Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор литературы, посвященной спиновым стеклам. Модели, методы 9
1.1 Несколько общих слов 9
1.2 Модель Шеррингтона Киркпатрика и основные методы, используемые в данной работе 10
1.3 Модель изинговского стекла с р- спиновым взаимо действием. Дискретный и сферический случаи 18
2 Отражательная симметрия в реплико-симметричных спиновых стеклах 29
3 Модель квадрупольного стекла 37
4 Модель стекла Поттса 54
4.1 Обзор литературы. Результаты, гипотезы, проблемы. 54
4.2 Новый подход к модели Поттса с р = 3 59
4.3 Модель стекла Поттса с р = 4 67
5 Сферическая модель Поттса с тремя состояниями .
Точное решение 79
Заключение 88
Приложение 91
- Модель Шеррингтона Киркпатрика и основные методы, используемые в данной работе
- Модель изинговского стекла с р- спиновым взаимо действием. Дискретный и сферический случаи
- Отражательная симметрия в реплико-симметричных спиновых стеклах
- Новый подход к модели Поттса с р = 3
Введение к работе
Актуальность темы. Спиновые стекла в последние тридцать лет являются источником идей и методик расчета, ставших основой для теории "сложных систем", которая находит свое приложение не только в физике аморфных материалов, но и в задачах оптимизации в вычислительной технике, а также в биологии, социологии, экономике и финансах. Поведение таких систем не может быть реконструировано, опираясь на анализ только одной из составляющих "компонент", здесь необходим подход, включающий в себя коллективное поведение всей системы. Одной из характерных черт такой системы является существование большого числа устойчивых и метастабильных состояний, или, другими словами, большого числа ее возможных реализаций.
Модели в приближении среднего поля, несмотря на свою простоту, играют большую роль в понимании механизмов, которые приводят к такой сложной структуре, а также породили новые теории, такие как нарушение репличной симметрии и ультраме-тричную структуру состояний [1, 2].
В последнее время снова возрос интерес к неизинговым спиновым стеклам с нарушенной отражательной симметрией, теорию которых связывают с теорией реальных структурных стекол. На сегодняшний день удовлетворительной микроскопической модели перехода жидкость-стекло не существует, несмотря на огромное количество данных реальных и компьютерных экспериментов, а также ряд феноменологических теорий.
Когда говорят о связи теории спиновых стекол с теорией реальных структурных стекол, обычно подразумевают два аспекта. Во-первых, теория переходов в определенном классе спиновых сте-
кол рассматривается как дающая возможный сценарий стеклования в реальных многочастичных системах (см., например, [3]-[5]). Во-вторых, существует ряд попыток создать модельную теорию перехода жидкость-стекло в системах частиц с центральным взаимодействием [6]-[8], используя методы теории спиновых стекол.
В действительности существует и третий аспект указанной связи: развиваются подходы, в которых переход в мультипольное стекло возникает как составная часть перехода жидкость-стекло [9, 10]; причем в сценариях разных авторов физический смысл упорядочивающихся переменных различен. Рассматриваемая в настоящей работе задача может быть полезна в связи с первым и третьим аспектами.
Как показали работы последних лет, экспериментально наблюдаемые характеристики релаксационных процессов в реальных стеклах достаточно хорошо описываются уравнениями теории взаимодействующих мод [11]. Подобные уравнения получаются и в результате исследования динамики спиновых стекол. Наиболее близким по сценарию к реальным стеклам (на что впервые было указано в работах [12]) является класс спиновых стекол с отсутствием отражательной симметрии, в которых "статический" переход (нарушение репличной симметрии - НРС) сопровождается скачком параметра порядка при температуре Тс, причем решение, возникающее в результате первого этапа НРС (1НРС), оказывается устойчивым, а полная схема Паризи не работает. Динамический переход в этих моделях происходит при температуре Trf > Те. В результате этого динамического перехода система оказывается "пойманной" в состоянии, менее энергетически выгодном, чем достигаемое в результате НРС, и остается в нем надолго. К таким моделям (являющимся как бы прототипом реального стекла) относятся, в частности, р-спиновая модель, ориентационные стекла, модель Поттса с беспорядком и др. Некоторые из этих моделей (особенно /ьспиновая сферическая модель) были подробно исследованы уже в середине 90-х годов [3]. Исследование других активно ведется и в настоящее время [13]—[16].
Хотелось бы отметить, что в литературе, касающейся средне-
полевых моделей, считается, что переход из парамагнитной фазы в фазу спинового стекла происходит по одному из двух сценариев. Первый сценарий описывается решением с бесконечным НРС, характеризующимся непрерывным параметром порядка [17], который появляется при переходе и непрерывно возрастает от нуля. Самым известным примером такого поведения является модель Шеррингтона-Киркпатрика. [18]. Во втором сценарии, первоначально предложенном Дерридой в модели со случайной энергией (Random Energy Model) [19], фаза спинового стекла характеризуется устойчивым решением с одним этапом НРС. В таких моделях отсутствует отражательная симметрия, а параметр порядка либо непрерывно возрастет от нуля, либо изменяется скачком. Примером ШРС решения с непрерывным параметром порядка принято считать модель Поттса с тремя и четырьмя состояниями [20], а также сферическую р-спиновую модель в сильном магнитном поле [21]. Примерами ШРС решения с параметром порядка, изменяющимся скачком, - модель Поттса с пятью и более состояниями [20], сферическую р-спиновую модель в слабом магнитном поле [21].
В данной работе мы будем исследовать модели с отсутствием отражательной симметрии, которые, как уже говорилось, наиболее близки к реальным стеклам.
Цель работы. Задачей диссертации является теоретическое исследование моделей с квадрупольным взаимодействием, как аксиальным, так и неаксиальным. Основной акцент делается на следующие аспекты:
Влияние отражательной симметрии на то, каким образом возникает реплико-симметричное решение в фазе спинового стекла.
Разработка нового подхода к моделям Поттса с тремя и четырьмя состояниями, используя операторы квадрупольного момента. Этот подход должен, с одной стороны, приводить к модели эквивалентной модели Поттса, с другой стороны, позволить более полно и точно исследовать эти модели.
Построение решения с одним этапом НРС для моделей с раз
личным квадрупольным взаимодействием и исследование устой
чивости этих решений.
Практическая ценность и научная новизна работы. Исследуемые в диссертации модели спиновых стекол являются прототипом реальных стекол, описание переходов в них - прототипом перехода жидкость - стекло. Как уже отмечалось, последовательной теории перехода жидкость-стекло в настоящее время не существует. Полученные в настоящей работе новые результаты могут быть использованы при построении такой теории. Перечислим эти результаты.
Сформулировано правило симметрии для характера появления стекольного порядка для моделей спинового стекла в случае симметричных реплик в приближении среднего поля, связанное с наличием или отсутствием кубических членов в разложении свободной энергии Гинзбурга-Ландау.
Рассмотрено поведение модели с аксиальным квадрупольным взаимодействием вблизи точки неустойчивости ее реплико-симметричного решения и показано, что вблизи этой точки существует более выгодное решение, соответствующее первому этапу нарушения репличной симметрии. Существенно, что несмотря на отсутствие отражательной симметрии, 1НРС решение ответвляется от PC решения непрерывным образом.
Развит теоретический подход для описания стекла Поттса с тремя состояниями, опирающийся на изотропный случай ква-друпольной системы с неаксиальным взаимодействием. Впервые показано, что ШРС решение перестает быть устойчивым при некоторой температуре, и тем самым подтверждена гипотеза Гросса, Кантера, Сомполинского [20].
Предложен новый подход для описания модели Поттса с четырьмя состояниями, в основу которого легли матрицы аналогичные матрицам квадрупольного момента.
Впервые была предложена и решена новая точно решаемая модель - сферическая модель Поттса с тремя состояниями.
Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем составляет 98 страниц.
Первая глава представляет собой обзор литературы по теории спинового стекла. Из большого числа теоретических работ по спиновому стеклу в обзоре представлена та часть из них, которая имеет непосредственное отношение к настоящей работе. В первой части обзора дано определение спинового стекла, приведена фазовая диаграмма магнитного диэлектрика, в котором экспериментально наблюдалось состояние спинового стекла. Описаны характерные признаки магнитного фазового перехода в это состояние. Во второй части главы на рассмотрена модель Шеррингтона-Киркпатрика [18] с бесконечным дальнодействием. На ее примере введены основные методы, используемые в данной работе: метод реплик, исследование устойчивости решения, нарушение реплич-ной симметрии. Отмечены недостатки этой модели, такие как, неустойчивость решения и при низких температурах отрицательное значение энтропии. В третье части главы кратко рассмотрена р-спиновая модель стекла Изинга, как ее дискретный, так и сферический варианты.
Во второй главе обсуждается влияние отражательной симметрии на то, каким образом возникает реплико-симметричное решение. Рассмотрена модель, основанная на матрицах квадрупольно-го момента с регулировочным параметром. Для этой модели представлен гамильтониан Гинзбурга-Ландау. Применяя метод реплик, получены выражения для свободной энергии и параметров порядка. Из них видно, что при определенном значении регулировочного параметра поведение системы принципиально меняется. Рассмотрен как регулярный случай, так и случай со случайным взаимодействием. Для случая со случайным взаимодействием получено высокотемпературное разложение параметров порядка и
выражение для теплоемкости. Сформулировано своего рода правило симметрии для характера появления стекольного порядка для моделей спинового стекла в случае симметричных реплик в приближении среднего поля. Это правило связано с наличием или отсутствием кубических членов в разложении свободной энергии Гинзбурга-Ландау.
В третьей главе рассмотрена модель системы аксиальных ква-друполей со случайным взаимодействием. В начале главы коротко описаны экспериментальные работы по квадрупольному стеклу. Описан подход, предложенный Тареевой, Рыжовым и Лучинской [44] для такой модели и полученное для нее реплико-симметричное решение. Далее в главе этот развивается. Получены выражения для свободной энергии и параметров порядка для первого этапа нарушения репличной симметрии. Найдена точка ветвления, в которой решение с 1НРС непрерывно ответвляется от PC решения, несмотря на отсутствие отражательной симметрии в этой модели. Показано, что полученное ШРС решение устойчиво в окрестности точки ветвления относительно дальнейшего нарушения симметрии.
В четвертой главе развит теоретический подход для описания стекла Поттса, опирающийся на изотропный случай квадруполь-ной системы с неаксиальным взаимодействием. В первой части главы представлено состояние дел в теории стекла Поттса на данный момент. Во второй части с помощью матриц квадрупольно-го момента построен гамильтониан для модели Поттса с тремя состояниям и он эквивалентен стандартному представлению. В рамках первого этапа нарушения репличной симметрии получены выражения для свободной энергии и параметров порядка. Исследована устойчивость полученного решения на всем интервале температур. Показано, что при некоторой температуре решение перестает быть устойчивым относительно дальнейшего нарушения симметрии, тем самым подтверждая гипотезу Гросса, Кантера и Сомполинского [20]. При этом полученная температура выше температуры, при которой энтропия становится отрицательной, и наше решение не выходит из физической области. В третьей части
главы предложен аналогичный подход к модели Поттса с четырьмя состояниями. Получены выражения для свободной энергии и параметров порядка для PC случая и 1НРС. Из разложения параметров порядка для 1НРС найдена точка ветвления и показано, что параметр Паризи, характеризующий деление на группы в НРС, в ней достигает своего максимального значения.
В пятой главе рассмотрена сферическая модель Поттса с тремя состояниями, опираясь на ее представление с помощью операторов квадрупольного момента. Эта модель точно решается, используя свойства больших случайных матриц. Далее к модели применяется реплико-симметричный подход и получаемое решение совпадет с точным. В чистой модели Поттса с тремя состояниями, использование непрерывных переменных (со сферическими условиями) превращает фазовый переход первого рода в фазовый переход второго рода, восстанавливая, таким образом, отражательную симметрию.
В Заключении приводятся основные положения, выносимые на защиту.
В Приложении приведены некоторые слагаемые из разложения свободной энергии около точки ветвления (к Главе 3).
Основные результаты диссертации изложены в статьях [22] -[25].
Модель Шеррингтона Киркпатрика и основные методы, используемые в данной работе
Первая попытка теоретического описания нового типа упорядочивания и выявления адекватного параметра порядка была предпринята в 1975 году Эдвардсом и Андерсоном [29], но до сих пор описание теоретических свойств спиновых и других мультиполь-ных стекол далеко до завершения.
Одной из основополагающих моделей в теории спиновых считается модель Шеррингтона и Киркпатрика [18] (ШК), на примере которой мы рассмотрим применяющиеся в данной диссертации методы. В статье [18] авторы рассмотрели модель Изинга с бесконечным взаимодействием, где беспорядок замещения по узлам для спиновых стекол заменен беспорядком по связям. В этой работе была рассмотрена система N спинов с гамильтонианом: Я = -І ЗД, Si = ±l, (1.1) константы связи Зц бесконечного радиуса действия распределены с вероятностью: P(Jij) = ( 2 /)-1 exp[-( ,- - Jo)2/2J2}, причем JQ И J нормированы таким образом /0 = J0/N, J = J/N1/2, что Jo и J являются интенсивными величинами.
Поскольку беспорядок по примесям в системе заморожен, то необходимо производить усреднение термодинамических величин по конфигурациям беспорядка. Это означает, что мы должны усреднять свободную энергию F, а не статистическую сумму Z: (F)j = -kT(\nZ)Jy где (.. .)j - среднее по конфигурациям. В работе [29] для преодоления этой проблемы был предложен метод реплик, который состоит в замене: Zn — 1 lnZ = lim , (1.2) а для целых п Zn может быть выражена как zn = П za. а=1 Набор а = 1... п рассматривается как идентичные копии (реплики) реальной системы. В неупорядоченной системе Za представляет собой функцию беспорядка, и все реплики с имеют одинаковый беспорядок, но не взаимодействуют друг с другом. Поэтому усреднение свободной энергии по беспорядку приводит к усреднению по нему Zn. Для случая целых п усреднение Zn приводит к эффективному взаимодействию между репликами и, таким образом, к эффективной чистой системе с взаимодействием более высокого порядка по спинам, чем в реальной случайной системе.
Отличный от нуля параметр q указывает на стекольный магнитный порядок, а если т ф О, то присутствует порядок ферромагнитный. Состояние, в котором т = О, a q ф 0 является чисто спиновым стеклом.
Фазовая диаграмма из работы [18] представлена на Рис.3. Все фазовые переходы на ней второго рода. Переход от парамагнетика к упорядоченному магнитному состояния происходит при температуре равной наибольшему из JQJU И J/к, упорядоченная фаза является ферромагнитной при JQ J, в противоположном случае это - спиновое стекло. При наличие конечного внешнего ПОЛЯ Н четкие фазовые переходы пропадают, что дает возможность q и га не быть равными нулю при любых температурах. Поведение тп (Т) и 51/2, полученное численным решением (1.7)-(1.8) изображено на Рис. 4 а.
Характерными признаками магнитного фазового перехода в состояние спинового стекла в постоянном внешнем магнитном поле Н являются: возникновение при Т Tf и малых Н намагниченности т и ее рост при понижении температуры вплоть до Tf- линейный ход магнитной составляющей теплоемкости С при низких Т и и отсутствии особенности С при Т = Tf t отсутствие брэгговских пиков в магнитном рассеяние нейтронов и т.д.
Неравновесность состояния спинового стекла определяет зависимость его физических параметров от времени, магнитной и термической предыстории данного образца. Ярким примером этого являются эксперименты по изучению магнитной восприимчивости (Рис. 2). Если охлаждение образца ниже Tf происходило в отсутствии магнитного поля, а далее температура повышалась в поле, то при Т = Т/ наблюдался резкий излом (XZFC)I С увеличением поля при охлаждении излом быстро размывался, превращаясь в гладкий максимум (XFC) Единообразие свойств столь различных материалов определяется наличием двух определяющих элементов - беспорядка и фрустрации. Под фрустрацией понимают свойство данной конфигурации взаимодействий, состоящее в невозможности минимизировать энергии всех связей системы ни одним из возможных наборов значений динамических переменных.
Модель изинговского стекла с р- спиновым взаимо действием. Дискретный и сферический случаи
Как уже отмечалось во Введении, в литературе считается, что переход из парамагнитной фазы в фазу спинового стекла происходит по одному из двух сценариев. Первый случай характеризуется параметром порядка с бесконечной НРС, а второй случай - решением с одним шагом НРС. В свою очередь, во втором случае параметр порядка может появляться скачком или непрерывно возрастать от нуля.
Для конечного числа состояний р 2 ситуация выглядит заметно сложнее. Сначала эта модель была рассмотрена Гарднер в отсутствии внешнего поля [32]. Переход из неупорядоченной фазы в частично замороженную фазу характеризуется параметром порядка в виде ступеньки со значениями нуль и q\ 1. При помощи теории возмущения было показано, что при некоторой более низкой температуре решение перестает быть устойчивым и происходит второй фазовый переход, который уже характеризуется параметром порядка с бесконечным НРС. Насколько нам известно, это единственная работа, где был установлен фазовый переход из 1НРС в фазу с бесконечным НРС.
Позже была изучена р-спиновая модель в присутствии внешнего поля [33]. Авторы исследовали поведения параметров порядка стекла при переходе из PC фазы в 1НРС фазу в зависимости от величины h, численно решив аналитические выражения для этих параметров. На Рис. 7 и Рис. 8 поведение параметров в зависимости от температуры для h = 0.5 и 1 при р = 3. Величина скачка для параметра q\ уменьшается с ростом h и исчезает при h hr « 0.57. Заметим, что пока параметр порядка стекла q\ появляется скачком, параметр га. характеризующий за разбиение реплик на группы, при переходе достигает своего максимального значения, равного 1. Когда же q\ непрерывно возрастает от нуля, т принимает значение тс 1, значение которого зависит от Г и р. Устойчивость полученных решений в этой статье исследована не была.
В работе [21] рассматривается сферический вариант р-спиновой модели изинговского стекла во внешнем магнитном поле. Вместо изинговских спинов S = ±1 используются N непрерывных спинов и», связанных сферическим условием: В сферической модели ШК (р = 2) фаза с бесконечным НРС отсутствует. Для любого р 2 при низких температурах существует фаза 1НРС, которая устойчива по температуре до нуля. Как и в дискретной модели, переход из PC фазы в 1НРС фазу происходит либо скачкообразно, либо непрерывно, в зависимости от величины внешнего поля.
Отражательная симметрия играет важную роль в фазовых переходах в неслучайных среднеполевых моделях (см., например, [34]). Наличие членов, характеризующих отсутствие отражательной симметрии, приводит к переходу первого рода, а отсутствие - к переходу второго рода. Обычно этот результат получают в рамках феноменологического подхода, основанного на гамильтониане Гинзбурга - Ландау, который можно получить из любого гамильтониан с помощью тождества Хаббарда - Стратановича.
При изучении систем со случайным взаимодействием в приближении среднего поля роль кубических членов обычно рассматривается в связи с решением уравнений для параметров порядка стекла с нарушенной репличной симметрией (НРС). Отсутствие отражательной симметрии приводит к появлению кубического члена в гамильтониане Гинзбурга - Ландау для регулярной системы. Это так же приводит к особому виду функционала НРС свободной энергии. В этом случае наблюдается нарушение непрерывности в поведении параметра порядка, устойчивость решения с первым этапом нарушения репличной симметрии и другие особенности (см., например, [36, 12, 37]) В этой главе мы рассматриваем случай симметричных реплик. Мы рассматриваем роль отражательной симметрии в поведении реплико-симметричного (PC) решения для систем подобных спиновым стеклам в приближении среднего поля и формулируем своего рода правило симметрии для характера появления параметра стекла. Если в чистой системе переход к упорядоченной фазе является переходом второго рода, то в соответствующей неупорядоченной системе реплико-симметричное стекольный порядок появляется в следствии фазового перехода. Но если переход в чистой системе - первого рода, то в случайной системе параметр порядка стекла возрастает непрерывно при понижении температуры. На тот факт, что беспорядок размывает переход первого рода указывали и некоторые другие авторы [39] -[42]. Мы рассмотрим этот вопрос детально аналитическим путем. Можно предположить, что как фазовый переход первого рода в чистой системе, так постепенное нарастание параметра порядка в неупорядоченной системе, вызвано своего рода внутренними полями, связанными с алгеброй операторов. В таком случае, этот случай можно считать аналогичным модели Шеррингтона - Кир-кпатрика во внешнем поле.
Отражательная симметрия в реплико-симметричных спиновых стеклах
Используя эти равенства и выражения для гамильтониана Гинзбурга - Ландау (2.5), можно показать, что поведение рассматриваемой системы принципиально различается для случаев rj = l/v3 и rj ф 1/\/3 Сначала рассмотрим регулярный случай без беспорядка (J = О, JQ ф 0). В этом случае q = гп2у нетривиальное решение повляет-ся при кТ//JQ. Разложив около Тсг по г, т = kTcr/J — kT/fJo, получим следующее выражение для га: га = у\/ь if 3?72 = 1; 8г(1+г/2)3 2 ш = - 3,2-1 lf3 L В случае 7/ = 1/\/3 мы имеем переход второго рода, так же как и для ферромагнетика со спином равным единице. Если же З//2 —1 ф 0, то у нас наблюдается переход первого рода, аналогичный переходу в модели ориентационного квадрупольного упорядочения (77 = 0) в о — Щ или р — 2 (см. [35, 50]). Уравнение для параметра порядка га (2.6) для регулярного случая можно переписать следующим образом: Ф(у, А) = {у - 4А) ехр(Зт//2) + 2у + 4А = 0 (2.9) где / = —2mjQ/kT, A = Jo/kT. Точки ветвления Aj для Ф(г/, А) [50] получены из условия ( ) =0. В нашем случае: Ai = 1/2; г/! =0;га(1) =0; Л2 = 1/2.18; у2 = 0.7; m(2) = -0.8.
Решения могут быть получены из разложения (2.9) по степеням т = А — А,- и = у — уі. Поскольку TrQ3 ф 0, то в окрестности Ту = Jo/kXi т. Однако в окрестности точки поворота Т2 = 1.09ХІ , у нас у/т. Резкий фазовый переход со скачком га происходит между температурами Ті6 и Т26. Точка перехода определяется из сравнения свободных энергий.
Если rj = 1/\/3, то гамильтониан (2.1) становится аналогичным гамильтониану для спинового стекла с S = 1. При Т Тс существует тривиальное решение q = 0. Решение q ф 0 появляется в точке кТсь/J « 3.2 (для m = 0) [48], и как видно из рисунка 2, на кривой теплоемкости появляется излом в этой точке. В случае а ф 0 тривиального решения уравнения (2.11) не существует, а q, р и mi непрерывно возрастают при понижении температуры. Эта ситуация аналогична квадрупольному стеклу с внутренними полями. Очевидно, что отсутствие нулевого решения для параметра порядка стекла при высоких температурах связано с отсутствием отражательной симметрии. На рисунках для различных случаев представлено поведение параметров порядка и теплоемкости. &iV d{kT/J)\\kT) 2 J J7 ld(kT/J) K J Итак, в этой главе мы сформулировали своего рода правило симметрии для характера появления стекольного порядка для моделей спинового стекла в случае симметричных реплик в приближении среднего поля. Это правило связано с наличием или отсутствием кубических членов в разложении свободной энергии Гинзбурга-Ландау. Если в чистой системе переход к упорядоченной фазе является переходом второго рода (нет члена і 3), то в соответствующей неупорядоченной системе реплико-симметричное стекольный порядок появляется вследствие фазового перехода. Но если переход в чистой системе — первого рода (присутствует член фъ), то в случайной системе параметр порядка стекла возрастает непрерывно при понижении температуры. Переход в неэр-годичную низкотемпературную фазу ассоциируется с нарушением репличной симметрии. 0.5 0.0
Термин " квадрупольное стекло" был введен Салливаном и др. [54] для низкотемпературной фазы твердой смеси орто-, параводорода. Экспериментально установлено, что когда концентрация х молекул о — Н-2 становится выше 0,55, происходит фазовый переход I рода из ориентационно неупорядоченной фазы в ориентационно упорядоченную фазу с дальним порядком, подобно антиферромагнитному упорядочению в спиновых системах. Этот переход сопровождается структурным переход из ГПУ в ГЦК решетку. При более низкой концентрации такой переход отсутствует, а спектр ядерного магнитного резонанса аномально уширяется. Поскольку форма линии поглощения ЯМР сигнала, которая обусловлена внутримолекулярными диполь-дипольным взаимодействием ядер, зависит от значения параметра квадрупольного упорядочения [55], то была выдвинута гипотеза, что здесь происходит переход в фазу квадрупольного стекла. Полученная в работе [54] фазовая диаграмма представлена на Рис. 1. Дальнейшие исследования не обнаружили четкого фазового перехода и привели к выводу, что режим стекла нарастает постепенно. Такое поведение, по мнению многих авторов, является следствием нарушения локальной симметрии в случайной системе квадруполей даже при высоких температурах.
Новый подход к модели Поттса с р = 3
Среднеполевое решение для чистой модели Поттса для ближайших соседей было получено Кихара и др. в 1954 с помощью приближения Брэгга-Вильямса (см. обзор [67] и ссылки в нем). Авторы нашли, что существует переход первого рода для всех q 2. К теории среднего поля снова обратились Миттаг и Стефен (1974). Зная точные критические свойства для модели с размерностью два, они показали, что приближение среднего поля является точным в главном порядке для разложения по р в пространстве размерностью d = 2. В действительности точный результат для d = 2 показывает, что переход первого рода происходит для р 4. В более общем случае будем считать, что р и d непрерывны, и существует такое критическое значение рс (d), что при размерности пространства d приближение среднего поле применимо для р pc(d). Как уже отмечалось выше, известна точка рс{2) = 4. Также была найдена критическая размерность d = 6 для процесса перколяции рс(6) = 1. Схематический чертеж pc{d) представлен на Рис.2 из обзора [67], где использованы результаты, полученные с помощью ренормгрупп для рс{1 + е), для малых , pc{d) = 2 для d 4 и предполагаемый переход первого рода для рс(3) = 3.
Чтобы получить модель для стекла Поттса добавим беспорядок по связям в (4.1) и получим следующий гамильтониан: константы связи распределены по закону Гаусса: Р(Jij) = {V J)-1 exp [-(Jij - J0)2/2J2}
Эта модель оказалась очень перспективной. Некоторые экспериментальные системы, ориентационные стекла, например К (Вг, Сгг), молекулярные кристаллы, кластеры в стеклах и жидкостях не имеют отражательной симметрии, так же как и модель Поттса. В данных системах сильная одноузельная анизотропия приводит к тому, что соответствующая молекулярная группа может иметь только р различных направлений. Поэтому модель Поттса можно использовать как отправную точку для описания таких экспериментов.
Модель с бесконечным радиусом взаимодействия была рассмотрена в [20] - [75], с короткодействующим потенциалом в [76], [77]. В работе [74] в рамках репликосимметричного подхода был обнаружен переход в фазу спинового стекла, которой для случая р 6 был непрерывен, а при р 6 происходил скачком. Однако, как и следовало ожидать, решение оказалось неустойчивым, а при нуле температур энтропия была отрицательной [73].
Теперь обратим внимание на статью Гросса, Кантера и Сомпо-линского [20], в которой было высказано ряд интересных предположений при рассмотрении модели (4.2). Приведем здесь их основные результаты. 1. Применение теории реплик Паризи приводит к устойчивой фазе стекла Поттса для всех значений параметра р. Эта фаза, как и спиновое стекло, состоит из бесконечного числа чистых вырожденных состояний, которые появляются ниже критической температуры Тс. 2. В отличии от случая спинового стекла параметр порядка q(x) для случая р 3 изменяется скачком. При температуре меньше критической система переходит в такую фазу, обозначим ее СП1, где q(x) представляет собой ступеньку (см. Рис.3)а). Эта фаза соответствует первому этапу нарушения симметрии по Паризи. Фазовое пространство распадается на бесконечное число неперекрывающихся чистых состояний стекла Поттса. Данная фаза устойчива в окрестности критической температуры. 3. Было высказано предположение, что фаза СШ при некоторой, более низкой температуре Гг становится неустойчивой. При І2 система переходит во другую фазу стекла Поттса (СП2). В ней исходное чистое состояние распадается на иерархическое множество бесконечного числа частичноскоррели-рованных состояний. Эта картина представлена на графике для параметра порядка Рис.3)б. 4. В системе с тремя или четырьмя компонентами оба перехода непрерывны. С другой стороны, для р 4 переход при температуре Тс из неупорядоченного состояния в фазу СП1 разрывен. Отметим, что для чистой модели ((4.2) для J = 0, JQ ф 0) переход является переходом первого рода для любого р 2.
В этой модели реплико-симметричное решение для параметра порядка стекла q неустойчиво для любого р 2, а для решения с первым шагом нарушения репличной симметрии (1НРС) наблюдается непрерывный переход в фазу стекла для р 4. С другой стороны, для р 4 при переходе параметр порядка q изменяется скачком.
Принято считать, что если 1НРС устойчиво в точке ветвления, то оно будет устойчиво до нуля температур [21]. Устойчивость решения с 1НРС была строго установлена только для сферической /7-спиновой модели взаимодействующих спинов Кризанти и Сом-мерсом [21]. Фаза спинового стекла сферической р-спиновой модели точно описывается параметром порядка ввиде ступени. Насколько нам известно, существует только одна работа, где был установлен фазовый переход из ШРС в фазу с бесконечным НРС (БИРС). Применяя теорию возмущения около известных решений для случаев стекла ср = 2 + епр— оо, Гарднер показала для р-спинового стекла Изинга, что решение с ШРС неустойчиво при очень низких температурах [32].
