Введение к работе
Актуальность темы. Тема исследований подпадает под пункт б: рациональное природопользование перечня "Приоритетных направлений науки РФ" и пункты а) 8: технологии атомной энергетики, ядерного топливного цикла, безопасного обращения с радиоактивными отходами и отработавшим ядерным топливом, б) 16: технология оценки ресурсов и прогнозирования состояния литосферы и биосферы, в) 21: технологии снижения риска и уменьшения последствий природных и техногенных катастроф.
В работе исследуются три начально-краевые задачи, описывающие на микроскопическом уровне диффузию и медленную конвекцию примесей в вязкой слабосжимаемой жидкости, заполняющей поры в абсолютно твердом скелете грунта, и выводятся усредненные уравнения для третьей начально-краевой задачи. Впервые усредненные уравнения с математическим уровнем строгости были получены в работах Де Джорджи Е. и Спаньоло С.1, Бахвалова Н. С.2, и вскоре других авторов. Теории усреднения дифференциальных операторов посвящена монография Жикова В. В., Козлова С. М., Олейник О. А.3. Задачи усреднения уравнений теории упругости с быстро осциллирующими коэффициентами в перфорированных областях с различными краевыми условиями исследованы в монографии Олейник О. А., Иосифьяна Г. А., Шамаева А. С.4. Имеется еще целый ряд монографий, посвященных усреднению многомерных сильно неоднородных сред. Это книги Марченко В. А., Хруслова Е. Я.5, Бенсусана А., Лионса Ж.-Л., Папаниколау Д.6, Санчес-Паленсии Э.7, Пятницкого А. Л., Чечкина Г. А.,
'De Giorgy Е., Spagnolo S. Sulla convergenza delli irttegrali dell energia per operatori elliptici del secondo ordine// Boll. Unione Mat. Ital. - 1973. V. 8. - P. 391-411.
2Бахвалов H. С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллируюгцими коэффициентами// Докл. АН СССР. - 1975. - Т. 221, № 3. - С. 516-519.
3Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. - М.: Наука, 1993.
4Олейник О. А., Иосифьян Г. Д., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. - М.: Изд-во МГУ, 1990.
5Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. - Наукова думка, 1974.
6Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolau G. Asymptotic Analysis for Periodic Structure. - Amsterdam: North HoUand, 1978.
7Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория вибраций. - М.: Мир, 1984.
Шамаева А. С.8 и другие.
Метод асимптотических разложений остается главным орудием теории усреднения в настоящее время. Однако в задачах, имеющих более сложную структуру, чем стандартная модель усреднения, оказывается полезным другой метод — метод двухмасштабной сходимости.
Идея двухмасштабной сходимости впервые была введена в 1989 г. Нгу-етсенгом Г. в работе9 и в дальнейшем разрабатывалась в работах Allaire G.10. Свое дальнейшее развитие метод двухмасштабной сходимости получил в работах Жикова В. В. (см., например,11), Мейрманова А. М. (см., например,12), Arbogast Т., Douglas J., Hornung U.13 и других авторов.
Настоящая диссертация близка по теме к моделям диффузии Пятницкого A., Mamszc-Paloka Е., Bourgeat A., Gipouloux О. (см. работы 14,15,16) В отличие от перечисленных работ в данной диссертации изучаются модели, в которые помимо конвективного уравнения диффузии входит система уравнений Стокса, описывающих динамику вязкой слабосжимаемой жидкости. Особенностью исследуемых в диссертации моделей является то, что все они представляют собой нелинейную систему из уравнений Стокса, в которые кроме скорости и давления входит еще концентрация примеси как неизвестная величина, и конвективного уравнения диффузии, в которое входит скорость жидкости.
8Пятницкий А. Л., Чечкин Г. А., Шамаев А. С. Усреднение. Методы и приложения. - Новосибирск: Тамара Рожковская, Белая'серия в математике и физике, 2007. - Т. 3.
"Nguetseng G. A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization// SLAM J. Math. Anal. -1989. V. 20. - P. 608-623.
10Allaire G. Homogenization and two-scale convergence //SIAM J. Math. Anal. - 1992. - V. 23. - P. 1482-1518.
иЖиков В. В. 05 одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости// Матем. сб. - 2000. Т.191. №7. С.31 - 72.
"Мейрманов А. М. Метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга в задачах фильтрации и сейсмо-акустики в упругих пористых средах// Сибирский математический журнал. - 2007. - Т. 48, №3. - С. 645 - 667.
13Aibogast Т., Douglas J., Hornung U. Derivation of the double porosity model of single phase flow via homogenization theory// SIAM J. Math. Anal. - 1990. - V.21, №4. - P. 823-836.
14Marusi(>Paloka E., Piatnitski A. Homogenization of a nonlinear convection-diffusion equation with rapidly oscilating coefficients and strong convection// J. London Math. Soc. (2) 72. - 2005. - P. 371-409.
15Bourgeat A., Marusic-Paloka E. A homogenized model of an underground waste repository including a disturbed zone// Multiscale model, simul. - 2005. 3, 4. - P. 918-939.
16Bourgeat A., Gipouloux 0., Marusic-Paloka E. Filtration law for polymer flow through porous media// Multiscale model, simul. - 2003. - 1, 3. - P.132-157.
Цель работы. Основной целью работы является доказательство теорем существования обобщенного решения трех начально-краевых задач, соответствующих трем моделям диффузии, вывод усредненных уравнений для одной из моделей, доказательство сходимости решения исходной системы уравнений к решению усредненной системы уравнений при стремлении малого параметра усреднения к нулю.
Методика исследований. Основными методами исследования являются классические методы функционального анализа и теории уравнений в частных производных, в частности, методы теории линейных и квазилинейных параболических уравнений17. Кроме того, используются мето-
1 о
ды исследования нелинейных уравнений, такие как метод компактности . Для вывода усредненных уравнений используется метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Исследованы три новые нелинейные модели диффузии. Для каждой модели доказана теорема существования обобщенного решения. Получены усредненные уравнения для третьей модели.
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.
-
Теорема І — о существовании обобщенного решения начально-краевой задачи для системы из нелинейных уравнений Стокса с нулевой объемной вязкостью и конвективного уравнения диффузии, названной в работе моделью Ml;
-
Теорема 2 — 0 существовании обобщенного решения начально-краевой задачи для системы из нелинейных уравнений Стокса с ненулевой объемной вязкостью и конвективного уравнения диффузии, названной в работе моделью М2;
-
Теорема З — о существовании обобщенного решения начально-краевой задачи для системы из нелинейных уравнений Стокса с ненулевой объемной вязкостью и конвективного уравнения диффузии с малой диффузией в твердом скелете, названной в работе моделью МЗ;
17Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М.: Наука. 1967. - 736 с. 18Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, М.: Мир, 1972. - 588 с.
-
Теорема 4 — 0 сходимости решений модели МЗ к усредненной системе уравнений, описывающей на макроскопическом уровне диффузию и медленную конвекцию примесей в вязкой слабосжимаемой жидкости, заполняющей поры в абсолютно твердом скелете грунта (малый параметр, характеризующий диффузию в твердом скелете, фиксирован).
-
Теорема 5 — 0 предельном переходе решения усредненной системы уравнений при стремлении к нулю малого параметра, характеризующего диффузию в твердом скелете, к решению усредненной системы с нулевой диффузией в твердом скелете.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в теории нелинейных начально-краевых задач, в теории усреднения дифференциальных уравнений, а также при математическом моделировании процессов диффузии примесей в подземных грунтах.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции «Nonlinear Partial Differential Equation», г. Ялта, 2007 г.; на Российско-Абхазском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», Нальчик-Эльбрус, 2009 г.; на VII международной конференции по дифференциальным уравнениям, численным методам их решения и математическому моделированию, Волгодонск, 2009 г.; на Международном Российско-Китайском симпозиуме «Комплексный анализ и его приложения», Москва-Белгород, 2009 г.; на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XXI», Воронеж, 2010 г.; на Международном Российско-Болгарском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», Нальчик-Хабез, 2010 г.; на семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям под руководством профессора Солда-това А.П. и профессора Мейрманова A.M., Белгородский государственный университет, 2010 г.
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1] - [10] из списка публикаций автора по теме диссертации. Из них статьи [2], [10] опубликованы в издании, рекомендованном ВАК для публикации основных
результатов кандидатской диссертации. В совместных работах [1], [5], [7] результаты принадлежат авторам в равной мере.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, трех глав, списка литературы из 61 наименования и изложена на 114 страницах.
