Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Ассоциативное квантовое произведение 16
1.1 Уравнение для интегрального ядра квантового произведения 16
1.2 Начальные условия 21
1.3 Метод ВКБ 23
Глава 2. Квантование симметрических пространств 29
2.1 Симметрические пространства и квантовое произведение 29
2.1.1 Определение и свойства симметрических пространств 29
2.1.2 Фундаментальный гамильтониан и отображения симметрии 31
2.2. Квантование плоскости с нестандартной связностью 35
2.2.1 Плоскость с нестандартной связностью 35
2.2.2 Фундаментальный гамильтониан и симплсктический группоид 35
2.2.3 Уравнение Гамильтона-Якоби для фазы интегрального ядра 37
2.2.4 Амплитуда квантового произведения (нециклический вариант) 39
2.2.5 Условие ассоциативности 40
2.2.6 Асимптотическое разложение 43
2.3 Квантование с помощью квантайзера 4(3
2.3.1 Квантайзер и квантовое произведение 46
2.3.2 Квантайзер для плоскости с нестандартной связностью 48
2.3.3 Свойства квантайзера 52
2.3.4 Плоскость Лобачевского 56
Глава 3. Квантование в ш-аффиныых координатах 67
3.1 Вейлевское произведение и w-аффинные координаты 67
3.1.1 Определение с^-аффинных координат 67
3.1.2 Построение w-аффинных координат 69
3.1.3 Свойства w-аффииных координат 70
3.1.4 Регулярное представление для вейлевского произведения 72
3.2 Плоскость Лобачевского в и-аффинных координатах 73
3.2.1 Аффинные координаты для плоскости Лобачевского 73
3.2.2 Когерентные состояния и сингулярное уравнение Шредингсра 77
3.2.3 Квантайзер для плоскости Лобачевского 80
3.3 Симплектическая структура, зависящая от одной переменной 83
3.4 Квантование симплектической плоскости с особенностями 92
3.4.1 Определение и геометрические характеристики , 92
3.4.2 Симплсктический группоид 93
3.4.3 Фундаментальный гамильтониан и отображения симметрии 95
3.4.4 Ассоциативное квантовое произведение функций 97
3.4.5 Квактайзер и квантовое произведение 104
3.4.6 Свойства квантайзера 109
3.4.7 Геометрия и особенности фазы интегрального ядра 119
Заключение 127
Список литературы
- Начальные условия
- Определение и свойства симметрических пространств
- Фундаментальный гамильтониан и симплсктический группоид
- Регулярное представление для вейлевского произведения
Введение к работе
Одной из важных задач современной математики и математической физики является задача квантования симплектических многообразий. В самом широком смысле под квантованием обычно понимается переход от классической системы к соответствующей квантовой. При этом требуется сформулировать квантовую теорию, для которой исходная классическая система будет пределом в некотором смысле. Однако, хорошо известно, что не каждая квантовая система имеет соответствующую ей разумную классическую систему и разные квантовые системы могут сводиться к одной и той же классической теории. На протяжении ряда лет теория квантования была включена в такие математические разделы, как дифференциальная и симплектическая геометрия, теория представлений, функциональный анализ и другие.
В настоящее время математические методы, используемые для решения задачи квантования, разделились на несколько направлений, таких как деформационное, геометрическое квантование, квантование Березина, асимптотическое квантование и т.д.
Исходная концепция квантования (которая теперь обычно называется каноническим квантованием) принадлежит Вейлю, фон Нейману и Дираку [61] [116] [152]. Она заключается в попытке сопоставить наблюдаемым классической механики, которые являются действительными функциями f{p,q) переменных (р, q) = (pii-.. iPt»,9ii" ч9п) Є !R"xE" (фазовое пространство), самосопряженные операторы Qj на гильбертовом пространстве 2(Rn) так, чтобы были выполнены соотношения
(ql) соответствие f ^ Qf линейно;
(q2) Qi = I, где 1 является единичной функцией, а / - единичным оператором;
(q3) для любой функции ф : R -> R для которой определены Q*o/ и
(q4) операторы QPj и Qqi соответствующие координатным функциям^, qj (j = 1,..., ті) имеют вид;
Q4i$ = чїФ, Qpj-Ф = -»'ft щ: для ^ є c0~(Rn). (о.і)
(Условие (q3) обычно называется правилом фон Неймана). Область определения отображения Q : f >-ї Q/ называется пространством квантовых наблюдаемых. В идеале хотелось бы, чтобы это пространство было достаточно большим (по крайней мере, содержало бы бесконечно дифференцируемые функции).
Теорема Стоуна и фон Неймана [116] утверждает, что с точностью до унитарной эквивалентности операторы (0.1) являются единственными операторами, действующими на гильбертовом пространстве L2 и удовлетворяющими условию неприводимости и коммутационным соотношениям
ВВЕДЕНИЕ
С учетом некоторых дополнительных физических соображений [61] отсюда следует, что при квантовании должно быть выполнено еще одно условие
(q5) Для всех квантуемых функций / и д
[Qt,Qe] = ihQ{u}, (о.з)
{fg\ = Y (ЁШй- - У-Иі.) \J,9t ^yOqjdpj dpjdqjj
есть скобка Пуассона функций / и д.
К сожалению оказывается, что аксиомы (ql) - (q5), взятые в совокупности, не являются согласованными.
Во-первых, используя аксиомы (ql) - (q4) можно вычислить оператор Qf для функции f{p,q) — p\q\ двумя различными способами с различными результатами (см. [68], или статью Арснса и Баббитта [33]).
Во-вторых, как показали исследования Грюнволда [81], позднее развитые ван Ховом [8Q], аксиома (q5) нарушается, если выполнены (ql) и (q4) и пространство квантуемых функций содержит все полиномы переменных р, q степени не выше четвертой,
В-третьих, можно показать, что можно получить противоречие, даже если принять аксиомы (q3), (q4) и (q5) и отбросить аксиому (ql) (линейность) (см. [63]).
Традиционно существует два подхода для преодоления описанных трудностей. Первый подход состоит в том, чтобы оставить аксиомы (ql), (q2), (q4) и (q5) (отказавшись только от аксиомы фон Неймана (q3)), но ограничить пространство квантуемых функций. Например, можно рассматривать только функции, линейные по переменной р:
f(P,
і (здесь q соответствует оператору Qq)- Аналогично, можно рассмотреть только функции линейные по переменной q или более обще, по линейной комбинации ар + bq для некоторых фиксированных констант а и Ь.
Во втором подходе предлагается оставить аксиомы (ql),(q2) и (q4), но потребовать, чтобы аксиома (q5) была выполнена только асимптотически по параметру К при h —> 0. Тогда оператор Qf можно записать как осциллирующий интеграл:
Qfg(x) = (2^ГП// /(л^) J[x-vyvl4v)dydp.
Это знаменитое исчисление Вейля псевдодифференциальных операторов (см. Хёрман-дер [85], Шубин [26], Тейлор [139]). Здесь обычно Qf обозначается через Wf. Последняя формула позволяет определить Wf как оператор из пространства Шварца (S"(]R")
ВВЕДЕНИЕ
в пространство iS'fR1'1) медленно растущих функций, В частности, если f,g
/Hff-ffH/ = tA{/.$} + 0(fta) при ft-К). (0.4)
и является асимптотической версией аксиомы {ф). Кроме того, если функция ф является полиномом, то можно получить асимптотическую версию аксиомы фон Неймана (q3) (детали см. [G8]).
Основная проблема квантования состоит в том, чтобы расширить два описанных выше подхода с пространства R2n на произвольное симплектическое многообразие. Первый поход приводит к геометрическому квантованию, а второй - к деформационному квантованию. Но, прежде, чем перейти к рассмотрению этих подходов, остановимся на некоторых обобщениях канонического квантования.
Одно из первых таких обобщений было предложено Сигалом [130] для квантования конфигурационного пространства X в духе канонического квантования. Макки [108] был разработан теоретико-групповой метод, в котором использовались результаты теории индуцированных представлений конечномерных групп. Более общий метод, в котором были объединены подходы Сигала и Макки, позднее разрабатывался, например, в [57, 58, 114]. Он не может быть применен к произвольному симплектическому многообразию, а только к кокасателыгым расслоениям. Причина этого заключается в существенном различии переменных q Є X конфигурационного пространства и переменных "момента" р Є Т*. Функции f(q) при этом квантуются операторами умножения:
(/Ф)(я.) = Кя)Ф{я) на -2(^i/J) с некоторой мерой /*, а векторные поля X квантуются так:
Хф=~ІП{Хф+\іїчцХ-ф)
(дополнительное слагаемое clivft X обеспечивает формальную самосопряженность one-ратора X в пространстве L (%,/t)). Теперь можно получить коммутационные соотношения
[,у] = -іМ^у], [xj} = -ihXf, [/,5) = 0,
которые являются обобщением канонических коммутационных соотношений (0.2), (0.3). Метод, использующий конечномерные группы диффеоморфизмов, полученных из локальных алгебр на физическом пространстве был предложен Голдиным (см. [74, 75]). Связь квантования с группами диффеоморфизмов конфигурационного пространства была также замечена Сигалом, который в своей работе [130] фактически перенес теорию квантования на кокасательное расслоение Т* и тем самым предвосхитил теорию геометрического квантования. Сигал также заметил, что число неэквивалентных квантований связано с первым классом когомологий пространства ,
ВВЕДЕНИЕ
Перейдем теперь к методу геометрического квантования. Отправной точкой здесь является действительное симплсктическое многообразие X (фазовое пространство) размерности Ъг с симплектической формой а>. Для произвольной функции / на X соответствующее гамильтоново векторное поле Xf задается соотношением u(^Xf) = df. Скобка Пуассона двух функций определяется соотношением {f,g} = ~ы(Х/,Хд). Целью геометрического квантования является сопоставление каждому многообразию (X, ш) се-парабельного гильбертова пространства С и отображения Q : f i-> Qf из пространства М(Х) (настолько большого, насколько возможно) квантуемых действительных функций на X, которое является алгеброй Ли относительно скобки Пуассона, в пространство самосопряженных линейных операторов на С так, чтобы было выполнено:
(Ql) Qi — I, где 1 - единичная функция, а / - тождественный оператор на ;
(Q2) отображение / \-t Qf линейно;
(Q3) [Q/M = іЩшь V/)ff Є М(Х);
(Q4) отображение является функториальным в том смысле, что для двух симплекти-ческих многообразий (Х^\ш^), (Х^2\ш^) и диффеоморфизма ф из Х^ в Х^2\ который переводит ш^1' в w'2', композиция с должна отображать М(Х^) в М(Х^) и должен существовать оператор Щ из (1) в .& так, чтобы было выполнено
(Q5) для (X, и) — Rin со стандартной спмплектической формой мы должны получить операторы Qqj, QPj (0.1).
Замечание. Требования (Q4) и (Q5) являются в некотором смысле заменой требования (q4) в стандартной формулировке квантования, которое сложно интерпретировать для произвольного симплектического многообразия (где уже нет глобального разделения координат на координаты q и р). Другая часто используемая возможность состоит в требовании, чтобы для некоторого выделенного класса функций / соответствующие операторы Qj действовали поприводимо на С. Однако, здесь не существует общего рецепта, как выбирать этот выделенный класс функций. Требование, чтобы любое нетривиальное подпространство в С было бы инвариантно для всех Qf, / Є М (X) не является корректной заменой (см. статью Туйнмана [144]), Также, мы отбросили аксиому фон Неймана (q3), хотя оказывается, что она обычно восстанавливается в определенной мере (см. [78]).
Построение отображения О было впервые выполнено Костантом [100] и Сурьо [134] на базе пионерских исследований Кириллова по методу орбит (см. [15]). Оно состоит из двух шагов: предквантовапия и поляризации. Предквантование начинается с введения комплексного эрмитова линейного слоения L на X со связностью V, форма кривизны которой удовлетворяет соотношению curvV = ш/h (для пространства (L,V) для выполнения этого соотношения необходимо, чтобы класс когомологий (jjj2nh, в Н2(Х, R) был целочисленный; это условие известно как условие квантования). Теперь для каждой функции / Є C'xt(X) можно определить дифференциальный оператор
ВВЕДЕНИЕ
Qf = -mv.V/ + /.
где последнее; слагаемое означает операцию умножения ни /. Очгшідіїи. чти операторы удовлетворяют аксиомам (Ql),(Q2) и (Q4), и простое вычисление показывает, что они также удовлетворяют аксиоме (Q3).
При этом, к сожалению, аксиома (Q5) явно нарушается. Фактически для X = М2пэти операторы действуют не на i2(R"), а на 3(R2n), так что мы должны как-то избавиться от половины переменных. Более точно, можно показать, что для X = R2 введенные операторы задаются соотношением
«' = -а(^-^5ї) + (/-2>|).
так что ограничение операторов Qf на функции, зависящие только от переменных (X,oj) чтобы придать смысл выражению "функции, зависящие только от половины переменных", необходимо иметь поляризацию, т.е. грубо говоря выбрать некоторым способом подраг-слоение V комплексной размерности и в комплекеификацнн карательного рпічупмяшя ТХ' и затем ограничить функции на J. которые постоянны вдоль е.ли<в Р. Это решает вопрос о "зависимости от половины переменных". Кроме того, для задания гильбертовой структуры нужен аналог свойства "квадратичной интегрируемости". Простейшим решением является использование полу-плотностей, которые однако не дают корректного квантования для гармонического осциллятора. Поэтому требуется применение ме-таплектических поправок, которые позволяют использовать но полу-плотности, а полу-формы и дают правильный ответ для гармонического осциллятора (но не в некоторых других случаях: см. [143]). Окончательно, для функций /. которые не выводят из V. т.е. [Х/,"Р] С Т\ соответствующий оператор Q/ отображает функцию постоянную вдоль V в другую такую же функцию, и, следовательно, получаются требуемые квантовые операторы.
Заметим, что в случае, когда пространство X является коприсоединенной орбитой группы Ли G, которая действует на X диффеоморфизмами, сохраняющими симплекти-ческую форму и>, геометрическое квантование тесно связано с теорией представления групп (метод орбит) (см. работы Кириллова [15] и Вогана [117]).
Более детально проблемы геометрического квантования разбираются » работах ТуГш-мана [140], классической работе Вудхауса [153] (см. также новую редакцию [154]), Сни-атского [133]; книга Гил мина и Стернберга [82] и работа Харта [87] немного более ориентированы на теорию интегральных операторов Фурье и теорию представлений соответственно. Есть также много других интересных статей: Сииатского [132], Блат-ткера и Ронсли [4G] [47], Чижа [55], Гавсдского [71], Гссса [83], Ронсли и Робинсона [122], Робинсона [129], Блатнера [42] [43] [44], Туйнмана [143] [144] [141] [142]. Ронсли [120]. Костапта[101] [102] [100] и Сурьо [134], иследовшшс Блатнера [45]. Лли [29]. Упомянем также недавно вышедшие книги Бейтса и Вайнстайна [35] и Пута [119] и более старую Симмса и Вудхауса [131].
Несмотря на то, что метод геометрического квантования является довольно успешным, у него имеются свои недостатки. Во-первых, его конструкция зависит от мно-
ВВЕДЕНИЕ
гих составляющих: выбора слоения предквантования, метаплектичсской структуры и поляризации. Во-вторых (и это наиболее важно), пространство квантуемых функций довольно маленькое (например для случая X = К2", где поляризация задается координатами ql:...,qn, пространство М{Х) состоит из функций, линейных по переменкой р и, следовательно, не включает кинетическую энергию iji/'jj3).
В методе деформационного квантования пытаются преодолеть трудности геометрического квантования путем смягчения аксиомы (Q3):
[QtM = -іЬЯшу + 0(h2).
По аналогии с асимптотическим разложением квантового произведения Всйля, можно попытаться построить формальное ассоциативное некоммутативное квантовое произведение *rt (^-произведение) такое, что d некотором смысле
при h ~> 0, где билинейные операторы Cj удовлетворяют соотношению
Co[f,g) = f
Термин "формальное" здесь означает, что квантовое произведение f*ftg не обязательно существует для любого заданного значения Я, но мы только требуем, чтобы коэффициенты Cj : М(Х) х М(Х) — М{Х) были корректно определенными отображениями для некоторого пространства функций М[Х) на X и удовлетворяли бы соотношениям, которые делают произведение *я ассоциативным. На втором шаге ищется аналог исчисления Вейля, т.е. пытаются сделать квантовое; произведение; настоящим (а не только формальным) отображением М(Х) х М(Х) —> М(Х) и ищут линейное соответствие функции / Є М(Х) с оператором Qf на сспарабельном гильбертовом пространстве , самосопряженным, если / - действительная функция и удовлетворяющим соотношению
QjQa =
Более того, требуется, чтобы было выполнено условие ковариантности (Q 1). и для случая X ~ К2'1 произведение *ri должно сводиться или быть в определенном смысле .-эквивалентным произведению Вейля.
Первый шаг, описанный выше, является предметом формальной теории деформационного квантования, основателями которой являются Березин [2] и Байен, Флато, Фронсдал, Лишнеровиц и Стернхаймер [36]. А именно, рассматривается кольцо Л = C(3)[[ft]] формальных степенных рядов по параметру К с коэффициентами из С^ІХ) и ищется ассоциативное С[[/г]]-линейное отображение * : Л X Л — Л. такое, чтобы были выполнены условия на коэффициенты Cj. Эта чисто алгебраическая проблема была решена Герстенхабером [77], который показал, что единственным ограничением для построения квантового произведения является некоторый класс когомологий Хошхильда Сп Є Н3(А,А) (конструкция возможна тогда и только тогда, когда класс с„ нулевой).
ВВЕДЕНИЕ
Позднее де Вильд и Лекомт [СО] показали, что формально*; квантовое произведение существует на любом симплектическом многообразии (таким образом, когомологические ограничения фактически не возникают). Более геометрическая конструкция была предложена Федосовым [G4] (см. также его книгу [С5]) и Омори, Маеда и Иошиока [117], но оставался открытым вопрос, существует ли квантовое произведение на произвольном пуассоиовом многообразии. Этот вопрос был полностью решен в работе Концсвича [99]. Другой подход к формальному деформационному квантованию на симплектическом многообразии был найден Карасевым к Масловым [13]. где впервые был предложен сам термин "деформационное квантование". Кваптшпе проігтгдешн; і- некоторыми дополнительными свойствами обсуждалось Коном. Флато и Стернхаймером [52] и Флато и Стсрнхаймером [67], а результаты, связанные с классификацией, можно найти в работах [38],[59],[115].
Второй шаг деформационного квантования, т.е. сопоставление каждой функции / операторов Qfirn гильбертовом пространстве, является более сложным. Во-первых, требуется, чтобы функция / *ц д действительно существовала на пространстве X для некоторого (сколь угодно малого) значения параметра h. Часто гггот факт довольно трудно установить для формальных квантовых произведений. Обычно применяют обратную операцию: начинают с некоторой геометрической конструкции операторов Qf, а затем проверяют, что операция, определенная формулой (0.5) является квантовым произведением. Другими словами, требуется построить соответствие / н-> Qj, зависящее от параметра h, функций / С(^) и операторов Qf на гильбертовом пространстве . так, чтобы при h -4 0 было выполнено асимптотическое соотношение
Для кэлеровых многообразий обе эти проблемы существенно продвинуты методами квантования Березина-Теплица (см. [2, 3, 92, 50]). Для общих симплектических многообразий (или пуассоновых) аналогичная конструкция пока неизвестна. Интересный метод построения неформальных квантовых произведений на общих симплектических многообразиях, использующий интегрирование по некоторым двумерным поверхностям (мембранам) в комплексификации Xх" ~ X х X пространства X, был недавно предложен Карасевым [90].
Остановимся более подробно на методе квантования Березина. Напомним, что гильбертово пространство Н, элементы которого являются функциями на множестве D, называется гильбертовым пространством воспроизводящих ядер, если для каждого ж Є D отображение ф н^ ф(х) является непрерывным на Н. По теореме Рисса-Фишера это означает, что существуют вектора Кх 6 Н. такие, что
ф(х) = {Кс.ф) ЧфїН.
Функция
К(г,у) = (Кя,Ку) x,y&D
называется воспроизводящим ядром на Н, Для произвольной функции /, такой, что fH Ь2{0,ц) (например, /Н Є L(D,ti)), можно определить оператор Теплица на Н по формуле
ВВЕДЕНИЕ
Т,ф(х) = (Кх,/ф) = J
При этом функция / называется ковариантным символом оператора Tf. Дальше можно определить при некоторых дополнительных условиях нскоммутативое произведение
Jd л(у.у)
где f(x, у),д(х, у) - функции на D х D, голоморфные по х и у, и такие, что f(x,x) = f ['>') л g(x,z) =д(х).
Основная задача теперь состоит в том, чтобы подобрать подходящую меру <1ц так, чтобы это произведение удовлетворяло всем условиям квантового произведения (аксиомам квантования). Березин построил такую меру для случая D = С1 со стандартной кэлеровой формой w — г , dzj A dz$. Проблема меры в общем случае является открытой [92].
Идеи Березина получили дальнейшее применение для квантования еимметричп-ких (однородных пространств), т.е. на которых транзитивно действует группа Ли преобразований (см. Морено [112], Морено и Ортсга-Наварро [113], Арнал, Казн и Гутт [28]). Некоторые связи со С'-алгебраической теорией Риффсла можно найти в работе Радуле-ску [123]. Формальные произведения Березина и Березина-Теплица для произвольных кэлеровых многообразия изучались Карабеговым [88], Решетихиным и Тахтаджяном [124]. См. также Хокинс [84].
Систематический подход к построению неформальных квантовых приі-пнедешш был предложен Риффелом [125]. Он определяет точное деформационное квантование [126] [127] (его иногда называют С'-алгебраическим деформационным квантованием, см. Ландс-ман [106]) как плотную *-подалгебру А в С{%) снабженную, для достаточно малых положительных значений параметра h, нормой || ||д, инволюцией *й и ассоциативным произведением Хь, непрерывным относительно нормы ][ ][г„ так, что выполнены соотношения:
Отображение h *-$ An является пополнением (А.'1'. <п) относительна нормы \\ * jir, в непрерывном поле С "-алгебр;
Операции *, Хо и || ||q являются соответственно комплексным сопряжением, точечным произведением и супремум-нормой на С(3);
Бшк_ю||(/ Хкд-9 Хп1) + Щ1,д}\\к-0.
Теперь используя теорему Гельфанда-Неймарка можно представить С-алггиры An как алгебры операторов, действующих в гильбертовом пространстве, и таким образом появляется требуемое квантование / >-4 Qf.
Точное квантование удается построить также для симплектических многообразий с плоской симплсктической связностью (см. [34]), для кокасательных расслоений над аффинными многообразиями без сопряженных точек (см. [146, 62, 49, 104]) и для пространств с магнитной симплектической формой [93, 94].
ВВЕДЕНИЕ
Недавно в теории квантования появились новые идеи, связанные с конструкцией сим-плсктических группоидов, предложенной Карасевым [И] (см. Вайнстайи [149], Карассв-Маслов [14], Закревский [155], Литвинов [17], Ландсман [103] [105]; книгу Ландсмана [104] и Вайнстайна, Канна до Сильва [51]). Калибровочно-инвариантный метод кпапто-вания, который по словам авторов "объединяет геометрические, деформационно1 квантования и квантование Березина" с подходом Баталина-Вилковысского, был предложен в работах Фрадкина и Лсницкого [70] и Фрадкина [С9].
Помимо описанных выше методов квантования существует еще много других методов. Не вдаваясь здесь в подробности, опишем основные идеи, лежащие в их основе, и дадим некоторые ссылки на соответствующую литературу.
Основные идеи квантования методом феймановских интегралов по путям изложены в работе Фейнмана и Хиббса [CG] и в работе Глимма и Джаффе [73]. Также можно указать недавний обзор Гроше [70]. Конструкция квантования с помощью интегралов пи путям обсуждается в книге Березина [3] и работах Смоляпова [23, 24]. Локальная формула деформационного квантования, схожая с феймановским разложением в квантовой теории поля, лежит также в центре конструкции Концевича [99] квантового произведения на произвольном пуассоновом многообразии (более точно, формула Концевича является разложением некоторого интеграла Фейнмана в седловой точке, см. статью Каттанео и Фелдсра [53]). Связи между фейнмановскими интегралами по путям, когерентными состояниями и квантованием Березина ибсуждаюте.я в р;и~. ггах К"1ієччіі:і и Ярушина [98], Клаудера [97], в книге Березина и Шубина [3] (параграф 5). статьях Маринова [109], Шарля [54] и Бодмана [48]. В контексте геометрического квантования фейнмановскис интегралы по путям обсуждаются в работе Гаведского [72], Вигмана [148], и в книге Вудхауза [154].
Другой известный метод - это метод асимптотического квантования Карассва и Маслова [92]. Он может быть использован для квантования произвольного симнлектм-ческого (или даже пуассонового) многообразия, даже если на нем не существует поляризации и, следовательно, метод геометрического квантования не применим. При этом под квантованием понимается построение ассоциативной некоммутативной алгебры М(Х), зависящей от параметра fi, которая связана с пуассоновой алгеброй функций F[X) и группой пуассоновых преобразований G(X) пространства X. А именно, существуют отображения тгд : F(X) -+ М(Х) и Пл : G(X) -> М(Х) такие, что
fffi - линейно И Яд(1) = /,
ЫЛЫ9) = M/9-tU^}) + 0(&),
ПьЫПпЫ = ^Щъъ) + 0{Н2), . тга(/)Пй(7) = ПЙ(7М7*Я + 0(П2),
где с = c(h, 7іі7г) К1, а 7/ ~ гамильтонов поток для функции /. Этит метод базируется на сшивании областей с координатами Дарбу, проквантованых по Вейлю. В результате получается правило квантования, сопоставляющее произвольной функции / Є C(.X) некоторый интегральный оператор типа Фурье, действующий на пучке
ВВЕДЕНИЕ
функциональных пространств над X так, что выполнено условие квантования. Основным техническим моментом является исполыование канонического оператора Мае лова [19]. Основное неудобство этой процедуры в том, что она носит асимптотический характер: операторы, склеивающие локальные пред пучки в пучок, определены только по модулю 0(h) и поэтому почти все результаты также носят асимптотический характер (при этом точность может быть увеличена до 0(00)). Идеи Карасева и Маслова получили дальнейшее развитие в их книге [14] (см. также работу Карасева [91]), в статьях Альбеверио и Далецкого [27], и Маслова и Шведова [111]. Также представляет интерес статья Патисера и Дазорда [50], в которой разъясняются некоторые вопросы, поставленные в [13]. Сравнение; метода асимптотического кп;штив;шня с методами геометрического и деформационного квантований приводится в [13]. в статье Патисера [118] и в книге [14].
В заключение упомянем метод квантовых состояний Сурьо [136]. Он строится на понятиях диффеологического пространства и диффеологической группы, введенных Б работе [135], которые являются довольно сложными, чтобы описать их здесь, и использует комбинацию гармонического и выпуклого анализа. Основные результаты этого подхода изложены в [137]. В настоящее время связь этого метода с другими подходами к квантованию остается невыясненной (см. Блаттнер [45]).
В данной работе исследуется новый, предлженный в [95], метод построения квантовых произведений над симплектическим многообразием X, основанный на использовании для квантовых объектов динамических уравнений в частных производных. Квантовое произведение будем строить в виде интеграла
(/ * и) 00 = —4т^ / А'*,, 00 / -';) ./ (w)d"lv (".G)
(27m) J
относительно стандартной меры на :. Здесь интегральное ядро Kh сингулярно при Н —> 0 так, что имеется слабый предел
lim х- K^v — $Х8У.
ft-ю (2jrft)an "
Формула типа (О.С) может быть применена и к Й-зависимым функциям, например, к быстро осциллирующим, что делает возможным использование произведения (0.6) в квантово-динамических задачах с фазовым пространством X.
Возникает проблема вычисления ядра К . Известно, что для произвольного пуассо-нова многообразия X функции Kh соответствует лагранжево подмногообразие в некотором симплектическом пространстве х х над конфигурационным пространством X х А' х X. Это лагранжево подмногообразие график операции умножения симплскти-ческого группоида над X [10.11]. Поэтому квазиклассическую асимптотику ядра Л"' в общем пу ас соковом случае можно вычислять с помощью модификации теории канонического оператора Маслова на случай общих симплектических многообразий [13, 14]. Однако, в высших приближениях получающиеся формулы не "геометричны".
ВВЕДЕНИЕ
Можно использовать другой подход к вычислению ядра КГі. Он состоит в следующем: из условия ассоциативности квантовой алгебры мы получим для К'1 систему дифференциальных уравнений в частных производных типа Шредипгера [95]
с некоторым гамильтонианом Н, зависящим от "времени" у Є X. Гамильтониан ~KT't является 1-формой на X, коэффициентами которой служат функции на Л":
Эти коэффициенты регулярно зависят от h:
ПП = Н(0) + т{1) + ^(2) + _ _ ((LS)
где "H'1',"^2',... - квантовые поправки к старшей части. Эти поправки можно вычислить, зная регулярное представление квантовой алгебры и старшую часть "Н^ из свойства ассоциативности квантового произведения.
Мы рассмотрим два способа построения старшей части гамильтониана 7i^ (он называется также фундаментальным гамильтонианом).
ПерВЫЙ СПОСОб ПрИМСНИМ. ЄСЛИ ДОПОЛНИТСЛЬНО ИЗВЕСТНО, ЧТО Пространство .Т і'ЛМ-
метрическое, т.е. на нем задано некоторое семейство канонических ч-р «"ражений >,, : X —* X, которые обладают некоторыми специальными свойствами и называются отображениями симметрии [156]. В этом случае фундаментальный гамильтониан И,, определяется как гамильтониан, соответствующий отображениям симметрии на X как каноническим. При этом главная часть операторов левого регулярного представления L, представленных как псевдодифферепциальные, определяется фундаментальным гамильтонианом с помощью некоторого неявного уравнения.
Второй способ состоит в использовании специальных координат, называемых о>-аффинными (или просто аффинными). С помощью таких координат можно асимптотически вычислить операторы регулярного представления L и затем, наоборот, из главной части этой асимптотики найти фундаментальный гамильтониан Ну .
Наличие ш-аффинных координат дает еще один способ вычисления интегрального ядра Kh квантового произведения, основанный на применении квантайзера - некоторого семейства самосопряженных операторов Sx, которое задаст гомоморфизм алгебры символов б алгебру операторов по формуле [79. 138]
"= —/
(2*ft)" У
f = ^г J ,lx)S'dx-
В и-аффинных координатах квантайзер Ss можно построить с помощью преобразования Фурье, если известно какое-нибудь неприводимое представление пуассоновой алгебры
ВВЕДЕНИЕ
функций на X (в ряде примеров такое представление можно найти). Тогда, при некоторых дополнительных условиях на квантайзер интегральное ядро строится в виде
К*л (и) = 1т (S^S,,) .
В данной работе в качестве исходного многообразия мы возьмем пространство Л* = Rm четной размерности т = 2», наделенное симплектической формой w и симплектической связностью (без кручения) Г. Этот топологически тривиальный случай тем не менее представляет интерес, т.к. мы будем рассматривать нетривиальную связность Г.
Опишем теперь кратко содержание работы. Глава 1 посвящена выводу системы уравнений в частных производных (0.7) для интегрального ядра Кп. Предполагая, что известно регулярное представление квантовой алгебры, из условия ассоциативности выводится система уравнений, а затем выписываются "краевые условия для >т<уі'і <-ц<'темі,і так, чтобы единичная функция была единицей в квантовой алгебре (см. (ql)). Выводится условие разрешимости полученных уравнений (уравнение нулевой кривизны). Далее ищется асимптотическое решение системы (0.7) в виде ВКБ Kh ~ е^<р. Для фазы «I» и главного слагаемого асимптотического разложения амплитуды tp выписываются соответственно системы уравнений Гамильтона-Якоби и переноса. Приводится решение этих систем в случае, когда размерность исходного пространства X равна 2 методом характеристик. С помощью метода стационарной фазы строится слабая асимптотика полученного квантового произведения.
В главе 2 реализуется первый способ построения фундаментального гамильтониана для случая симметрических пространств. Сначала дается определение симметрических пространств (через семейство отображений симметрии) и приводятся основные геометрические свойства этих пространств (отображение центральной точки, инвари-атная связность и т.д.). Затем доказывается, что фундаментальный гамильтониан может быть построен как гамильтониан, соответствующий отображениям симметрии как каноническим. Показана связь фазы Ф интегрального ядра Л'г' киантивоги іцюизія'ді'-ния, построенной в главе 1 с отображениями симметрии, а также се связь с парным симплектическим группоидом над X.
Далее рассматривается пример квантования плоскости с нестандарной связностью, которая является следующим по сложности примером симплектического симметрического пространства после евклидовой плоскости. Для нес найдены фаза Ф и главная часть асимптотики амплитуды <р интегрального ядра Kh. Более того, доказано, что полученная формула является точной, т.е. поправки порядка 0{Н) отсутствуют. Затем приведена схема квантования, основанная на применении квантайзсра. Дается определение квантайзсра и выводится формула для интегрального ядра Kh квантового произведения через квантайзер. На основе системы уравнений для Кп получается система уравнений для квантайзсра. Для плоскости с нестандартной связностью эта система решается, и с помощью найденного квантайзера строится еще одно интегральное ядро квантового произведения, которое отличается от найденного видом амплитуды (р. Для обоих квантовых произвений построены слабые асимптотики по h типа (І)Л) дч второго порядка включительно. Полученные результаты сравниваются затем с результатами, полученными для этого примера П. Белявским методом точного дефирмпциишют квантования [39, 40]. Затем рассматривается пример квантования плоскости Лобачевского
ВВЕДЕНИЕ
(модель Пуанкаре) как симметрического пространства. Для нем; строится фаза Ф интегрального ядра Kh. Пример плоскости Лобачевского интересен тем. что -vr;i. фа-;; і inn і т фокальные точки. Эти точки подробно исследуются с геодютрической точки зрения.
Начальные условия
Замечание. Эта формула для главного члена асимптотики амплитуды ядра Kh отличается от найденной в [95] множителями, содержащими первую квантовую поправку Н \ заданную в (1.10). При этом гамильтониан 7ih в основном динамическом уравнении (0.7) уже не предполагается, в отличии от [95], вещественным в младших членах по h.
Замечание. Появление фокальных точек, где асимптотика ядра Кп уже; не имеет ВКБ-вид (1.20), а должна задаваться какой-то модификацией канонического оператора Ма слова [14], определяется обращением в 0 якобиана dct ( - 1. Появление фокальных точек над плоскостью Лобачевского продемонстрировано ниже.
Можно выписать также уравнения для следующих поправок к главному слагаемому асимптотического разложения амплитуды рх,у- и таким образом построить решение системы (1.9) для интегрального ядра /\ с любой i-тгнслыо точности.
Найдем теперь первые члены слабой асимптотики построенного квантового произведения.
Лемма 1.4. Пусть функции fug- гладкие и h-исзависимые. Тогда для квантового произведения этих функций с интегрльным ядром (1.22) справедливо асимптотическое разложение
В этой главе мы рассмотрим первый способ построения фундаментального гамильтониана % 0 и операторов левого регулярного представления L. Для этого будем предполагать, что пространство X - симметрическое. Мы приведем основные факты о симметрических пространствах и докажем, что фундаментальный гамильтониан можно определить как гамильтониан отвечающий отображениям симметрии на X как каноническим. Также укажем связь фазы Ф интегрального ядра Kh с отображениями симметрии и парным симплектичгхким группоидом над Л . Рассмотрим примеры квантования плоскости с нестандартной связностью и плоскости Лобачевского.
Напомним сначала несколько основных фактов о симметрических пространствах (подробности см. в [18, 25, 40, С]).
Определение. Пусть X - гладкое многообразие. Гладкое отображение -у : X х Jt — X называется отображением центральной точки на X, если оно удовлетворяет следующим условиям у(х,х) = х. 7 (.с /) = 7 для всех х,у Є X. Следующее утверждение поясняет смысл термина "отображение центральной точ it ки Предложение 2.1. Пусть 7 _ отображение центральной точки на гладком многообразии X. Тогда для всех х Є X и касательных векторов X. Y Є ТХХ имеем dxl[X,Y) \{X + Y), где d - дифференциал отображения -у. Оказывается, что это отображение существует далеко не всегда:
Предложение 2.2. Не сущсслппцст отображения цг.птрплъ» и. точъ-и » i t-фг р : S" и на торе Г". С понятием отображения центральной точки тесно связано понятие отображений симметрии и симметрических пространств. ГЛАВА 2. КВАНТОВАНИЕ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 30 Определение. Гладкое многообразие X назывется симметрическим пространством, если для всех х Є X определено гладкое отображение &х : X —} X со следующими свойствами (1) Точка х является неподвижной точкой отображения sx, т.е. зх (х) = х. (2) Отображение sx инволютивно: $1 = id. (3) Для всех х,у Є X выполнено тождество s o syo Sx = яг у). (2.1) Отображение sx называется отображением симметрии.
Определение. Пусть (X, s) - симметрическое пространство. Гладкое отображение 7 : X х X — X называется отображением центральной точки, соответствующем отображе-нию симметрии .ч, если 7 является отображением центральной точки на пространстве X и. кроме того, согласовано с, симметриями в следующем смысле для всех ж, у, г G X. Связь введенных понятий поясняют следующие две леммы [10G] Предложение 2.3. Пусть [X,s) - симметрическое пространство и задано гладкое отображение у : X х X — X такое, что множество 7-1 (х) является графиком отображения s.j; для всех х. Тогда 7 является отображением центральной точки, соответствующим отображению симметрии зх. Предложение 2.4. Пусть X - гладкое, многообразие, и па нем задамо отображение центральной точки 7 со следующими сіішігшаами (1) Множество 7-1 (я) лоллетсл графиком, гладкого отображения г : Л -т Л" (2) Отображение j согласовано с $х, т.е. -у (sx (у),sx [z)) = sx (7 (у, z)).
Определение и свойства симметрических пространств
Доказательство. Из определения функций VLST непосредственно следует, что OkUj. = VTU\. Дифференцируя это соотношение еще раз по переменной х,„. получим дЛиі = (.) и1, + vz (.) - (а«УІ + vzvl.) и]. Но, т.к. наша замена координат - гладкая, должно выполняться равенство dmdkUl = OkdmUj.. Отсюда и следует наше утверждение.
Теперь, для построения и-аффинных координат (: ) (при заданных координатах (J7))-надо сначала найти функции Vt r из уравнения (3.4), (З.С), а затем из уравнений (3.3) найти U".T и соответственно замену х — х(х). Конкретные примеры построения ш-аффинпых координат будут продемонстрированы ниже. Свойства w-аффинных координат Наличие w-аффинных координат дает еще один способ вычисления квантайзера S,t. Рассмот]шм для простоты двумерный случай.
Пусть координаты xi, х2 - w-аффкнные. Тогда согласно [14, 90] оператор / имеет вид / = / (xi, 2:2)( где операторы хіу ж2 симметризованы по Вейлю и задают квантование скобки Пуассона на исходном пространстве (неприводимое представление пуассоиовой алгебры), т.е. выполнена формула fr.?2] = -ift 12 (Jv ,). (3.7) (В общем случае [14] при квантовании скобки иуассона в павой части последнего соотношения стоит Фг = Ф — г Фц) + . где Ф( ) - квантовые поправки к пуассоновой структуре Ф 1 . Однако, как нетрудно проверить, в двумерном случае эти поправки равны 0). Но, с другой стороны, любая функция от операторов, симметризованных по Вейлю может быть записана в виде [14, 9] /= г / /(а)ехр f-r("i + «2T)j схр f — ( ЖІ +тх2)\ dadtdr. Сравнивая это выражение с формулой (2.22), получим формулу для квантайзера Sa = 1khiехр \h nif + а2ч ехр (її 1 + 2Ч(Ыт (3 8)
Таким образом задача построения квантайзера сводится к построению соответствующих операторов хі,хі и вычислению экспоненты от их суммы. В случае, когда пространство X диффеоморфно двумерной плоскости R2. ш-аффиниые координаты обладают никоторыми простыми геометрическими свойствами.
Предложение 3.3. Пусть координаты (xi,x2) на X - ш-аффинные. ТинОп графиком геодезический линии (х\ (t) ,Х2 ()) на X является прямая, т.е. xt(t) = axi[t) + b, (3.9) где а,Ъ - некоторые константы, t Є [0.1], Доказательство. По определению, геодезическая линия является (локально) решением системы дифференциальных уравнений [С, 16] г ( )тГ Л ,-( )=0, (3-Ю) где Г - связность на X, i,j,k = 1,2. Для w-аффинной связности (3.1) имеем 3 хх (i) + 2 "a,-wu xl (t) xj (t) = 0, 3 x2 (t) + 2Ф"й,-Ши ij (() Щ (t) = 0. Второе из этих уравнений можно переписать в следующем виде 3 х2 (t) + 2Ф12- [ш12 (х [і))] і, (f) = 0. (3.11) at Предположим теперь, что координата х2 является функцией а;і, т.е. Ж2 = Х2(жі). Тогда х2= х г Xi и 2- 2 (ii) + 2 1 (штрих означает производную х2 по xi). Подставляя эти выражения в формулу (3.11), получим 3 (х ; {хг)г + 4 : ч) + 2 12 wis {.г- it)) А г, {!) - 1). Наконец, подставляя сюда выражение для її, и производя сокращения, будем иметь Отсюда и следует утверждение. Замечание. Вес ненулевые компоненты тензора кривизны w-аффинной связности с точностью до знака совпадают со следующими компонентами
Регулярное представление для вейлевского произведения Напомним, что w-аффинные координаты отвечают вейлевскому квантовоу произведению функций. Для вейлевского произведения в [12, 14] была указана процедура построения: операторов левого и правого регулярного представления в виде (1.4), (1.5). где главная часть символов дается формулами [14]:
Вектор-функции ((х,р) и г(х,р) = (х,—р) задают пуассоно-во бирасслосние ( х г : Т Х — X х .v фазового пространства (симплектического группоида) над X в прямое произведение; двух копий .V. наделенное разностью скобок Пуассона на сомножителях. Первое отображение пуассоиово. второе интішуассоїюііо. и друг с. другом они находятся в инволюции. Таким образом, они задают структуру симплсктического группоида [11, 14] на Т Х, т.е. частичное умножение а,Ь — аоЬ точек из Т Х такое, что а о о-1 = 1(a) , а"1 о а = т (a) , (aob) = 1(a) ,r(aob) = r (Ь). По терминологии [150] I и г называются левым и правым отображениями сокращения в группоиде, или иначе - отображениями "цели" и "источника1 (см. детали в [150]). Первая квантовая поправка в (1.D) имеет вид [14] " - 5 « » ЕГ- ЗЛ4 где Рр = Ptp, а функция х = Рр() является решение неявного уравнения = г (х,р) относительно х.
В этом случае фундаментальный гамильтониан 7ігі находтся из неявного уравнения "Ну (t(y.p)) = р. Непосредственно проверяется, что для пеги будет выполнено уравнение нулевой кривизны. При этом функции Ну и Hv . определенные в (1.1U) называются квантовым поднятием фундаментального гамильтониана пу и поправки nv в сим-плектический группоид.
Фундаментальный гамильтониан и симплсктический группоид
Следствие. В данном примере фаза Фа (с) интегрального ядра КГі квантовано произведения не имеет фокальных точек, т.е. если для некоторой точки q X выполнено соотношение (sa о о sc){q) = q, то det (I — D(sa о sj, о sc)) (q) ф 0.
Следствие. Соотношение tr f SaSj J = 2itfr$ (a — b) будет выполнено тогда и только тогда, когда рефлексии $а не имеют особенностей.
Несмотря на то. что якобиан системы (3.42) всегда отличен от 0. чти система может не иметь решений (в этом случае К ь — 0). Критерий разрешимости дается следующим утверждением
Лемма 3.11. Система (3.42) разрешима при всех «i, b± и сх из интервала (z\, z ) тогда и только тогда, когда для квантайзера Sa выполнено свойство (2.23).
Доказательство. Пусть q ф у ф z. Определим функцию f (q) — axq — c(q). Тогда первое уравнение системы (3.42} можно записать в виде: f (q) — f [у). Изучим функцию / более подробно. У нее существует точка экстреммума q: / (q) = 0, которая однозначно определяется из соотношения g(q) = а\ и является невырожденной: f"(q) — «(«і) ф 0. Таким образом, решения q и у системы должны находится по разные стороны этой точки.
Далее, пусть для квантайзера Sa выполнено условие (2.23).Тогда для функции / очевидно должно быть выполнено условие: / (i) = /(з) и при этом хотя бы один ил концов интервала (і,з) равен бесконечности.
Предположим. ЧТО i = —ОО И 2І - 1 ешічшя ГИСТЄМІ,! (о. 12) Не сущееTISotiaJlo бы, если бы при некоторых значениях «і, b\ и сл из интервала (-і.гг) одна из вершин треугольника g(q), g(y) или g[z) попала бы на границу этого интервала.
Предположим, что а (у) = zj, т.е. у = fa. Тогда, из первого уравнения системы (3.42) имеем q[fa) = i- Но, по определению функции g отсюда получаем — & — fo{ 1 2,) г и, следовательно. g{q{fa)) Z\. Аналогично из второго уравнения системы (3.42) заклю чаем, что g (z (2)) = Z\. Поэтому cj = z\. Следовательно, наше предположение неверно, и решение системы (3.42) существует. D
Таким образом, для разобранного примера имеются две возможности
1. Система (3.42) при всех наборах ai, buci имеет решение (существует треугольник, описанный в замечании к лемме 3.10) и рефлексии sa не имеют особенностей. При этом для квантайзера Sa выполнено свойство (2.23).
2. Система (3.42) может не иметь решений (треугольник может не существовать) и рефлексии А д имеют особенности. Свойство (2.23) нарушается и необходимо сужать класс допустимых символов.
Реализация одного из этих случаев зависит от выбора симплектической структуры на пространстве X. Далее мы изучим более подробно второй случай.
В этом пункте мы рассмотрим пример квантования симплектического симметрического пространства X, диффеоморфного двумерной плоскости, отображения симметрии которого имеют особенности. Эти особенности порождают особенности фазы интегрль-ного ядра квантового произведения на X и ограничсЕїия на класс допустимых символов, которые подробно исследуются.
Определение и геометрические характеристики
В качестве исходного пространства возьмем двумерную плоскость X W.2 = (. Ї-Г ,) снабженную пуассоковой структурой Ф (Ф- 4"). где Ф12 (х) = (1 + х\/2 . (3.47) Мы считаем, что выбранные координаты х\,х2 - ш-аффинные. Соответствующая w-аффинкая; связность здесь имеет только два отличные от нуля символа Кристофеля: г" = -1 г" - -ЇТЗ- 3-48 Вычислим кривизну данной связности по стандартной формуле [6] г? __ _ і і р р/ pi р/ В нашем случае имеется только две отличные от 0 компонениты тензора кривизны:
Теперь вычислим ковариантную производную относительно заданной связности [G] (JXfn Получаем, что VR = 0 и, следовательно, наше пространство - симметрическое. Ниже мы построим соответствующие отображения симметрии. Найдем геодезические данной связности.
Предложение 3.8, Геодезическая связности ( і.48). сочданжинцчл точки, и п Ь па плоскости X задастся уравнениями ГЛАВА 3. КВАНТОВАНИЕ В ш-АФФИНЫХ КООРДИНАТАХ х\ (t) = tnii ((arctan Ьі — arctan «і) t + arctan a\), (3.49) ei(0 = l(i)+ , z ?e t Є [0,1]. Доказательство.
Регулярное представление для вейлевского произведения
Задача квантования симплектических многообразий остается сложной и актуальной проблемой современной математики и математической физики. Метод квантования, предложенный профессором M.D. Карасевым и разработанный в рамках данной работы, позволяет осуществить процедуру квантования для некоторых важных классов примеров. Этот метод также позволяет установить связь полученных квантовых объектов с внутренней геометрией исходного многообразия.
В диссертации получены следующие результаты, определяющие се научную новизну и значимость для решения задачи квантования:
1. Для интегрального ядра ассоциативного квантового произведения функций на симплектическом пространстве, диффеоморфном евклидовой плоскости, получена система уравнений в частных производных типа Шредингера. Построено асимптотически»; решение данной системы в ВКБ-форме. Для гладких л-пезлвисимых функции асимптотика такого квантового произведения согласуется с теорией деформационного квантования, однако, это квантовое произведение может применяться также к быстро осциллирующим по параметру К функциям.
2. С помощью полученных уравнений построено квантовое произведение для симплектических симметрических пространств и указана связь фазы интегрального ядра квантового произведения с внутренней геометрией рассматриваемых пространств.
3. Получено квантовое произведение для пространств со специальными (ш-аффипны-ми) координатами, отвечающими вейлевскому квантовому произведению. Указан способ построения таких координат и подробно изучены их свойства. Для плоскости Лобачевского (модель Пуанкаре) построена фаза интегрального ядра квантового произведения в w- аффинных координатах и описаны ее фокальные точки,
4. Для плоскости с нестандартной связностью (как симметрического пространства) построено два квантовых произведения - нециклическое (с помощью отображений симметрии) и циклическое (с помощью квантайзера). При том полученные формулы являются точными (не асимптотическими).
5. Подробно изучено квантование области двумерной плоскости, еимплектическая структура которой зависит только от одной переменной. В частности, показано, какие особенности ядра квантового произведения могут появлятся в данном классе примеров. В частном примере симплектическом симметрической плоскости с особенностями двумя различными способами (с помощью уравнения для интегрального ядра и с помощью квантайзера) построено точное квантовое произведение в ш-аффшшых координатах. Описано поведение ядра квлнтового произведения в окрестности поверхности особенностей и показано, как особенности интегрального ядра квантового произведения влияют на допустимый класс квантуемых функций.
Таким образом, метод, разработанный в диссертации позволяет осуществлять квантование симметрических пространств с использованием динамических уравнений,т.е. связывает квантование с внутренней динамикой на исходном пространстве. Однако, остается открытым вопрос о расширении данного метода на произвольное гладкое сим-плектическое (или даже пуассоново) многообразие. Также представляется актуальной и интересной задача изучения особенностей квантовых произведений, возникающих в более сложных, по сравнению с разобранными в
Другим возможным продолжением данного исследования является установление связи полученных формул для интегрального ядра квантового произведения с теорией точного деформационного квантования (эта задача решена в диссертации для часнтого случая плоскости с нестандартной связностью).
Личное участие автора. Вывод основного уравнения для интегрального ядра квантового произведения, а также постороение специальных координат, отвечающих квантовому произведению В сил я проведены автором совместно с профессором Карасевым М.В.. Вклад автора заключается в точном доказательстве; всех теоретических результатов работы, а также в детальной разработке примеров применения полученных результатов и методов.
