Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Фазовые переходы в кубических и слабонеупорядоченных одноосных кристаллах 9
1.1. Критическое поведение систем с «-компонентным параметром порядка и обобщенной кубической симметрией 9
1.2. Критическая термодинамика слабонеупорядоченных одноосных ферромагнетиков 12
1.3. Фазовые переходы в двумерной кубической модели с и-векторным параметром порядка 14
Глава 2. Критическая термодинамика кубических и примесных одноосных кристаллов в пятипетлевом приближении 18
2.1. Ренормгрупповые разложения для Р-функций и критических индексов 18
2.2. Критическое поведение кубических ферромагнетиков. Граничная размерность параметра порядка 25
2.3. Примесная фиксированная точка в пятипетлевом приближении 28
2.4. Критические индексы трехмерной слабонеупорядоченной модели Изинга 30
Глава 3. Нелинейные восприимчивости кубических и примесных одноосных ферромагнетиков в критической области 35
3.1. Нелинейные восприимчивости и эффективные константы связи 36
3.2. Ренормфупповые разложения эффективных констант связи шестого порядка 38
3.3. Универсальные значения высших вершин и нелинейная восприимчивость %(6) в точке Кюри 43
3.4. Нелинейная восприимчивость восьмого порядка и ее анизотропия 50
3.5. Нелинейные восприимчивости слабонеупорядоченного одноосного ферромагнетика в критической области 52
Глава 4. Критическое поведение двумерных систем с обобщенной кубической симметрией 61
4.1. Фазовые переходы в двумерной и-векторной кубической модели 61
4.2. Пятипетлевые разложения для Р-функций и критических индексов 63
4.3. Критическая термодинамика двумерной кубической модели при п > 2 67
4.4. Критическое поведение двумерной планарной (п - 2) кубической модели 71
Заключение 77
Приложение 1 80
- Критическое поведение систем с «-компонентным параметром порядка и обобщенной кубической симметрией
- Критическое поведение кубических ферромагнетиков. Граничная размерность параметра порядка
- Универсальные значения высших вершин и нелинейная восприимчивость %(6) в точке Кюри
- Пятипетлевые разложения для Р-функций и критических индексов
Критическое поведение систем с «-компонентным параметром порядка и обобщенной кубической симметрией
На сегодня модели с обобщенной кубической симметрией исследованы весьма детально самыми различными методами, в том числе и теми, которые базируются на идеях ренормализационной группы. Поэтому данную задачу можно считать классической для современной теории критических явлений. В ряде случаев она может рассматриваться также в качестве теста для выяснения эффективности метода теоретико-полевой ренормализационной группы. При этом целый ряд важных черт критической термодинамики систем с кубической симметрией, особенно количественных характеристик их критического поведения, остается до сих пор невыясненным.
Критическая термодинамика кубических кристаллов на основе реалистической модели впервые изучалась, по-видимому, А. Аарони и М. Фишером [1]. За основу ими был взят флуктуационный гамильтониан Ландау-Вильсона, содержащий все существенные в ренормгрупповом смысле инварианты, допускаемые симметрией задачи. Он имеет следующий вид:
Здесь «голая масса» то является мерой расстояния до линии или поверхности фазовых переходов на диаграмме состояний, то2 Т — Тс, па = qjq, а дипольная щель А и параметры / и h характеризуют затравочную анизотропию спектра флуктуации.
Чуть ранее, в самом начале 70-х годов прошлого столетия, Вильсон и Фишер изучили влияние флуктуации на критическое поведение упрощенной версии модели (1.1) с/=й = А = 0и двухкомпонентным параметром порядка. Они показали, что при подходе к точке фазового перехода анизотропия флуктуации параметра порядка может кардинально меняться [2]. Изучая эволюцию констант связи в рамках низшего приближения метода -разложения, они пришли к выводу, что при подходе температуры к Тс система либо становится изотропной (v —» 0), либо ее анизотропия возрастает до тех пор, пока в системе не происходит фазовый переход первого рода [3-5]. Конкретный сценарий развития событий определяется величиной и знаком константы связи vo в исходном гамильтониане Ландау-Вильсона. В случае обобщенной кубической модели, т. е. при произвольных значениях п, поведение системы определяется размерностью параметра порядка п: при п пс система в точке фазового перехода становится изотропной, а при п пс анизотропия остается конечной и в критической области [6]. Численное значение размерности спина п, разделяющее эти режимы, является физически важной величиной, поскольку определяет критическое поведение конкретных материалов.
Первые оценки пс для кубической модели, полученные в низкопетлевых приближениях метода ренормализационной группы [4, 7, 8], давали значения больше 3, что означало бы принадлежность кубических ферромагнетиков к изотропному классу универсальности (классу универсальности модели Гейзенберга). Классический метод высокотемпературных разложений лишь подтвердил данное предположение [9]. Однако результаты пересуммирования трехпетлевых разложений [10, 11], а также последующее использование более высоких порядков как в трехмерном [12-14], так и в (4-,)-мерном [15] вариантах, уменьшили граничное значение размерности параметра порядка до величины меньшей 3 [10-22]. В процессе данных исследований был достигнут отчетливый консенсус между различными теоретическими предсказаниями: расчеты методами трехмерной ренормгруппы [14], -разложения [18], є-разложения, пересуммированного с учетом известных точных результатов [18], и псевдо--разложения [20] дали ис=2.89, пс =2.855, пс=2.$7 и пс = 2.862 соответственно. Более того, результаты, полученные методом теоретико-полевой ренормализационной группы в трехмерном пространстве, оказались исключительно стабильными относительно увеличения порядка теории возмущений; численные оценки пс, например, при продвижении от четырехпетлевого к шестипетлевому приближению оставались в интервале 2.88-2.92 [12-14]. Таким образом, была доказана принадлежность кубических ферромагнетиков к особому классу универсальности, характеризующемуся собственным набором критических индексов. Существенные шаги на пути к этому результату были сделаны в работах автора [13, 23], которые составляют основу второй главы настоящей диссертации.
Критическое поведение кубических ферромагнетиков. Граничная размерность параметра порядка
Обратимся далее к изучению критической термодинамики трехмерной слабонеупорядоченной модели Изинга. Как известно, критическое поведение этой модели описывается флуктуационным гамильтонианом (2.1) в пределе п — 0. Это значит, что мы можем получить интересующие нас результаты, исследовав ренормгрупповые разложения (2.3)-(2.6) при п = 0.
Найдем прежде всего координаты примесной фиксированной точки. Как оказывается, оптимальное значение параметра Ь, входящего в преобразование Бореля-Леруа, лежит в нашем случае в области, примыкающей к интервалу (0, 1). Под оптимальным значением Ъ мы понимаем, как обычно, значение, отвечающее наиболее быстрой сходимости пересуммированных рядов, т. е. минимальной разности результатов, даваемых приближениями различных порядков и различными аппроксимантами Паде.
Численные данные, полученные для координат примесной фиксированной точки с использованием «рабочих» аппроксимант [4/1], [3/2] и [2/3] при Ь = 0 и 6 = 1, представлены в таблице 2.1. Для сравнения здесь также приведены результаты, полученные с помощью аппроксиманты [3/1], которой отвечает фактически использование четырехпетлевого приближения. Поскольку диагональная аппроксиманта [2/2], к сожалению, обладает в нашем случае опасными полюсами для обеих Р-функций, соответствующие оценки в таблице 2.1 отсутствуют. По той же причине результаты, даваемые аппроксимантой [2/3], приведены лишь для Ь = 0; при b = 1 и эта аппроксиманта страдает опасными полюсами.
Как видно из таблицы, координаты фиксированных точек, которые получаются при использовании аппроксимант [4/1] и [3/2], весьма близки друг к другу. Кроме того, при Ь = 0 они также приближаются к результатам, получаемым из четырехпетлевых разложений (аппроксиманта [3/1]). Наибольшая разность между пяти- и четырепетлевыми результатами не превышает 0.026. С увеличением значения параметра Ъ увеличивается взаимное расхождение результатов, из чего можно сделать вывод, что значение Ъ = 0 является оптимальным для получения численных оценок. В то же время результаты, полученные с использованием аппроксиманты [2/3], сильно отличаются от чисел, даваемых другими аппроксимантами, что объясняется наличием неблагоприятно расположенных полюсов у этой аппроксиманты. К тому же известно, что аппроксиманта данного вида дает плохие результаты даже для простых моделей, таких как модель Изинга. Например, значение координаты фиксированной точки vc = 1.475 модели Изинга, полученное с использованием аппроксиманты [2/3] 6 = 0, существенно отличается от наиболее достоверной оценки vc =1.411. Поэтому при фиксации окончательных результатов числа, полученные на основе аппроксиманты [2/3], учитываться не будут.
Итак, примем в качестве окончательных значений координат примесной фиксированной точки числа, получаемые усреднением по трем рабочим аппроксимантам при Ь = 0. Это дает: Оценим ожидаемую точность этого результата. Одним из критериев точности может служить разность предсказаний четырехпетлевого и пятипетлевого приближений. Такая оценка дает погрешности Аис = ±0.012 и
Avc =±0.016 соответственно. Другим критерием точности, критерием более консервативным и, следовательно, более реалистичным, можно считать диапазон изменения искомых величин при изменении параметра Ь. В данном случае целесообразно рассмотреть диапазон 0 Ь 15; такой выбор обусловлен тем, что при b 15 численные оценки уже выходят на некоторые асимптоты, т. е. наблюдается своеобразное насыщение. Как показывают расчеты, в этом диапазоне изменение координат фиксированной точки, полученных усреднением по свободным от опасных полюсов аппроксимантам [4/1] и [3/1], не превышает 0.02. Эту величину мы и примем в качестве наиболее вероятной оценки точности полученных значений координат.
Универсальные значения высших вершин и нелинейная восприимчивость %(6) в точке Кюри
Критическое значение константы связи восьмого порядка вычислялось ранее методом теоретико-полевой ренормализационной группы [39], с помощью техники є -разложения [69], а также методом так называемой «точной» ренормализационной группы [70]. Вышеперечисленные методы дали оценки щ =0.168, щ =0.36 и щ =0.145 соответственно. Хотя точность данных оценок оставляет желать лучшего, все же можно утверждать, что численное значение щ в несколько раз меньше величин констант связи четвертого (и =0.794) [34] и шестого порядков (и =0.951) [39]. В совокупности с большими коэффициентами перед первыми двумя слагаемыми в (3.23) это позволяет сделать вывод о ничтожно малом вкладе константы связи восьмого порядка в величину нелинейной восприимчивости восьмого порядка для систем, описываемых моделью Гейзенберга. А поскольку при п = Ъ кубическая фиксированная точка находится вблизи гейзенберговской фиксированной точки, то же утверждение будет справедливо и для кубической модели. Поэтому оценка нелинейной восприимчивости восьмого порядка и ее анизотропии может быть произведена без учета вклада константы связи восьмого порядка.
Производя в выражении (3.23) подстановку и4 - и4 + v4, и6 - иь + v6 + qb с целью получить выражение для хТ и подстановку и4 —»w4 +v4/3, u6- u6+q6/3 + v6/9 для нахождения хТ а также опуская слагаемое щ, находим приближенные выражения для нелинейных восприимчивостей восьмого порядка в направлении ребра кубической ячейки и ее главной диагонали соответственно. Полученные значения позволяют оценить величину анизотропии нелинейной восприимчивости восьмого порядка, которая оказывается равной:
Найденные оценки параметров анизотропии различных порядков позволяют сделать вывод о том, что анизотропное критическое поведение кубических кристаллов может быть обнаружено как в физических экспериментах, так и методами компьютерного моделирования, а также путем анализа высокотемпературных разложений. Мы надеемся, что результаты, полученные выше, будут использованы при планировании и постановке натурных и машинных экспериментов по изучению критического поведения кубических кристаллов.
С середины 70-х годов прошлого столетия критическая термодинамика трехмерных примесных систем является предметом интенсивных теоретических и экспериментальных исследований. Достижения теоретиков, такие как определение характера зависимости фазового перехода от наличия примесей, открытие критерия Харриса, разработка метода у[є -разложения, вычисление критических индексов и отношений критических амплитуд в рамках теории возмущений, вызвали небывалый интерес к данной области исследований, который приобрел в последние годы характер бума. Характерной особенностью данных моделей, привлекшей особое внимание исследователей, является отсутствие стабилизации значений универсальных физических величин при увеличении порядка применяемой перенормированной теории возмущений. Этот факт отличает неупорядоченные системы от чистых, для которых наблюдается выход универсальных величин на асимптотические значения с увеличением порядка теории возмущений при условии применения пересуммировочных процедур. Весьма вероятно, что данная аномалия, проявляющаяся в высоких (пяти- и шестипетлевом) приближениях теории возмущений, является следствием несуммируемости по Борелю ренормгрупповых разложений для примесных систем.
Отсутствие сходимости итерационной процедуры, основанной на ренормгрупповых разложениях, не является, однако, принципиальным препятствием для вычисления критических параметров данной модели с достаточно высокой точностью. Подтверждением этому служит относительно малый разброс результатов, полученных различными методами, слабая зависимость результата от применяемой техники пересуммирования рядов, а также близкие значения величин, получаемых методами теории возмущений и компьютерного моделирования. Как мы видели, значение критического индекса восприимчивости у для примесной трехмерной модели Изинга изменяется от порядка к порядку перенормированной теории возмущений не более чем на 0.01. В четырех-, пяти- и шестипетлевом приближениях, например, этот индекс имеет значения 1.321-1.326, 1.325 и 1.330 соответственно. Данный факт говорит о возможности применения метода теоретико-полевой ренормализационной группы для вычисления других универсальных критических параметров трехмерных примесных систем.
В этом разделе мы найдем нелинейные восприимчивости четвертого (Х,) и шестого (j6) порядков, а также универсальное значение эффективной константы связи v6 для слабонеупорядоченной трехмерной модели Изинга. При Т - ТС эти величины, подобно линейной восприимчивости и некоторым другим равновесным параметрам, выходят на универсальные критические асимптотики, которые с высокой точностью могут быть измерены в современных экспериментах.
Как известно, свободная энергия одноосного ферромагнетика во внешнем магнитном поле Н может быть представлена в виде ряда по степеням намагниченности М:
Пятипетлевые разложения для Р-функций и критических индексов
Как было установлено ранее [51], четырехпетлевое ренормгрупповое приближение в общем воспроизводит известное предсказание о существовании при п = 2 непрерывной линии фиксированных точек, соединяющих 0(2)-симметричную и изинговскую фиксированные точки [49]. Конечно, линии нулей /? -функций на диаграмме ренормгрупповых потоков не совпадают в точности, но располагаются близко и практически параллельно друг к другу, а расстояние между ними примерно равно ожидаемой погрешности вычисления координат фиксированных точек. Наша задача состоит в выяснении того, каким образом влияет на ситуацию учет пятипетлевых вкладов в /?-функции, и в вычислении критических индексов вдоль линии фиксированных точек.
Итак, пересуммируем пятипетлевые ряды для /?-функций методом Паде-Бореля-Леруа. В качестве рабочих Паде-аппроксимант возьмем аппроксиманты [4/1] и [3/2], а также [3/1] и [2/2], отвечающие фактически четырехпетлевому приближению. Использование столь обширного набора пересуммировочных процедур позволит оценить устойчивость результатов относительно выбора аппроксимационной схемы и получить информацию об ожидаемой точности численных данных. Оптимизационный параметр Ъ мы выберем равным 1, что объясняется двумя причинами. Во-первых, выше такой выбор обеспечил получение наилучших результатов для п 2 и, во-вторых, для двумерных моделей Изинга и Гейзенберга (п-векторной) наиболее достоверные значения координаты вильсоновской фиксированной точки были получены именно при Ь = \ [58].
Результаты наших расчетов представлены на рис. 4.2, где нули функции ри изображены линиями различных типов, а нули функции pv — точками (геометрическими символами).
Ситуация с пересуммированием функции Д выглядит несколько хуже. В самом деле, аппроксиманты для нее дают близкие и стабильные результаты в окрестности изинговской фиксированной точки, однако по мере приближения к оси и начинают проявляются их негативные особенности. Так, кривая, формируемая аппроксимантой [3/2], осциллирует в окрестности и «0.8, в то время как аппроксиманты [4/1] и [3/1] малопригодны в областях и є [і, 1.5] и и \3 соответственно. Кроме того, аппроксиманта [4/1] плоха и при и \.5 ввиду близкого расположения опасной сингулярности.
Несмотря на эти недостатки, рис. 4.2 содержит обширную и весьма важную физическую информации. В самом деле, линия нулей функции Д, вычисленной с помощью оптимальной аппроксиманты [4/1] при Ъ = 1, практически совпадает с линией нулей функции Д во всем интервале и є [0,0.8]. При и 0.8 применение различных аппроксимаций для функции Д ведет уже к заметно различающимся линиям нулей, однако, линия нулей, соответствующая аппроксимации [4/1] для функции Д, остается внутри соответствующего веера кривых для Д. Принимая во внимание тот факт, что теория строится в конечном (хотя и весьма высоком) порядке теории возмущений, не имеет малого параметра и, как всякая теория возмущений, не учитывает вклады неаналитических членов, можно утверждать, что результаты, приведенные на рис. 4.2, определенно согласуются с выводом о наличии у рассматриваемой модели непрерывной линии фиксированных точек. Естественно считать, что наилучшим образом воспроизводит эту линию кривая нулей функции Д, даваемая аппроксимантой [4/1]. Именно ее мы и возьмем за основу при расчете критических индексов.
Необходимым условием существования линии фиксированных точек является, как нетрудно видеть, обращение в нуль в этих точках одного из собственных чисел матрицы устойчивости. Мы рассчитали на основе пятипетлевых разложений наименьшее собственное число матрицы устойчивости вдоль линии фиксированных точек, используя аппроксиманты Паде четырех различных типов. Практически все полученные значения оказались лежащими в интервале (-0.1, 0.1), т. е. весьма близкими к нулю.
Это еще раз подтверждает вывод о том, что техника теоретико-полевой ренормгруппы при использовании высоких приближений и надлежащих методов пересуммирования вполне надежно воспроизводит нетривиальные особенности критической термодинамики двумерной кубической модели.
Перейдем далее к расчету критических индексов. Поскольку все критические индексы могут быть выражены с помощью соотношений скейлинга через какие-либо два из них, остановимся на нахождении индексов v и т. Сильно упрощает дело то обстоятельство, что, как ожидается, индекс Фишера для рассматриваемой системы должен быть равен 1/4 независимо от места положения конкретной фиксированной точки на линии. Понятно, что непосредственно это число не может быть получено в рамках теории возмущений. Однако, если техника ренормгруппы работоспособна в данной ситуации, пятипетлевое приближение должно воспроизводить с разумной точностью факт независимости rj от положения фиксированной точки на соответствующей кривой. Мы исследовали этот момент, рассчитав изменение значения индекса Фишера вдоль линии фиксированных точек. Как оказалось, оно не" превышает 3% величины этого индекса [76, 77], что следует считать хорошим результатом. Интересно, что неаналитические вклады, которые, вообще говоря, не являются исчезающе малыми в двух измерениях [58], не проявляют себя здесь сколько-нибудь заметным образом.
