, то 7 может быть однозначно выражено через 7 и 7о: V = т)(Т ,-уо)-Кроме того, из Значение т т таким образом, не зависит от Т и при всех 7 (а значит и при Т = 2 — і) ]Іе равно нулю. Для всеж приближений, начиная со второго, можно получить если считать, что 1 D является также и функцией 70 Т"о = o(9i t7o)i то rj = т? (7о ) Для переходных членов формальной асимптотики могут быть установлены следующие экспоненциальные оценки (но поводу метода их получения см. предыдущую главу) Доказательство существования рассматриваемой контрастной структуры типа ступеньки проводится тем же методом верхних и нижних решений, тгго и при резком переходе. ЇІиже будем ограничиваться рассмотрением нижнего решения и некоторой левой окрестности линии перехода (т. е. левой части переходного слоя). где, в свою очередь, Т = const 0, а задача для Т?п+1\а имеет вид (для Tj n+l. он аналогичен) Д « 2- + (Щ + РАЛЯ) Tj,+2)e -г Щп+2)а + фЛ = о, здесь л(г/,/) — некоторая экспоненциально убывающая функция, a Gr,n+2)a получается из &п+2 заменой входящих в его представление членов формальной асимптотики соответствующими компонентами нижнего решения.
Установление экспоненциальных оценок погранчленов
Доказательство. Введём обозначение u(x,t) = /3(x,t) — а(х, t) : 0 и I. Требуется показать, что Остановимся на верхнем неравенстве (нижнее рассматривается аналогично).
Сперва докажем, что существует по крайней мерс одна точка (т,/) = Pi(a:i,/i) : их М. Предположим противное, т.е. что их Л/ всюду на її и рассмотрим некоторую прямую = const, х — , Є [а, Ь]. Оценим разность Последнее противоречит и [0, /], а значит искомая точка Р\ действительно существует. Предполагаем теперь, что их{Р\) = М (иначе лемма доказана). Далее, очевидно, что либо х\ — а (а — Ь)/2, либо о — хх (а — Ь)/2. Пусть 6 — Хі (а — 6)/2 (первый вариант рассматривается аналогично). Рассмотрим кривую t = /(х), определяемую из соотношений где I\j — максимальный из открі.ітг.іх кругов (имеющий радиус До) с центром в точке Pi, принадлежащих области П, всюду п которых их Л//2. Его существование является прямым следствием непрерывности Их. В силу непрерывности и ограниченности правой части (В.2) в КР , существует её решение t — і (і), достигающее границы круга КР в некоторой точке (x,t) — N\(ai,b\) : Ді Х\. Очевидно, что ил(Л) М/2. Если uT(Ni) М/2, то рассмотрим задачу где Iffy — максимальный из открытых кругов с центром и JVj, принадлежащих области 11, в которых ur Л//2. Вновь п силу непрерывности и ограниченности ut/ux получаем утверждение о существовании точки N2 = («2, ) : «2 Яі — пересечения решения = t(x) с границей круга hN[. Повторяя (при необходимости бесконечно много раз) указанную процедуру, получим точку Лз(а3,Ьз), затем N4(04,64) и т.д. Проанализируем три возможных исхода: 1 Очередная точка N{ (которую обозначим за (х, t) = Р Хз г)) достигнет границы области Л и т.о. указанный процесс оборвётся; 101 2 В очередной точке Лг; («новь обозначаемой за (х, t) = / ( 2)) значение их станет равным Л//2, так что указанный процесс также оборвётся; 3 Ни одна из точек N; не достигнет границы области П и ни в одной из ник значение 1 не станет равным Л//2, тик что мы получим некоторую бесконечную последовательность { j j. Покажем, что случай 1 не реализуется. Предположим противное. Тогда выходит, что на отрезке [х\,Ь] существует решение задачи где Li2 — интегральная кривая задачи (В.З), соединяющая точки Р\ и Р2, имеем Т.о. выходят, что u{Pi) I- Но последнее невозможно, а следовательно невозможен и случай Iа. Обратимся теперь к третьему исходу и докажем сходимость последовательности {Ni}, эквивалентной, » свою очередь, сходимости {а,} и {&,-}. Поскольку а,- — возрастающая и ограниченная последовательность — для неё высказанное утверждение очевидно. Обозначим сё предел через хг, Х2 Ь. Для доказательства сходимости ЬІ объединим все полуинтервалы [xi,ai) U [аі,аз) U [яг з) U ..., папучип полуинтервал [хі,х2). В силу проведённых выше построений можно говорить о существовании решения следующей задачи Коши Т.к. t = 1(х) непрерывна и имеет ограниченную производную на [х хг), то она может быть непрерывно продолжена на весь отрезок [ii,x2] . Из определения непрерывности следует, что Итак, {Ni} действительно сходится к некоторой точке (x,t) = /2( 2 2) Также как это было сделано при рассмотрении случая 1, можно показать, что хч ф Ь, а следовательно, что существует некоторое Д0 0 : х2 = Ь — До Покажем теперь, что ит(Р2) — М/2. Предположим противное, т.е. что ux(Pi) = М М/2. Рассмотрим произвольное число М" : М/2 М" М . В силу равномерной непрерывности u,iiJi существует S0 : \их(А1і) их(М2)\ М"—М/2 при ( {М\, М2) &а Далее, используя условие пепрсрывпости иг и то обстоятельство, что lim N,- = Р2
Доказательство существования решения и его асимптотического представления
Итак, п [9] была рассмотрена задача при прежних граничных условиях (1) (с целью удобства изложения %/ё нереобозначен через є). Было построено асимптотическое разложение для случая погранслойного решения и с помощью метода дифференциальных неравенств проведено его обоснование. Отличительной особенностью данного решения является то, что его левая и правая погранслойные частії зависят от растянутых переменных разного порядка (одна из них имеет порядок І/є, а другая — 1/е3). Что касается КСТС (т. е. решений с внутренними переходными слоями) для уравнения (4), то их построение, составляет одно из основных направлений исследования настоящей диссертации (см. также [10]). Выяснилось, что здесь, при определённых условиях, могут возникать КСТС двух видов. В ступеньках первого вида растянутая переменная внутреннего переходного слоя имеет порядок 1/е (переход плавного типа), а в ступеньках второго — І/є3 (переход резкого типа).
Другим важным направлением исследования данной диссертации, является изучение возможности применения результатов, полученных при рассмотрении (4) для случая, когда функции An В, входящие в правую часть, допускают зависимость от первой производной (см. также [12]—[14]). Это удалось сделать для следующего уравнения Именно, в случае (5) с помощью метода пограничных функций было построено по-гранслойное решение, в качестве растянутых переменных левой и правой пограничных частей которого использовались т = х/є3 и р — (х — 1)/є соответственно. Обоснование асимптотики было проведено методом дифференциальных неравенств.
Отметим одно важное обстоятельство, связанное с применимостью последнего. Дело в том, что метод дифференциальных неравенств, вообще говоря, не может быть использован в случае, когда правая часть уравнения имеет более чем квадратичный рост по первой производной (при у - оо). В то же время в (5) никаких специальных ограничений на характер роста функций А и В по своим первым аргументам не накладывается. Таким образом, возникает задача распространения метода дифференциальных неравенств на уравнения, правая часть которых допускала бы произвольный порядок роста по производной искомой функции. Её разрешение также представляет собой один из основных результатов данной диссертации (см. также [15], [16]) Завершающим этапом диссертации является естественное обобщение на задачи для уравнений параболического типа соответствующих постановок для обыкновенных дифференциальных уравнений. Аналогом (4) выступает задача по отысканию Т-периодиче-ского но t решения следующей системы (о иериодичесуих решениях сингулярно возмущенных параболических уравнений см. также в [17]—[19]) условии Т-периодичности по і всех входящих в неё величин. В качестве аналога (5) используется уравнение при дополнительных условиях задачи (6).
Всё сказанное по поводу обыкновенных дифференциальных уравнений в полной мере относится и к этим постановкам. Так же как и в случае с (5) при рассмотрении (7) для обоснования асимптотики пришлось пойти на расширение границ области применимости метода дифференциальных неравенств, распространив его на уравнения, допускающие более чем квадратичный рост правой части по пространственной производной ду/дх.
Отметим в заключение, что параболическое уравнение (6) является уравнением типа реакция-адвекция-диффузия и может выступать в качестве модельного для описания динамики вязкой жидкости, а также процессов тенло-массопереноса с конвективными потоками. Первая глава посвящена рассмотрению краевой задачи первого рода для уравнения (5). В ней было проведено построение асимптотики обычного погранслойного решения (т. е. решения без внутренних, в том числе переходных, слоев). При её обосновании используется теорема, доказательство которой находится в дополнении А.
Содержание второй главы составляет построение и обоснование асимптотического разложения контрастных структур типа ступеньки для случая (4) (т. е. для случая линейной зависимости от первой производной). Отметим, что наличие даже линейной зависимости по у оказалось способным внести качественно новые (по сравнению с её отсутствием) элементы как в саму структуру этих решений, так и в условия их возникновения.
Третья глава посвящена изучению (7), представляющей собой краевую задачу Дирихле для одномерного параболического уравнения с условием периодичности по времени. Здесь также как и в первой главе строится асимптотика решения, имеющего только пограничные слои. Ее обоснование опирается на теорему, доказательство которой содержится в дополнении В. Наконец, в четвёртой главе рассматривается соответствующая задача для уравнения (6). В ней, также как и во второй главе, изложение сконцентрировано на исследовании КСТС.
В общем случае (1.1) не может быть решена в силу нелинейной зависимости как от неизвестной функции, так и от сё произподпои, содержащихся в ней коэффициентов. Тем не менее, при определённых, достаточно общих условиях на функции А и В может быть проведено асимптотическое исследование её решений. Потребуем существования решения у = г {т) вырожденного уравнения уравнения B(Q,y x) = 0, получающегося из (1.1) при обращении параметра возмущения є в нуль, и выполнения условия Ву(0,(р(х),х) 0, х Є [0,1]. Кроме того считаем, что А(0, р(х),х) О при х — 0 и х = 1. Ещё раз подчеркнём, что никаких априорных ограничений на характер роста правой части (1.1) по первой производной не накладывается.
Поскольку tp(x), вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям, она заведомо не может выступать в роли асимптотического приближения точного решения (1.1) на всей области определения. Тем не менее, можно показать, что существует решение (1.1) близкое к р(х) всюду, за исключением некоторых (асимптотически малых) окрестностей граничных точек, в которых происходит его резкое изменение от граничных значений до функции ф(х). Это решение, называемое погранслойным, согласно методу пограничных функций представляется в виде суммы трёх составляющих: регулярной и двух погралслойиых (см. введение). Именно ему и посвящена настоящая глава.
