Содержание к диссертации
Введение
Глава 2. р-Адическое описание ультраметрической диффузии 18
2.1. р-Адпчсскос уравнение ультраметрическои диффузии 18
2.1.1. Матрица переходов на ультраметрической решетке 19
2.1.2. Параметризация матрицы Паризи р-аднческими числами. Континуальный предельный переход 20
2.2. Методы решения задач Копій 22
2.2.1. Задача Кошн на Qp 22
2.2.2. Задача Кошн на Вг 24
2.3. Задача о распаде начального состояния 25
2.3.1. Общая постановка, задачи 25
2.3.2. Характерные типы релаксации 28
2.4. Задача об эволюции распределения 32
2.4.1. Эволюция распределения вис стартового бассейна, при отсутствии границы 32
2.4.2. Эволюция распределения внутри и вне стартового бассейна при наличии границы 33
2.4.3. Средние характеристики распределения. 35
Глава 3. Трансляцпонно-неинварнантные модели ультраметрической диффузии 39
3.1. Базис р-адических всплесков па ультраметрическои решетке 40
3.2. Трансляциошю-пешгоариантные модели ультраметрическои диффузии 45
3.3. Задача о распаде начального состояния 51
Глава 4. Описание кинетики повторного связывания СО миоглобнном моделью ультраметрическои диффузии 55
4.1. Кинетика повторного связывания СО многлобнпом 56
4.2. р-Адическая модель 57
4.2.1. Решение 58
4.2.2. Сравнение теоретических результатов с экспериментальными 60
Заключение 62
Приложение
- Параметризация матрицы Паризи р-аднческими числами. Континуальный предельный переход
- Задача об эволюции распределения
- Трансляциошю-пешгоариантные модели ультраметрическои диффузии
- Сравнение теоретических результатов с экспериментальными
Параметризация матрицы Паризи р-аднческими числами. Континуальный предельный переход
С точки зрения физических приложений важно уметь описывать эволюцию функции распределения f(x,t), то есть решать задачи Коши для различных начальных условий в неограниченном и ограниченном пространствах состояний. Ниже описаны способы решения таких задач Коши на основе методов р-адического анализа (см. [36]). Одним из способов решения уравнения (2.7) является использования р-адического преобразования Фурье (детали п пояснения см. в приложениях А.4 и В). Применяя к уравнению (2.7) преобразование Фурье по р-адической переменной х получаем Решение задачи Коши для уравнения (2.7) с начальным условием f(x, 0) = д(х) имеет вид Постановку задачи Коши удобно представлять в виде схемы, пример которой показан на рисунке 8. По горизонтальной оси отложено р-адическое расстояние, черным прямоугольником представлено начальное распределение. Рассмотрим конкретный приме]), взяв в качестве начального, распределение локализованное на р-адическом диске единичного радиуса с центром в точке а (см. рисунок 8): Используя формулу (В.11) можно найти Фурье-образ начального распределения д() = Заметим, что в решение (2.10) входят только те значения функции р(р7), для которых 7 1) следовательно функцию р(\х — у\ ) для \х — у\ 1 можно доопределять любым разумным способом. Рис. 8. Схема, постановки задачи Коши на Qp.
Начальное условие задано на диске единичного радиуса с центром в точке а. 2.2.2. Задача Коїли на Вг. К подобным задачам естественно применить методы исследования из теории краевых задач (см., например, [53]). Ниже будет найдена функция источника G(t, х—х0), позволяющая находить решение задачи Коши для уравнения (2.6) с произвольным начальным условием. Для решения уравнения (2.С) заданного на Вг, удобно перейти от Вг к диск} единичного радиуса Ър с помощью замены х = p rz. Тогда уравнение принимает вид , от вещественного аргумента t и р-адпческого аргумента z — z0. По поводу 5-функцни р-адического аргумента смотри [36]. Подставляя разложение функции ф(г,і) по базису {xP(kz)}kel (см. приложение С.8) из уравнения (2.12) получаем систему уравнении для коэффициентов разложения: Известно, что релаксационные процессы в сложных системах хорошо описываются несколькими феноменологическими законами (см., например, [54-57]): законом Кольрауша-Вильямса-Ваттса ехр{ — (t/т) }, где 0 (3 1; асимптотическим степенным законом (t/r)- , здесь (3 0 (см. [58,59] и указанные там ссылки). Причина такой универсальности пока не вполне ясна. Складывается впечатление, что для описания релаксации во многих случаях не требуется знание всех деталей энергетического ландшафта, а важны только какие-то общие его характеристики. Выявление подобных характеристик представляет интерес. Основой моделирования релаксационных процессов в данной работе является задача о распаде начального состояния. Общая постановка задачи о распаде начального состояния следующая: начальное распределение локализовано в некотором стартовом бассейне - области В1а(а) = х : \х — а\ jP \.
Исследуется эволюция заселенности этого бассейна - релаксационная функция R(t): Схема простейшей модели такого рода представлена на рисунке 9. В начальный момент времени распределение сосредоточено на диске Ър, затем в процессе диффузии распределение начинает «расплываться» по другим состояниям, отделенным от начального все более и более высокими барьерами. Релаксационная функция в этом случае есть Заметим, что в случае регулярных иерархических ландшафтов вид функции R(t) не зависит от места локализации стартового бассейна в пространство состояний в силу трансляционной инвариантности уравнения (2.7). Случай ландшафта не обладающего трансляционной инвариантностью будет рассмотрен в главе 3. Рассмотрим свойства релаксационной функции R(t) при диффузии в неограниченном ультраметрическом пространстве (уравнение (2.7)). Используя (2.10) и имея ввиду, что :?: = р1. запишем решение задачи Кошп для данного случая Характеристические параметры релаксации Л,, определяются выражением (2.8). Отметим, что ряд в (2.8) сходится в том и только том случае, когда функция р(р 1) убывает быстрее чем р- 1. В противном случае ряд в (2.8) расходится, то есть, формально, характерные времена релаксации (l/A/t) равны нулю. Если р(р 1) является монотонно убывающей функцией р, удовлетворяющей указанному требованию, то Afl монотонно убывает к нулю с ростом р..
Задача об эволюции распределения
Исследуем эволюцию функции распределения вне стартового бассейна в отсутствие границы на примере линейного ландшафта. Будем считать, что начальное условие задано на диске Ър. Тогда функция распределения f(x, t) имеет вид (2.24). Рассмотрим решение (2.24) при х 1. В работе [61] была получена следующая оценка Рис. 13. Зависимость функции f(x,t) от t, \х\ = р1: 7і = 2 - сплошная кривая; 72 = 3 - штриховая кривая; Та Ть.где Г (а) обозначает гамма-функцию. Таким образом, для любого состояния существует характерное время г(х, а) — \х\" (— рпГр(—а))" , начиная с которого плотность заселенности f(x, і) спадает по степенному закону одинаковому для всех х:
На рисунке 13 приведена зависимость f(x,t) от времени для различных значении \х\ при различных температурах. Из графиков видно, что в процессе ультраметрической диффузии первыми начинают заполняться состояния, характеризующиеся меньшими значеннями :z: . Заполнение состояний с \х\ = р1 происходит до момента установления однородного распределения внутри бассейна В-,. После чего, заселенность всех состояний в бассейне В7 начинает уменьшаться по одинаковом} закону за счет перераспределения заселенности во внешние, по отношению к Б7, бассейны. 2.4.2. Эволюция распределения внутри и вне стартового бассейна при наличии границы. В ряде приложений (см., например, [61]) представляет интерес исследовать процесс ультраметрической диффузии, когда наличие границ в пространстве состояний оказывается существенным. Аналитически, эта задача сводится к решению задачи Коши для уравнения (2.6) на р-адическом диске Вг. Кроме того, представляет интерес исследовать такие ситуации, когда начальное распределение покрывает лишь ландшафта: р(х ) = \х\ . На рисунке 15 показана эволюция плотности заселенности f(x, і) состояний внутри и вне стартового бассейна, для начального распределения сосредоточенного в узком слое Rsa, (5 = 3, о = 4). В процессе диффузии, сначала, заполняется пустая область В2 внутри стартового бассейна ВА, причем она заполняется однородно. После установления однородного распределения в бассейне В4 (кривые для 7 2 и 7 = 4 сливаются) заселенность всех состояний стартового бассейна начинает убывать за счет переходов в состояния, лежащие вне него (7 4).
Заполнение этих внешних областей происходит последовательно, слой за слоем, и продолжается до тех пор, пока не установиться однородное (равновесное) распределение во всей доступной области - бассейне Вю. Отмстим, что заселенность той области, в которой было сосредоточено узкое начальное распределение, монотонно убывает со временем. Картина становится нетривиальной в случае, если начальное распределение сосредоточенно на достаточно широком слое Rsa (5 = 3, а = 8). В этом случае, заселенность слоев, лежащих достаточно глубоко внутри стартового слоя, сначала падает, затем растет и затем снова падает (см. рисунок 16). Такое поведение связано с тем, что рост заселенности, в изначально пустой области (Б2) стартового бассейна (В8), сопровождается перераспределением заселенности во внутренних областях стартового слоя (7 = 3,4,5, С, 7,8). При этом, перераспределение заселенности в этих областях идет послойно до установления однородного распределения во всем стартовом бассейне (В$). После этого начинается процесс диффузии во внешние, по отношению к стартовому бассейну, области. Из сравнения этих двух случаев можно заключить, что если временное окно наблюдения невелико, то релаксация, ограниченная иерархическим энергетическим ландшафтом, может зависеть от начального состояния системы. На достаточно больших временах характер релаксации зависит только от структуры ландшафта. 2.4.3. Средние характеристики распределения. Можно ли охарактеризовать распределение f(x, t) моментами, так, как это принято делать, например, в случае гаус-совского распределения? Для функции распределения f(x,t), формально, /5-й момент можно записать следующим образом: (2.25) M i{t)= [ \xfpf(x,tW(x). Возьмем распределение f(x,t) вида (2.15). Это распределение получено при решении задачи Коши для уравнения (2.7), описывающего ультрамстрпческую диффузию в Qp, и
Трансляциошю-пешгоариантные модели ультраметрическои диффузии
Здесь будут рассмотрены два примера операторов ультраметрической диффузии с трапеляциошю-неипварнаптпыми ядрами. При этом будут рассматриваться ядра, которые обладают перестановочной симметрией, то есть вероятности прямого и обратного перехода между состояниями равны. Это условие отвечает случаю, когда все состояния системы, реализующие локальные минимумы энергетического ландшафта, являются вырожденными по энергии. Рассмотрим ландшафты, которым отвечают графы, подобные изображенному па рисунке 20 (такой ландшафт для р = 2 рассматривался также в [29]). Картину переходов удобно пояснить с помощью схемы, представленной на рисунке 21. Окружности, изображенные на схеме, обозначают бассейны состояний, линиями обозначены разделяющие их актпвационные барьеры (толщина линии пропорциональна высоте соответствующего барьера), переходы обозначены стрелками, рядом со стрелками указаны вероятности переходов (соответствующие элементы матрицы переходов). Как показано на схеме, высоты активациониых барьеров, которые разделяют состояния, принадлежащие различным малым бассейнам, различны, в то время как, высота барьеров между этими малыми бассейнами, одинакова. Для ландшафтов такого типа матрица вероятностей переходов имеет вид Отмстим, что матрица (3.7) является блочно-иерархической и симметричной, однако теперь блоки вдоль главной диагонали не повторяются (сравни с (З.С)).Построим оператор ультраметрической диффузии, отвечающий данному типу нерегулярности.
Понятно, что ядро оператора должно зависеть от двух аргументов: от расстояния между х и у, то есть от \х — у\ , и от индекса того минимального бассейна, которому принадлежат х и у. Роль индекса бассейна может играть одна из принадлежащих ему точек, и в качестве индексирующей функции можно предложить функцию где х/( - коэффициенты взятые из канонического разложения (А.5) р-адического числа х, символ {х} обозначает дробную часть р-адического числа(см. определение (А.б)). Ядро оператора ультрамстрической диффузии, соответствующего матрице переходов (3.7), можно записать в виде Отмстим, мто оператор ультраметрнческоіі диффузии с ядром (3.8) удовлетворяет требованиям приведенным в [СЗ], и, поэтому, функции (3.1) являются собственными функциями такого оператора. Найдем собственные значения оператора ультраметрической диффузии с ядром вида (3.8) в базисе р-адических всплесков (3.1): где Для вычисления J необходимо рассмотреть два случая. Первый случай: х Л7(о). В этом случае J = 0. Действительно, при \х\ \а\ , или если \а\ рг, то при \х\ р7, как следует из (В.7), Для рассмотренного типа нерегулярности собственные значения (3.9) оператора уль-траметрпческоп диффузии вырождены только по индексу j. В случае р = 2 это верно всегда. Если же р 2, то можно предложить и более сложную реализацию нерегулярности. Например, на рисунке 22 (сравни с рисунком 21) приведена схема переходов, на которой показан случай, когда высоты активацпоппых барьеров различны, даже если они разделяют подбассейиы принадлежащие одному бассейну. Соответствующая диффузии предполагается, что д(х,у) = д(у,х). При сравнении ядра (3.12) и ядра (3.8) видно, что (3.12) зависит еще от двух аргументов: хр х \х — у\ и . ур 1 \х — у\ . Поясним их смысл. Рассмотрим переход между состояниями х и у. Оба эти состояния принадлежат одному бассейн} , который описывается р-адическим диском В1(а) радиуса р1 = \х — у\ - первый аргумент функции (3.12). Цент]) диска есть а = {хр у}рр ї -определяется вторым аргументом функции (3.12). Вероятность перехода в рассматриваемом случае зависит не только от 7 и а, по и от взаимного расположения бассейнов, описываемых дисками В -\(Ь) и Д,_і(с), которым принадлежат, соответственно, х и у. Центры дисков B1 i(b) и Б _і(с) определяются третьим и четвертым аргументами функции (3.12): Ь = {хр 1} рр 1+\ с = Отметим, что функции (3.1), составляющие базис р-адических всплесков, не являются собственными функциями оператора (3.11).
Тем не менее, можно заказать процедуру поиска собственных фз нкцпп ф іх), -у Є. Z, s = 1,... ,р — 1, а Є QP/1 p и для такого оператора. Эта процедура включает в себя три этапа: (1) Собственные функции оператора (3.11) представим в виде разложения по базису р-аднческих всплесков (3.1) тогда действуя на них оператором (3.11) полз часм (3) Решая полученную систему р — 1 уравнений совместно с условием нормировки Y7jZi IQI — 1 находим коэффициенты CJS и собственные значения Xyus. Отметим, что для р = 3 матрица (д) , - эрмитова и, следовательно, все собственные значения X as действительны. В остальных случаях (р 3) для того чтобы собственные значения были действительными необходимо наложить дополнительные требования па функцию (3.12). Рассмотрим задачу о распаде начального состояния для случая нерегулярного ландшафта. При этом ограничимся рассмотрением уравнения ультраметрической диффузии, в котором трансляциошю-псипвариантиое ядро оператора диффузии имеет Для решения задачи Копій с уравнением (3.13) и некоторым начальным условием /(.т.О) = д(х) воспользуемся базисом р-адических всплесков (3.1). Решением такой задачи Кошн будет формальный ряд вида
Сравнение теоретических результатов с экспериментальными
Сравнение теоретических результатов с экспериментальными. Результаты численной оценки функции S(t) по формуле (4.5) для различных температур (различных значений а) представлены на рисунке 26. Прежде всего, следует отмстить качественное совпадение поведения теоретических кривых S(t) и экспериментально наблюдаемой кинетики (рисунок 24) во всей области температур 200К - 300К . Модель позволяет выделить два кинетических режима. При высоких температурах ( 300К, кривая 1 па рисунке 26), кинетика связывания СО миоглобшюм подчиняется экспоненциальному закону. Этот режим возникает в случае, когда характерное время req, за которое в отсутствии реакционного стока установилось бы равновесное (однородное) распределение во всей области конформациониых состояний, существенно меньше характерного времени к"1 связывания СО миоглобшюм. При этих условиях происходит быстрое распределение макромолекул Mb по всем допустимым конформациоиным под-состояниям Mb ,..., Mbi (ультраметрическая диффузия) и стадия связывания оказывается лимитирующей для всего процесса.
Понятно, что поскольку на временах t 3 req распределение f{x,t) близко к однородному, то заселенность области реакционного стока (диск Zp) примерно равна p rS(t). Таким образом, в этом режиме кинетика связывания эффективно описывается кинетическим уравнением и, следовательно, имеет место экспоненциальная кинетика S(t) = 5(0) ехр(—t/т) с характерным временем г = рг/к. С понижением температуры (кривые 2 и 3 на рисунке 26), на кривой S(t) появляется область степенного спада, при этом скорость процесса увеличивается. В рамках предложенной модели нетрудно попять причину таких изменений. С понижением температуры процесс конформациониых перестроек макромолекулы белка, естественно, замедляется. Это приводит к увеличению характерного времени req. В том случае, когда тец становиться сравнимым с характерным временем Аг1 связывания СО миоглобшюм, кинетика всего процесса начинает в существенной мере зависеть от эволюции распределения по конформациоиным подсостояпиям, в частности, от того, как заполняется область реакционного стока, находящаяся внутри стартового бассейна конформациониых подсостояний. Как было показано в разделе 2.4.2, одна из основных особенностей ультрамстрпчсской дис1к{)узии состоит в том, что сначала заполняются области внутри стартового бассейна, а затем внешние области. Поэтому, с одной стороны, характер релаксации распределения f(x,t) может определять кинетику связывания и, с другой стороны, на стадии эволюции распределения внутрь стартового бассейна возникает эффект «перс-заселенности» области реакционного стока и скорость реакции возрастает. При небольшом понижении температуры, все эти явления имеют место в некотором временном окне наблюдения, порядка или меньше req. За пределами этого временного окна (t. rcq) устанавливается однородное распределение, и кинетика процесса лимитируется только реакцией связывания (выход на экспоненциальный режим). Понятно, что с понижением температуры тед растет, и временное окно, в котором ультраметрнческая диффузия является существенно лимитирующей стадией, расширяется. Необходимо подчеркнуть, что данная модель является, в определенном смысле, простейшей. В пей никак не отражены многочисленные детали энергетического ландшафта Mb.
Тем не менее, хорошее качественное согласие с экспериментальными данными и прозрачная интерпретация «аномальных» свойств кинетики позволяет думать, что для описания экспериментов подобного сорта знание деталей ландшафта избыточно, и важны только его общие характеристики. Помимо этого, можно также думать, что гипотеза об иерархических подсостояинях белка и модель ультраметрической диффузии -адекватно отражают характер конформационной динамики белковой макромолекулы. Исследование процесса ультраметрической диффузии имеет длительную историю, в ходе которой было построено значительное число теоретических моделей. Однако, из-за трудностей математического характера, их так и не удалось приблизить к реальным процессам. Развиваемый в диссертационной работе подход к описанию ультрамстриче-ской диффузии на основе р-адического анализа, значительно упрощает решение соответствующих уравнений, что позволяет строить и исследовать разнообразные модели ультраметрической диффузии, варьировать постановку задачи в более широких пределах и, как следствие, теоретически изучать ранее не рассматривавшиеся в рамках данного подхода физические явления. Полученные в работе результаты показывают, что метод иерархического отображения энергетических ландшафтов и соответствующее ему описание динамики в терминах переходов между бассейнами состояний, вполне адекватны наблюдаемым релаксационным свойствам сложных систем.
В работе использовались простейшие р-адические модели, тем не менее, легко удалось уловить многие характерные особенности релаксационного поведения сложных систем. Наиболее ярким, в этом смысле, примером является модель кинетики связывания СО мпоглобином. Важно отметить, что для описания релаксации на достаточно больших временных масштабах, определяющим фактором оказалась только общая тенденция нарастания активациоипых барьеров ландшафта. Индивидуальные детали ландшафта были при этом не столь существенны. Возможно, этим обусловлена удивительная универсальность феноменологических законов, которыми часто описывают релаксацию в сложных системах. Однако на не слишком больших временных масштабах релаксация может зависеть от значительного числа факторов, в том числе, п от условий возбуждения системы. Практическая ценность, предложенных в работе р-адических моделей ультраметрической диффузии, как и развитого в работе подхода в целом, продемонстрирована па примере описания кинетики связывания СО мпоглобином. По нашему мнению, успешное применение модели ультрамстричсскоіі диффузии для описания данного процесса является серьезным теоретическим аргументом в пользу гипотезы об иерархической структуре энергетического ландшафта белка. Вместе с тем, представляется важным
