Введение к работе
Актуальность темы.
Изучение поведения вращающейся жидкости представляет собой важную задачу, актуальность которой в настоящее время сильно возросла, что обусловлено целым рядом обстоятельств. Во-первых, в классических областях ее применения, таких, как геофизическая гидродинамика, существенно развились средства и системы получения и обработки данных, что продвинуло теоретические исследования гораздо ближе к задачам оперативного прогнозирования. Во-вторых, модели, описывающие вращающиеся жидкости, оказались важными и для других, бурно развивающихся отраслей естествознания, в первую очередь, для астрофизики и физики высоких энергий. В-третьих, возросло число технических приложений свойств вращающейся жидкости: это многочисленный класс задач, связанных с вращением твердых тел с полостями, содержащими жидкость.
Настоящая диссертация посвящена исследованию математических проблем, возникающих при изучении фундаментальных свойств вращающейся жидкости, которые рассматриваются здесь для случая идеальной несжимаемой жидкости, целиком заполняющей контейнер, но которые проявляются во всех системах, содержащих вращающиеся жидкости. Эти свойства связаны с эффектами локализации энергии внутри жидкости и возникновением "опасных" режимов колебаний. Наиболее существенное проявление этих свойств происходит в тех случаях, когда содержащие жидкость контейнеры имеют ребра, т.е. когда их граница образована несколькими гладкими поверхностями, пересекающимися по некоторым кривым — ребрам. Примером такого контейнера может служить ограниченный прямой круговой конус. Изучению поведения жидкости именно в таких контейнерах и посвящена данная диссертация.
Система уравнений, описывающих малые колебания идеальной
несжимаемой жидкости, целиком заполняющей некоторый контейнер G, который равномерно вращается вокруг оси с направляющим вектором к, имеет вид
Ut + 2к х U = -Vp (G), (1)
V- U = 0 (G), (2)
U - n = 0 (dG). (3)
Кроме того, чтобы сделать ее решение определенным, задают условие
t=0
= U0. (4)
Здесь U = (u, v, w) — вектор скоростей частиц жидкости во вращающейся системе координат, жестко связанной с контейнером G, p — гидродинамическое давление, Un — единичный вектор внешней нормали к границе dG (везде далее мы будем предполагать, что dG является кусочно- гладкой, и G удовлетворяет известному "условию конуса"). Задача отыскания инерционных мод колебаний, т.е. решений системы (1 — 3), зависящих от времени по закону e~iXt, может быть сведена к следующей задаче:
V2P - ^ (к -Vfp = 0 (G), (5)
-\2n - Vp + 4(n -к)(к - Vp) + 2iX(k х n) -Vp = 0 (dG). (6)
Эта задача, часто называемая задачей Пуанкаре о вращающейся жидкости, известна своей исключительной трудностью. Ее изучению были посвящены многочисленные работы, поскольку свойства ее решений являются определяющими для многих практических задач. Помимо этой задачи, в математической физике, геофизике и астрофизике рассматривают также задачи с другими граничными условиями, в частности, с условием:
p = 0 (dG). (7)
Последняя задача, в некотором смысле, является более простой для исследования, а для осесимметричных колебаний существует взаимнооднозначное соответствие между решениями этих двух задач.
Кроме того, ввиду сложности трехмерных задач, изучают также их двумерные аналоги. А именно, в предположении, что компоненты скорости U и давления p зависят только от двух пространственных переменных x и z ,а область, занимаемая жидкостью, является бесконечным цилиндром с образующей, параллельной оси Oy, основанием которого является некоторая область D в плоскости Oxz, вместо системы (1 — 3) рассматривают систему:
du dp dv dw dp ґ , Л
dt = v - aX' dt = Ж = -dZ (D)' (8)
duu+dw=o (D)< (9)
uni + WU^ldD = 0, (10)
где n = (ui, U3) — вектор нормали к dD в плоскости Oxz. Тогда соответствующая функция тока ф является решением следующей задачи:
/д ф д ф\ \ дх2 дz2 J
д2 (дф д2ф\ д2ф
мкы + + a* =0' (x'z; t) из D X (0'(11)
ФlдDx(0,ж) = 0, (12)
ф lt=0 = фо, ф^=о = фі, (13)
К этой же самой задаче приводит соответствующий двумерный аналог задачи (1, 2, 7). Изучение двумерных задач является важным для прогнозирования возможных особенностей поведения жидкости в цилиндрических контейнерах конечной длины с образующей, перпендикулярной
оси вращения, что было установлено в известной работе В.П.Маслова1 и
подтверждено недавними экспериментальными исследованиями .
Одним из наиболее важных вопросов, возникающих при решении практических задач, является возможность разложения всякого решения системы (1 — 3) в ряд по инерционным модам
U(r,t) AmUm(f)exp(iXmt), (14)
p(r,t) A*mm(r)exp(i\mt). (15)
Представление о том, что невязкие колебания для почти всех контейнеров имеют нормальные моды, является глубоко укоренившимся . Так, к примеру, техника решения многих практических задач, описывающих поведение вязкой вращающейся жидкости в различных контейнерах, заключающаяся в асимптотическом приближении решения методом теории пограничного слоя, основана как раз на предположении, что для инерционных волн имеет место разложение вида (14) . Кроме того, фактически существование такого представления часто используется в теоретических исследованиях и в неявном виде, а именно, если молчаливо предполагается, что внутри вращающейся жидкости не может появиться областей концентрации энергии, где частицы жидкости с течением времени приобретут скорости, по абсолютной величине сильно превышающие скорости начального возмущения. Возникает естественный вопрос о том, всегда ли разложение (14) возможно.
Известно, что для двух видов контейнеров — прямых круговых цилиндров и эллипсоидов вращения, оси симметрии которых совпадают с осью вращения, — этот вопрос решается положительно. Поведение вращающейся жидкости в них было изучено — как теоретически, так и экспериментально — с более или менее достаточной полнотой. В обоих случаях было установлено наличие инерционных мод, отвечающих собственным частотам, всюду плотно заполняющим отрезок [—2, 2] (моды были найдены в явном виде), а также возможность представления (14) всякого движения невязкой жидкости, возникающего в таких контейнерах, в виде суперпозиции этих мод. Это означает, что все малые колебания в эллипсоидах и цилиндрах являются почти-периодическими функциями по t, что гарантирует отсутствие локализации энергии начального возмущения внутри жидкости с течением времени t. Но оказывается, что этим список полостей, для которых инерционные моды найдены, и ограничивается. Для контейнеров же произвольной конфигурации этот вопрос является чрезвычайно сложным.
Первым, кто обратил внимание на то обстоятельство, что в контейнерах с ребрами на границе, подобных конусу, законность разложения (14) совсем не очевидна, был Х. Гринспэн . Рассматривая модельный случай цилиндрического контейнера бесконечной длины, нормальное сечение которого является треугольником, Х. Гринспэн высказал предположение о том, что "спектр инерционных волн здесь должен быть непрерывным, а собственные функции — сингулярными в угловых точках", и что эти же проблемы следует ожидать и в случае, когда вращающаяся жидкость находится в контейнере, имеющем форму прямого кругового конуса. Позже тот факт, что движение жидкости в конусе принципиально отличается от движения в сфере, было подтверждено экспериментально Р. Бердсли , а затем и Р. Картером (Лаборатория M.I.T.). Теоретического же объяснения этих эффектов получено не было, и поэтому эти работы в то время не оказали должного влияния на распространенное представление об общем характере невязких колебаний, а именно, что разложение (14) справедливо для контейнеров произвольной конфигурации. Так, например, три года спустя (в 1973 г.) при исследовании устойчивости стационарного вращения твердого тела с заполненной жидкостью полостью, имеющей форму прямого кругового конуса с малым углом раствора, Л.В. Докучаев и Р.В. Рвалов опирались именно на предположение о существовании в произвольной полости инерционных мод и разложении по ним всякого невязкого колебания жидкости. Позже линеаризованная система уравнений движений такого тела, полученная на основании этого разложения, использовалась во многих работах.
То, что в контейнерах определенных конфигураций возможны такие режимы колебаний вращающейся жидкости, которые приводят к локализации энергии, стало широко известным относительно недавно. Изучению этих эффектов, связанных с наличием так называемых "волновых аттракторов" ("wave attractors"), посвящены работы многих авторов в геофизике и астрофизике, причем основное внимание при изучении этого явления уделяется: в трехмерном случае — исследованиям в сферических оболочках, а в двумерном — в бассейнах с одной или двумя скошенными гранями , , что связано с большой практической значимостью таких задач. В частности, было экспериментально установлено, что в контейнерах со скошенными гранями возможны такие "опасные" режимы колебаний, которые аккумулируют энергию начального возмущения в окрестности ребра — линии пересечения плоских граней . Исследования рассматриваемых задач в таких контейнерах активно ведутся и в настоящее время как с помощью попыток построения "приближенных" решений, так и с помощью численного моделирования, что является естественным в связи с развитием компьютерной техники и методов программирования, точных же решений во всех этих исследованиях получено не было.
Учитывая сказанное выше, представляется актуальным и необходимым развернутое математическое исследование поведения вращающейся жидкости в контейнерах, границы которых имеют особенности такого типа.
Цель работы. Целью настоящей диссертации является изучение задач (1 — 4), (1, 2, 4, 7) и (11 — 13) в областях специального вида, границы которых имеют особенности в виде ребер: получение нового метода исследования спектральных свойств операторов, связанных с этими задачами, основанного на естественной идее использовать в этом круге вопросов корректную разрешимость краевых задач для гиперболических уравнений на плоскости типа задач Гурса и Дарбу; установление с помощью этого метода достаточных условий, определяющих конфигурацию контейнера, при которых изучаемые задачи имеют решения, не пред- ставимые в виде (14), получение явных представлений точных решений нестационарной задачи (11 — 13) в некоторых областях со скошенными гранями, где ранее экспериментально был установлен эффект локализации энергии, и объяснение этого эффекта путем исследования поведения этих решений при неограниченном увеличении времени.
Методы исследования. В диссертации используются методы функционального анализа и теории уравнений с частными производными.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Они заключаются в следующем:
-
Для первой и второй краевых задач о малых колебаниях вращающейся идеальной жидкости в случае, когда область, занимаемая жидкостью, симметрична относительно оси вращения, получены разложения пространств соленоидальных векторов, которым принадлежат решения этих задач, в бесконечные ортогональные суммы их некоторых подпространств, и доказано, что изучение спектров операторов, связанных с рассматриваемыми задачами, может быть сведено к изучению спектров их ограничений на указанные подпространства, что позволяет вместо возникающих здесь известных трехмерных краевых задач для гиперболических уравнений рассматривать их аналоги на плоскости.
-
Исследована первая краевая задача, являющаяся обобщением известной задачи Дарбу и заключающаяся в нахождении для гиперболического уравнения в плоской области D, ограниченной двумя гладкими кривыми, выходящими из одной точки и целиком лежащими в характеристическом угле с вершиной в этой точке, и отрезками характеристик, обобщенного решения из пространства С.Л.Соболева W21D), принимающего на этих кривых заданные значения; доказана корректность этой задачи.
-
Получен новый метод изучения поведения вращающейся идеальной несжимаемой жидкости, суть которого заключается в исследовании спектральных задач соответствующих операторов с помощью теории корректной разрешимости первой и второй краевых задач для гиперболических уравнений на плоскости, являющихся обобщениями классических задач типа Гурса и Дарбу. Этот метод применим к задачам в трехмерных областях специального вида с кусочно-гладкой границей, содержащей ребра и, быть может, конические точки, и к соответствующим двумерным областям с угловыми точками.
-
С помощью разработанного нового метода получено объяснение качественно различного поведения вращающейся жидкости в сферических и конических контейнерах, наблюдаемого экспериментально. Построены конкретные примеры осесимметричных трехмерных областей с ребрами, для которых не пуст непрерывный спектр инерционных волн, а также описан некоторый класс таких областей; доказано, в частности, что всякая осесимметричная область, ограниченная коническими поверхностями, принадлежит этому классу независимо от взаимного расположения конусов и их углов раствора, что означает обязательное существование не почти-периодических движений вращающейся жидкости в таких контейнерах. Приведены примеры, доказывающие существенную неустойчивость характера поведения жидкости по отношению к малым деформациям границы контейнера. Аналогичные результаты получены для модельной двумерной задачи.
-
С помощью разработанного нового метода исследования рассматриваемых задач для плоской треугольной области впервые в явном виде построены точные решения нестационарной двумерной модельной задачи, исследованы свойства этих решений, доказано, что их Ь2-нормы убывают при t ^ с.
ной в сколь угодно малых окрестностях угловых точек. Это объясняет некоторые обнаруженные в известных экспериментальных исследованиях особенности поведения вращающейся жидкости в контейнерах рассматриваемых конфигураций, что не могло быть сделано ранее.
Эти результаты составляют основное содержание диссертации и выносятся на защиту.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается математически строгой доказательностью всех устанавливаемых утверждений. Они согласуются с известными ранее теоретическими результатами, полученными для более простых случаев, а также объясняют ряд экспериментальных данных. Полученные результаты могут применяться для дальнейших фундаментальных теоретических исследований, для численных решений конкретных практических задач, для объяснения и организации экспериментальных исследований и численного моделирования процессов, происходящих во вращающейся жидкости.
Личный вклад автора. Все работы выполнены без соавторов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях и конгрессах ICM-1994 (Цюрих, Швейцария, 1994 г.), "Differential equations and applications" (Руссе, Болгария, 1995 г.), КРОМШ-VI (Ласпи, Украина, 1996 г.), "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы матем. образования" (Москва, 1998 г.), HYP-1998 (Цюрих, Швейцария, 1998 г.), Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (Москва, 1998 г.), Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения В. А. Рохлина (С.-Петербург, 1999 г.), "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, 1999 г. и 2000 г.), неоднократно на совместных заседаниях-конференциях ММО и семинара Петровского и других конференциях, а также докладывались на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, Математического института РАН им. В. А. Стеклова, Московского физико-технического института, Института проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, факультета естественных наук университета Грайфсвальд (Германия), обсуждались на кафедре квантовой статистики и теории поля физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, в Лаборатории геометрических методов математической физики механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова и др.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-11] в ведущих периодических изданиях. Всего по теме диссертации автором опубликовано 28 работ.
Структура работы. Работа состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы, содержащего 153 наименования. Общий объем диссертации — 269 страниц.
Похожие диссертации на Исследование поведения вращающейся жидкости в контейнерах с ребрами
-
