Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Методы и результаты исследований эффектов локализоации колебательной энергии и солитонов в кристаллах 15
1.1. Моделирование взаимодействия атомов с высокой кинетической энергией 15
1.2. Дискретные бризеры в биатомных упорядоченных
1.3. Дрейф точечных дефектов и их агрегатов в ГЦК решетках 27
1.4. Пары Френкеля и их агрегатизация в ГЦК металлах и упорядоченных сплавах 31
Глава II. Метод молекулярной динамики. Выбор потенциала взаимодействия между атомами 42
2.1. Методы компьютерного моделирования 42
2.1.1. Требование эргодичности компьютерных моделей 43
2.1.2. Метод вариационной квазистатики и Монте-Карло 46
2.2.1. Общая хароктеристика метода МД 48
2.2.2. Об особенностях накопления систематических ошибок в ММД ... 53
2.2.3. Основные проблемы, связанные с построением моделей ММД... 61
2.3. Потенциал Морзе. Визуализация компьютерных экспериментов 63
2.3.1. Обоснование выбора потенциала межатомного взаимодействия, расчет коэффициентов потенциала Морзе 63
2.3.2. Визуализация компьютерных экспериментов 67
Глава III. Фокусирующиеся и краудионные столкновения атомов 73
3.1. Условия, при которых имеют место фокусировка импульса и краудионные столкновения атомов 73
3.2. Краудионные столкновения атомов Си в трехмерной модели упорядоченного сплава CuAu со сверхструктурой Lli 75
3.2.1. О компьютерной модели 76
3.2.2. Краудионные столкновения в упорядоченном сплаве 78
3.3. Модификация потенциала Морзе для моделирования взаимодействия атомов обладающих высокой энергией 83
3.3.1. Расчет параметров потенциала Морзе 83
3.3.2. Поправочный член к потенциалу Морзе, методика расчета параметров модифицрованного потенциал 84
3.4. Движение краудиона и самофокусировка импульса в двумерной модели кристалла Ni 92
Выводы 98
Глава IV. Дискретные бризеры в двумерных моделях кристаллических решеток упорядоченных сплавов стехиометрии А3В 99
4.1. Расчет фононного спектра двумерной модельной решетки сплава А3В 99
4.2. Нелинейные локализованные колебания в двумерной модельной решетке упорядоченного сплава Ni3Al при заниженной массе А1 106
4.3. Причины существования дискретных бризеров в модели упорядоченного сплава 114
4.4. Возбуждение локализованных колебательных мод в двумерной Выводы 127
Глава V. Эффекты локализации энергии в моделях упорядоченных сплавов стехиометрии А3В со сверхструктурой Ы2 129
5.1. Методика расчета фононного спектра 3D моделей 129
5.2. Параметры, влияющие на возможность существования ДБ в модельной кристаллической решетке 138
5.3. Локализация энергии в модельном идеальном кристалле PtsAl 141
5.3.1. О постановке задачи 143
5.3.2. Возбуждение дискретных бризеров в модели Pt3Al 144
5.3.3. Локализация энергии фононных колебаний 151
5.4. Эффекты спонтанного перераспределения энергии колебаний в кристаллических решетках, находящихся в состоянии
5.4.1. О слабоустойчивых нелинейных колебаниях атома А1 в сплаве №зА1 160
5.4.2. О спонтанном перераспределении энергии фононных колебаний между подрешетками в модели упорядоченного сплава PtsAl 167
Выводы 171
Глава VI. Волны, возникающие при рекомбинации пар Френкеля в 2D и 3D модельных решетках металлов и их влияние на дрейф агрегатов точечных дефектов 173
6.1. Волны, вызывающие дрейф агрегатов точечных дефектов в двумерных моделях кристаллических решеток 174
6.1.1. Особенности используемой модели 174
6.1.2. Условия возбуждения уединенной поперечной волны 176
6.1.3. Скорость распространения уединенной поперечной волны 180
6.1.4. Взаимодействие уединенной поперечной волны с агрегатами
6.2. Волны, возникающие в результате рекомбинации пар Френкеля в трехмерной модели кристаллической решетки металла и их влияние на дрейф агрегатов точечных дефектов 183
6.2.1. О трехмерной модели 183
6.2.2. Возбуждение волн 185
6.2.3. Дрейф агрегатов точечных дефектов, вызываемый упругими Выводы 190
Глава VII. Динамические эффекты на межфазной границе сплава 192
7.1. Взаимодействие краудиона и межфазной границы 192
7.1.1. Динамический краудион на границе биметалла Ni-Al 192
7.2. О возбуждении локализованных мод 200
7.2.1. Модель 201
7.2.2. Динамические эффекты 203
Выводы 209
Глава VIII. Пары Френкеля и их агрегатизация в модельных кристаллических рештках металлов и их упорядоченных сплавов 211
8.1. Моделирование пар Френкеля в двумерных моделях кристаллических решеток Al, Ni, и №зА1 211
8.1.1. Агрегатизация межузельных атомов 212
8.2. Моделирование агрегатизации пар Френкеля в трехмерных моделях кристаллических решеток №зА1 216
8.2.2. Агрегатизация вакансий 218
8.2.3. Агрегатизация межузельных атомов 230
8.2.4. Аграгатизация пар Френкеля 234
8.3. Пары Френкеля и их роль в фазовых превращениях кристалл- расплав 241
8.3.1. Пары Френкеля в частично расплавленном кристалле 242
8.3.2. Пары Френкеля в кристаллах при высоких температурах 245
Ввыводы
- Дискретные бризеры в биатомных упорядоченных
- Об особенностях накопления систематических ошибок в ММД
- Модификация потенциала Морзе для моделирования взаимодействия атомов обладающих высокой энергией
- Параметры, влияющие на возможность существования ДБ в модельной кристаллической решетке
Введение к работе
Актуальность исследования.
На сегодняшний день нелинейная физика, и в частности физика солитонов испытывает интенсивное развитие, причем значительная часть работ имеет теоретический характер, и в какой-то мере она развивается как отрасль математической физики и компьютерного моделирования [1, 2]. Математические модели хорошо описывают и позволяют идентифицировать солитоны различных типов и различной природы. Например, известны оптические солитоны в волоконных световодах [3], они обнаружены в живых организмах, которые переносят энергию и информацию [4], на поверхности жидкости и в твердых телах [5].
Дискретные бризеры (ДБ) или нелинейные локализованные колебательные моды (НЛКМ) в идеальных кристаллах, относят к динамическим солитонам. Они представляют собой нелинейные незатухающие колебания большой амплитуды строго определенной частоты одной или группы частиц в бездефектной периодической структуре. Впервые концепция локализации колебательной энергии в нелинейных моделях идеальных кристаллических решеток различных размерностей была предложена Sievers A.J. и Takeno S. в работе [6]. За период в четверть века с момента появления первой публикации интерес к ДБ неуклонно возрастает. Нелинейные локализованные колебательные моды экспериментально обнаружены в нелинейной оптике [3], джозевсоновских сверхпроводящих контактах [7]. Относительно недавно появились экспериментальные работы по поиску ДБ и явлений, связанных с ними, в кристаллах Nal [8, 9].
Задачи, связанные с массопереносом, дрейфом точечных топологических солитонов и их агрегатов в кристаллических решетках, имеющие прямое отношение к проблемам пластичности и прочности твердых тел, являются классическими. В связи с появлением новых материалов и открытием таких явлений, как например, эффект дальнодействия, интерес к ним не ослабевает [10, 11].
Таким образом, направления исследований, связанные с локализацией энергии колебаний атомов, с динамическими и топологическими солитонами в твердых телах являются актуальными.
Настоящая работа посвящена изучению эффектов локализации колебательной энергии и некоторых процессов, связанных с топологическими солитонами в двух- и трехмерных моделях ГЦК кристаллических решеток, построенных с помощью метода молекулярной динамики. Рассматривалась локализация энергии колебаний не только на
динамических солитонах [12 - 14], на нелинейных колебательных модах или т.н. дискретных бризерах [15, 16], но и локализация энергии фононных колебаний на подрешетке атомов сорта "В" в упорядоченных кристаллах стехиометрии А3В, которая к солитонам не относится.
Целью работы является поиск и изучение эффектов локализации колебательной энергии и явлений, связанных с дрейфом и агрегатизацией точечных топологических солитонов в биатомных сплавах с ГЦК кристаллической решеткой.
Математические модели периодических структур, позволяющие получать бризерные решения, строятся, как правило, с помощью короткодействующих потенциалов, обеспечивающие взаимодействие лишь со своими ближайшими соседями [1, 12, 15, 16]. Очевидно, что это достаточно грубое приближение, чтобы судить о том, насколько близко они описывают свойства реальных кристаллов. В настоящей работе используется дальнодействующие потенциалы, учитывающие воздействие соседних атомов до седьмой, а иногда и до десятой координационной сферы включительно.
Учет такого большого количества соседей по кристаллу весьма громоздкая задача, по этой причине использовалась не аналитическое, а компьютерное моделирование. Для рассматриваемых задач наиболее подходящим оказался метод молекулярной динамики (ММД).
Итак, в диссертации, методом молекулярной динамики с помощью достаточно универсального потенциала Морзе, который позволяет строить модели, отражающие весьма широкий спектр свойств реальных кристаллов [10], исследовались:
возможности получения бризерных решений в моделях реальных сплавов стехиометрии А3В;
влияния различных факторов на существование НЛКМ;
обнаруженные эффекты локализации энергии фононных колебаний в подрешетке атомов сорта "5" в упорядоченных кристаллах стехиометрии АзВ, со щелью в фононном спектре;
- слабоустойчивые колебания атома А1 в упорядоченном сплаве МзАІ.
Кроме этого, рассмотрены особенности агрегатизации точечных
дефектов в упорядоченном сплаве МзАІ; влияние на дрейф агрегатов точечных упругих волн, продольных и поперечных, возникающих при рекомбинации пар Френкеля; изучены динамические эффекты, возникающие на межфазной границе биметаллов; осуществлена модификация потенциала Морзе, для моделирования столкновений атомов обладающих высокой энергией; смоделированы краудионные и
фокусирующиеся столкновения атомов Си в 3D модели упорядоченного сплава СиАи.
Научная новизна работы заключается в следующем.
1. Впервые, в 2D и 3D моделях упорядоченного сплава Pt?Al,
построенных методом молекулярной динамики, показана возможность
возбуждения ДБ.
2. Изучено влияние различных факторов на возможность
возбуждения ДБ в моделях упорядоченных сплавов стехиометрии А зВ.
3. Показано на примере модельного сплава МзАІ, что появление
колебательных мод с частотами, входящими в щель фононного спектра не
является достаточным признаком возбуждения щелевых ДБ.
4. Обнаружена новая разновидность локализации энергии колебаний,
локализация энергии фононных колебаний на подрешетке атомов сорта
"5" в упорядоченном кристалле стехиометрии А3В со сверхструктурой Ы2
и со щелью в фононном спектре.
Практическая и научная ценность работы заключается в следующем.
-
Найдено сочетание параметров, характеризующих кристалл, необходимое для существования щелевых ДБ в упорядоченных сплавах стехиометрии А3В со сверхструктурой Ы2. Как оказалось, наибольшее влияние на принципиальную возможность возбуждения НЛКМ оказывает соотношение масс и эффективных диаметров атомов компонентов сплава. Причем, если масса атомов сорта "Л" должна существенно превосходить массу атомов сорта "5", в настоящей работе в семь раз и более, то эффективный диаметр первых должен быть, хотя бы незначительно, меньше диаметра вторых. Ни объемный модуль упругости, ни энергия сублимации заметной роли в жизни ДБ не играют.
-
Исследование процесса слабоустойчивых колебаний атома алюминия в 3D модели упорядоченного сплава Niyil, в котором невозможно существование ДБ, показало, что частоты этих колебаний оказываются в щели фононного спектра упорядоченного сплава. Таким образом, поставлена под сомнение интерпретация результатов эксперимента по обнаружению спонтанного возбуждения дискретных бризеров в Nal, находящегося в состоянии термодинамического равновесия при температуре 555 К [8], в котором в качестве признака возбужденя ДБ принято появление колебательных мод с частотами, лежащими в щели фононного спектра.
3. Открыта возможность локализации энергии фононных оптических
колебаний подрешетки атомов сорта "5" кристаллов со стехиометрией А 3В,
со сверхструктурой Ы2, и со щелью в фононном спектре. Сущность
явления заключается в том, что энергия оптических колебаний более легких атомов "5" возбужденных при О К благодаря наличию щели в фононном спектре не передается атомам сорта "А". Иными словами, реализуется ситуация, при которой энергия колебаний легких атомов может сколь угодно долго, значительно, до двух порядков, превосходить энергию колебаний более массивных атомов.
На защиту выносятся следующие положения:
-
Выявлена возможность возбуждения дискретных бризеров в 2D и 3D моделях упорядоченного сплава Pt^Al.
-
Установлено, что для возбуждения ДБ в моделях упорядоченных сплавов стехиометрии А3В необходимо выполнение двух условий. Во-первых, должно быть большое соотношение масс атомов (в предлагаемой работе оно было от 7:1 и более). Во-вторых, эффективный диаметр атомов сорта "5" должен быть больше эффективного диаметра сорта "А".
3. Показана возможность возбуждения слабоустойчивых
колебательных мод с частотами, входящими в щель фононного спектра, в
тех кристаллах, где в принципе не возникают ДБ. Этот факт доказывает то
обстоятельство, что появление колебательных мод с частотами, входящими
в щель фононного спектра не является достаточным признаком
возбуждения щелевых ДБ.
4. Обнаружена локализация энергии фононных колебаний на
подрешетке атомов сорта "5" в упорядоченном кристалле стехиометрии
АзВ со сверхструктурой Ы2, со щелью в фононном спектре.
-
В модельных кристаллах состава А3В, (со щелью в фононных спектрах) находящихся в состоянии термодинамического равновесия, обнаружено локальное спонтанное перераспределение энергии колебаний между подрешетками.
-
Кроме того, модифицирован потенциал Морзе для моделирования столкновения атомов с энергией 10 - 400 эВ; на границе биметаллов при некоторых условиях возможно появление ударной волны и возбуждение долгоживущей нелинейной локализованной моды; в результате рекомбинации пар Френкеля возможно возбуждение не только продольной, но и при некоторых условиях, поперечной волны, эти волны при взаимодействии с агрегатами вакансий и межузельных атомов, вызывает их разнонаправленный дрейф; тетраэдр дефектов упаковки не является конечным кластером агрегатизации вакансий в Niyil; агрегаты, образованные из вакансий в интерметаллиде МзАІ менее стабильны по сравнению с аналогичными образованиями в моноатомных кристаллах М и А1.
Апробация работы. Результаты работы были доложены и обсуждены на следующих всероссийских и международных научных конференциях. VI Всероссийская научно-техническая конференция "Измерения, автоматизация и моделирование в промышленности и научных исследованиях", (ИАМП - 2005), Бийский технологический институт, 6-7 октября, Алтайский край, Бийск, 2005; VIII Всероссийская научная конференция "Краевые задачи и математическое моделирование", 1-3 декабря, Новокузнецк, 2006; International Conference on Computational Methods, (ICCM - 2007), Japan, International Conference Center, 4-6 April, Hiroshima, 2007; 13th International Conference on Liquid and Amorphous Metals, Russia, 8-14 July, Ekaterinburg, 2007; The Second International conference "Deformation & Fracture of Materials and Nanomaterials", (DFMN-2007), Russia, 8-11 October, Moscow, 2007; V th International Conference on "Materials Structure and Micromechanics of Fracture", (MSMF5), Czech Republic, June 27 - 29, Brno, 2007. 9th International Conference on Modification of Materials With Particle Beams and Plasma Flows, Russia, September 21 - 26, Tomsk, 2008; Открытая школа-конференция стран СНГ "Ультрамелкозернистые и наноструктурные материалы" Россия, Республика Бошкортостан, 4-9 августа, Уфа, 2008; Международный симпозиум "Перспективные материалы и технологии", Беларусь, 25 - 29 мая, Витебск, 2009; XVII Международная конференция «Физика прочности и пластичности материалов», Россия, 23 - 25 июня, Самара, 2009; Региональная научно-практическая конференция «Наноиндустрия Алтая 2009» Бийск, 2009. 10th International Conference on Modification of Materials with Particle Beams and Plasma Flows, Russia, September 19-24, Tomsk, 2010; Открытая школа-конференция стран СНГ "Ултрамелкозернистые и наноструктурные материалы" Россия, Республика Башкортостан, 11-15 октября, Уфа, 2010; 50й Международный симпозиум "Актуальные проблемы прочности", Беларусь, 27 сентября - 1 октября, Витебск, 2010; Fifth International Conference "Multiscale Materials Modeling" (MMM-2010), Germany, October 04-08, Freiburg, 2010; Международная научно-практическая конференция "Фундаментальные науки и образование", Россия, Алтайский край 29 января - 1 февраля, Бийск, 2011; Всероссийская конференция "VI сессия научного совета РАН по механике", 26-31 июля, Барнаул, Бело кур иха, 2012; Всероссийская научно-практическая конференция "Информационные технологии в науке, экономике и образовании", Алтайский край, 8-9 октября, Бийск, 2012; 3rd International Congress on Radiation Physics and Chemistry of Condensed Matter, High Current Electronics and Modification of Materials with Particle Beams and Plasma Flows, Russia, on September 17-21, Tomsk, 2012; VII Международная
конференция "Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих явлений", Россия, 18-21 июня, Тамбов, 2013; European Materials Research Society (E-MRS 2013) Fall Meeting, Poland, September 16 -20, Warsaw, 2013;
Публикации. Результаты работы изложены в 75 публикациях, 29 из которых в Российских и зарубежных журналах, включенных в список ВАК Минобрнауки РФ для публикации материалов докторских диссертаций, в том числе, авторское свидетельство государственного образца на программу ЭВМ, полученное в соавторстве.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы из 400 наименований. Работа изложена на 299 страницах машинописного текста, содержит 12 таблиц, 122 рисунка.
Дискретные бризеры в биатомных упорядоченных
В кристаллических телах в результате интенсивных внешних воздействий, таких как радиационное, пластическая деформация, наноиндентирование и других, возникает состояние слабой устойчивости структуры [83 - 87], благодаря чему происходит е перестройка, сопровождающаяся появлением и эволюцией различного рода топологических дефектов [88 - 90]. К ним относятся пары Френкеля, атомы замещения, краудионные комплексы, тетраэдры дефектов упаковки и т.д.
Известен целый ряд работ [91 - 93] по исследованию поведения конденсированных систем в слабоустойчивом состоянии вблизи границы потери устойчивости. Статические или динамические дефекты структуры вследствии их взаимодействия в этом слабоустойчивом состоянии не только оказывают влияние на структурно-фазовые превращения в системе, но и порой определяют канал превращения [83 - 98]. Фактически, структура распределения динамических дефектов определяет структуру дочерней фазы при превращении. При этом эти динамические дефекты взаимодействуют друг с другом, задавая, по существу, в этом слабоустойчивом состоянии ансамбль элементов длиннопериодической структуры системы [99 - 102].
Наряду с топологическими, в последнее время интенсивно изучаются и нетопологические точечные дефекты. Речь идет о нелинейных локализованных колебательных модах (НЛКМ) или дискретных бризерах (ДБ), существующих в кристаллах с идеальной кристаллической решеткой.
Локализованные в пространстве и периодические по времени высокоамплитудные возбуждения в нелинейных дискретных структурах с трансляционной симметрией, называют дискретными бризерами, внутренними локализованными модами, нелинейными локализованными возбуждениями и т.д. [4, 5, 103, 104].
Концепция локализации колебательной энергии, возникающей благодаря ангармонизму в нелинейных моделях идеальных кристаллических решеток различных размерностей, за четверть века с момента появления первой публикации, в которой она была предложена [18], испытала интенсивное развитие. За это время возможность существования нелинейных локализованных колебательных мод (НЛКМ) или дискретных бризеров (ДБ) была доказана строго с помощью теорем [105, 106] и множеством результатов, полученных численным интегрированием уравнений, описывающих динамику различных моделей и не имеющих аналитических решений см. обзор [4].
Поясним причину локализации колебательной энергии в кристаллической решетке. Колебания кристаллической решетки можно условно разделить на два типа. К первому типу отнесем наиболее распространенные возбуждения с малой амплитудой или линейные колебания. Важной особенностью линейных мод является их независимость друг от друга, которая следует из того, что они являются точными решениями уравнений движения атомов, линеаризованных вблизи их равновесных положений, а для линейных уравнений справедлив принцип суперпозиции решений. К линейному типу относятся, например, моды, локализованные на дефектах кристаллической структуры, а также колебания атомов при распространении фононных волн. Отметим, что у каждого кристалла, в том числе и модельного, существует свой спектр малоамплитудных колебаний, т.н. фононный спектр или дисперсионные соотношения.
Ко второму типу относятся возбуждения большой амплитуды, когда проявляется нелинейность во взаимодействии между атомами. (Для решений нелинейных уравнений принцип суперпозиции не выполняется, следовательно, колебательные моды могут взаимодействовать друг с другом, что при определенных условиях влияет на возможность возбужнения ДБ [107]).
Атомы несущие нелинейные локализованные моды могут совершать колебание довольно продолжительное время, при этом рассеяние энергии практически не происходит благодаря тому, что частота ДБ находится за пределами фононного спектра. Выход частоты ДБ из фононного спектра обусловлен зависимостью частоты нелинейного осциллятора от его амплитуды. В случае нелинейности жесткого типа частота осциллятора растет с увеличением амплитуды, а при мягком типе нелинейности имеет место противоположная зависимость частоты от амплитуды. В кристаллах с жестким типом нелинейности частота ДБ, при достаточно большой амплитуде, лежит выше фононного спектра. При мягком типе нелинейности частота ДБ должна войти в щель фононного спектра, и, в этом случае, существование щели в фононном спектре является необходимым условием существования ДБ. Отметим, что при выполнении ряда весьма специфических условий, частота ДБ может лежать в фононном спектре, и такие ДБ называют погруженными [108]. В работе [109] показано, что графене могут существовать ДБ, частота которых лежит в фононном спектре, однако погруженными не являются.
Возможность локализации энергии, которая впервые предсказана авторами работы [18] получила экспериментальное подтверждение. Дискретные бризеры были обнаружены в различных областях, например в нелинейной оптике [15, 109, 111], джозефсоновских сверхпроводящих контактах [19], в аниферромагнетиках [112].
Относительно недавно были проведены экспериментальные поиски ДБ в кристалле Nal в состоянии теплового равновесия [20]. В указанной работе в качестве признака, по которому судили о возбуждении ДБ, было принято появление мод с частотами, лежащими в щели фононного спектра рассматриваемого химического соединения. Очевидно, что авторы постулировали предположение, что частоты запрещенные плотностью фононных состояний могут иметь только дискретные бризеры а не быстро затухающие высокоамплитудные колебательные моды, например. Очевидно, что предсказанное ранее методом молекулярной динамики существование ДБ в этом кристалле [113], не может служить оправданием для авторов [20].
Об особенностях накопления систематических ошибок в ММД
Кроме погрешности счета в ММД, о которой говорилось выше, кратко остановимся еще на наиболее важных проблемах метода, более подробную информацию о них можно найти во второй главе диссертации Г.М. Полетаева [22].
Как отмечается в [280] к сожалению, не удается органическим образом включить в метод молекулярной динамики квантовые эффекты. По этой причине у ММД есть ограничения по применению, необходимо чтобы волна Де Бройля модельных атомов была много меньше межатомного расстояния а: где - волна Де Бройля, h - постоянная Планка, MV - импульс атома. С помощью ММД нельзя моделировать структуры содержащие атомы водорода, гелия, бериллия и др., а также кристаллы при низких температурах. Так для алюминия граница проходит по значениям 100-150 К.
В наших модельных экспериментах используются начальные условия, при которых температура расчетной ячейки равна нулю. Однако при этом рассматриваются явления, такие, например, как колебания атомов несущих НЛКМ или краудионные столкновения, когда отдельные атомы обладают значительной энергией 1-100 эВ. Очевидно, что в этом случае квантовыми эффектами можно пренебречь.
Следующая основная проблема метода молекулярной динамики заключается в скорости счета на компьютере. Она ограничивает возможности в определении размеров рассматриваемых моделей а, следовательно, на избираемый круг задач. Она оказывает влияние на условия проведения компьютерных экспериментов, на их начальные условия, на выбор потенциала и на многое другое.
Возможности решения этой проблемы ограничивается подбором задач, для которых размеры ячейки не критичны, оптимизацией программного кода - избавление от лишних процедур в процессе счета, выбором оптимальной схемы счета, оптимальной обрезкой потенциала, выбором шага интегрирования. В нашем случае, когда используется парный потенциал, расчет силы между двумя атомами осуществляется только один раз, т.к. справедлив третий закон Ньютона. Расчетный блок разбивается на ячейки с присвоением номера, для упрощения поиска атомов, находящихся внутри радиуса действия потенциала [286, 287].
Существуют и другие способы ускорения расчетов [22, 288], но поскольку они нами не использовались, не будем на них останавливаться.
Более подробно остановимся на проблеме корректного описания межатомного взаимодействия и визуализации модельных экспериментов.
Метод молекулярной динамики требует более значительных затрат машинного времени по сравнению с другими методами. На достоверность результатов и скорость счета существенно влияет выбор потенциала взаимодействия между атомами.
При моделировании процессов происходящих в кристаллах довольно проблематично использовать методы из первых принципов, поскольку учет сложного распределения электронной плотности вблизи дефектов и в случае теплового движения атомов, достаточно трудная задача квантовой механики. На сегодняшний день строгих прямых квантовомеханических методов расчета эволюции дефектов кристаллов не существует.
Тем не менее, существуют приближенные квантовомеханические методы, которые привлекаются не только для описания идеальных кристаллов, но и кристаллов с дефектами, такими как дефекты упаковки [289, 290], антифазные границы [291], двойники [290, 292], границы зерен [293 294]. Но даже приближенные расчеты из первых принципов требуют очень много машинного времени.
В качестве альтернативы методам “ab initio” (от начала) разрабатываются подходы, основанные на учете в общей энергии кристаллов, т. н. объемно-зависящих вкладов [295 - 298]. Эти подходы осуществляются с помощью многочастичных потенциалов. К наиболее известным потенциалам этого типа относятся потенциалы Финниса-Синклера [299, 300], Клери-Розато [301] и потенциалы, осуществляющие метод погруженного атома (embed atom method (БАМ)) [302, 303].
Многочастичные потенциалы, также как и парные являются эмпирическими. По сравнению с парными потенциалами они имеют более сложную форму, и подгонка параметров осуществляется с привлечением большего числа экспериментальных характеристик. Модели, построенные с помощью многочастичных потенциалов, требует больше машинного времени, чем те же модели в которых используется парные потенциалы.
Не смотря на то, что эти потенциалы строятся с учетом объемно-зависящих вкладов, они не позволяют получить надежные значения энергии дефектов, впрочем, также как и парные потенциалы. Многочастичные потенциалы широко используются для моделирования кристаллов для изучения различного рода дефектов, однако эти исследования не дали каких либо качественно новых результатов по сравнению с теми, что были получены с помощью парных потенциалов [208, 209, 304, 305].
Таким образом, остаются парные потенциалы, такие как потенциал Леннарда-Джонса (2.13), потенциал Морзе (2.12) и др.
Предпочтение было отдано потенциалу Морзе, поскольку его возможности хорошо изучены и с его помощью достаточно успешно удается описать разнообразные свойства металлов и сплавов [22, 267, 268, 227-233]. Этот потенциал имеет экспоненциальное отталкивание и более мягкое экспоненциальное притяжение:
Модификация потенциала Морзе для моделирования взаимодействия атомов обладающих высокой энергией
В предыдущих параграфах было показано, что существование ДБ возможно в упорядоченных кристаллах стехиометрии А3В при достаточно большом соотношении масс атомов сорта "А" и сорта "Я”. Упорядоченный сплав РцМ состоит из компонентов, с достаточным соотношением масс для возбуждения дискретных бризеров. Они возбуждаются аналогично тому, как это имело место в модели упорядоченного сплава Ni3Al с уменьшенной массой А1. В настоящем параграфе рассматривается вопрос о возможности массового возбуждения ДБ в модельной решетке Pt3Al [342, 343]. ДБ возбуждаются путем периодического внешнего воздействия.
Рассматривалась ячейка размером 40x40 частиц, с помощью которой моделировалась плоскость (111) ГЦК решетки. Она условно разбивалась на 10 одинаковых узких прямоугольных областей шириной четыре и высотой 40 межатомных расстояний. На границы расчетного блока накладывались периодические условия. Атомы двумерного кристалла упорядоченного сплава взаимодействовали посредством парных потенциалов Морзе, параметры которых рассчитывались с учетом семи координационных сфер: Таблица 4.2. Значения параметров потенциала Морзе. величин проводился по схеме Эйлера, с шагом численного интегрирования At = 0.005 пс.
Периодическое воздействие на атомы одной из граничных областей модельного кристалла по направлению (-110), вдоль которого направили ось (Ох), на частотах, которые могут иметь ДБ, и близких к ним, задавалось посредством выражения: где - частота внешнего воздействия, и \і] - составляющая скорости і атомов, находящихся не далее 4 от левой границы ячейки.
На противоположной стороне от первой области, области «внешнего» воздействия размещался «холодильник» - часть ячейки, где атомы обладали низкой кинетической энергией. В этой части расчетного блока скорости частиц уменьшались в 5 раз после каждой итерации. Размеры «холодильника» варьировались достаточно широко от одной до восьми областей.
Указанный «холодильник» выполнял три функции. Во-первых, охлаждал ячейку. Во-вторых, благодаря периодичности граничных условий «внешнее» воздействие возбуждало колебания с двух сторон ячейки. Благодаря «холодильнику» возбуждение колебаний с одной из сторон блокировалось. В-третьих, эта часть ячейки играла роль некой массивной сверхупругой среды, которая тормозила дрейфовое движение атомов ячейки, вызываемое постоянным периодическим воздействием на одну из ее сторон.
Отметим, что благодаря периодическим граничным условиям, при однонаправленном движении атомов, например, вдоль оси (0х), ячейка соседей. У атомов четвертого вертикального ряда последней области нет остается на месте, а движутся лишь атомы, занимая места впереди стоящих впереди стоящих соседей, они перемещаются на противоположную сторону ячейки, на исходное место атомов первого ряда первой области. Последовательное перемещение двух вертикальных атомных рядов из конца в начало ячейки возвращает первую область к исходной конфигурации расположения атомов. В некоторых случаях это приводит к повторяемости получаемых результатов, с течением времени счета.
Сделаем некоторые пояснения относительно частоты внешнего воздействия . Дело в том, что в биатомных кристаллах, при большом соотношении масс его компонент, частота НЛКМ не может принимать произвольные значения запрещенной зоны ФС. Частоты, которые может иметь ДБ, лежат в узком диапазоне верхней части запрещенной зоны, которая расширяется (сужается) по мере увеличения (уменьшения) соотношения масс атомов компонентов кристалла [115, 330, 331 335]. Известно также, что если существуют факторы, вызывающие затухание колебаний НЛКМ, например, температура отличная от 0 К, то затухание происходит с возрастанием частоты. Таким образом, чтобы получить максимальную продолжительность колебаний ДБ необходимо сообщить более «легкому» атому кристалла максимально возможную амплитуду колебаний. Максимальной амплитуде соответствует минимальная частота, с которой может совершать колебания атом несущий НЛКМ [335, 338]. Чем уже частотный диапазон колебаний НЛКМ, тем менее они устойчивы, даже при отсутствии факторов вызывающих затухание. Заметное уменьшение амплитуды колебаний у таких бризеров происходит в течение нескольких периодов.
У рассматриваемого нами сплава соотношение масс компонентов таково, что колебания неустойчивы, диапазон частот колебаний ДБ очень узок см. рис. 4.17. В фононном спектре двумерной модельной решетки сплава РцАІ частоты НЛКМ лежат приблизительно в диапазоне 72 , 123
ТГц. Ширина частотного диапазона ДБ - А . 3 ТГц., что составляет менее 10 от ширины запрещенной зоны. Для сравнения: при тридцатикратном соотношении масс компонентов упорядоченного сплава диапазон НЛКМ достигает 60 от значительно большей ширины запрещенной зоны ФС [330, 331, 335, 338]. 5459999999999 Рис. 4.17. Спектр малоамплитудных колебаний двумерной модели кристаллической решетки упорядоченного сплава Pt3Al. Просканирована первая зона Бриллюэна - а ,а . Шаг изменения величин проекций Г Г J-X J-y г волнового вектора qx,qy равен /50. Показана проекция полученных поверхностей на плоскость (qx, ). Точками показаны частоты фононных колебаний , измеряемых в ТГц. В спектре имеется щель, запрещенная зона, в верхней части которой серой полосой выделен диапазон частот ДБ.
Условия возбуждения ДБ существенным образом зависят от размеров «холодильника». Рассмотрим два предельных случая:
1. Размеры «холодильника» велики. На рис. 4.18. показан процесс возбуждения ДБ, когда «холодильник» включает в себя 8 областей. Частота воздействия =78.5 Тгц, т.е. находится выше максимальной частоты диапазона ДБ показанного на рис. 4.17. Тем не менее, НЛКМ достаточно хорошо возбуждаются. Это связано с тем, что та часть ячейки, в которой возбуждаются ДБ, оказалась сжатой периодическим воздействием (3) с одной стороны и «холодильником» с другой. Это приводит к изменению ФС модельного кристалла, и в частности к повышению частот запрещенной зоны [330, 331]. Преодолев максимум, амплитуда ДБ медленно уменьшается по мере перемещения атомов холодильника и уменьшением степени деформации сжатой части ячейки. На это накладывается еще один фактор, из зоны периодического воздействия (4.20) уходит один из двух изначально там находившихся вертикальных атомных рядов, в связи с чем, интенсивность воздействия падает. Имеет место возбуждение ДБ во второй области с несколько меньшей амплитудой.
2. Размер «холодильника» мал. На рис. 4.18 показан процесс возбуждения НЛКМ когда «холодильник» включает в себя одну область последнюю. Возбуждение начинается также быстро как и в первом случае.
Частота воздействия, 66 ТГц., несколько ниже минимальной частоты диапазона, отмеченного серым цветом на рис. 4.17. Это благодаря тому, что в момент включения периодического воздействия (4.20) возникает возмущение, которое, перемещаясь по кристаллу, слегка его растягивает позади себя. Это растяжение вызывает понижение частот запрещенной зоны фононного спектра [330, 331]. Возбуждение ДБ наблюдается только в первой области.
Параметры, влияющие на возможность существования ДБ в модельной кристаллической решетке
Процесс рекомбинации ПФ при симметричных начальных условиях также представляет интерес. Каждый межузельный атом ПФ в течение очень короткого промежутка времени, порядка одной десятой пикосекунды, неизбежно оказываются в одном плотноупакованном ряду с вакансией в составе краудиона, как показано на рис. 6.1. Ь). В ходе экспериментов, МА никогда не занимали место в одном плотноупакованном ряду с ближайшей вакансией. Очевидно, что такое взаимное расположение точечных дефектов энергетически невыгодно. Если же изначально задать такую конфигурацию, см. рис. 6.3 a), то это приводит не к рекомбинации ПФ а к появлению нового ряда вакансий см. рис. 6.3 b), модельная ячейка «распухает».
В течение приблизительно 0,4 - 0,5 не. крайние атомы краудионов одновременно занимают вакансии. Это может происходить с равной вероятностью в направлениях указанных стрелками см. рис. 6.1. b). В результате этого согласованного акта, как уже отмечалось, возникают две расходящиеся УПВ, причем при рекомбинации в направлении указанной верхней стрелкой имеет место выпуклая, а в направлении указанной нижней стрелкой - вогнутая форма возмущения.
Чтобы ответить на вопрос, насколько важна симметрия в расположении точечных дефектов для возбуждения поперечной волны, проводился ряд экспериментов с несимметричными начальными условиями. Эксперименты ставились как с частичной так и с полной асимметрией. При частичной асимметрии дефекты одного типа располагались, как и в симметричном случае, вдоль одной прямой, а дефекты другого типа хаотично «разбрасывались» на разные расстояния по одну сторону от этой прямой.
Чем дальше начальная конфигурация ПФ от симметричного случая, тем хуже проявляется поперечность возбуждаемой волны. Становится изрезанным фронт волны, уменьшается ее высота. Тем не менее, уединенная поперечная волна возбуждаются в результате рекомбинации пар Френкеля и в относительно несимметричных случаях см. рис. 6.4.
Скорость распространения уединенной поперечной волны имеет смысл сравнивать с какой-нибудь характерной величиной, например, со скоростью звука в рассматриваемой модельной решетке. Скорость звука определялась по следующей методике. Произвольному атому или группе атомов, находящихся в одном ряду кристаллической решетки, имеющей нулевую температуру, сообщалось незначительное, порядка 0,01 ангстрем отклонение от положения равновесия или малая скорость, порядка 10-2 А/пс. Отслеживая распространение возмущения с течением времени можно оценить его скорость движения.
Измеренная таким образом скорость звука в рассматриваемой модельной решетке составила приблизительно 5400 м/c. Напомним, что реальная скорость звука в никеле - 4800 м/c. Скорость УПВ приблизительно 3200 м/c, что составляет около 60 от скорости звука в модельной двумерной кристаллической решетке. Длина волны приблизительно в полтора раза больше чем расстояние между прямыми, на которых размещались разноименные точечные дефекты.
Особенностью поперечной волны является ее относительно слабое затухание по сравнению с продольной звуковой волной. По этой причине она взаимодействует с агрегатами точечных дефектов на значительном расстоянии от места возникновения волны, вызывая их дрейф. По нашим оценкам, по крайней мере, в сотнях нанометров. В тоже время, дрейфа уединенных точечных дефектов она не вызывает, что, очевидно, связано с тем, что их размеры много меньше длины волны. Размеры агрегатов точечных дефектов влияет на направление их дрейфа в результате прохождения продольно-поперечной волны.
Если размеры агрегата вакансий невелики, включает в себя, например три вакансии, в этом случае УПВ увлекает за собой этот агрегат рис.5. При увеличении числа вакансий в агрегате направление его дрейфа при взаимодействии с УПВ изменяется, см. рис. 6 а). Объясняется это тем, что потенциальная энергия атомов внутри и вокруг вакансионного агрегата и у атомов внутри области занятой УПВ имеют различный знак. Если размеры агрегата сравнимы с размерами длины волны, то при столкновении эти энергии мгновенно компенсируются, и происходит смещение агрегата в сторону возникшего градиента давления. Иными словами, атомы, переносящие волну «проваливаются» в разреженное пространство вакансионного агрегата
Компенсация энергий атомов несущих УПВ с объединением небольшого числа вакансий, такого, размеры которого меньше длины волны, происходит в течение более продолжительного времени и наблюдается увлечение агрегата волной.
После прохождения такого препятствия как агрегат точечных дефектов фронт волны испытывает разрыв, часть энергии волны расходуется на перемещение дефекта. С течением времени фронт волны восстанавливается.
Направление движения объединения межузельных атомов при взаимодействии с волной преимущественно по направлению изгиба волны, см. рис. 6.5.
Импульс переносимый рассматриваемой одиночной поперечной волной, см. рис. 6.6 существенно меньше импульса одиночной продольной волны, например при баллистическом переносе тепла [371].
