Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Трансмиссионная оптическая томография рассеивающих сред 7
1.1. Введение 7
1.2. Общие сведения о вычислительной томографии 8
1.2.1. Преобразование Радона. Прямая задача 9
1.2.2. Обратная задача. Интегральные методы 11
1.2.3. Обратная задача. Алгебраические методы... 12
1.3. Методы трансмиссионной оптической томографии биологических объектов 13
1.4. Уравнение переноса излучения 17
1.4.1. Приближение чисто поглощающей среды .18
1.4.2. Диффузионное приближение 18
1.5. Конструктивные особенности оптических томографов 20
1.5.1. Оптические томографы для исследования молочной железы 21
1.5.2. Оптический томограф для исследования мозга новорождённого 28
1.5.3. Оптический томограф для исследования лабораторных животных 32
1.6. Выводы 34
Глава 2. Нестационарная осевая модель переноса излучения 35
2.1. Введение 35
2.2. Однородная полубесконечная среда 39
2.3. Уравнения для суммарных энергий 42
2.3.1. Чисто поглощающая среда 43
2.3.2. Чисто рассеивающая среда 44
2.3.3. Пропорциональные среды 46
2.3.4. Произвольные среды 50
2.4. Влияния показателя преломления 52
2.5. Выводы 59
Глава 3. Моделирование трансмиссионной оптической томографии на базе осевой модели 60
3.1. Введение 60
3.2. Построение исходного объекта 63
3.3. Сканирование 67
3.4. Реконструкция 68
3.5. Сравнение исходных и носспшоиленішх распределений 72
3.6, Численное решение прямой задачи для произвольных сред 73
3.6.1. Мегод конечных разностей 74
3.6.2. Мегод энергетического баланса 76
3.7. Реконструкции радиально-симметричных объектов па основе обратного преобразования Абеля 78
3.8. Выводы 86
Заключение 87
Приложение 88
Список использованных сокращений 98
Список литературы , 99
- Общие сведения о вычислительной томографии
- Конструктивные особенности оптических томографов
- Чисто поглощающая среда
- Численное решение прямой задачи для произвольных сред
Введение к работе
Актуальность работы
Томографические методы реконструкции пространственно неоднородных внутренних структур конденсированных сред за последние 30-40 лет получили большое распостранение в самих разных областях, н том числе в медицинской диагностике.
Определяющее значение для развития томографии имела разработка методов обращения преобразования Радона, введённого И. Радоном в 1917 г. Физической основой интегрального преобразования Радона служит экспоненциальный закон ослабления излучения, который справедлив в случае чисто поглощающих сред и представляет собой обобщение закона Бугера-Ламберта-Бэра на неоднородные среды.
Однако, если в диапазоне рентгеновского излучения экспоненциальный закон ослабления излучения выполняется с высокой степенью точности, то в оптическом диапазоне взаимодействие излучения со средой носит более сложный характер (кроме процесса поглощения присутствуют процессы рассеяния, преломления и отражения и другие), и традиционный математический аппарат, построенный на основе преобразования Радона, становится неприменимым. Кроме того, вместо одной неизвестной функции (распределения коэффициента поглощения излучения) появляется ещё одна - распределение коэффициента рассеяния излучения.
Тем не менее, использование неионизирующего оптического излучения, как менее травматического, особо предпочтительно в медицине, а восстановление ещё одной характеристики исследуемой среды (коэффициента рассеяния) может дать новую диагностическую информацию. Кроме того, стоимость оборудования и подготовки помещения для оптической томографии существенно дешевле рентгеновской или магнитно-резонансной томографии.
При переходе от рентгеновской томографии к оптической можно говорить о восстановлении трёх, пространственно неоднородных функций: показателя преломления, коэффициента поглощения и коэффициента рассеяния, Так как одновременное восстановление всех трёх физических характеристик -исключительно сложная задача, основное внимание уделяется восстановлению пространственных распределений коэффициентов поглощения и рассеяния излучения. При этом математической основой служит уравнение переноса излучения, которое в общем случае аналитического решения не имеет, поэтому особое значение приобретают методы его упрощения при дополнительных предположениях.
Кроме того, , следует также учитывать неоднородность показателя преломления, так как процессы отражения и преломления оказывают искажающее влияние на качество реконструкции.
Для численного исследования проблем и возможностей, возникающих при реконструкции изображений в трансмиссионной оптической томографии необходимо численное моделирование, которое для различных исходных объектов позволяет решать прямую и обратную задачу и находить количественные оценки точности реконструкции.
Це^іью работы яшіялиеь разработка п исследование меюда реконструкции пространственных распределении оптических характерне пік сильнорассеивающих еред па основе осевого приближения нестационарного уравнения переноса излучения.
Научная новизна работы
Предложен новый метол решения задачи трансмиссионной оптической томографии сильнорассеивающих конденсированных сред, позволяющий найти пространственное распределение коэффициентов поглощения и рассеяния.
Предложен новый численный метод решения прямой задачи трансмиссионной оптической томографии на базе осевой модели - метод энергетического баланса.
Разработаны способы коррекции искажений томографических изображений. возникающих при преломлении и отражении света на границах раздела сильнорассеивающих сред.
Найден оптимальный алгоритм томографической реконструкции произвольных объектов на основе исследования эффективности различных вариантов численной реализации восстановления изображений радиально-симметричиых объектов.
Достоверность научных положений, результатов и выводов обеспечена их соответствием твёрдо установленным теоретическим и экспериментальным фактам, использованием общепринятых методов, проверкой на модельных объектах, а также их внутренней согласованностью и непротиворечивостью.
Практическая и научная ценность работы
Предложенные методы реконструкции пространственных распределений характеристик сильнорассеивающих сред в трансмиссионной оптической томографии могут быть использованы при разработке новых конструкций оптических томографов.
Разработанный программный комплекс может быть использован для получения изображения внутренних структур сильнорассеивающих сред.
Разработанные методы численной реализации интегральных преобразований могут быть использованы в новых томографических алгоритмах.
Предложенные способы коррекции искажений, вносимых преломлением и отражением света, могут быть использованы для повышения качества реконструируемых изображений. і
Основные научные положения, выносимые на защиту
Предложенный метод решения обратной задачи трансмиссионной оптической томографии позволяет получать пространственные распределения коэффициентов поглощения и рассеяния сильнорассеивающих сред. '*
Разработанный метод энергетического баланса позволяет существенно повысить точность решения прямой задачи осевой модели. ;.,
Предложенные способы коррекции преломления и отражения улучшают качество восстановленных изображений.
Апробация работы
Основные положения и результаты диссертационной работы выли представлены и обсуждены: на [X, X, XI всероссийских межнузовских научно-технических конференциях студентов и аспирантов "Микроэлектроника и информатика" (Москва, 2002, 2003, 2004); на IV Международной научно-технической конференции "Электроника и информатика" (Москва, 2002); на XIII, XIV Международных научно-технических конференциях "Лазеры в науке, технике и медицине" (Сочи, 2002, 2003); на VI Международной научно-технической конференции "Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии" (Владимир, 2004); на научных семинарах отдела фотоэлектроники Института общей физики РАН и кафедры биомедицинских систем Московского государственного института электронной техники.
Работы в данной области были поддержаны тремя грантами Российского фонда фундаментальных исследований № 00-02-16085 (2000-2002), № 01-01-00065 (2001-2003), №03-01-06317 (2003), одним грантом Министерства образования РФ №ЕОО-1.0-188 (2001-2002), совместным грантом Российского фонда фундаментальных исследований и Министерства промышленности и науки Московской области № 02-02-96000 (2003-2004).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 14 научных работ, из них 6 статей, в том числе в журналах: "Квантовая электроника" - 1, "Известия вузов. Электроника" - 2, "Медицинская техника" - 2, "Биомедицинские технологии и радиоэлектроника" - 1.
Личный вклад автора
В основу диссертации легли результаты исследований, выполненных автором на кафедре биомедицинских систем Московского государственного института электронной техники и в лаборатории пикосекундных лазеров отдела фотоэлектроники Института общей физики РАН.
Объём и структура диссертации
Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, приложения, списка сокращений и списка литературы, содержит 103 страницы текста. 60 рисунков и 3 таблицы. Список литературы включает 78 наименования.
Общие сведения о вычислительной томографии
В настоящее время в зависимости от вида зондирующего излучения можно выделить следующие виды томографии, развитые в большей или меньшей степени: рентгеновская томография, магнитно-резонансная томография, радионуклидная томография, оптическая томография, ультразвуковая томография, томография в радиодиапазоне, протонно-ионная томография, электронно-парамагнитно-резонансная (ЭПР) томография. При всём многообразии видов томографии, все виды томографии можно разделить на два больших класса: трансмиссионную и эмиссионную томографию. В трансмиссионной томографии внешнее излучение зондирует (сканирует) пассивный (неизлучающий) объект, частично ослабляясь в нём. В эмиссионной томографии активный (излучающий) объект представляет собой пространственное распределение источников излучения, при этом выходящее вдоль какого-либо направления излучения является суперпозицией всех источников, лежащих на линии проецирования. По способу формирования исходных, проекционных данных различают схемы сканирования с параллельными и веерными проекциями (рис. 1.1), а геометрию измерений подразделяют на круговую (полную и неполную) и планарную. Обычно в схеме сканирования с параллельными проекциями расстояние между линиями проецирования одинаковое - эквидистантное параллельное сканирование, а веерное сканирование можно преобразовать в неэквидистантное параллельное сканирование. По размерности пространства различаю двумерную и трехмерную томографию. В последнем случае необходимо различать томографию, где трёхмерную томограмму получают как набор двумерных томограмм, находящихся в параллельных плоскостях, т.е. решается несколько двумерных обратных задач, и собственно трехмерную томографию, где решается именно трёхмерная обратная задача. Рассмотрим обычную для трансмиссионной томографии задачу реконструкции двумерного распределения коэффициента ослабления излучения и.(х,} ) в схеме с параллельным сканированием в круговой, геометрии измерений.
В процессе сканирования источник излучения, формирующий тонкий ("карандашный") пучок излучения, проходит вдоль объекта, синхронно с источником.с противоположной стороны объекта движется детектор излучения. Набор отсчётов, полученный таким образом, определяет одномерную функцию, называемую проекцией. Затем система "источник-детектор" поворачивается относительно объекта на некоторый угол 0 и снимается следующая проекция. Такие измерения продолжаются пока система "источник-детектор" не повернется на 360. Необходимо отметить, что в соответствии с принципами относительного движения, можно вращать сканирующую систему вокруг неподвижного объекта (в одну сторону) или вращать сам объект в неподвижной сканирующей системе (в противоположную сторону). Таким образом, томографическая задача заключается в восстановлении двумерного распределения J.I(-Y, V) ПО полученному набору одномерных проекций. Для её-решения обычно вводят две системы координат - неподвижную (х.у) и вращающуюся вокруг центра координат (2,.ц) (рис. 1.2). поэтому для получения полного набора проекций достаточно провести измерения гю первым 180. Соотношение (1.6) называется преобразованием Радона 9Ї {} (прямым преобразованием Радона) двумерной функций \i(x,y): Отметим, что в выражениях для преобразования Радона (1.5-1.6) нет указания на экспоненциальный закон ослабления излучения (1.1), а есть лишь набор интегралов вдоль линий проецирования. Это обстоятельство позволяет значительно расширить рамки применения преобразования и методов его обращения. Например, если в рентгеновской томографии физический смысл проекций - логарифм доли прошедшего излучения, то в ультразвуковой томографии проекции могут иметь смысл времени задержки распространения акустического сигнала в объекте. Обратное преобразование Радона 9Ї-1 {} применяется к проекциям р( ,в), и в результате преобразования получают восстановленную функцию (оценку функции) распределения коэффициента поглощения \i{x y) Существует четыре основных интегральных метода по обращению преобразования Радона [3—4]: метод Фурье-синтеза метод разложения в ряд Фурье (метод Кормака), метод р-фильтрации (метод двумерной фильтрации), метод фильтрованных обратных проекций (метод одномерной фильтрации). Среди них в настоящее время наибольшее распространение получил метод фильтрованных обратных проекций, в котором оценка функции распределения коэффициента поглощения \х{х,у) находится в соответствии со следуюгцим выражением: где й( () - некоторая одномерная функция ядра свертки - фильтрующая функция. Сам И. Радон получил формулу обращения в следующем виде:
Конструктивные особенности оптических томографов
Для случая однородной среды, где ца(г)=\ха - Const, D(r)= D -Const. уравнение (1.32) переписывается как: где Д - оператор Лапласа. Для точечного изотропного источника когерентная составляющая не зависит от направления Й, т.е. фДг,0,/)=Фс(г,/), следовательно 5,( ,/) = 0, и уравнение (1.33) принимает вид: Исследование точности диффузионного приближения путём сравнения решения диффузного уравнения с результатами моделирования методом Монте-Карло [21] и в приближении интегралов по траекториям [28-29] показало, что диффузионное приближение может дать решение, иногда на несколько порядков отличающееся от истинного, при этом влияние неоднородности среды гораздо сильнее влияния анизотропности рассеяния. В настоящее время уже можно выделить несколько фирм в Северной Америке и Западной Европе, которые приступили к клиническим испытаниям прототипов оптических томографов и к получению разрешения на их коммерческое медицинское использование. При лом можно выделить следующие три основные приложения: исследования женской молочной железы - маммография, исследования мозга новорождённого, исследования лабораторных животных, В настоящее время в мире в подавляющем большинстве случаев для диагыостики женской молочной железы используют рентгеновскую проекционную маммографию (в том числе и цифровую) [30). По сравнению с ней разрабатываемые методы оптической томографической маммографии обладают следующими тремя основными преимуществами: 1. отсутствует болезненное сжатие груди пациенток, 2. оптическое нсионизирующее излучения существенно безопаснее рентгеновского как для пациенток, так и для медицинского персонала, 3. цифровая трёхмерная томограмма в общем случае более информативна, чем традиционные и цифровые рентгеновские снимки. Следует также отметить, что в отличие от традиционной рентгеновской маммографии, где пациентка во время процедуры стоит или сидит перед маммографическим аппаратом, в оптической маммографии (по крайней мере, в системах, которые будут описаны ниже) пациентка ложится на процедурный стол лицом вниз, что повышает комфортность такого рода исследований.
Среди прототипов оптических томографических маммографов, которые в настоящее время проходят клинические испытания, следует выделить следующие проекты: CTLM фирмы IDSI - Imaging Diagnostic Systems Inc., США [31-33]; OMPS исследовательского центра фирмы Philips, Нидерланды [34-36]. Система CTLM - "Компьютерная томография для лазерной маммографии" (Computed Tomography Laser Mammography) разрабатывается американской фирмой IDSI с 1994 года. Ныне проект, сохранив аббревиатуру CTLM, продвигается на рынок как "Компьютерная томография для лазерной визуализации молочной железы" (Computed Tomography Laser Breast Imaging). Система OMPS - "Протопит оптического маммографа" (Optical Mammo Prototype System) разрабатывается исследовательским центром концерна Philips с начала 1990-х годов. Внешне томографы CTLM и OMPS состоят из двух частей (рис. 1.7): процедурного стола с углублением для груди пациентки и компьютера для управления томографом и вывода результатов сканирования; однако у OMPS имеется возможность крепления компьютера непосредственно к процедурному столу. Во время процедуры пациентка ложится на процедурный стол лицом вниз (рис. 1.8), а её левая или правая грудь помещается в соответствующее углубление, где размещается сканирующая система (рис. 1.9-1.10). Рис. 1.7. Внешний вид оптических томографов: CTLM (а) и OMPS (б) В качестве источников оптического излучения в данных прототипах для снижения стоимости системы и ускорения выхода на рынок используются непрерывные инфракрасные лазеры. При этом, если в томографе CTLM используется один инфракрасные лазер, то система OMPS отличается одновременным использованием сразу трёх инфракрасных лазеров (длины волн 658, 780, 870 нм, мощность излучения 50, 60 и 40 мВт), работающих попеременно. Необходимо отметить, что ранее в томографе CTLM предполагалось использовать импульсный лазер на титанате сапфира фирмы Spectra Physics (США) [30], и, хотя в настоящее время основные усилия направлены на разработку системы с непрерывным излучением, эксперименты с импульсными лазерами продолжаются. В томографе CTLM свет от источника лазерного излучения, пройдя через грудь, регистрируется двумя рядами детекторов на основе кремниевых фотодиодов (84 диода в каждом ряду), расположенных на одной раме с источником излучения (рис. 1.9). Сменные рамы позволяют работать с грудью до 20 см в диаметре и отказаться от использования иммерсионных жидкостей для улучшения оптического контакта с грудью пациентки. Оба ряда детекторов оснащены оптическими коллиматорами, кроме тою, на одном из рядов установлены светофильтры, отсекающие излучение на длине волны возбуждения в исследованиях с использованием люминесцентных веществ. Таким образом, томограф CTLM может использоваться и в оптической люминесцентной томографии. Для получения двумерных томограмм сканирующая система CTLM осуществляет -200 механических поворотов, делая полный оборот (360) вокруг груди за 30 секунд, при этом подвижная часть не соприкасается с телом пациентки.
Таким образом, для реконструкции одного двумерного томографического изображения используется 16 000 измерений. Также сканирующая система CTLM позволяет получать трехмерную томограмму (как набор двумерных томограмм): для этого предусмотрена возможность её механического перемещения вдоль вертикальной оси (обычно с шагом равным 4 мм) от грудной стенки вниз, до конца груди (но не более чем на 20 см). На каждой новой высоте направление вращения меняется на противоположное, чтобы избежать перекручивания электронных проводов. Обычно в ходе исследования сбор данных осуществляется на 50 высотах в течение -15-20 минут. В отличие от томографа CTLM сканирующая система OMPS (рис. 1.10) не имеет движущихся частей - вращение источника лазерного излучения и его перемещение по вертикальной оси осуществляется оптически, с помощью системы из 255 оптических волокон и электронного оптоволоконного переключателя. Кроме того, сканирующая система OMPS имеет коническую форму и более скромные размеры - верхний диаметр 13 см, нижний диаметр 8.5 см, высота 10 см уступая, тем самым, возможностям сканирующей системы CTLM приблизительно в 2 раза. Для улучшения оптического контакта с грудью пациентки оставшееся свободное пространство заполняется иммерсионной жидкостью (рис. 1.10.6). Во время сканирования свет от источника, пройдя через грудь, регистрируется системой из 255 оптических волокон, подключённых к точечным фотодиодам. Время сканирования на одной длине волны составляет -2 минут. Необходимо отметить, что если в томографе CTLM трёхмерная томограмма получается как набор двумерных, то в томографе OMPS восстанавливается сразу трёхмерная томограмма по 65 000 (255 х 255) измерениям. Таким образом, время сканирования для получения трёхмерной томограммы в системе OMPS приблизительно в 7-Ю раз меньше, чем в системе CTLM, т.к. переключатель лазеров является единственным механическим устройством в сканирующей системе OMPS. Для проекта CTLM были разработаны два алгоритма реконструкции томографических изображений, базирующихся па диффузионном приближении УІІИ. Первый алгоритм является модификацией метода фильтрованных обратных проекций, учитывающей рассеяние, и время получения одной двумерной томограммы составляет —75 секунд на компьютере, оснащенным процессором с тактовой частотой 750 МГц. Второй алгоритм представляет собой итерационную схему, использующую модель конечного элемента, при этом, в зависимости от вычислительных возможностей и параметров реконструкции, время получения одной двумерной томограммы составляет от нескольких минут до нескольких часов. Алгоритмы реконструкции в проекте OMPS также базируются па диффузионном приближении [26, 36], но при этом используются только итерационные алгебраические методы, различающиеся степенью сложности и временем реализации. На рис. 1.11-1.12 показаны визуализации левой груди двух пациенток (первая пациентка на рис. 1.11. вторая на рис. 1.12), полученные на маммографе CTLM [31-32], на рис. 1.13-1.14 - визуализации правой груди одной пациентки, полученные на маммографе OMPS [34-35]. При этом оба маммографов позволяют рассмотреть получаемые томограммы и как трёхмерные объекты (рис. 1.12, 1.14). и в коронарных, сагиттальных и осевых сечениях (рис. 1.11.в, 1.13.в).
Чисто поглощающая среда
В случае чисто поглощающей среды (Р = 0, у = 1), выражения для U+{Q и /_() имеют вид: и, как следовало ожидать, точно совпадают с аналогичными выражениями в разделе 2.3.1 (2.34-2.35). В приближении чисто рассеивающих сред (р- 1. у— 0). используя приближенное вычисление экспоненциальной функции ехр(х) = 1+д- при аргументе х - 0, выражения для /+( ) и U_ (Q имеют вид выражениями в разделе 2.3.2 (2.42-2.43). Таким образом, случай пропорциональных сред является ближайшим нетривиальным обобщением экспоненциального закона ослабления излучения (1.1) для рассеивающих сред. В общем случае (произвольные среды) при использовании импульсных лазеров в прошедшем сквозь рассеивающую среду излучении можно выделить баллистические и рассеянные фотоны и представить /+ ( ) - суммарную энергию фотонов, распространяющихся в прямом направлении, в виде суммы баллистической i/i+( ) и рассеянной /J+(0 компонент: Из первого уравнения системы (2.25) можно получить следующее уравнение для энергии баллистической компоненты: Как и следовало ожидать, решением уравнения (2.69) является экспоненциальный закон ослабления излучения (1.1): Применение к проекциям P4fe,e)=-ln(/4+feiVko). (2.71) обратного преобразования Радона позволяет получить восстановленную функцию распределения коэффициента экстинкщш т(х,у): т{х у) = {рь( )}. (2.72) Для нахождения iviopofi іісі-гшеїлпоп функции рлиірслсміліпя ІШ Х)фіШЛС(ПІ1 рассеяния піл(\\у) решение первого уравнения системы (2 25) можно чаипсач ь а НИЛЛ где М+(х) - некоторая функция -коэффициент полной : кстишсции. Применение к проекциям обратЕїого преобразования Радона позволяет получить восстановленную функцию распределения коэффициента полной экстинкции М{х,у): Подстановка выражения (2,73) в первое уравнения системы (2.25), приводні к следующему выражению, связывающему функции т(х,у), ms(x.y) и м{х.у): Иначе уравнение (2.76) можно представить в виде где Таким образом, относительно /я5(х, ) уравнение (2.76) является нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка - уравнением Бернулли или уравнением Абеля первого рода [55], которое можно решить в квадратурах. Использование для решения уравнение (2.77) метода решения уравнения Бернулли и замены приводит к линейному дифференциальному уравнение первого порядка относительно h\C,): Так как функции т{х,у) и JV/(JC, ) уже известны, то для полного восстановления функции ms{x,y) достаточно вычислить ms{Q по формуле (2.82) по всем линиям проецирования при каком-либо одном значении угла поворота Э. 2.4. Влияния показателя преломления В однородной среде свет распространяется прямолинейно с постоянной скоростью. Если же среда неоднородна, то в разных областях скорость его распространения различна: где с, v - скорости света в вакууме и в среде, п - показатель преломления среды, є, р - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. Кроме того, на границе раздела двух сред с разными показателями преломления щ и «2 существует эффект отражения и преломления светового луча (рис. 2.4) [56-57]. Отражение и преломление света на границе двух сред
При тгом для углон падения ф, отражения ф п преломления \\i иыполияклеи следующие соотношения: где n, rA - коэффициенты отражения для параллельной и перпендикулярний составляющей электрической напряженности, /ц, J1 - параллельная и перпендикулярная составляющая интенситюсти падающего излучения, Re , Tejy -коэффициенты отражения и пропускания по интенсивности. Для так называемого "естественного света" -- In = /j_, тогда П случае, когда систолой л\ ч падает но нормали (ф--0) к поисрмюсіи раздела днух сред, коэффициенты отражения определяются но формуле: Перейдем к более сложному случат, чем отражение и преломление па плоскости, и, используя случай пропорциональных сред (см. раздел 2.3.3), рассмотрим задачу восстановления пространственного распределения коэффициента экстинкции в сечении однородного цилиндра: где R - радиус цилиндра. Соответственно, для пространственного распределения показателя преломления можно записать где щ и «2 показатели преломления окружающей среды и объекта. Поскольку объект реконструкции является радиально-симметричным. двуйїерное обратное преобразование Радона можно свести к более простому одномерному обратному преобразованию Абеля (см. раздел 3.7). Однако томографическая реконструкция даже такого простого объекта затруднена из-за эффектов преломления и отражения (см. приложение, рис. Г—IV). На рис. I представлена геометрия лучей, искажённая преломлением, для схемы с параллельным сканированием. Эффекты преломления тем больше, чем больше отличается от единицы относительный показатель преломления п2\ (чем больше различаются показатели преломления объекта и окружающей среды). Кроме того, в случае п%\ 1 образуются области, недоступные для сканирования (рис. Н.а), в то время как для случая «2t 1« хота и не все падающие на цилиндр лучи проходят через него, однако даже оставшейся части хватает для сканирования всех точек объекта (рис. П. б). Более подробно распространение лазерного луча в цилиндре показано на рис. III, при этом:
Численное решение прямой задачи для произвольных сред
При этом jmv j - коэффициент экстинции, найденный из баллистических проекций, непосредственно не используется, а служит лишь в качестве вспомогательной информации. В режиме пропорциональных сред первоначально была сделана попытка реализовать численную версию выражения (2.82). Она была неуспешной, т.к. выражение оказалось очень требовательным к точности вычисления его отдельных составляющих. Поэтому в первом приближение, отталкиваясь от уравнения (2.22) и случая пропорциональных сред (см. пункт 2.2.3), были получены следующие выражения для разделения коэффициентов: Проведённые модельные исследования показали, что даже такие простые выражения позволяют визуально разделить коэффициенты поглощения и рассеяния. После определения всех необходимых параметров исходного объекта по нажатию кнопки "Построение исходного объекта" (рис. VI) происходи! генерация (с помощью функции myphantom) и визуализация (верхний ряд изображений в основном окне, рис. VIT) матриц исходного объекта. Непосредственно сам процесс сканирования запускается кнопкой "Сканирование" (рис. VI) и в результате получаются две матрицы размером NР х Л/ц : в одной хранятся отношения энергий излучения, прошедшего через рассеивающую среду, к падающей энергии, во второй баллистических фотонов к падающей энергии. отношения энергий Полученные матриц восстановленных распределений коэффициентов поглощения, рассеяния и экстинкции визуализируются 1 виде полутоновых изображений в нижнем ряду изображений основного окна программы (рис. VII). 3.5. Сравнение исходных и восстановленных распределений Для сравнения исходных и восстановленных распределений используется соответствующее окно программы (см. приложение, рис. ІХ-ХП). Сравнение распределений каждого из трех коэффициентов (экстинкции, рассеяния и поглощения) происходит раздельно, с помощью соответствующего раскрывающегося списка (рис. 3.8,1Х-ХИ). При этом сравнение производится как для объекта (матрицы) в целом, так и для некоторого выбранного сечения (строки матрицы), которое выбирается соответствующим "ползунком" (рис. IX-XII). где )Wy - дискретная версия исходного, rhjj - реконструированного распределения коэффициентов экстинкции, рассеяния и поглощения, N - размерность матрицы изображения. За выбор исследуемого коэффициента и вычисление критериев точности отвечает модуль d2slidcr. 3.6. Численное решение прямой задачи для произвольных сред Чтобы промоделировать решение томографической (обратной) задачи, необходимо сначала решить прямую задачу, то есть, по известным коэффициентам рассеяния trts(Q и поглощения ma[Q найти решение уравнения первого уравнения системы (2.21) в граничных условиях и определить t/+(Ci) - энергию излучения, прошедшего через рассеивающую среду.
Поскольку в общем случае (произвольные среды) такая задача не имеет аналитического решения, необходимо было решить её численно. Для верификации численного решения использовался случай пропорциональных сред (см. раздел 2.3.3), имеющий точное аналитическое решение (2,58). В Ксічссшс объекта исследования исгюльчоїіался радпалыт-енчмечричный фатом - цилиндр, из которого вырезан втором цилиндр меньшего радиусл i.e. коэффициеш жстинции имеет вид где / и m0 - радиус и высота первого цилиндра, Л, и W - радиус и вьісоїа второго цилиндра. Для верификации численного решения была разработана соответствующая программа в среде MATLAB, позволявшая изменять параметры фантома R0, т(], R\, тх, коэффициенты пропорциональности а или р (2.45-2.47), интервал дискретизации d и шаг сканирования Д. Первоначально для численного решения уравнения (3.15) был использован метод конечных разностей (МКР, метод сеток) [68]. Для решения уравнение (3.15) было переписано с использованием коэффициентов рассеяния и поглощения, и обе его части были умножены на ms {Q, чтобы избежать возможного деления на ноль Уравнение (3.18) является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, а граничные условия (3.19) соответствуют третьей краевой задаче. Для численного решения необходимо провести дискретизацию функций, входящий в уравнение уравнения (3.18), на интервале е[ о, [], разбив его на N +1 точку с интервалом дискретизации d: где ,0 и -точки входа и выхода из рассеивающей среды.
