Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Методы и результаты исследований эффектов локализоации колебательной энергии и солитонов в кристаллах 15
1.1. Моделирование взаимодействия атомов с высокой кинетической энергией 15
1.2. Дискретные бризеры в биатомных упорядоченных
1.3. Дрейф точечных дефектов и их агрегатов в ГЦК решетках 27
1.4. Пары Френкеля и их агрегатизация в ГЦК металлах и упорядоченных сплавах 31
Глава П. Метод молекулярной динамики. Выбор потенциала взаимодействия между атомами 42
2.1. Методы компьютерного моделирования 42
2.1.1. Требование эргодичности компьютерных моделей 43
2.1.2. Метод вариационной квазистатики и Монте-Карло 46
2.2.1. Общая хароктеристика метода МД 48
2.2.2. Об особенностях накопления систематических ошибок в ММД... 53
2.2.3. Основные проблемы, связанные с построением моделей ММД... 61
2.3. Потенциал Морзе. Визуализация компьютерных экспериментов 63
2.3.1. Обоснование выбора потенциала межатомного взаимодействия, расчет коэффициентов потенциала Морзе 63
2.3.2. Визуализация компьютерных экспериментов 67
Глава III. Фокусирующиеся и краудионные столкновения атомов 73
3.1. Условия, при которых имеют место фокусировка импульса и краудионные столкновения атомов 73
3.2. Краудионные столкновения атомов Си в трехмерной модели упорядоченного сплава CuAu со сверхструктурой Lli 75
3.2.1. О компьютерной модели 76
3.2.2. Краудионные столкновения в упорядоченном сплаве 78
3.3. Модификация потенциала Морзе для моделирования взаимодействия атомов обладающих высокой энергией 83
3.3.1. Расчет параметров потенциала Морзе 83
3.3.2. Поправочный член к потенциалу Морзе, методика расчета параметров модифицрованного потенциал 84
3.4. Движение краудиона и самофокусировка импульса в двумерной модели кристалла Ni 92
Выводы 98
Глава IV. Дискретные бризеры в двумерных моделях кристаллических решеток упорядоченных сплавов стехиометрии А3В 99
4.1. Расчет фононного спектра двумерной модельной решетки сплава А3В 99
4.2. Нелинейные локализованные колебания в двумерной модельной решетке упорядоченного сплава Ni3Al при заниженной массе А1 106
4.3. Причины существования дискретных бризеров в модели упорядоченного сплава 114
4.4. Возбуждение локализованных колебательных мод в двумерной
Выводы 127
Глава V. Эффекты локализации энергии в моделях упорядоченных сплавов стехиометрии А3В со сверхструктурой Ы2 129
5.1. Методика расчета фононного спектра 3D моделей 129
5.2. Параметры, влияющие на возможность существования ДБ в модельной кристаллической решетке 138
5.3. Локализация энергии в модельном идеальном кристалле PtsAl 141
5.3.1. О постановке задачи 143
5.3.2. Возбуждение дискретных бризеров в модели Pt3Al 144
5.3.3. Локализация энергии фононных колебаний 151
5.4. Эффекты спонтанного перераспределения энергии колебаний в кристаллических решетках, находящихся в состоянии
5.4.1. О слабоустойчивых нелинейных колебаниях атома А1 в
сплаве №зА1 160
5.4.2. О спонтанном перераспределении энергии фононных колебаний между подрешетками в модели упорядоченного сплава PtsAl 167
Выводы 171
Глава VI. Волны, возникающие при рекомбинации пар Френкеля в 2D и 3D модельных решетках металлов и их влияние на дрейф агрегатов точечных дефектов 173
6.1. Волны, вызывающие дрейф агрегатов точечных дефектов в двумерных моделях кристаллических решеток 174
6.1.1. Особенности используемой модели 174
6.1.2. Условия возбуждения уединенной поперечной волны 176
6.1.3. Скорость распространения уединенной поперечной волны 180
6.1.4. Взаимодействие уединенной поперечной волны с агрегатами
6.2. Волны, возникающие в результате рекомбинации пар Френкеля в трехмерной модели кристаллической решетки металла и их влияние на дрейф агрегатов точечных дефектов 183
6.2.1. О трехмерной модели 183
6.2.2. Возбуждение волн 185
6.2.3. Дрейф агрегатов точечных дефектов, вызываемый упругими Выводы 190
Глава VII. Динамические эффекты на межфазной границе сплава 192
7.1. Взаимодействие краудиона и межфазной границы 192
7.1.1. Динамический краудион на границе биметалла Ni-Al 192
7.2. О возбуждении локализованных мод 200
7.2.1. Модель 201
7.2.2. Динамические эффекты 203
Выводы 209
Глава VIII . Пары Френкеля и их агрегатизация в модельных кристаллических рештках металлов и их упорядоченных сплавов 211
8.1. Моделирование пар Френкеля в двумерных моделях кристаллических решеток Al, Ni, и №зА1 211
8.1.1. Агрегатизация межузельных атомов 212
8.2. Моделирование агрегатизации пар Френкеля в трехмерных моделях кристаллических решеток №зА1 216
8.2.2. Агрегатизация вакансий 218
8.2.3. Агрегатизация межузельных атомов 230
8.2.4. Аграгатизация пар Френкеля 234
8.3. Пары Френкеля и их роль в фазовых превращениях кристалл- расплав 241
8.3.1. Пары Френкеля в частично расплавленном кристалле 242
8.3.2. Пары Френкеля в кристаллах при высоких температурах 245
Ввыводы 248
- Дрейф точечных дефектов и их агрегатов в ГЦК решетках
- Потенциал Морзе. Визуализация компьютерных экспериментов
- Модификация потенциала Морзе для моделирования взаимодействия атомов обладающих высокой энергией
- Причины существования дискретных бризеров в модели упорядоченного сплава
Введение к работе
Актуальность исследования.
На сегодняшний день нелинейная физика, и в частности физика солитонов испытывает интенсивное развитие, причем значительная часть работ имеет теоретический характер, и в какой-то мере она развивается как отрасль математической физики и компьютерного моделирования [1, 2]. Математические модели хорошо описывают и позволяют идентифицировать солитоны различных типов и различной природы. Например, известны оптические солитоны в волоконных световодах [3], они обнаружены в живых организмах, которые переносят энергию и информацию [4], на поверхности жидкости и в твердых телах [5].
Дискретные бризеры (ДБ) или нелинейные локализованные колебательные моды (НЛКМ) в идеальных кристаллах, относят к динамическим солитонам. Они представляют собой нелинейные незатухающие колебания большой амплитуды строго определенной частоты одной или группы частиц в бездефектной периодической структуре. Впервые концепция локализации колебательной энергии в нелинейных моделях идеальных кристаллических решеток различных размерностей была предложена Sievers A.J. и Takeno S. в работе [6]. За период в четверть века с момента появления первой публикации интерес к ДБ неуклонно возрастает. Нелинейные локализованные колебательные моды экспериментально обнаружены в нелинейной оптике [3], джозевсоновских сверхпроводящих контактах [7]. Относительно недавно появились экспериментальные работы по поиску ДБ и явлений, связанных с ними, в кристаллах NaI [8, 9].
Задачи, связанные с массопереносом, дрейфом точечных топологических солитонов и их агрегатов в кристаллических решетках, имеющие прямое отношение к проблемам пластичности и прочности твердых тел, являются классическими. В связи с появлением новых материалов и открытием таких явлений, как например, эффект дальнодействия, интерес к ним не ослабевает [10, 11].
Таким образом, направления исследований, связанные с локализацией энергии колебаний атомов, с динамическими и топологическими солитонами в твердых телах являются актуальными.
Настоящая работа посвящена изучению эффектов локализации колебательной энергии и некоторых процессов, связанных с топологическими солитонами в двух- и трехмерных моделях ГЦК кристаллических решеток, построенных с помощью метода молекулярной динамики. Рассматривалась локализация энергии колебаний не только на
динамических солитонах [12 - 14], на нелинейных колебательных модах или т.н. дискретных бризерах [15, 16], но и локализация энергии фононных колебаний на подрешетке атомов сорта “B” в упорядоченных кристаллах стехиометрии A3B, которая к солитонам не относится.
Целью работы является поиск и изучение эффектов локализации колебательной энергии и явлений, связанных с дрейфом и агрегатизацией точечных топологических солитонов в биатомных сплавах с ГЦК кристаллической решеткой.
Математические модели периодических структур, позволяющие получать бризерные решения, строятся, как правило, с помощью короткодействующих потенциалов, обеспечивающие взаимодействие лишь со своими ближайшими соседями [1, 12, 15, 16]. Очевидно, что это достаточно грубое приближение, чтобы судить о том, насколько близко они описывают свойства реальных кристаллов. В настоящей работе используется дальнодействующие потенциалы, учитывающие воздействие соседних атомов до седьмой, а иногда и до десятой координационной сферы включительно.
Учет такого большого количества соседей по кристаллу весьма громоздкая задача, по этой причине использовалась не аналитическое, а компьютерное моделирование. Для рассматриваемых задач наиболее подходящим оказался метод молекулярной динамики (ММД).
Итак, в диссертации, методом молекулярной динамики с помощью достаточно универсального потенциала Морзе, который позволяет строить модели, отражающие весьма широкий спектр свойств реальных кристаллов [10], исследовались:
возможности получения бризерных решений в моделях реальных сплавов стехиометрии A3B;
влияния различных факторов на существование НЛКМ;
обнаруженные эффекты локализации энергии фононных колебаний в подрешетке атомов сорта “B” в упорядоченных кристаллах стехиометрии A3B, со щелью в фононном спектре;
- слабоустойчивые колебания атома Al в упорядоченном сплаве Ni3Al.
Кроме этого, рассмотрены особенности агрегатизации точечных
дефектов в упорядоченном сплаве Ni3Al; влияние на дрейф агрегатов точечных упругих волн, продольных и поперечных, возникающих при рекомбинации пар Френкеля; изучены динамические эффекты, возникающие на межфазной границе биметаллов; осуществлена модификация потенциала Морзе, для моделирования столкновений атомов обладающих высокой энергией; смоделированы краудионные и
фокусирующиеся столкновения атомов Cu в 3D модели упорядоченного сплава CuAu.
Научная новизна работы заключается в следующем.
1. Впервые, в 2D и 3D моделях упорядоченного сплава Pt3Al,
построенных методом молекулярной динамики, показана возможность
возбуждения ДБ.
2. Изучено влияние различных факторов на возможность
возбуждения ДБ в моделях упорядоченных сплавов стехиометрии A3B.
3. Показано на примере модельного сплава Ni3Al, что появление
колебательных мод с частотами, входящими в щель фононного спектра не
является достаточным признаком возбуждения щелевых ДБ.
4. Обнаружена новая разновидность локализации энергии колебаний,
локализация энергии фононных колебаний на подрешетке атомов сорта
“B” в упорядоченном кристалле стехиометрии A3B со сверхструктурой L12
и со щелью в фононном спектре.
Практическая и научная ценность работы заключается в следующем.
-
Найдено сочетание параметров, характеризующих кристалл, необходимое для существования щелевых ДБ в упорядоченных сплавах стехиометрии A3B со сверхструктурой L12. Как оказалось, наибольшее влияние на принципиальную возможность возбуждения НЛКМ оказывает соотношение масс и эффективных диаметров атомов компонентов сплава. Причем, если масса атомов сорта “A” должна существенно превосходить массу атомов сорта “B”, в настоящей работе в семь раз и более, то эффективный диаметр первых должен быть, хотя бы незначительно, меньше диаметра вторых. Ни объемный модуль упругости, ни энергия сублимации заметной роли в жизни ДБ не играют.
-
Исследование процесса слабоустойчивых колебаний атома алюминия в 3D модели упорядоченного сплава Ni3Al, в котором невозможно существование ДБ, показало, что частоты этих колебаний оказываются в щели фононного спектра упорядоченного сплава. Таким образом, поставлена под сомнение интерпретация результатов эксперимента по обнаружению спонтанного возбуждения дискретных бризеров в NaI, находящегося в состоянии термодинамического равновесия при температуре 555 K [8], в котором в качестве признака возбужденя ДБ принято появление колебательных мод с частотами, лежащими в щели фононного спектра.
3. Открыта возможность локализации энергии фононных оптических
колебаний подрешетки атомов сорта “B” кристаллов со стехиометрией A3B,
со сверхструктурой L12, и со щелью в фононном спектре. Сущность
явления заключается в том, что энергия оптических колебаний более легких атомов “B” возбужденных при 0 К благодаря наличию щели в фононном спектре не передается атомам сорта “A”. Иными словами, реализуется ситуация, при которой энергия колебаний легких атомов может сколь угодно долго, значительно, до двух порядков, превосходить энергию колебаний более массивных атомов.
На защиту выносятся следующие положения:
-
Выявлена возможность возбуждения дискретных бризеров в 2D и 3D моделях упорядоченного сплава Pt3Al.
-
Установлено, что для возбуждения ДБ в моделях упорядоченных сплавов стехиометрии A3B необходимо выполнение двух условий. Во-первых, должно быть большое соотношение масс атомов (в предлагаемой работе оно было от 7:1 и более). Во-вторых, эффективный диаметр атомов сорта “B” должен быть больше эффективного диаметра сорта “A”.
3. Показана возможность возбуждения слабоустойчивых
колебательных мод с частотами, входящими в щель фононного спектра, в
тех кристаллах, где в принципе не возникают ДБ. Этот факт доказывает то
обстоятельство, что появление колебательных мод с частотами, входящими
в щель фононного спектра не является достаточным признаком
возбуждения щелевых ДБ.
4. Обнаружена локализация энергии фононных колебаний на
подрешетке атомов сорта “B” в упорядоченном кристалле стехиометрии
A3B со сверхструктурой L12, со щелью в фононном спектре.
-
В модельных кристаллах состава A3B, (со щелью в фононных спектрах) находящихся в состоянии термодинамического равновесия, обнаружено локальное спонтанное перераспределение энергии колебаний между подрешетками.
-
Кроме того, модифицирован потенциал Морзе для моделирования столкновения атомов с энергией 10 – 400 эВ; на границе биметаллов при некоторых условиях возможно появление ударной волны и возбуждение долгоживущей нелинейной локализованной моды; в результате рекомбинации пар Френкеля возможно возбуждение не только продольной, но и при некоторых условиях, поперечной волны, эти волны при взаимодействии с агрегатами вакансий и межузельных атомов, вызывает их разнонаправленный дрейф; тетраэдр дефектов упаковки не является конечным кластером агрегатизации вакансий в Ni3Al; агрегаты, образованные из вакансий в интерметаллиде Ni3Al менее стабильны по сравнению с аналогичными образованиями в моноатомных кристаллах Ni и Al.
Апробация работы. Результаты работы были доложены и обсуждены на следующих всероссийских и международных научных конференциях. VI Всероссийская научно-техническая конференция “Измерения, автоматизация и моделирование в промышленности и научных исследованиях”, (ИАМП - 2005), Бийский технологический институт, 6 – 7 октября, Алтайский край, Бийск, 2005; VIII Всероссийская научная конференция “Краевые задачи и математическое моделирование”, 1 – 3 декабря, Новокузнецк, 2006; International Conference on Computational Methods, (ICCM - 2007), Japan, International Conference Center, 4-6 April, Hiroshima, 2007; 13th International Conference on Liquid and Amorphous Metals, Russia, 8 - 14 July, Ekaterinburg, 2007; The Second International conference “Deformation & Fracture of Materials and Nanomaterials”, (DFMN-2007), Russia, 8-11 October, Moscow, 2007; V th International Conference on “Materials Structure and Micromechanics of Fracture”, (MSMF5), Czech Republic, June 27 - 29, Brno, 2007. 9th International Conference on Modification of Materials With Particle Beams and Plasma Flows, Russia, September 21 – 26, Tomsk, 2008; Открытая школа-конференция стран СНГ “Ультрамелкозернистые и наноструктурные материалы” Россия, Республика Бошкортостан, 4 – 9 августа, Уфа, 2008; Международный симпозиум “Перспективные материалы и технологии”, Беларусь, 25 - 29 мая, Витебск, 2009; XVII Международная конференция «Физика прочности и пластичности материалов», Россия, 23 - 25 июня, Самара, 2009; Региональная научно-практическая конференция «Наноиндустрия Алтая 2009» Бийск, 2009. 10th International Conference on Modification of Materials with Particle Beams and Plasma Flows, Russia, September 19-24, Tomsk, 2010; Открытая школа-конференция стран СНГ “Ултрамелкозернистые и наноструктурные материалы” Россия, Республика Башкортостан, 11-15 октября, Уфа, 2010; 50-й Международный симпозиум “Актуальные проблемы прочности”, Беларусь, 27 сентября – 1 октября, Витебск, 2010; Fifth International Conference “Multiscale Materials Modeling” (MMM-2010), Germany, October 04-08, Freiburg, 2010; Международная научно-практическая конференция “Фундаментальные науки и образование”, Россия, Алтайский край 29 января - 1 февраля, Бийск, 2011; Всероссийская конференция “VI сессия научного совета РАН по механике”, 26-31 июля, Барнаул, Белокуриха, 2012; Всероссийская научно-практическая конференция “Информационные технологии в науке, экономике и образовании”, Алтайский край, 8 – 9 октября, Бийск, 2012; 3rd International Congress on Radiation Physics and Chemistry of Condensed Matter, High Current Electronics and Modification of Materials with Particle Beams and Plasma Flows, Russia, on September 17-21, Tomsk, 2012; VII Международная
конференция “Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих явлений”, Россия, 18 - 21 июня, Тамбов, 2013; European Materials Research Society (E-MRS 2013) Fall Meeting, Poland, September 16 - 20, Warsaw, 2013;
Публикации. Результаты работы изложены в 75 публикациях, 29 из которых в Российских и зарубежных журналах, включенных в список ВАК Минобрнауки РФ для публикации материалов докторских диссертаций, в том числе, авторское свидетельство государственного образца на программу ЭВМ, полученное в соавторстве.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы из 400 наименований. Работа изложена на 299 страницах машинописного текста, содержит 12 таблиц, 122 рисунка.
Дрейф точечных дефектов и их агрегатов в ГЦК решетках
Точечные дефекты играют важнейшую роль в структурно-энергетических изменениях, происходящих в материалах при внешних высокоэнергетических воздействиях. Вакансии и межузельные атомы являются простейшими из точечных дефектов. При внешнем воздействии атом может переместиться из узла кристаллической решетки в междоузлие, оставляя на своем прежнем месте вакансию, образуя замкнутую пару Френкеля. Вакансия и межузельный атом являются областями локального изменения плотности со знаками Am" и Ат+ [139]. Большая часть вакансий, образующихся в результате, например радиационного повреждения в процессах структурной релаксации, рекомбинируют с межузельными атомами, при этом «идеальная» плотность кристалла восстанавливается. Другая часть дефектов мигрирует к границам раздела в области локального изменения плотности [140]. Рекомбинация, особенно на близких расстояниях между вакансией и межузельным атомом происходит со столь высокой скоростью, что не позволяет экспериментально исследовать такие процессы, особенно в металлических материалах.
Вакансии или межузельные атомы могут возникать в кристаллической решетке в результате внешнего высокоинтенсивного воздействия, например при ионной имплантации. Появление таких дефектов вызывает локальные нарушения плотности, и создаются локальные упругие поля. Последующие нелинейные релаксационные процессы должны создавать в кристалле релаксационные фононные колебания. При относительно высоких температурах их уровень подавляется тепловыми хаотическими колебаниями атомов.
Проблема возбуждения волн, линейных или нелинейных, и их взаимодействие с дефектами кристаллической решетки вызывает интерес у многих исследователей.
Так взаимодействия солитонообразных волн с дефектами кристаллической решетки рассмотрены в [141, 142]. Показано, что возникающие при внешнем высокоэнергетическом воздействии уединенные импульсы теряют значительную часть своей энергии при прохождении через зернограничные или обедненные области. Также показано, что форма волны, возникающей при высокоскоростном сжатии материала, восстанавливается в бездефектной области кристалла после прохождения структурных дефектов. Боны же создаваемые сдвигом обладают «эффектом памяти», что позволяет использовать их для получения информации о наличии в кристалле дефектных областей.
По мнению авторов работ [143, 144] в металле, в результате внешних воздействий, формируются солитоны дефектов.
В теоретической работе [145] развита модель распространения нелинейных продольных волн в облучаемом лазерном импульсами твердом теле с квадратичной нелинейностью упругого континуума с учетом взаимодействия полей деформации и концентрации точечных дефектов. Проанализировано влияние процессов генерации и рекомбинации лазерно-индуцированных дефектов на распространение волны упругой деформации. Обнаружена возможность возбуждения упругой нелинейной ударной волны малой интенсивности в системе и изучена ее структура. Получена оценка ширины и скорости движения фронта волны. Определены вклады в линейный модуль упругости, а также в дисперсионные параметры решетки, обусловленные взаимодействием полей деформации и дефектов.
Экспериментальная работа [146] посвящена радиационно-динамическим эффектам и взаимодействию ударных волн с точечными дефектами и их агрегатами.
Также многочисленны исследования посвященных возможности перемещения дефектов под воздействием упругих волн.
Поле упругих деформаций, возникающее при прохождении по кристаллу акустических волн, очевидно, оказывает влияние на диффузию атомов. Это обусловлено возникновением дрейфовой составляющей потока атомов под действием градиента механических напряжений [147, 148].
Волны могут возбуждаться по разным причинам. При радиационном воздействии источником акустических волн могут являться термические пики [149, 150]. С механизмом термического пика связано также возбуждение волн при лазерном воздействии на кристалл [151]. Локально разогретая область пика оказывает давление на окружающие атомные плоскости. Упругие волны, возникающие в процессе образования, перестройки и рекомбинации дефектов решетки могут являться причиной дрейфа дефектов кристаллической решетки [152 - 154].
Высокоскоростному массопереносу, при различных начальных конфигурациях точечных дефектов (например, такой как на рис.1.2), и процессам структурной перестройки модельных кристаллов различной размерности посвящены работы [155 - 157].
Потенциал Морзе. Визуализация компьютерных экспериментов
При моделировании процессов происходящих в кристаллах довольно проблематично использовать методы из первых принципов, поскольку учет сложного распределения электронной плотности вблизи дефектов и в случае теплового движения атомов, достаточно трудная задача квантовой механики. На сегодняшний день строгих прямых квантовомеханических методов расчета эволюции дефектов кристаллов не существует.
Тем не менее, существуют приближенные квантовомеханические методы, которые привлекаются не только для описания идеальных кристаллов, но и кристаллов с дефектами, такими как дефекты упаковки [289, 290], антифазные границы [291], двойники [290, 292], границы зерен [293 294]. Но даже приближенные расчеты из первых принципов требуют очень много машинного времени.
В качестве альтернативы методам “ab initio” (от начала) разрабатываются подходы, основанные на учете в общей энергии кристаллов, т. н. объемно-зависящих вкладов [295 - 298]. Эти подходы осуществляются с помощью многочастичных потенциалов. К наиболее известным потенциалам этого типа относятся потенциалы Финниса-Синклера [299, 300], Клери-Розато [301] и потенциалы, осуществляющие метод погруженного атома (embed atom method (БАМ)) [302, 303].
Многочастичные потенциалы, также как и парные являются эмпирическими. По сравнению с парными потенциалами они имеют более сложную форму, и подгонка параметров осуществляется с привлечением большего числа экспериментальных характеристик. Модели, построенные с помощью многочастичных потенциалов, требует больше машинного времени, чем те же модели в которых используется парные потенциалы. Не смотря на то, что эти потенциалы строятся с учетом объемно-зависящих вкладов, они не позволяют получить надежные значения энергии дефектов, впрочем, также как и парные потенциалы. Многочастичные потенциалы широко используются для моделирования кристаллов для изучения различного рода дефектов, однако эти исследования не дали каких либо качественно новых результатов по сравнению с теми, что были получены с помощью парных потенциалов [208, 209, 304, 305].
Таким образом, остаются парные потенциалы, такие как потенциал Леннарда-Джонса (2.13), потенциал Морзе (2.12) и др.
Предпочтение было отдано потенциалу Морзе, поскольку его возможности хорошо изучены и с его помощью достаточно успешно удается описать разнообразные свойства металлов и сплавов [22, 267, 268, 227-233]. Этот потенциал имеет экспоненциальное отталкивание и более мягкое экспоненциальное притяжение: где D, р, - параметры потенциала, г - расстояние между атомами.
Потенциал позволяет вычислить центральную силу, действующую на атом, со стороны другого атома:
Чаще всего для расчета коэффициентов D, /3, используют метод
Джирифалько-Вайзера (Girifalco L.A., Weiser V.G.) [306]. По их методике параметры потенциала подгоняются с привлечением энергии сублимации Е„, модуля упругости G, и параметра решетки а. В настоящей работе коэффициенты потенциала Морзе вычислялись методике предложенной в [230, 307 - 310], с использованием энергии сублимации, параметра решетки и объемного модуля упругости К0, которая является модификацией метода
Джирифалько-Вайзера: где w. - число атомов в і - координационной сфере, z - число учитываемых сфер, К-энергия сублимации атомов кристалла при нуле Кельвин, Кп-объемный модуль упругости, Р„ - давление изоэнтропического сжатия, Vn и V удельные объемы в начальном и деформированном состояниях.
Когда всесторонне давление, оказываемое на кристалл, изменит длину связи на величину х, очевидно, что объем приходящийся на один атом станет V = к, (ап + xf, естественно, радиус произвольной координационной сферы будет изменяться пропорционально (ап+х), т.е. г.=42к.(ап+х). Здесь коэффициент к. позволяет вычислить радиус і - координационной сферы г . Значения коэффициентов к. и чисел атомов z в координационных сферах с номером z приведены в таблице 2.1.
Модификация потенциала Морзе для моделирования взаимодействия атомов обладающих высокой энергией
Высокая энергия, о которой говориться в заголовке, в данном случае означает значительно превышающая характерные энергии точечных дефектов кристалла. Полуэмпирический парный потенциал Морзе, задающий энергию одной связи, содержит три параметра D, а, /?, которые определяются из условий: где п. - число атомов в і - координационной сфере, z - число учитываемых сфер, Е„-энергия сублимации атомов кристалла при нуле Кельвин, Кп объемный модуль упругости, Р„ - давление изоэнтропического сжатия, Vn и V - удельные объемы в начальном и деформированном состояниях.
Формулы (3.8) и (3.9) уже приводились во второй главе под номерами (2.12) и (2.16) соответственно. Здесь для удобства прочтения используется новая нумерация формул. Для той же цели приводятся и комментарии к формулам.
Построенный таким образом потенциал, как уже отмечалось в первой и второй главах, достаточно хорошо описывает свойства целого ряда металлов и сплавов в широком диапазоне температур до температуры плавления включительно, позволяет рассчитывать энергию точечных дефектов, удовлетворительно согласующуюся с энергией, рассчитанной с помощью других потенциалов [22, 227 - 233, 267, 268, 322]. Тем не менее, модели кристаллических решеток, частицы в которых взаимодействуют посредством (3.8) не универсальны. В предыдущем параграфе было показано, что (3.8) дает заниженные значения эффективных диаметров атомов при краудионных столкновениях.
В п. 3.4.2 предлагается ввести в (3.8) поправочный член, включающий в себя четвертый параметр модифицированного потенциала Морзе, и дается методика расчета этого параметра.
Попра очн член к по ен иалу Морзе, ме одика расче а шраме ро моди и иро анного по ен шла
Включим в (3.8) в качестве дополнительного слагаемого, потенциал Борна-Майера в виде: безразмерный коэффициент, подлежащий определению, с = 1 - размерный коэффициент, который в дальнейшем изложении мы будем опускать.
Таким образом, модифицированный потенциал Морзе имеет вид:
Для определения величины системе уравнений (3.9) требуется еще одно уравнение, очевидно, оно должно включать в себя третью производную от потенциала:
Формула (3.12) является обобщенной формулой [323], которая при / = -1 превращается в формулу Ландау-Слейтера [324], а при / = 0 в формулу Дугдала - Мак-Дональда [325]. При этом последняя получена с учетом равенств между первыми и вторыми производными от изоэнтропической зависимости давления при V = V0 и изотермической, при нуле Кельвин, ( 0 постоянная Грюнайзена). Зависимость, которая дается выражением Ландау-Слейтера приводит к неустойчивым моделям. В настоящей работе использовалась формула Дугдала-Мак-Дональда: где la - коэффициент, позволяющий вычислить радиус Ї-ОЙ координационной сферы г = к. 42ап. Поскольку потенциал Борна-Майера очень быстро убывает с ростом г, для него учитываются только к1 И 1 . На один атом кубической решетки приходится объем к,а0 (а -параметр решетки, п - число атомов в элементарной ячейке, для ГЦК решетки и = 4, fc =1v2, см. таблицу 2.1). Когда всестороннее давление, оказываемое на кристалл, изменит длину связи на величину х, очевидно, что объем приходящийся на один атом станет V = кіап + x3, при этом радиус произвольной координационной сферы будет изменяться пропорционально (ап + х), т.е. г = 42к{ап + х)
Причины существования дискретных бризеров в модели упорядоченного сплава
Чтобы ответить на вопрос, почему при «уменьшении» массы атомов алюминия увеличивается продолжительность жизни ДБ, проследим как меняется фононный спектр при уменьшение массы атомов компонента В. На рис. 4.11 показано несколько спектров рассчитанных при различных массах атомов А1: а)тм =26.91, г/моль, (тА/тв 2.2); б)т = 15 г/моль, (тА/тв 3.9); )т =10 г/моль, (тА/тв 5.9); г) т =6 г/моль, (тА/тв 9.8).
При расчете дисперсионных кривых просканирована первая зона Бриллюэна -7z q,q ж. Шаг изменения величин проекций волновых Г J-X у Г векторов а ,а равен /50. Показана проекция полученных поверхностей на плоскость (а , ). Точками показаны частоты фононных колебаний измеряемых в ТГц.
Фононный спектр двумерной модели кристаллической решетки сплава стехиометрии АЧВ (МЛІ), при различных соотношениях масс атомов компонентов сплава.
Как видно из рисунка 4.11 в фононном спектре двумерной модели упорядоченного сплава МЛІ имеется щель, ширина которой не меняется по мере уменьшения массы компонента В. Эта щель показана на рис.3.12 двумя нижними пунктирными линиями. Кроме этой щели, в какой-то момент в процессе уменьшения массы компонента В, появляется и увеличивается по ширине, вторая запрещенная зона (вторая и третья пунктирные линии сверху см. рис. 4.12), при этом максимальное значение частоты спектра увеличивается, верхняя пунктирная линия на рис. 4.12.
Зависимость границ щелей фононного спектра и его максимальной частоты от массы атома компоненты В.
Частота нелинейной локализованной колебательной моды, возбуждаемой в двумерной модельной решетке упорядоченного сплава стехиометрии А3 , находится в щели фононного спектра этого кристалла (т.е. возбуждение ДБ происходит по мягкому типу). Однако она не может принимать произвольное значение в этой зоне. Она лежит в узком диапазоне верхней части щели фононного спектра кристаллической решетки. Указанный диапазон меняет свою ширину аналогично тому, как это происходит с шириной щели дисперсионных кривых при варьировании массы атомов компонента В упорядоченного сплава А3 . Достаточно широкий диапазон значений частот, ДБ при большом соотношении масс атомов сплава см. рис. 4.13.
Несмотря на то, что начальная температура ячейки задавалась равной нулю и, казалось бы, ни что не мешает колебаниям атомов алюминия несущих нелинейные локализованные моды, тем не менее, колебания ДБ являются затухающими.
. Дисперсионные зависимости доя А3 при отношении масс 30:1. Серым цветом показана область, в которой может лежать частота НЛКМ. Проскандована первая зона Бриллюэна -к а ,а ж с шагом /50 по каждой переменной, и результаты представлены в проекции на плоскость \Q , ).
Затухание возбуждения является следствием рассеяния части энергии в самом начале процесса. Из-за чего возникают незначительные флуктуации в почти строго периодическом изменении скорости и координаты атома, которые вызывают дальнейшую диссипацию энергии.
С уменьшением амплитуды увеличивается частота колебаний ДБ. На рис. 3.14 показано, как влияет амплитуда колебаний на частоту ДБ.
Для того, чтобы выяснить влияние на фононный спектр двумерной модельной решетки упорядоченного сплава влияние упругой деформации, проводился расчет спектра малоамплитудных колебаний двумерного упорядоченного сплава для массива точек первой зоны Бриллюэна с шагом 0.02 вдоль а и а .В недеформированном кристалле МЛІ имеется одна щель с частотами 41.7 45.2 ТГц, при максимальной частоте спектра равной 65.23 ТГц., см. рис.4.15.
Кривая зависимости частоты от амплитуды ДБ. График получен при соотношении масс упорядоченного сплава 30:1.
Спектр малоамплитудных колебаний недеформированной двумерной модели состава ЩМ, Просканирована первая зона Бриллюэна - а ,а с шагом /50 по каждой переменной, и результаты представлены в проекции на плоскость (дх, ). Имеется одна щель с частотами 41.7 45.2 ТГц при максимальной частоте спектра 65.2 ТГц.
Для двумерной модели кристалла Ni3Al с реальной массой атомов А1 была исследована зависимость ширины щелей фононного спектра от деформации однородного растяжения/сжатия = при =0. В результате было обнаружено две щели (рис. 4.16), одна из которых существует при однородной деформации = 0.02 и расширяется с увеличением деформации, а другая существует при = 0.1 и расширяется при убывании деформации. Верхняя пунктирная линия на рис. 4.16 соответствует максимальным частотам спектра в зависимости от деформации. Рис. 4.16 Зависимость ширины щелей фононного спектра и его максимальной частоты от однородной деформации растяжения/сжатия. В предыдущем параграфе была изучена принципиальная возможность существования ДБ в двумерной модельной решетке. В следующем параграфе будет рассмотрена модель механического воздействия на одну из границ расчетного блока на частотах близких к частотам дискретных бризеров [340, 341]. Возбу дение локализованных колебательных мод в двумерной модели упорядоченного сплава PtsAl
В предыдущих параграфах было показано, что существование ДБ возможно в упорядоченных кристаллах стехиометрии А3В при достаточно большом соотношении масс атомов сорта "А" и сорта "Я”. Упорядоченный сплав РцМ состоит из компонентов, с достаточным соотношением масс для возбуждения дискретных бризеров. Они возбуждаются аналогично тому, как это имело место в модели упорядоченного сплава Ni3Al с уменьшенной массой А1. В настоящем параграфе рассматривается вопрос о возможности массового возбуждения ДБ в модельной решетке Pt3Al [342, 343]. ДБ возбуждаются путем периодического внешнего воздействия.
Рассматривалась ячейка размером 40x40 частиц, с помощью которой моделировалась плоскость (111) ГЦК решетки. Она условно разбивалась на 10 одинаковых узких прямоугольных областей шириной четыре и высотой 40 межатомных расстояний. На границы расчетного блока накладывались периодические условия. Атомы двумерного кристалла упорядоченного сплава взаимодействовали посредством парных потенциалов Морзе, параметры которых рассчитывались с учетом семи координационных сфер: Таблица 4.2. Значения параметров потенциала Морзе.
