Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Обзор литературы, экспериментальных данных и методов исследования теплопроводности кристаллов 11
1.1. Теплопроводность кристаллов - общие положения 11
1.2. Обзор механизмов рассеяния фононов в кристаллах с дефектами. Влияние на теплопроводность. Методы исследования 14
1.3. Теплопроводность кристаллов вблизи температуры структурного фазового перехода 23
Глава 2 Рассеяние фононов. классиификация собенностей теплового сопротивления кристаллов вблизи Тс 32
2.1. Кооперативные эффекты 32
2.2. Транспортное уравнение типа Бете-Солпитера. Функции Грина неупорядоченного кристалла 34
2.3 Транспортное время релаксации 49
2.4. Решение обобщенного транспортного уравнения 51
2.5. Спектральная плотность частот. Скорость релаксации фононов вблизи Тс 56
2.6. Механизмы рассеяния фононов. Неупругое, квазиупругое рассеяние 60
2.7. Численный анализ температурного поведения теплопроводности систем типа SrTiOi и KDP 67
2.8. Типичные особенности теплового сопротивления сегнетоэлектриков 75
Глава 3 Система критических индексов теории универсальности в фононной модели сегнетоэлектрика 79
3.1. Принципы и действие ренормализационной группы 79
3.1 1. Идея метода ренормализационной группы 79
3.1.2. Траектории гамильтониана при репормгрупповом преобразовании 81
3.1.3. Понятие неподвижной точки 83
3.2. Расчет и систематизация критических индексов 86
3.2.1. Корреляционная функция ток-ток и положение неподвижной точки 86
3.2.2. Система и анализ критических индексов 89
Глава 4 Эффект биений различных каналов рассеяния фононов в сегнетоэлектрических кристаллах 96
4.1. Анализ механизмов рассеяния фононов в сегнетоэлектриках 96
4.1.1. Исходное время релаксации 97
4.1.2. Квазиупругое рассеяние фононов 99
4.1.3. Резонансное рассеяние фононов на магнитных примесях 102
4.1.4. Рассеяние фононов на коллоидах 105
4.1.5. Резонансное рассеяние фононов на дефектах 108
4.1.6. Анализ влияния механизмов рассеяния фононов на температурную зависимость теплопроводности сегнетоэлектрических кристаллов 110
4.2. Эффект биений различных каналов рассеяния фононов 117
Заключение 121
Литература
- Обзор механизмов рассеяния фононов в кристаллах с дефектами. Влияние на теплопроводность. Методы исследования
- Транспортное уравнение типа Бете-Солпитера. Функции Грина неупорядоченного кристалла
- Траектории гамильтониана при репормгрупповом преобразовании
- Резонансное рассеяние фононов на магнитных примесях
Введение к работе
Актуальность проблемы. Тема исследования связана с фундаментальной проблемой физики конденсированных сред - изучением влияния структуры вещества, фазового перехода и дефектов решетки на кинетические и другие свойства реальных кристаллов — диэлектриков и сегнетоэлектриков. Тепловые и кинетические свойства кристаллов самым непосредственным образом связанны с атомной структурой материала и даже самое незначительное количество примесей или дефектов (~10"6) существенно изменяет его кинетические свойства. Тепловое сопротивление и проводимость сегнетоэлектриков - полупроводников обнаруживают аномальное температурное поведение около температуры структурного фазового перехода Тс [10,19,2,91]. Сегнетоэлектрики, кристаллы с дефектами и фазовыми переходами экспериментально хорошо изучены и находят широкое применение в качестве материалов твердотельной микроэлектроники, что обусловлено богатством и разнообразием их физических свойств. Кроме того здесь в последние 10-15 лет были проведены (Струков, Белов: МГУ) прецизионные измерения температурной зависимости теплопроводности ряда сегнетоэлектриков и обнаружены новые особенности на кривой к(Т) около температуры фазового перехода
Те [19, 21, 12, 17]. Однако в теории кинетических свойств этих материалов имеется ряд принципиальных нерешенных вопросов - это и многочастичные корреляции, и критические показатели, и большие концентрации дефектов, примесей и другие.
По прежнему, являются актуальными модельные исследования кинетических свойств-характеристик диэлектриков, керамики, сегнетоэлектриков [91]; вычисления значений критических показателей и особенно динамического критического индекса [98] для объемных образцов, слоев и пленок [9] необходимых для нужд современной полупроводниковой микроэлектроники и разработок новых видов устройств хранения информации.
Это делает исследование свойств сегнетоэлектриков весьма актуальными как с теоретической, так и с практической точки зрения, что вызывает неослабевающий интерес к ним вот уже в течение ряда десятилетий [3,4,10].
Новый, микроскопический, уровень исследований здесь потребовал развития соответствующих теоретических представлений и модельного подхода к изучению динамики структурно-неустойчивой кристаллической решетки.
Несмотря на успехи теории (фононной, вибронной, феноменологической) структурных, в том числе сегнетоэлетрических фазовых переходов, до настоящего времени в целом крайне мало исследовано критическое поведение тепловых и особенно кинетических характеристик кристаллов. Отсутствует последовательное изложение и применение модельного микроскопического подхода в теории симметрии и структурной неустойчивости кристаллической решетки [3-8, 10-18].
Роль примесей и дефектов, влияние фазового перехода на спектральные и кинетические характеристики кристаллов исследовались многими авторами, но, несмотря на успехи теории, до настоящего времени крайне мало исследовано критическое поведение кинетических характеристик кристаллов. В последнее время появился ряд работ [1-4, 14, 15, 18] и обзоров [7, 10, 12, 13, 17, 19, 21], посвященных вопросам теории фазовых переходов реальных кристаллов, в которых нашло отражение значительное понимание, достигнутое в этой области. Работами известных авторов были заложены основы микроскопической теории колебаний слабонеупорядоченной кристаллической решетки, описывающей модификацию и тонкую структуру соответствующих фононных спектров [1, 14]. Выяснена роль локальных и квазилокальных колебаний, объяснены весьма яркие явления перегибов и прогибов (провалы, изломы, скачки, особенности типа капса, точки разрыва 1-го или 2-го рода) на кривой температурной зависимости теплопроводности и проводимости целого ряда диэлектриков и сегнетоэлектриков. Однако, численные расчеты на микроскопическом уровне (с учетом атомной структуры дефектов и тонкой структуры соответствующих фононных и электронных спектров) натолкнулись на серьезные трудности. Это было связано с тем, что возмущения решетки здесь очень часто не малы и обычное кинетическое уравнение Больцмана, как правило, оказывается не применимо. Поэтому многие авторы исследовали главным образом различные предельные случаи, связанные с предположениями о наличии одного и нескольких малых параметров теории (малая концентрация примесей, теория возмущений, борновское приближение). В итоге были установлены общие представления о поведении коэффициентов переноса систем в предельных случаях.
В тоже время остались открытыми ряд важных вопросов: особенности теплового сопротивления сегнетоэлектриков около температуры фазового перехода Тс, классификация аномалий теплового сопротивления вблизи Тс, различие поведения теплового сопротивления слева и справа от точки фазового перехода. Объяснение и анализ данных вопросов представляется весьма актуальным, так как они играют важную роль для практического использования в таких системах, как окилы металлов, ионные (щелочногалоидные) кристаллы, сегнетоэлектрики типа KDP и А4В6 и другие.
Теория критических показателей, которые могут быть использованы при описании особенностей поведения теплопроводности сегнетоэлектриков около температуры фазового перехода Тс, справедливых для широкой области температур отсутствует. Поэтому представляется актуальным получение численных значения для критических индексов сегнетоэлектриков, которые можно использовать при моделировании особенностей температурного поведения теплопроводности кристаллов к(Т) около температуры структурного фазового перехода (СФП) Тс.
Целью работы является классификация особенностей температурного поведения теплопроводности сегнетоэлектрических кристаллов около температуры структурного фазового перехода Tt, и их моделирование. Моделирование механизмов рассеяния фононов, разработка математических моделей и комплекса программ анализа и прогноза поведения теплового сопротивления кристаллов с дефектами, комплексами дефектов, СФП и получение численных значений критических индексов теории подобия в фононной модели сегнетоэлектрика.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
Обзор и анализ методов исследования и экспериментальных данных поведения теплового сопротивления кристаллов с дефектами вблизи температуры СФП.
Моделирование различных механизмов рассеяния фононов и температурного поведения теплового сопротивления кристаллов типа SrTi03 и KDP.
Расчет, анализ и систематизация значений критических показателей универсальности в фононной модели сегнетоэлектрика.
Разработка программных средств для реализации и анализа моделей теплового сопротивления сегнетоэлектриков около Тс.
Результаты расчетов сопоставлены с данными соответствующих экспериментов.
Достоверность полученных результатов обеспечена корректностью применяемого математического аппарата, использованием мощных математических пакетов прикладных программ типа Mathcad 2000 и подтверждена хорошим согласием с общими указаниями теории критических явлений и данными других авторов. Достоверность результатов также обеспечена, сравнением результатов моделирования с экспериментальными данными.
Научная новизна результатов:
Проведена классификация особенностей поведения теплового сопротивления сегнетоэлектрических кристаллов вблизи Тс.
Впервые получены, проанализированы и систематизированы численные значения критических индексов теории подобия в фононной модели сегнетоэлектрика.
Впервые разработаны математические модели и проведен численный анализ температурного поведения теплового сопротивления сегнетоэлектрических кристаллов типа SrTiOj и KDP вблизи температуры структурного фазового перехода.
Впервые описан новый эффект биений различных каналов рассеяния фононов.
Разработаны математические модели и комплекс программ для анализа и прогноза поведения теплового сопротивления кристаллов типа KDP с дефектами, комплексами дефектов и СФП.
Практическая значимость результатов данной работы:
Разработанная математическая модель применима для анализа и прогнозирования поведения теплового сопротивления сегнетоэлектрических кристаллов вблизи температуры структурного фазового перехода, что помогает развивать технологии получения сегнетоэлектрических кристаллов с наперед заданными свойствами.
Полученные численные значения критических индексов сегнето-электриков, можно использовать при моделировании особенностей температурного поведения теплопроводности кристаллов к(Т) около температуры структурного фазового перехода 7\..
На защиту выносятся:
Классификация особенностей поведения теплового сопротивления сегнетоэлектрических кристаллов вблизи Тс.
Набор критических индексов полученный в фононной модели сег-нетоэлектрика в соответствии с соотношениями теории подобия.
Математические модели механизмов рассеяния фононов и температурного поведения теплового сопротивления сегнетоэлектрических кристаллов типа SrTiOj и KDP вблизи температуры структурного фазового перехода
Модель нового эффекта биений различных каналов рассеяния фононов около Те в кристаллах типа KDP.
5. Математические модели и комплекс программ анализа и прогноза поведения теплового сопротивления кристаллов с дефектами, комплексами дефектов и СФП.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были доложены на следующих конференциях: на IV региональной научной конференции «Математическое моделирование и информационные технологии». - Георгиевск, 2004 г.; на IV и V Международных конференциях «Химия твердого тела и современные микро - и нанотехнологии». - Кисловодск - Ставрополь: СевКавГТУ,2004, 2005 г.; на VII Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологи» - Кисловодск, 2005 г.; на XVII Всероссийской конференции по физике сегнетоэлектриков, Пенза, 2005 г.
В первой главе рассматривается теоретический и экспериментальный материал, касающийся теплового сопротивления кристаллов вблизи температуры структурного фазового перехода в кристаллах с дефектами. Рассмотрены методы исследования теплового сопротивления около Тс, механизмов рассеяния фононов в кристаллах с дефектами и фазовыми переходами и их влияние на теплопроводность кристаллов.
Проведен анализ экспериментальных данных поведения теплового сопротивления вблизи температуры структурного фазового перехода в сегнето-электрических кристаллах.
Во второй главе работы рассмотрено нелокальное уравнение теплопроводности, позволяющее описать спектр и распространение тепловых импульсов в решетке с примесями. Показано, что запаздывающая двухчастичная функция Грина удовлетворяет соответствующему уравнению типа Бете-Солпитера, позволяющему корректно ввести транспортное-многочастичное время релаксации, определяющее поведение коэффициента стационарной теплопроводности системы. Показано, что решение обобщенного транспортного уравнения с учетом сингулярной области частот фононов приводит к появлению так называемого центрального пика доминирующего в спектраль- нон плотности частот системы вблизи температуры структурного фазового перехода Тс.
Проведена классификация особенностей теплового сопротивления сег-нетоэлектрических кристаллов вблизи Тс.
Проведен численный анализ аномального температурного поведения затухания тепловых фонов и коэффициента теплопроводности модельных систем типа SrTiC>3 и KDP вблизи температуры структурного фазового перехода Тс. Результаты расчетов сопоставлены с данными соответствующих экспериментов.
В третьей главе рассмотрены принципы метода ренормализационной группы и неподвижная точка. Получены численные значения критических индексов теории подобия в фононной модели сегнетоэлектрика, проведена систематизация и анализ значений критических индексов.
В четвертой главе проводится численный анализ различных механизмов рассеяния фононов и показано их влияние на температурную зависимость коэффициента теплопроводности кристаллов типа KDP. В частности, рассмотрено резонансное рассеяние фононов на магнитных примесях, дефектах и коллоидах, построены частотные и температурные зависимости времен релаксации и проведено моделирование температурного поведения теплопроводности указанного кристалла.
Обзор механизмов рассеяния фононов в кристаллах с дефектами. Влияние на теплопроводность. Методы исследования
Все процессы рассеяния, вследствие которых распределение фононов стремится к равновесному, оказывают прямое влияние на теплопроводность.
Рассеяние фононов точечными дефектами в диэлектриках уменьшает теплопроводность, что было впервые показано Берманом [29] в серии экспериментов.
В идеальном кристалле, исследуемом в гармоническом приближении, независимые друг от друга фононы могут распространяться беспрепятственно через весь кристалл под действием градиента температуры, приводя к бездисси-пативному переносу энергии, или, другими словами, к бесконечной теплопроводности. В реальном кристалле, помимо рассеяния колебаний решетки точечными дефектами, вклад в теплопроводность дает также рассеяние на поверхностях кристалла и рассеяние колебаний решетки друг на друге, обусловленное энгармонизмом колебаний решетки.
Дефекты сильнее всего влияют на теплопроводность в области ее максимума, если же кристаллы выращены не очень тщательно и не из очень чистых веществ, то дефекты могут сильно влиять на теплопроводность в широкой области температур.
Для интерпретации зависимости теплопроводности от дефектов необходимо знать, как различные типы дефектов рассеивают фононы и как определить вклад этого рассеяния от вклада собственных механизмов рассеяния в выражении для теплопроводности. Многие ученые Клеменс [30], Займам [31], Карру-зерс [32] занимались рассеянием фононов дефектами решетки.
Дефект, линейные размеры которого много меньше длины волны фонона, можно рассматривать как точечный дефект. Дефектом, удовлетворяющим этому условию, может быть чужеродный атом, находящийся в узле решетки вместо собственного атома, вакансия, атом внедрения или комбинация дефектов перечисленных типов. Рассеяние в таком случае обусловлено в массе и в величине связи между атомами. Могут быть существенны искажения решетки вокруг примесей, вызываемые разными объемами собственного и чужого атома.
При рассеянии фононов необходимо рассматривать как продольные так и поперечные моды, что усложняет выражение, соответствующее вкладу в рассеяние, обусловленному изменением упругих постоянных.
Введение чужого атома в решетку, вообще говоря, вызывает небольшие смещения окружающих атомов. В реальном ангармоническом кристалле, в отличие от абсолютно гармонической решетки, частоты фононов меняются при изменениях межатомного расстояния, что приводит к рассеянию. Клеменсом было получено выражение для скорости релаксации вследствие относительного смещения ближайших соседних атомов, учитывая различие в массе, скорости и радиальном смещении.
Краухмансал и Метыо [34], используя экспериментальные данные Баумана и Пола [33] исследовали условия, при которых могут возникать компенсирующие вклады в рассеяние вследствие изменений масс и константы связи. И выяснили, что в некоторых случаях может происходить частичная или даже полная компенсация амплитуд рассеяния.
Юсуф и Маханти [35, 36] рассматривали рассеяние в трехмерной решетке за счет изменения массы и константы связи. Полное рассеяние длинноволновых фононов, оказалось зависит от выбора направления и от поляризации. Однако числовые расчеты Баумана и Пола показали, что взаимодействие этих двух вкладов, в действительности недостаточно сильное, чтобы объяснить их экспериментальные данные.
На дефектах больших размеров, фононы низкой частоты рассеиваются, как и в случае точечных дефектов, по закону Рэлея [37], сечение рассеяния зависит от объема разупорядоченной области, но не от ее формы.В противоположном случае длин волн, малых по сравнению со всеми линейными размерами дефекта, сечение рассеяния зависит от площади, перпендикулярной направлению фонона, и не должно зависеть от частоты. Тарк и Клеменс [38] установили, что для тонкого дискообразного дефекта сечение рассеяния в пределе коротких длин волн пропорционально (о2, и получили поправку к закону Рэлея для случая промежуточных длин волн, которая зависит от отношения длины волны к радиусу диска.
Для случая, когда длины волн фононов сравнимы со всеми размерами дефекта, сечение рассеяния нельзя считать пропорциональным некоторой степени частоты. Для звуковых волн судя по вычислениям Андерсена [39] зависимость рассеяния от длины волны очень чувствительна к соотношению между константой связи и изменениями массы. Поскольку теплопроводность определяется широкой областью частот, то не следует ожидать, что осцилляции в зависимости сечения от частоты с необходимостью будут говорить о колебаниях теплопроводности. Шварц и Уолкер [40] аппроксимировали результаты Андерсена для случая осциллирующего сечения с помощью подходящих аналитических выражений и подставили соответствующие времена релаксации в интеграл для теплопроводности.
Транспортное уравнение типа Бете-Солпитера. Функции Грина неупорядоченного кристалла
В данной главе работы рассмотрено нелокальное уравнение теплопроводности, позволяющее описать спектр и распространение тепловых импульсов в решетке с примесями. Показано, что запаздывающая двухчастичная функция Грина удовлетворяет соответствующему уравнению типа Бете-Солпитера, позволяющему корректно ввести транспортное-многочастичное время релаксации, определяющее поведение коэффициента стационарной теплопроводности системы. Показано, что решение обобщенного транспортного уравнения с учетом сингулярной области частот фононов приводит к появлению так называемого центрального пика доминирующего в спектральной плотности частот системы вблизи температуры структурного фазового перехода Тс.
Проведена классификация особенностей теплового сопротивления сег-нетоэлектрических кристаллов вблизи Тс.
Проведен численный анализ аномального температурного поведения затухания тепловых фонов и коэффициента теплопроводности модельных систем типа ЭгТЮз и KDP вблизи температуры структурного фазового перехода Тс. Результаты расчетов сопоставлены с данными соответствующих экспериментов.
Известно, что характер кинетических свойств большинства диэлектриков и полупроводников целиком определяется особенностями их кристаллической структуры. Как отмечалось ранее аномальное температурное поведение теплопроводности и проводимости реальных кристаллов, как правило, обусловлено дефектами решетки или наличием в Тс структурных фазовых превращений. Абсолютное значение проводимости и коэффициента теплопроводности в таких случаях значительно ниже соответствующих значений для «идеальных» или аналогичных «нормальных» (не испытывающих фазовых переходов) кристаллов. Кроме того зависимость кинетических коэффициентов от температуры вблизи Тс - часто испытывает изломы, проходит через минимумы или имеет аномалии другого характера [19, 21, 66, 67].
Причиной такого поведения, в ряде случаев, когда частота критических фононов в точке фазового перехода не обращается в нуль, может оказаться квазиупругое рассеяние тепловых фононов на возбуждениях связанных с так называемым центральным пиком, как правило, наблюдающимся в спектрах рассеянного света и критического рассеяния нейтронов таких систем. Наличие центрального пика в спектральной плотности частот фононов может быть обусловлено пространственно-временными флуктуациями фононных чисел заполнения значительных при Т— Тс. Такие, далекие от состояния термодинамического равновесия, флуктуации нельзя описать по теории возмущений. В этой ситуации даже слабые ангармонические эффекты следует рассматривать самосогласованно и учитывать возможность проявления кооперативных эффектов динамики квазичастиц, т.е. рассматривать распространение квазичастиц, по крайней мере на основе транспортного уравнения типа Бете-Солпитера. В настоящей главе анализируются особенности поведения двухчастичной функции Грина G„,,(Q,Q) и влияние квазиупругого рассеяния фононов на температурную зависимость теплопроводности кристаллов К(Т) при Т— Тс, получено транспортное уравнение типа Бете-Солпитера описывающее распространение квазичастиц с учетом двухчастичных состояний системы далеких от состояния термодинамического равновесия. Учет таких состояний приводит при Т— Тс к появлению так называемого центрального пика и к связанному с ним квазиупругому механизму рассеяния возбуждений. Рассмотрена задача о переносе тепла в прямом пространстве и записаны уравнения позволяющие изучать нелокальные эффекты в теплопроводности, самосогласованное уравнение для двухчастичной функции Грина найдено в у - представлении нормальных осцилляторов что позволяет поставить задачу о переносе тепла в реальном (дефектном, неупорядоченном, ангармоническом) кристалле, с учетом возможного структурного превращения при температуре Тс. Развитый подход позволяет описать эффекты связанные с нелокальной теплопроводностью и актуальные при рассмотрении таких вопросов, как дисперсия второго звука или распространение тепловых импульсов в кристаллах. Рассмотрим систему в состоянии, которое не очень сильно отличается от равновесного. В таком состоянии пространственно-временное изменение, например плотности энергии, т.е. отклонения Sh(x,t), малы по сравнению со средним значением самой плотности энергии {h{x,tf). Причем оператор плотности энергии имеет вид определен в любой точке пространства х (вектор г\е = R\е +Щ е фиксирует мгновенное положение атома s в ячейке кристалла), а понятие локального термодинамического равновесия имеет смысл если определено измеряемое на опыте локальное отклонение температуры ST(x,t) от ее локалыюравно-весного значения T{x,t).
Траектории гамильтониана при репормгрупповом преобразовании
Запишем эффективные гамильтонианы в общем виде где О, - набор операторов(операторы связанные с гамильтонианом HQ), р10 - набор параметров (или «констант связи»), характеризующих вес, с которым различные операторы входят в эффективный гамильтониан.
Эффективному гамильтониану Нп (его параметры непосредственно характеризуют рассматриваемую физическую систему вблизи критического состояния) можно сопоставить точку в «пространстве» параметров При изменении масштаба пространства импульсов в форма спектра операторов, которым обладал гамильтониан Н0, где параметры) отличаются от исходных «физических» параметров pl0. Это отличие обусловлено перенормировкой взаимодействия между «более критическими» флуктуациями за счет взаимодействия их с «менее критическими» флуктуациями (интегрирование первого этапа действия РГ) и переопределением параметров, необходимым при изменении масштаба координат. Поэтому эффективный гамильтониан Нъ может характеризоваться другой «точкой» {р(Ь)} в пространстве параметров.
Повторное применение действия РГ будет порождать целую последовательность эффективных гамильтонианов, которые образуют траекторию, или «линию потока» в пространстве параметров.
Так как действие ренормализационной группы имеет свойство полугруппы повторное применение РГ порождает такую же последовательность эффективных гамильтонианов, как и единичное применение РГ с соответствующей последовательностью значений масштабного множителя Таким образом, траектории гамильтониана параметризуются масштабным множи телем b, возрастающим в направлении движения. Существует и другая интерпретация, а именно траектории рассматриваются как линии, соответствующие уменьшающейся (безразмерной) корреляционной длине - повторное применение РГ (или возрастание Ь) приводит к повторному сокращению корреляционной длины.
Таким образом, траектории соединяют последовательность эффективных гамильтонианов, каждый из которых «менее критичен», чем его («расположенный выше по течению») предшественник, и каждый из которых содержит информацию, определяющую критические свойства физического гамильтониана Нп.
Траектории гамильтониана не ограничены пространством, определенным ненулевыми параметрами физического гамильтониана. Эффективный гамильтониан, получающийся в результате воздействия, скажем, на гамильтониан ЛГВ Но(п), содержит, например, ангармонические члены шестого порядка, зависящие от волнового вектора ангармонические члены четвертого порядка — фактически бесконечный ряд членов, не содержащихся в физическом гамильтониане. Таким образом, следует считать, что физический гамильтониан занимает место в отдельном подпространстве общего пространства параметров, в котором располагаются траектории.
Нетрудно убедиться в том, что движение гамильтониана по траектории по крайней мере сохраняет основные качественные свойства физического гамильтониана. Однако этот аспект действия ренормализационной группы, по-видимому, сводит на нет упрощения, которые можно получить с помощью соображений, основанных на гипотезе универсальности. В какой-то мере это действительно так: то обстоятельство, что в общем случае действие РГ порождает ненулевые параметры для бесконечного набора операторов, представляет собой главное препятствие при практических вычислениях методом РГ. Они становятся возможными (по крайней мере аналитически) только в тех случаях, когда траектории движения гамильтониана ограничены (эффективно) пространством, характеризуемым несколькими параметрами.
Основной результат ре норм группового преобразования состоит в том, что физический гамильтониан Н0, характеризуемый параметрами {р0}, образует непрерывную последовательность новых эффективных гамильтонианов Иъ, характеризуемых новыми параметрами {рф)}. Новые параметры являются функциями физических параметров (и масштабного множителя Ь), и мы можем ввести формально совокупность РГ-уравнений, или «рекуррентных соотношений», — по одному для каждого параметра в пространстве, в котором имеет место движение гамильтониана.
Из множества возможностей поведения траекторий простейшей является такая, при которой траектории оканчиваются в неподвижной точке РГ-преобразования. В этом случае эффективный гамильтониан удовлетворяет условию инвариантности:
Гамильтониан в неподвижной точке может характеризоваться либо бесконечной, либо нулевой корреляционной длиной, т. е. может быть (точно) «критическим» или (полностью) «некритическим».
Так как траектории гамильтониана являются линиями уменьшения корреляционной длины, траектория, исходящая из некоторой точки в пространстве гамильтонианов (т. е. в пространстве параметров), может, очевидно, оканчиваться «критической» неподвижной точке только в том случае, когда гамильтониан (соответствующий этой точке) сам является критическим; в противном случае траектория может оканчиваться только в «некритической» неподвижной точке.
Резонансное рассеяние фононов на магнитных примесях
Как отмечалось выше тепловое сопротивление сегнетоэлектрических кристаллов при низких температурах (Т 0 - температуры Дебая) отличается крайне высокой чувствительностью к наличию в решетке (матрице) структурного фазового перехода, к дефектам решетки, их комплексам (кластерам, коллоидам, доменам) и наноструктурам. Такие нарушения решетки всегда образуются как в процессе роста кристаллов, так и в ходе внешнего воздействия на них (легирование, облучение, внешнее поле). Хорошо известно, что теплопроводность сегнетоэлектрических кристаллов к(Т) сильно уменьшается в довольно широкой области температур, а непосредственно около температуры фазового перехода Тс кривая к(Т) может иметь излом, ступеньку, скачек (шаг) или особенность типа капса. Такое (типичное) поведение к(Т) около Тс имеет свое теоретическое объяснение (см. например [12,91]). В последнее время, в ходе прецизионных измерений около Тс были обнаружены [19] новые необычные особенности (эффекты), представляющие собой ярко выраженные пики (максимумы) или полочки вблизи Тс на фоне широкого прогиба (минимума) или даже провала на кривой к(Т). Такие особенности до сих пор не имеют должного объяснения и связаны на наш взгляд с эффектами биений различных каналов рассеяния фононов сильно конкурирующих при Т- ТС.
Действительно, в простой модели с дебаевским спектром частот, кривую теплопроводности ЦТ) кристалла с фазовым переходом можно представить в виде: А(Г)=- г( )Л. (4.20) Здесь т-(х) = тЛЮ + 1(х) + т-(х) + тк,(х) (4.21) - сумма обратных времен релаксации, обусловленных рассеянием фононов в исходном («идеальном») кристалле, за счет механизмов структурного фазового перехода, дефектов и их комплексов соответственно [91]. В результате модельных расчетов по формулам (4.20) и (4.21) удалось показать, что вблизи Тс ведущую роль играет квазиупругое рассеяние фононов т; и рассеяние на комплексах (коллоидах, доменах) - наноструктурах, особенно интенсивно образующихся в некотором интервале температур около Тс. В итоге удалось для ряда систем модельно воспроизвести топологию поведения кривой к(Т) в широком интервале температур и подтвердить предположение о том, что «эффект биений» каналов рассеяния в ряде случаев приводит к особому поведению к(Т) около Тс в виде излома, полочки и даже узкого пика (максимума) на фоне широкого спада, прогиба или провала около Тс.
В подтверждение сказанного рассмотрим экспериментальные данные (рисунок 1.4а), полученные А. А. Беловым и Б. А. Струковым [19] и проведем численный анализ температурного поведения теплопроводности систем типа KDP вблизи точки структурного фазового перехода.
Проведенный анализ влияния различных механизмов рассеяния позволяет сделать вывод о том, что резонансное рассеяние фононов на магнитных примесях оказывает заметное влияние на теплопроводность в низкотемпературной области и формирует прогиб в области температур от 20 до 40 К. Для простоты и удобства расчета при дальнейшем анализе будем пренебрегать обратным временем релаксации ут(х,Т), задав концентрацию магнитных примесей равной нулю. Таким образом, кривая теплопроводности кристаллов типа KDP будет подвержена влиянию и конкурирующему воздействию квазиупругого механизма рассеяния фононов и рассеянию фононов на наноструктурах типа коллоидов. При этом коллоиды в сегнетоэлектриках могут появляться в области фазового перехода (справа или слева) и изменять ход температурной зависимости теплопроводности кристалла в некотором интервале температур. Затем с определенной температуры коллоиды способны исчезать или действовать на кристалл с другой интенсивностью, выражающейся в изменении их концентраций.
Предположим, что коллоиды с концентрацией Ni=N2 2.1 возникают в области температур от Т]=120,4 К до Т2 =121,74 К, после чего они исчезают и вновь появляются с некоторой температуры Тз=121,99 К. Программно такое поведение коллоидов можно реализовать с применением условной конструкции языка программирования - ветвления (реализует оператор if). Тогда коллоиды, возникающие в интервале температур от Т] до Т2, будут описываться следующим временем релаксации:
Т.е. за пределами указанного интервала данное время релаксации равно нулю. Аналогично для коллоидов, появляющихся с некоторой температуры Т3 с концентрацией N3 = N4 = 170, обратное время релаксации будет равно: изменять значения температуры от 119 К до 122 К. При этом температурная зависимость теплопроводности кристаллов типа KDP в сочетании с экспериментальными результатами примет вид, иллюстративно представленный на рисунке 4.15.
