Содержание к диссертации
Введение
1 Поведение примеси в нелинейной среде . 10
1.1 Система уравнений для пассивной примеси в нелинейной среде 10
1.2 Уравнение плотности примеси в нелинейной среде. 16
1.3 Выражение для плотности в случае гауссова потенциала начального поля скоростей 19
1.4 Концентрация пассивной примеси 21
1.5 Система уравнений для концентрации активной примеси в бюргерсовом поле скоростей 27
1.6 Решение линейной неоднородной системы уравнений диффузии 31
1.7 Модель процесса горения 39
1.8 Краткий обзор результатов 1-й главы 44
2 Диффузия падающей частицы в турбулентной среде . 47
2.1 Законы движения частиц 48
2.2 Вывод уравнения для плотности вероятностей . 52
2.3 Вихревое поле скорости 60
2.4 Потенциальное поле скорости среды 67
2.5 Общий случай потенциального и соленоидального поля 82
2.6 Условия применимости диффузионного уравнения 86
2.7 Краткий обзор результатов 2-й главы 90
3 Турбулентная локализация примеси . 91
3.1 Связь между эйлеровыми и лаграпжеиыми статистиками 92
3.2 Средняя плотность сгустков 97
3.3 Стационарная средняя плотность 103
3.4 Вероятностный подход 107
3.5 Механизм локализации 114
3.6 Краткий обзор результатов 3-й главы 117
Заключение 119
Литература 123
- Выражение для плотности в случае гауссова потенциала начального поля скоростей
- Решение линейной неоднородной системы уравнений диффузии
- Общий случай потенциального и соленоидального поля
- Стационарная средняя плотность
Введение к работе
Актуальность темы и содержание работы. Анализ нелинейных гидродинамических процессов важен для понимания различных явлений в физике, астрономии, биологии и других областях. В частности, одним из направлений их изучения можно считать исследование моделей движения примеси в турбулентных и нелинейных средах, а также влияние самих примесей на эти среды. Построение математических моделей, безусловно, требует индивидуального подхода в каждом конкретном случае, однако можно говорить об общепризнанных уравнениях, отражающих реальную картину происходящего как, например, уравнение Навье-Стокса. Однако его общее решение неизвестно. Это привело к поиску других моделей нелинейных явлений, подчиняющихся более простым уравнениям.
Одним из наиболее известных является уравнение Бюргер-са [1]. Область применения его оказалась довольно обширной. Предложенное изначально как модель, описывающая поле скоростей турбулентности в одномерном варианте, оно ей не соответствовало в силу ряда причин. Одна из которых - реальная турбулентность не может быть одномерной. Многие ведущие исследователи турбулентности, как например Крсйчнап в
работах [2], отмечали это несоответствие. Однако уравнению Бюргерса было найдено применение и в других областях. Так Хохлов [3] показал, что оно описывает нелинейные акустические волны. Позднее для исследования нелинейных волн его использовали Гурбатов, Малахов и Саичев в работах [9], [74].
Кроме того, в астрофизике Зельдович, Шандарин, Гурбатов, Саичев и другие использовали трехмерный вариант уравнения Бюргерса в качестве основного уравнения для построения модели слипания крупномасштабного распределения вещества во Вселенной [32], [35]. В данном случае трехмерное уравнение Бюргерса позволило приблизиться к объяснению формирования "блинов"и "иитей"из примеси в турбулентных средах [18], [26]. Это явилось новым подходом к идеям, предложенным Зельдовичем в работах [30], [31], где он рассматривает изначально для моделирования расширяющейся Вселенной хорошо известную под его именем аппроксимацию.
Кроме универсальности, причиной популярности уравнения Бюргерса служит подстановка Хопфа, позволяющая получить его точное решение. Кроме того, практический интерес представляют так называемые родственные уравнения [4], или когда например в левой части уравнения Бюргерса присутствует зашумленный источник [5], [6], [7]. Аналитически получить их решения довольно сложно, но проводились и проводятся численные исследования, как например [8] - [17], где исследуются различные частные случаи.
В реальных процессах часто больший интерес представляет не столько распределение скоростей, сколько распределение концентрации или плотности примеси.
Поэтому первая глава данной работы посвящена поиску решения неоднородного уравнения Бюргерса и родственных ему уравнений для концентрации пассивной и активной примеси. В диссертации предлагаются точные решения для подобных нелинейных уравнений. Рассматривается и анализируется влияние активной примеси на окружающую среду на примере модельных уравнений, описывающих процесс горения.
Во второй главе данной работы уделяется внимание статистическим свойствам примеси в турбулентной среде. Анализ диффузии частиц примеси в турбулентной среде важен для решения некоторых технических задач, например впрыскивания топлива в двигатель внутреннего сгорания, а также решения экологических и метеорологических проблем, таких как формирование облаков и движение аэрозолей.
Довольно часто, например в работах [50]- [60], при рассмотрении движения примеси считают, что скорость ее равна скорости окружающей среды. Однако, в реальных ситуациях значительную роль играют эффекты, связанные с инерционностью движения частиц и силой тяжести. Как например, аэрозоль или капли дождя в атмосфере. Это может повлиять не только на законы турбулентной диффузии, но и на статистику самой окружающей среды. Так в [61] Махеу численным моделированием показал, что средняя скорость частиц в турбулентной среде больше скорости падения в покоящейся среде, а в [51] Csanady численно установил, что в соленой дал ьном поле отношение коэффициентов поперечной и продольной диффузии стремится к 1/2. В диссертации удалось получть аналитический вывод данного факта, провести исследование коэффи циентов продольной и поперечной диффузии [64] и обобщить полученные результаты. С этой целью рассматривалась задача о падающей частице в случайном поле скоростей с учетом сил гравитации и вязкого трения.
Что касается результата Махеу, во второй главе показано, что увеличение средней установившейся скорости частиц примеси происходит в потенциальном поле скоростей только при определенных соотношепих между параметрами движения, характеризующими инерционность частицы и характерный масштаб турбулентной среды.
В третьей главе исследуется механизм локализации примеси. Влияние турбулентности на распределение примеси представляет широкий практический интерес, например в задачах, связанных с метеорологическими [50], [89], [63], [71], [79]- [85], экологическими, океанографическими [66], [67], [70], а также производственными проблемами.
Среди возникающих явлений особое внимание в последних исследованиях уделяется таким эффектам, как перемежаемость и локализация. Локализация примеси состоит в образовании квазирегулярных сгустков, плотность которых превышает среднюю плотность примеси, распыленной в турбулентной среде. Локализация возникает, если V1 C ,0 ф 0, где d(l,t) -гидродинамическая составляющая скорости движения примеси. В диссертации дана вероятностная интерпретация процесса локализации, а также рассмотрен механизм локализации.
Цель работы. При проведении исследований, в дис сертационной работе были поставлены следующие цели:
1. Получить решение уравнений, родственных уравнению
Бюргерса, для концентрации пассивной и активной примеси. Проанализировать полученные решения на примемере моделирования процесса горения.
2. Вывести уравнение для совместной плотности вероятности распределения координат и скорости частиц примеси в турбулентной среде в приближении свободного падения. Сравнить полученные теоретические результаты с численными исследованиями, проведенными ранее Махеу и Csanady.
3. Провести анализ статистических характеристик координаты и скорости примеси в приближении свободного падения.
4. Получить уравнение для средней плотности сгустков в турбулентной среде и, применяя вероятностный подход, дать объяснение механизму локализации примеси.
Методы решения. При решении поставленных задач использовались методы решения дифференциальных уравнений [48], [49], преобразование Фурье, а также методы теории вероятностей и статистической радиофизики [38], [74], [65].
Научная новизна работы.
1. Получено решение уравнений, родственных уравнению Бюргерса для концентрации пассивной и активной примеси.
2. Выведено уравнение для совместной плотности вероятности распределения координат и скорости для примеси в нелинейной среде в приближении свободного падения. Дана теоретическая трактовка проведенных ранее численных экспере- ментальных исследований статистик координаты и скорости примеси в турбулентной среде.
3. В диффузионном приближении получен средний профиль плотности сгускои примеси в турбулентных средах. Дана
классификация возможных локализаций примеси в зависимости от степени дивергентности движения частиц примеси, исследован механизм ее локализации.
Практическая ценность.
Результаты, полученные в данной работе, могут быть использованы при решении экологических роблем, а также при моделировании метеорологических процессов.
Структура и объем работы.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем работы 134 страниц, включая 28 рисунков и список литературы из 93 наименования.
Апробация результатов работы.
Основные результаты работы докладывались на международном научном симпозиуме "Avila Seminar on Nonequilibrium Phenomena and Phase Transitions in Complex Systems" (Avila, Spain September 23 - 30, 2003 г.), На международной конференции "Взаимодействие звезд с их окружением", проходившей в Венгрии в 199G (Advanced spring school and workshop, The interaction of stars with their environment, Visegrad, 23-25 May 1996), на Форуме Европейского Геофизического Ощества 2002 г. (EGS General Assembly 2002 Nice, 4-15 апреля 2002), а также на научных конференциях по радиофизике ННГУ (1997-2003г).
Публикации. Основные результаты Диссертационная работы опубликованы в статьях [33], [44], [64].
Выражение для плотности в случае гауссова потенциала начального поля скоростей
Пусть потенциал начального поля скоростей задается равенством: где постоянный параметр S выберем равным единице, S -харак терный пространственный масштаб. Тогда (1.25) примет вид
Одномерный случай зависимости x(y,t) в момент времени t = 1 представлен на рис. 1.1. Из графика (1) видно, что существуют области неоднозначности функции координаты х(у). Для графика (3) x(y,t = 1) монотонно возрастает, из чего следует, что слипание частиц не наблюдается, т.к. при меньших значениях х частицы двигаются медленнее и не догоняют впереди идущие частицы потока. Далее, на графике (2) представлен промежуточный случай, когда возможно зарождение макрочастиц в областях неоднозначности х(у). В них более быстрые частицы догоняют идущие с меньшими скоростями, в следствие чего происходит слипание частиц с разными ла-гранжевыми координатами. Возникновение граничного значения х зависит как от момента времени t, так и от полуширины гауссовой кривой 5. Графики (1), (2) и (3) соответствуют полуширине кривой 6 = 0.5, 5 = 1 и S = 1.5 соответственно. Из рисунка видно, что чем уже кривая потенциала скорости (чем меньше 5), тем больше разброс скоростей и, следовательно, тем шире область неоднозначности функции x(yyt = 1), тем большее число частиц с различными лагранжевыми координатами участвует в образовании макрочастиц. Исследование показало, что существует граничное значение полуширины кривой, в данном случае для t = 1 оно равно 5 = 1, такое, что при значениях, меньших 5 частицы с прочими равными параметрами движутся в потоке раздельно.
Определим размер области многопотокового движения частиц как Рассмотрим рис. 1.2. Из графика видно, что это расстояние между соседними точками локального минимума и максимума. Физически это означает, что частицы с различными лагранжевыми координатами оказываются в одной точке х, лежащей в границах х\ х х\, и суммарная плотность в этой точке равна массе образовавшейся макрочастицы.
Найдем выражение для плотности. Для этого подставим (1.27) в (1.23) и, воспользовавшись следующим свойством дельта-функции [38] Графики зависимости плотности от координаты х для различных значений полуширины распределения скорости представлены на рис.1.3 для 6 — 0.5, (верхний график), 5=1 (средний график), 8 = 1.5 (нижний график). По вертикали отложена координата ж, а по горизонтали значение у и плотность р(х, t). На рисунках видно, что в случае неоднозначности х(у, t) плотность устремляется в бесконечность, если же x(y,t) строго монотонно возрастает, как например изображено на нижнем графике, то плотность представлена гладкой функцией. Кроме того, в окрестности областей с максимальным значением плотности имеются области, где плотность достигает своего минимума. Это можно объяснить тем, что частицы примеси из этой области к данному моменту времени переместились в макрочастицы, а частицы из других областей еще не успели занять образовавшиеся "пустоты". Рассмотрим поток слипающихся частиц и опишем поле концентрации и скорости в текущий момент времени t 0 в де- картовой системе координат Здесь у -начальная координата частицы, v(y,t) -скорость отдельно взятой частицы в момент времени t с лагранжевой координатой у. Тогда концентрация частиц будет определяться следующим выражением: Здесь co(f)- начальная концентрация, a , t) -начальная координата частицы, попавшей в точку х. Учтем броуновское движение для описания координат движения частицы. Вид уравнения, которому она подчиняется, следующий где {і) - белый шум, и (л, t) - поле скоростей окружающей среды. В этом случае концентрация с( х , t) и плотность частицы p(x,t) становятся случайными и средняя концентрация для (1.30) определяется следующим равенством Нетрудно показать, что средняя концентрация (1.32) подчиняется обратному уравнению Колмогорова здесь (і - коэффициент диффузии примеси. В некоторых астрофизических задачах, таких например, как крупномасштабное распределение вещества во Вселенной, можно применить модель газа без давления и при значениях v — 0 и // —У О коэффициенты диффузии и вязкости можно считать равными. Тогда уравнение (1.33), как было показано в [39], решается следующей подстановкой где b(x,t)- решение уравнения (1.12), a(x,t)- удовлетворяет решение которого следующее: Поле (1.34) описывает поведение пассивной примеси в бюр-герсовом поле скоростей. В тоже время важно отметить, что уравнение (1.33) имеет широкое применение. Как известно, большой класс задач, описываемых подобными уравнениями, подразумевает как наличие источников примеси, так и влияние ее на возмущенную среду. Это касается не только астрофизических проблем (см. например [40]), но также и прикладных задач, таких как передаточное движение (моделирование транспортных потоков) [41] или исследование управляемых полимеров в случайных средах [42].
Решение линейной неоднородной системы уравнений диффузии
Параметр а определяет взаимодействие между химической реакцией и диффузией. Графики зависимости значения концентрации от / при различных г и а представлены на рисунках 1.7-1.8. На рисунке 1.8 видно, что на начальном этапе до т\ = 0.05 примесь, имеющая в начальный момент времени гауссово распределение, начинает "стягиваться"в начало координат (точку максимума начального рапределения). Это приводит к "взрыву", когда концентрация примеси в центральной точке распределения устремляется в бесконечность, и далее появляется несколько областей наибольшей концентрации, которые "разбегаются"от ценра. Однако, в момент времени Т2 = 1.25 центробежные процессы меняются опять на центростремительные. Примесь начинает стягиваться в начало координат, и в момент времени тз = 2.25 возникает новый взрыв, который приводит снова к гауссовому распределению концентрации. Интересно отметить, что такой "пульсирующий"процесс распределения концентрации наблюдается только при определенном сочетании параметров. В остальных случаях второй взрыв и второе "втягивание"примеси отсутствуют, как, например, на рис. 1.7 после первого "взрыва"области высокой концентрации примеси продолжают центробежное движение. Разность времен 5т\ = Т2 — т\ и ёт2 = тз — Т2 зависят от коэффициента а. Чем больше а, тем больше 5тг-, то есть чем сильнее примесь оказывает влияние на окружающую нелинейную среду и чем меньше ее диффузия и больше относительный масштаб ее начального распределения, тем на более длительный срок отодвигается момент "взрыва". Кроме того, интересно отметить тот факт, что существует критическое значение максимума начального распределения Cjt при неизменных прочих параметрах. Если максимум принимает значение больше критического, то образование областей с высокой концентрацией после "взрыва"не происходит.
Численное исследование зависимости момента первого и второго взрыва от о показали, что в случае, когда 0 а 1 с момента времени t = О стягивание примеси в точку максимума начального распределения не наблюдается. В случае, когда 1 а 2.598 происходит процесс втягивания примеси в область наибольшей ее концентрации, и при t\, прямо пропорциональном сг, процесс начинает идти в обратном направлении. При этом восстанавливается первоначальное гауссово распределение. При а « 2.598 наступает критический момент, когда примесь стягивается почти в одну точку, но взрыва, в результате которого меняется вид распределения, не происходит. При о 2.598 вид функции плотности существенно меняется, начинается центробежный процесс максимумов распределения. Далее, при некотором t центробежные процессы опять меняются на центростремительные и при Ц происходит второй взрыв, приводящий к восстановлению гауссова распределения.
Интересно отметить, что с ростом о растут значения V и t%. Такая закономерность наблюдается до значений о « 20, далее Щ пропадает, т.е. второго взрыва не происходит.
В процессе исследований, проведенных в данной главе, получены следующие результаты 1) Найдено выражение для концентрации пассивной и активной примеси в бюргерсовом поле скоростей для некоторых возможных соотношений между постоянными параметрами диффузии примеси, химического взаимодействия се с окружающей средой и источника примеси. При этом было сделано предположение, что коэффициенты вязкости и диффузии малы и имеют одинаковое значение. 2) Рассмотрена модель процесса горения на базе полученных решений. Проанализированы возможные варианты течения данного процесса при различных соотношениях параметров. Результаты представлены в виде графиков. В данной главе проводится исследование диффузии падающей частицы в несжимаемой и сжимаемой турбулентных средах с учетом действия внешней постоянно действующей силы на примере силы гравитации и силы Стокса. Выявлен физический эффект, состоящий в том, что хотя дисперсия скорости частиц уменьшается с ростом инерционности их движения, коэффициенты диффузии практически не зависят от инерционности, а лишь от скорости свободного падения. Показано, что в несжимаемой среде с увеличением скорости падения отношение коэффициентов поперечной и продольной диффузии плавно уменьшается до 1/2. Анализ диффузии частиц примеси в турбулентной среде важен для решения некоторых технических задач, например анализа впрыскивания топлива в двигатель внутреннего сгорания, а также решения экологических и метеорологических проблем, таких как формирование облаков, а также поведение аэрозолей. Довольно часто, например в работах [50]- [60], при рассмотрении движения примеси считают, что скорость ее равна скорости окружающей среды. Однако, в реальных ситуациях значительную роль играют эффекты, связанные с инерционностью движения частиц и силой тяжести. Например, аэрозоль или капли дождя в атмосфере, обладающие инерционностью, могут повлиять на законы турбулентной диффузии. Так в [61] численным моделированием показано, что средняя скорость частиц в турбулентной среде больше скорости падения в покоящейся среде, а в [51] отмечено, что вертикальный коэффициент турбулентной диффузии может в два раза превышать коэффициент диффузии в горизонтальной плоскости, что более точно исследовано в [64].
Общий случай потенциального и соленоидального поля
Заметим, что в обсуждаемом случае вихревого поля скорости ur(x,t) продольная и поперечная компоненты корреляционного тензора связаны соотношением Кармана [62]
Выберем в качестве продольного направления - направление вектора ускорения свободного падения и введем следующие обозначения для коэффициентов D и а2 в уравнении для плотности вероятностей в данном направлении - D\\ и а?,. Аналогичные коэффициенты для уравнения плотности вероятностей в перпендикулярной к этому направлению плоскости обозначим как D± и о\. В случае приближения свободного падения, когда средняя скорость частицы установилась, получим следующие выражения для введенных коэффициентов % AL, О\, О\.Исследование равенства (2.16) показало, что для среднего отклонения скорости имеет место тождество
Кроме того при достаточно большом t плотность распределения скорости частицы в продольном направлении, для вихревого ноля стремится к своему стационарному значению, что позволяет избавиться от производной по времени и по координате в уравнении (2.24). Несложные преобразования сводят его к следующему решение которого имеет вид Отсюда видно, что crfj2 имеет смысл дисперсии скорости частицы. Введенная ранее величина D имеет смысл коэффициента диффузии. Покажем это. Для чего домножим уравнение (2.24) на у2 и получим уравнение для (у2) Здесь D - коэффициент пропорциональности, имеющий смысл коэффициента диффузии. Для численного исследования дисперсии скорости и коэффициента диффузии частиц выберем продольную компоненту корреляционного тензора в виде функции Гаусса: Подстановка в (2.27) соотношения (2.31) приводит нас к следующим выражениям для продольных и поперечных коэффициентов вихревого ПОЛЯ - безразмерные параметры, /„ - характерный пространственный масштаб, а ти - характерный временной масштаб пульсаций турбулентного ноля скоростей. Вид функций Ф(7 с) и Ф(7, є) определяется равенствами:
(2.35) Исследования продольного и поперечного коэффициентов диффузии в [G4] показали, что они не зависят от є, а также что с ростом 7 их отношение стремится к 1/2. Результаты представлены на рис. 2.1. Что касается продольной дисперсии, то из рисунка 2.2 видно, что она стремится к дисперсии скорости окружающей среды с ростом є. То есть, чем легче частица, тем больше ее движение определяется движением окружающей среды. Кроме того с ростом б отношение продольной и поперечной дисперсии стремится к единице, что хорошо видно из графика на рис. 2.3. Совершенно обратный эффект наблюдается в случае зависимости отношения дисперсий от параметра 7, что видно из рис. 2.4. Продольная дисперсия в этом случае спадает медленнее поперечной.
Стационарная средняя плотность
Использованное в работе приближение свободного падения справедливо, если можно пренебречь зависимостью коэффициентов (2.27) от W0. Оценим когда это можно сделать, применительно к тензору диффузии Dij. Характерная величина W0 определяется эффективной шириной распределения Максвелла (2.38): W 7ц. Кроме того будем считать 7 достаточно большим, так что эффективный интервал интегрирования в выражении для D (2.27) равен т тп/у. Тогда зависимостью D (2.27) от W0 можно пренебречь, если В частности, при 7 это условие сводится к неравенству , заведомо выполняющемуся при больших значениях у.
На основании исследований приведенных в данной главе были получены следующие результаты: 1) Выведено уравнение для плотности вероятности координаты и скорости частицы, падающей в турбулентной среде. 2) Найдено его решение в случае соленоидалыюго и потенциального полей скорости среды. 3) Получены законы зависимости продольной и поперечной диффузии от скорости падения. Было показано, что отношение поперечной к продольной диффузии стремится к 1/2 с ростом скорости падения, а также диффузия примеси не зависит от инерционности частицы. 4) Получено выражение для отклонения скорости от установившейся средней скорости падения частицы в случае потенциального поля скоростей. Показано, что скорость падения частицы увеличивается за счет сжимаемости среды.
Влияние турбулентности на распределение примеси представляет широкий практический интерес. Спектр связанных с этим проблем охватывает метеорологию [50], [89], [G3], [71], [79]- [85], океанографию [66], [67], [70] и т.д.. Среди возникающих при движении примеси явлений особое внимание в последних исследованиях уделяется таким эффектам, как перемежаемость и локализация. Несмотря на общую причину возникновения (наличие турбулентности), у них можно выделить следующие отличия. Под перемежаемостью часто подразумевают два эффекта. Первый из которых, как известно, играет важную роль в поведении турбулентных течений на границе с ламинарными потоками [72]. Пограничный слой становится сильно нерегулярным, пульсирующим. В фиксированной точке пространства на границе будут наблюдаться попеременно периоды наличия или отсутствия мелкомасштабной турбулентности. Второй эффект, как показали П.А. Либби и Ф.А. Вильяме в [73], возникает если, например, ввести в иоток воздуха струю инородного газа, тогда вскоре возникают области с высокой концентрацией примеси введенного газа, в тех областях, где плотность примеси стремится к своему минимальному значению єд (д- graund), введенный газ вытесняется воздухом. Для описания распределения плотности используют функцию перемежаемости, ее вид следующий:
Математически перемежаемость часто описывают как среднее значение функции I(x,t), и представляет из себя долю времени, в течение которого поток в данной точке является турбулентным. Другое, не менее интересное явление, - локализация примеси. Оно состоит в образовании квазирегулярных сгустков, плотность которых превышает среднюю плотность примеси, распыленной в самой нелинейной среде. Локализация возникает, если VI/(х, І) ф 0, где иод !&( х , t) подразумевается гидродинамическая составляющая скорости движения примеси. Заметим, что сжимаемость движения частиц может быть вызвана их инерционностью [61].
Прежде чем обсуждать явление локализации, рассмотрим связь между лагранжевой и эйлеровой статистиками. Для физических задач это важно, так как в некоторых случаях экспериментально можно измерить только один тип статистических свойств, при необходимости исследовать другой. Подробно этот вопрос рассматривался в работах [74],[36]. Остановимся только на некоторых моментах вывода этой связи. Пусть в начальный момент времени t = 0 частица имела начальные координаты у, а движение ее в эйлеровой системе описывается вектором х = X(y,t), который удовлетворяет следующей системе уравнений
Похожие диссертации на Вероятностные свойства примеси в нелинейных и турбулентных средах
