Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Литературный обзор 9
1. Современные методы исследования состава и структуры приповерхностных слоев и пленок 9
2. Рентгеновская рефлектометрия 15
3. Резкоасимметричная компланарная дифракция 20
4. Резкоасимметричная некомпланарная дифракция 23
Глава II. Теория зеркального отражения рентгеновских лучей в условиях скользящей брэгговской дифракции в кристалле с аморфными слоями на поверхности 36
1. Совершенный монокристалл 37
2. Монокристалл с поверхностной аморфной пленкой 51
3. Интерпретация экспериментальных данных зеркального отражения от монокристалла кремния с окисной пленкой на поверхности 57
Глава III. Теория зеркального отражения рентгеновских лучей от кристалла с кристаллическими пленками на поверхности 65
1. Бикристалл 65
2. Бикристалл с различными проекциями на поверхность векторов обратной решетки в пленке и в подложке 74
Глава IV. Зеркальное отражение рентгеновских лучей от кристалла с аморфными и кристаллическими многослойными структурами на поверхности . 85
1. Многослойная аморфная пленка на поверхности кристалла 85
2. Многослойная кристаллическая структура 93
Основные результаты и выводы 105
Литература 107
- Рентгеновская рефлектометрия
- Монокристалл с поверхностной аморфной пленкой
- Бикристалл с различными проекциями на поверхность векторов обратной решетки в пленке и в подложке
- Многослойная кристаллическая структура
Введение к работе
Актуальность темы. Рассеяние рентгеновского излучения конденсированными средами широко применяется для исследования не только объемной структуры, но и приповерхностных слоев. Важным фактором является то обстоятельство, что рентгеновские методы принадлежат к числу неразрушаю-щих методов, а так же простота и доступность приборов для рентгенодиф-ракционных исследований. Однако изучение слоев с толщиной менее 0.1 мкм в стандартных дифракционных схемах встречает значительные трудности, связанные со сравнительно большой глубиной проникновения рентгеновского излучения в кристалл. Так как активные слои в приборах современной микроэлектроники становятся все тоньше, вплоть до десятков ангстрем, возникает необходимость в разработке не только новых технологических приемов приготовления, но и методов анализа таких структур.
Изучение явления зеркального отражения рентгеновских лучей при одновременном выполнении условий скользящей дифракции Брэгга значительно расширило возможности рентгеноструктурного анализа, традиционное развитие которого ограничивалось лишь анализом кривых дифракционного отражения и прохождения в рентгеновской дифрактометрии и анализом кривых зеркального отражения в рентгеновской рефлектометрии.
Главная особенность зеркального отражения при одновременном выполнении условий скользящей дифракции заключается в том, что оно дает информацию об ультратонких (толщиной от отдельных монослоев до нескольких нанометров) аморфных и кристаллических пленках на поверхности высокосовершенных полупроводниковых монокристаллов, широко используемых в современной микроэлектронике. Эксперименты, основанные только на анализе рентгеновской дифракционной картины, при исследовании тонких приповерхностных слоев недостаточно информативны, а рентгеновская рефлекто-метрия, хотя и позволяет исследовать достаточно тонкие аморфные поверх- — 5 — ностные пленки, совершенно не чувствительна к кристаллической структуре изучаемого объекта. В этой связи метод зеркального отражения рентгеновских лучей в условиях скользящей дифракции является, образно говоря, "взаимовыгодным симбиозом" рентгеновской дифрактометрии и рефлектометрии, значительно расширяющим информативность рентгеновских исследований.
Цель работы. Развитие теории зеркального отражения рентгеновских лучей при одновременном выполнении условий скользящей некомпланарной брэгговской дифракции. Изучение влияния наличия, толщины, состава и структуры сверхтонких (доли и единицы нанометров) аморфных и кристаллических пленок на поверхности совершенного монокристалла на вид угловых зависимостей интенсивности зеркального отражения. Анализ структурной информативности зеркального отражения рентгеновских лучей от многослойных аморфных и кристаллических структур на поверхности монокристалла в условиях скользящей некомпланарной дифракции.
Научная новизна и практическая значимость работы. Впервые проведен точный теоретический анализ явления зеркального отражения рентгеновских лучей с учетом влияния на него процесса брэгговской дифракции. Задача зеркального отражения в условиях скользящей дифракции решена в самом общем виде и полученные результаты справедливы для всего интервала углов скольжения падающего излучения, любых допустимых отклонений от угла Брэгга и произвольных углов скоса отражающих атомно-кристаллических плоскостей.
На основе развитой теории показано, что угловые зависимости интенсивности зеркального отражения обладают очень высокой чувствительностью к наличию, толщине и структуре как кристаллических, так и аморфных сверхтонких слоев на поверхности совершенного монокристалла.
Дана исчерпывающая интерпретация эксперимента, в котором впервые — 6 — обнаружен предсказанный аномальный характер поведения кривых зеркального отражения от кристалла с аморфной пленкой на поверхности и показано хорошее согласие полученных экспериментальных данных с теорией.
На основании полученных аналитических результатов сделан вывод о большей светосиле предлагаемого метода исследования сверхтонких приповерхностных слоев по сравнению с методом стоячих рентгеновских волн.
Для описания зеркального отражения от многослойных аморфных и кристаллических структур на поверхности монокристалла в условиях дифракции получены новые рекуррентные соотношения, в частном случае аморфных слоев сводящиеся к формулам Парратта. Показана высокая информативность угловой зависимости интенсивности зеркального отражения в области скользящей брэгговской дифракции к толщинам и числу слоев многослойной структуры, их деформации и степени аморфизации, что может быть использовано для интерпретации экспериментальных данных.
Полученные в работе результаты являются теоретическим обоснованием нового перспективного рефлекто-дифрактометрического метода рентгеновской диагностики поверхности, позволяющего проведение экспрессного неразру-шающего анализа сверхтонких аморфных и кристаллических слоев на поверхности совершенных кристаллов.
На защиту выносится следующее:
Точное теоретическое описание явления зеркального отражения рентгеновских лучей при одновременном выполнении условий скользящей некомпланарной дифракции Брэгга от совершенного кристалла и от монокристалла с поверхностными аморфными и кристаллическими пленками.
Заключение о высокой чувствительности угловых зависимостей интенсивности зеркального отражения к наличию, толщине, составу и структуре аморфных и кристаллических пленок на поверхности монокристалла. — 7 —
Рекуррентные соотношения, описывающие угловые зависимости интенсивности зеркального отражения рентгеновских лучей от многослойных аморфных и кристаллических поверхностных структур в условиях скользящей некомпланарной дифракции.
Вывод об уникально высокой чувствительности угловых зависимостей интенсивности зеркального отражения к толщине, количеству и параметрам слоев аморфных и кристаллических многослойных периодических структур на поверхности монокристалла.
Апробация работы. Основные результаты работы были доложены на Международной конференции по методам рентгенографической диагностики несовершенств в кристаллах, применяемых в науке и технике (Черновцы, Украина, 1999); International School and Symposium on synchrotron in Natural Science (Krakow, Poland, 2000); 5 Biennial Conference on High Resolution X-Ray Diffraction and Topography "X-TOP 2000" (Ustron-Jaszowiec, Poland, 2000); VII-ой Российской научной студенческой конференции "Физика твердого тела" (Томск, 2000); VII-ой, VIII-ой и IX-ой Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2000, 2001, 2002", секция "Физика" (Москва, МГУ, 2000; 2001; 2002); рабочем совещании "Рентгеновская оптика-2001" (Нижний Новгород, 2001); VII-ой и VIII-ой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Санкт-Петербург, 2001; Екатеринбург, 2002); Ш-ей Национальной конференции по применению Рентгеновского, Синхротронного излучений, Нейтронов и Электронов для исследования материалов "РСНЭ-2001" (Москва, 2001); Всероссийской школе по рентгеновской оптике (Черноголовка, 2001); 6th Biennial Conference on High Resolution X-Ray Diffraction and Imaging "X-TOP 2002" (Grenoble and Aussois, France, 2002).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 статей, одно учеб- — 8 — ное пособие, а также 12 тезисов перечисленных выше конференций и совещаний (всего 22 печатные работы [152-173]).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и содержит 123 страницы, включая 23 рисунка и список литературы из 180 наименований.
Первая глава содержит обзор литературы по теме диссертации.
Во второй главе в рамках точной динамической теории дифракции рентгеновских лучей приводится последовательный вывод коэффициентов зеркального и дифракционного отражения от совершенного кристалла и от монокристалла с аморфной пленкой на поверхности. На их основе рассматриваются особенности угловых зависимостей интенсивности зеркального отражения в условиях скользящей брэгговской дифракции и проводится интерпретация эксперимента, подтверждающего предсказанный аномальный характер поведения кривых зеркального отражения.
В третьей главе построена теория зеркального отражения рентгеновских лучей при одновременном выполнении условий скользящей дифракции от бикристалла (кристаллической пленки конечной толщины на поверхности совершенного кристалла) как с одинаковыми, так и с различными проекциями векторов обратной решетки в пленке и подложке на поверхность.
В четвертой главе проводится обобщение полученных во второй и третьей главах результатов на случай многослойных аморфных и кристаллических структур на поверхности совершенного монокристалла. — 9 —
Рентгеновская рефлектометрия
Рентгеновское излучение - это обычные электромагнитные волны, но с малой, по сравнению с оптическими волнами, длиной волны, сравнимой с межатомными расстояниями в твердом теле. В связи с этим встает вопрос, в какой степени явления, наблюдающиеся в оптическом диапазоне длин волн, например преломление и зеркальное отражение, характерны для рентгеновских лучей. Этот вопрос был рассмотрен в начале 30-х годов Л.А. Арцимовичем и А.И. Алихановым [22]. Они показали, что для рентгеновских лучей имеют место явления преломления и зеркального отражения (30) при прохождении излучения через границу раздела двух сред. Как хорошо известно из оптики и электродинамики сплошных сред, при отражении от плоской поверхности однородной среды амплитудный коэффициент зеркального отражения определяется формулой Френеля [23, 24]: Здесь koz , k\z - перпендикулярные поверхности проекции волновых векторов падающей и распространяющейся в среде волн соответственно; а - фактор, учитывающий поляризацию падающей волны: а = 1 для а-поляризации и а-п2 для ти-поляризации. Показатель преломления рентгеновских лучей определяется простой формулой п = (1 + Хо) где Хо - поляризуемость среды, определяемая усредненной плотностью вещества [18, 25]. Так как для рентгеновских лучей ІХоІ « 1 ( Ю-5), то показатель преломления п « 1 и коэффициенты Френеля для различных типов поляризации практически совпадают. Из-за того, что величина Хо отрицательна, при достаточно малых сколь-зящих углах падения излучения на поверхность фо Фс = arcsin(xo ) коэффи-циент отражения интенсивности (пренебрегаем поглощением) Ps о = \Rso\ = Ь т.е. отражается практически все упавшее на кристалл излучение и имеет место явление полного внешнего отражения (ПВО). Угол фс называется критическим углом ПВО. Его величина достаточно мала и составляет примерно 3x10 рад, т.е. порядка 10 угл. мин. Критический угол увеличивается с увеличением длины волны излучения ( А,) и электронной плотности вещества.
При наличии поглощения в среде (Imxo 0) коэффициент отражения в области ПВО существенно уменьшается, а форма кривой отражения сглаживается (см. рис. \а). При углах скольжения ф0 (2-3)фс можно воспользоваться разложением кХг = к0(у02 + Хо)Ш о(Уо + Х(/2уо), где уо = sincpo, а к0 - величина волнового вектора падающей волны, и интенсивность зеркального отражения очень быстро (как 1/ф04) спадает с увеличением угла скольжения: PSo « « (1/16)(фс/фо)4. суждавшиеся выше особенности зеркального отражения рентгеновских лучей. Мнимость перпендикулярной поверхности компоненты k\z волнового вектора в среде при фо фс означает резкое уменьшение глубины проникновения рентгеновских лучей в среду в условиях ПВО. Глубина проникновения определяется общим соотношением При углах фо фс величина Ls составляет всего лишь несколько десятков ангстрем (рис. lb). Действительно, если, например, фо 0 то длина Ls « Х12щс. Отсюда для кремния и X = 1.54 А получим, что Ls = 63 А. С увеличением угла скольжения ф0 фс глубина проникновения возрастает на несколько порядков (рис. \Ъ). Явление полного внешнего отражения рентгеновских лучей (рентгеновская рефлектометрия) широко используется для определения толщины и плотности тонких пленок различных материалов, приповерхностных и переходных слоев, структуры многослойных рентгеновских зеркал. При отражении от пленок (толщиной 200 нм), как экспериментально показано в [26], возникает интерференция рентгеновских лучей, отраженных от верхней и нижней поверхностей пленки. В этом случае "на хвосте" кривой отражения возникают осцилляции интенсивности, известные в рентгеновской оптике как осцилляции Кизиха, аналогичные интерференционным кольцам, наблюдаемым на пленках в расходящемся пучке монохроматического света.
Положение максимумов фт интерференции связано с рентгеновской поляризуемостью Xi и толщиной d пленки соотношением Для того чтобы осцилляции интенсивности проявились значительно, нужно, чтобы электронная плотность подложки была больше электронной плотности пленки, и, кроме того, поглощение в пленке должно быть мало. "Классические" осцилляции получены в работе [27] для пленок аморфного кремния на сапфире. Точность определения толщины пленок в интервале от 160 до 240 нм составила 0.5%. Шероховатость поверхности может вызвать перераспределение интенсивности между максимумами интенсивности [28]. В работе Парратта [29] для интерпретации экспериментальных кривых ПВО от пленок меди на стекле учтено изменение плотности вблизи поверхности, образующейся, например, вследствие окисления. Он показал, что коэффициент зеркального отражения от многослойной среды при абсолютно гладких межслойных границах получается путем решения рекуррентных соотношений Для каждого слоя толщины dm перпендикулярная поверхности проекция волнового вектора - кт/, г0ш,ш+і = (кт+\, - кт,)1(кт+\ + кт ) - френелевский коэффициент отражения от границы раздела слоев т и т + \, a gm = ехр(/тД„). Коэффициент отражения от всех слоев многослойной структуры (МС), лежащих ниже т-й границы, определяется как Rm = (ERm/Em)gm , где Ет и ERm -амплитуды падающей и отраженной волн на верхней границе m-го слоя. Нижний индекс 0 в формуле Френеля для коэффициента отражения r0W)m+i на границе раздела сред с поляризуемостями %т и Xm+i означает, что граница является идеальной. Рекуррентные формулы (1.3) решаются с привлечением граничных условий: к\г2 - перпендикулярная поверхности проекция волнового вектора падающей на поверхность МС волны, gx = 1 и RN+\ = 0, где N - общее число слоев (включая и подложку). Вводя кроме окисной пленки промежуточные слои с различной плотностью, аппроксимирующие реальное плавное изменение плотности в приповерхностном слое, Парратт показал, что экспериментальные результаты можно объяснить наличием на глубине 2.5 нм под окисной пленкой уплотненного слоя, препятствующего дальнейшему окислению меди.
Монокристалл с поверхностной аморфной пленкой
Рассмотрим теперь отражение рентгеновских лучей от кристалла, на поверхности которого имеется плоскопараллельная однородная аморфная пленка с произвольной толщиной d и рентгеновской поляризуемостью Хь Поля в вакууме и кристалле определяются соотношениями (2.10) и (2.1) соответственно. Поле в пленке в общем случае состоит из четырех волн: E(r) = A0exp(/a0r) + Asexp(/a5r) + B0exp(/b0r) + В ехрО г), (2.31) где Ао, As — амплитуды проходящей и зеркально отраженной волн в пленке, возбужденных падающим излучением; Bs, В0 - амплитуды проходящей и зеркально отраженной волн, возбужденных в пленке дифрагированной волной, выходящей в пленку из кристалла. Из условий непрерывности тангенциальных компонент волновых векторов следует, что aot = aSt = Аг0созфо, bot = bs, = kocos(ph. Нормальные компоненты при этом имеют вид: a0z = -aSz = k0so, b0z - -bSz k0sh, где Условия непрерывности электрического и магнитного полей на верхней и нижней границах пленки приводят к следующей системе из 8-ми уравнений для амплитуд волн в (2.1, 2.10, 2.31). На границе вакуум-пленка:
На границе пленка-подложка: где у =1,2; fg = Qxp(ikoSgd), fgJ = exp(ikoTgjd) - коэффициенты, учитывающие изменение фаз волн и их поглощение при распространении в пленке (g = 0, h), величины Tg/ и Rj определены в (2.22). Решение системы (2.33, 2.34) для амплитудных коэффициентов зеркального и дифракционного отражений можно представить в следующем удобном для анализа виде: Здесь r0j, - френелевские коэффициенты отражения (2.29) от полубесконечной среды с поляризуемостью пленки Xi при углах скольжения фо И ф/г соответственно. Для оценки общности полученных выражений (2.35, 2.36) интересно рассмотреть некоторые хорошо известные частные случаи. 1. Пусть, например, пленка отсутствует. Формально это значит что d = О и, следовательно, =fgJ=l. Тогда F=\, Qh = 5/,/у/,, р /=р (2.26) и общие формулы для амплитудных коэффициентов зеркального и дифракционного отражений (2.35, 2.36) сводятся к формулам (2.24, 2.25), описывающим соответствующее отражение от идеального кристалла. 2. В случае толстой пленки (т.е. kolmsod» 1) факторы поглощения /о -» О, F — О, поэтому дифракция отсутствует (Rh = 0), а зеркальное отражение Rs - г0 определяется френелевским коэффициентом отражения от среды с поляризуемостью пленки Хь 3. Наконец, рассмотрим случай пренебрежимо слабой дифракции (ос » : \%h\)- Тогда Pd« 1, уі = Ys и Для амплитудного коэффициента зеркального отражения Rs мы приходим к хорошо известной из оптики формуле Эйри [23]: Rso = (го + пехр{2/Ф})/(1 + г0гіехр{2/Ф}), (2.38) где г0 и г\ = (SQ - ys)/(so + Js) - амплитудные коэффициенты зеркального френелевского отражения на границах раздела вакуум-пленка и пленка f\ ЛІ") подложка, 2Ф = 20(Yo + XI) d разность фаз, которую приобретает волна при двукратном прохождении пленки. Формула Эйри описывает толщинные осцилляции на кривой зеркального отражения от системы пленка-подложка. Если Xi = Хо т-е- рентгенооптические плотности пленки и подложки совпадают, то r\ = 0 и из (2.38) следует, что RSo = ro. Другими словами, вдали от области дифракции зеркальное отражение от такой системы пленка-подложка "не замечает" наличия пленки на поверхности кристалла. В то же время, как будет показано ниже (см. рис. 7), в условиях дифракции угловая зависимость 30 от этой же системы весьма сильно отличается от 30 от кристалла без пленки.
Наиболее интересная ситуация реализуется при углах скольжения ф0)/, фс. В этом случае кривые 30 демонстрируют уникально высокую чувствительность к наличию тонкого аморфного слоя на поверхности, толщина кото рого может составлять единицы нанометров. В этом случае из соотношения (2.35) можно получить более простое приближенное выражение для амплитудного коэффициента ЗО Rs. Так как при данных условиях pd « 1, то yj = ф0 + Єї и, следовательно, Чувствительность кривых 30 к наличию аморфной пленки на поверхности кристалла объясняется тем, что в области сильного дифракционного отражения резко изменяется зеркальное отражение от границы пленка-кристалл. Действительно, вне области дифракции Z\«Хо/2фо и коэффициент Re (xi - Хо), тогда как в области дифракции поляризуемость кристалла Хо заменяется на эффективную поляризуемость 2ф0Єі(АО), причем Ітєі»1т(хо)/2фо- В результате Re 0 даже в случае равенства поляри-зуемостей Xi = Хо пленки и подложки и, кроме этого, резко возрастает роль фазового фактора exp(2ikoSod), зависящего от толщины пленки. На вставке к рис. 6а показаны кривые дифракционного отражения Ph - (Y//YO) /I І ОТ монокристалла кремния с аморфной пленкой БіОг на поверхности при различных толщинах пленки. Видно, что КДО практически не чувствительны к наличию и толщине таких пленок. Действительно, при условиях фо, h фс интенсивность КДО Ph от кристалла с пленкой лишь незначительно уменьшается по сравнению с Р для идеального кристалла за счет поглощения в пленке: Ри = Рио/abs, где fabs = ехр[-(фо + ф/Г )\i\d\, Ці = &0IniXi- Если, например фо = 20 , ц.] = 140 см-1 и d = 4 нм, то fabS « 0.99. Для зеркального отражения имеет место совершенно иная ситуация. На рис. 6 показаны угловые зависимости интенсивности зеркального отражения Is= \Rs\ h, где 7Q - интенсивность падающего рентгеновского пучка, от
Бикристалл с различными проекциями на поверхность векторов обратной решетки в пленке и в подложке
Рассмотрим в этом параграфе теорию дифракционного и зеркального отражения от монокристалла, на поверхности которого находится однородная кристаллическая пленка толщины d с межплоскостными расстояниями а = #о+ Дя («о - межплоскостные расстояния подложки), фурье-компонентами поляризуемости x#i (g 0, h, h) и вектором обратной решетки h]. При этом предполагается, что условие равенства тангенциальных компонент векторов обратной решетки пленки и подложки не выполняется, т.е. h\t & ht. На бикристалл падает плоская монохроматическая волна E0exp(/kor) с углом скольжения фо по отношению к поверхности так, что одновременно имеет место дифракционное отражение от атомных плоскостей подложки. Точное решение задачи дифракционного и зеркального отражения основано на решении дисперсионного уравнения 4-ой степени (2.12) относительно величины аккомодации є.
Однако, как показано в 1 Главы II, при углах скольжения фо, ф/г (1.5-2)фс, можно использовать результаты приближенной динамической теории (см., например, [18]) и именно при таких углах скольжения угловые зависимости интенсивности зеркального отражения /s(AS) наиболее чувствительны к наличию тонких аморфных и кристаллических пленок на поверхности совершенного кристалла полупроводника. Формально это позволяет свести дисперсионное уравнение к квадратному, а с физической точки зрения это означает, что при углах ф0, ф/, (1.5-2)фс амплитуда ЗО волны мала и можно пренебречь влиянием явления 30 на процесс дифракции. В то же время обратное утверждение не верно. В данном параграфе рассмотрим приближенную теорию дифракции, что позволит значительно упростить системы граничных условий. Рассмотрим процесс формирования волновых полей в вакууме, кристаллической пленке и подложке. Падающая из вакуума плоская монохроматическая волна E0exp(/kor) с волновым вектором (ВВ) ко возбуждает в кристаллической пленке две проходящие волны с амплитудами A0J и ВВ a0i = = ко + кф/jп, а в подложке - проходящую волну Е0 с ВВ q0 = ко + кф п, где Ед и Б - величины аккомодации пленки и подложки, определяемые из квадратного дисперсионного уравнения (2.16). В свою очередь, проходящие волны Aoj порождают в пленке дифрагированные волны Ahj с ВВ а = ао/ + hb а проходящая волна Д) порождает в подложке дифрагированную волну Dh с ВВ \h = Чо + h. Выходящая из подложки дифрагированная волна Д, с ВВ qh вызывает в пленке волны Ah/ с ВВ а/,/ = (ко + h) + кфдті, которые порождают в пленке волны AQ/ С ВВ aq/ = а/у- -hj. Знак минус перед вектором обратной решетки пленки hi вызван тем, что волны Ah/ падают на отражающие плоскости с обратной стороны (относительно волн Aoj). В свою очередь выходящие из пленки волны Aqj с ВВ щ вызывают в подложке волну Д/ с волновым вектором qo = (ко + h - hi) + Агоєп, которая порождает в подложке волну Д1 с ВВ q,/ = qo1 + h. В общем случае этот процесс многократного перерассеяния из пленки в подложку и наоборот состоит из бесконечного числа шагов, а ВВ проходящих и дифрагированных волн в пленке и подложке можно записать в следующем виде (где Ah = h - hi): Таким образом, волновые поля в кристаллической пленке Еу?/Ш(г) и подложке Есг(г) состоят из бесконечного набора плоских волн: и обратно в бикристалле с различными проекциями на поверхность векторов обратной решетки пленки и подложки было отмечено в [73].
На этом основании в [118] модель бикристалла предлагается рассматривать только в кинематическом приближении теории дифракции, а в [147] рассмотрение многослойной структуры с различными тангенциальными компонентами векторов обратной решетки слоев предлагается проводить численно, используя матричную запись граничных условий [141, 142, 144]. Как следует из основной системы динамических уравнений (2.2) при больших углах скольжения, величины аккомодации подложки zm определяются уравнением
Многослойная кристаллическая структура
Рассмотрев подробно зеркальное и дифракционное отражение от бикристалла, проведем обобщение полученных в 1 Главы III результатов на случай многослойной структуры, состоящей из N плоскопараллельных кристаллических слоев с толщинами dn, фурье-компонентами поляризуемости Ъ)п, Ът и векторами обратной решетки h„. Как и в 1 Главы III, будем рассматривать случай равенства во всех слоях тангенциальных компонент векторов обратной решетки hnt = h,, накладывающий ограничение на допустимые углы скоса отражающих плоскостей слоев \\jn: cos\j/„ = (1+ 5„)cos\j/, где 8„ = Аап/а0 - деформация п-го слоя многослойной структуры. Поля в вакууме и подложке определяются соотношениями (2.10) и (2.1), а поле в произвольном п-ом слое - соотношением (3.1), которое мы перепишем в следующем удобном для дальнейшего использования виде: где к соответствующим обозначениям в (3.1) добавлен верхний индекс п. Условия непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного полей на границе раздела /7-го и п + 1-го слоев для волн, возбужденных падающим излучением, приводят к следующей системе граничных условий (координата z в каждом п-ом слое отсчитывается от его верхней границы, а нумерация слоев ведется сверху вниз от границы вакуум-пленка): где Q/ - коэффициенты, связывающие амплитуды проходящих волн для различных решений дисперсионного уравнения в «-ом слое: А0/ = Q/AQI" {Q\n = = I).
При записи граничных условий (4.15) используются введенные в 1 Главы III обозначения с добавленными, где нужно, верхними индексами п и п + 1. Разделив уравнения (4.156) - (4A5d) на (4.15а), получим рекуррентную связь для коэффициентов Q/ в соседних слоях: Амплитудные коэффициенты зеркального Rs = ES/EQ И дифракционного Rh — Eh IEQ отражений от МС примут вид Кривая дифракционного отражения КДО Лг(Л&) = (БІпфл /зіпфо)і /, . Угол выхода дифрагированного излучения щ определяется из условия sinq)/, = -к /к0. 9 9 1/9 Так как нормальная компонента к = -(/ - кы ) , где kht = k0t + ht - проекция на поверхность многослойной структуры, то углы выхода фЛ не зависят от 9 1/9 номера слоя и определяются выражением sincp/, = [(у0 - 2sinv/sin95) + а] . Область над МС и подложку удобно рассматривать как слои с номерами п = 0 и n = N+ \. Соотношения (4.16) решаются последовательно снизу вверх. Так как в подложке распространяются только две проходящие и две дифрагированные волны, то граничные условия, необходимые для решения (4.16), примут вид Q3 -Q4 - R3 - R4 = 0, Qt = Q0i gh Rt -R0iTc, где Rot - амплитудный коэффициент дифракционного отражения от подложки, Qot + - коэффициенты, связывающие амплитуды проходящих волн для различных решений дисперсионного уравнения в подложке: A0iN+l = QoiN+lA0\N+] (і = 1, 2); хс = ехр(-іко\\івсім), gi - ехр(-/А:0ГоДу), а Г0/- определены в (2.22). При этом коэффициент Q$i+X определяется из решения уравнения где коэффициенты Qj с помощью рекуррентных соотношений (4.16) нужно выразить через Qo2N+l. Соотношения (4.16) являются новым типом рекуррентных соотношений в теории дифракции и, в отличие от формул Дарвина [121] и Колпакова [122], позволяют вычислять амплитуды волн во всех слоях. Действительно, для нахождения амплитуд волн в каждом слое достаточно воспользоваться уравнением (4.15л) с граничным условием где предварительно нужно определить коэффициенты Qj\
Для оценки общности полученных соотношений (4.16) рассмотрим, как и ранее, хорошо известные частные случаи. 1. В случае МС, состоящей из аморфных слоев, в каждом слое будут распространяться только две, проходящая и зеркально отраженная от нижней границы слоя, волны, возбужденные падающим излучением. Пусть это будут волны с амплитудами AQ" И А02п = QIAQ", при этом коэффициент Q2 связыва ет амплитуды проходящей и зеркально отраженной волн. Тогда Q3" = Q4" = О, а из граничных условий следует, что и Т2І = 7з,- = Ти = Гн =0. В итоге получим следующее рекуррентное соотношение где гП)П+\ - (Гдл" - Гуоі"+ )/(Г/оі" + Гуоі"+ ) - френелевские коэффициенты отражения от границы раздела слоев с индексами п и п + 1 и учтена связь, возникающая для нормальных компонент волновых векторов волн, распространяющихся в аморфной среде: Полученное рекуррентное соотношение (4.21) с точностью до обозначений совпадает с соотношением (4.4). В 1 Главы IV также приведены граничные условия (4.5), необходимые для решения рекуррентного соотношения (4.4). 2. В случае больших углов скольжения фо,/, (2-3)фс, когда можно пренебречь влиянием 30 на дифракционное отражение, в каждом слое кристал лической МС распространяются только две проходящие и две дифрагирован ные волны. Пусть это будут волны с амплитудами AQ" И AQ2 = QiA \. Тогда Qi = Q4" = 0, а из граничных условий следует, что Ти = T3i = 0. Для коэффициентов Q2", связывающих амплитуды проходящих волн в каждом слое получим следующие рекуррентные соотношения где
