Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Гамильтонова механика классических сплошных сред 16
1.1. Динамика классических сплошных сред 16
1.2. Дифференциальные законы сохранения. Представление плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах плотностей аддитивных интегралов движения 24
1.3. Термодинамика нормальных конденсированных сред. Нахождение плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах термодинамического потенциала 26
1.4. Идеальная гидродинамика. Линеаризация уравнений и акустический спектр 30
Глава 2. Динамика одноосных нематиков со стержнеподобными молекулами 34
2.1. Представление оси пространственной анизотропии и конформационной степени свободы стержнеподобной молекулы в терминах тензора дисторсии. Алгебра скобок Пуассона параметров сокращенного описания 34
2.2. Термодинамика одноосных нематиков со стержнеподобными молекулами. Нахождение плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах термодинамического потенциала 39
2.3. Нелинейные уравнения идеальной динамики одноосных нематиков со стержнеподобной формой молекул 44
2.4. Линеаризованные уравнения динамики. Угловая зависимость и компьютерное моделирование двух спектров коллективных возбуждений 47
Глава 3. Термодинамика и динамические процессы в одноосных нематиках с дископодобными молекулами 54
3.1. Одноосные состояния в нематиках с дископодобными молекулами. Представление оси пространственной анизотропии и конформационной степени свободы дископодобной молекулы в терминах тензора дисторсии. Алгебра скобок Пуассона для параметров сокращенного описания 54
3.2. Термодинамика одноосных нематиков с дископодобными молекулами. Нахождение плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах термодинамического потенциала 57
3.3. Нелинейные уравнения идеальной динамики одноосных нематиков с дископодобной формой молекул 62
3.4. Линеаризация уравнений динамики. Угловая зависимость и компьютерное моделирование двух спектров коллективных возбуждений 64
Глава 4. Динамические процессы в двухосных нематиках с молекулами эллипсоидальной формы ...70
4.1. Двухосные состояния нематиков с молекулами эллипсоидальной формы. Представление осей пространственной анизотропии и конформационных степеней свободы в терминах тензора дисторсии. Алгебра скобок Пуассона для параметров сокращенного описания 70
4.2. Термодинамика двухосных нематиков с эллипсоидальными молекулами. Нахождение плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах термодинамического потенциала 74
4.3. Нелинейные уравнения идеальной динамики двухосных нематиков с эллипсоидальной формой молекул 83
4.4. Линеаризованные динамические уравнения. Угловая зависимость и компьютерное моделирование спектров коллективных возбуждений 84
Глава 5. Описание динамики двухосных нематиков с дискоидными молекулами 101
5.1. Двухосные состояния нематиков с молекулами дискоидной формы. Представление осей пространственной анизотропии и конформационных степеней свободы в терминах тензора дисторсии. Установление алгебры скобок Пуассона параметров сокращенного описания 101
5.2. Термодинамика двухосных нематиков с дискоидными молекулами. Нахождение плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах термодинамического потенциала 104
5.3. Нелинейные уравнения идеальной динамики двухосных нематиков с дискоидной формой молекул 110
5.4. Линеаризованные уравнения динамики. Угловая зависимость и компьютерное моделирование спектров коллективных возбуждений 112
Выводы
Список использованной литературы
- Дифференциальные законы сохранения. Представление плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах плотностей аддитивных интегралов движения
- Термодинамика одноосных нематиков со стержнеподобными молекулами. Нахождение плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах термодинамического потенциала
- Термодинамика одноосных нематиков с дископодобными молекулами. Нахождение плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах термодинамического потенциала
- Термодинамика двухосных нематиков с эллипсоидальными молекулами. Нахождение плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах термодинамического потенциала
Введение к работе
В настоящее время большой интерес вызывает изучение жидкокристаллических сред. Такие конденсированные состояния, которые мы будем изучать, обладают свойством жидкости - текучестью и анизотропией -свойством, характерным для твердого тела. Указанная разновидность конденсированных сред относится к мягкой материи [1]. Это понятие в физике конденсированных состояний возникло более тридцати лет назад и охватывает широкий круг объектов, которые ранее преимущественно относились к сфере химических и биологических наук. Примерами таких сред являются полимеры, жидкие кристаллы, гели, пены и эмульсии, жидкости, биологические объекты [2-12]. Общими их особенностями являются наличие внутренней упорядоченной структуры мезоскопических или наноскопических размеров [13,14], которые проявляются на макроуровне в виде определенных физических явлений и процессов.
Относительная слабость сил притяжения в жидкокристаллических средах, наличие в них мезоскопических анизотропных структурных элементов проявляются в большом разнообразии их возможных состояний, в сильной роли тепловых флуктуации и в легкости изменения внутреннего состояния под внешним воздействием (механические напряжения, электрические поля, температура) [15-20]. В настоящее время отсутствуют простые и наглядные представления макроскопического описания, которые учитывали бы влияние внутренней структуры среды на термодинамику и динамические процессы. Сейчас это направление исследований интенсивно развивается и открывает новые технологические перспективы.
Хорошо известно, что достаточно сложный состав элементов, образующих жидкие кристаллы, приводит к иерархии структурных уровней их организации. Обычно выделяют локальный (молекулярный) порядок, координационный (межмолекулярный) и макроскопический (дальний порядок) [12]. Каждому уровню упорядочения соответствует свой набор параметров, характеризующих симметрию и структуру жидких кристаллов, а также свои методы исследования. В работах [12,13,15] показано, что на масштабах порядка молекулярного размера необходимо
введение параметров конформационного состояния. Равновесные свойства и
фазовые переходы в таких конденсированных средах обычно описывают взаимосогласованным образом, используя представление о конформационных параметрах порядка и параметрах ориентационного порядка [16].
В исследовании разнообразных физических свойств жидких кристаллов имеются две фундаментальные проблемы. Одна из них - описание равновесных состояний таких сред. Основой такого описания является представление о спонтанном нарушении симметрии состояния равновесия [21-27]. Нормальное состояние изучаемых конденсированных сред является изотропной жидкостью, несмотря на наличие анизотропных структурных элементов. При изменении температуры, концентрации или других термодинамических параметров происходит фазовый переход в состояние с другой симметрией состояния равновесия - возникает макроскопическая анизотропия (одноосная или двухосная), характерная для нематических жидких кристаллов. В этом случае имеет место спонтанное нарушение симметрии относительно поворотов в конфигурационном пространстве при сохранении трансляционной инвариатности. Наряду с таким нарушением симметрии, возможно одновременное нарушение вращательной и трансляционной симметрии, что проявляется возникновением периодических структур (одно-, двух- и трехмерных) [3,4,6,10]. Типичными примерами таких жидких кристаллов являются смектики, дискотики, холестерики.
При спонтанном нарушении симметрии симметрия состояния равновесия конденсированной среды становится ниже симметрии гамильтониана [21]. Качественно физические свойства таких систем связывают с понятием параметра порядка [28]. Эта величина является существенной при описании фазовых переходов второго рода из одного состояния равновесия в другое состояние, обладающее иными свойствами симметрии. Физика явлений сверхтекучести и сверхпроводимости, кристаллическое и жидкокристаллическое упорядочение, разнообразные магнитные системы являются примерами такого рода состояний [29-34]. Для жидких кристаллов параметром порядка является симметричный и бесшпуровый тензор [1-7,9-12]. В изотропном высокотемпературном состоянии конденсированной среды эта величина равна нулю. В состоянии с нарушенной вращательной симметрией параметр порядка характеризуется одной или двумя
осями анизотропии и одним или двумя модулями параметра порядка. Такой параметр порядка описывает одноосные и двухосные нематики.
Отметим, что конкретный выбор параметра порядка связан с природой равновесных состояний вырожденных конденсированных сред. Из феноменологической теории известно, что для адекватного описания термодинамики в конденсированных средах с нарушенной симметрией, вообще говоря, необходимо ввести в теорию новые термодинамические параметры, не связанные с законами сохранения, а обусловленные физической природой термодинамической фазы. В случае нормальных конденсированных сред термодинамические параметры определяются только плотностями аддитивных интегралов движения.
Статистический подход Гиббса, который хорошо описывает нормальные состояния равновесия многочастичных состояний [35-37], не описывает правильно равновесные состояния конденсированных сред, для которых равновесный параметр порядка отличен от нуля. Теоретическим фундаментом статистической физики, описывающей равновесные состояния конденсированных сред со спонтанно нарушенной симметрией, является концепция квазисредних [21,26,27]. Развитие и применение концепции квазисредних к описанию жидкокристаллических конденсированных сред с тензорным параметром порядка осуществлялось в работах [38,39]. Основным признаком жидких кристаллов является наличие ориентационного упорядочения, обусловленного анизотропией молекул. Физическими величинами, которые отражают эту особенность для нематических жидких кристаллов, являются единичный вектор пространственной анизотропии (директор) в одноосном случае и два вектора пространственной анизотропии для двухосных нематиков [40-48]. Эти величины становятся дополнительными макроскопическими параметрами, существенными при формулировке второго начала термодинамики и получении уравнений динамики.
Другая проблема в исследовании жидких кристаллов - изучение их динамического поведения и спектров коллективных возбуждений. Это направление исследований активно разрабатывалось на макроскопическом уровне для целого ряда конденсированных сред со спонтанно нарушенной симметрией [49-56]. Получение и исследование уравнений динамики для жидких кристаллов
осуществлялось в работах [40-44,46-50] на основе представлений о спонтанно нарушенной симметрии. При этом не всегда учитывалось влияние формы молекул на динамические процессы в жидких кристаллах [45,46]. Необходимо отметить, что физическими примерами влияния геометрии молекул на макроскопические свойства жидких кристаллов являются разный знак реактивного коэффициента в уравнениях гидродинамики [57], различные возможности реализации ферроэлектрического состояния [58,59], спектральные особенности поляризованного поглощения света [60]. Благодаря исследованиям по релеевскому и комбинационному рассеянию света [61,62], распространению звука и течению сред с деформируемыми частицами [63] возникла потребность в развитии теории конденсированных сред с учетом внутренних степеней свободы, которая описывала бы коллективные движения в среде с учетом структуры молекул и искажения их формы. Исследования по созданию феноменологического или статистического подхода для решения этой задачи проводились ранее в работах [64-68].
При построении уравнений гидродинамики в случае систем со спонтанно нарушенной симметрией в рамках микроскопической теории параметрами сокращенного описания являются не только плотности аддитивных интегралов движения, как это имеет место в нормальных системах, но и дополнительные величины, связанные с нарушенной симметрией. Вопрос выбора параметров сокращенного описания в конденсированных средах (упругое твердое тело и жидкие кристаллы) обусловлен рядом факторов. Часть таких параметров связана со свойствами симметрии гамильтониана, что проявляется наличием динамических уравнений, обусловленных дифференциальными законами сохранения [69]. Другим фактором, влияющим на состав гидродинамических параметров, является форма молекул. В жидких кристаллах имеет место связь формы молекул и структуры уравнений гидродинамики [45,46,70,71].
Вблизи температуры фазового перехода, во внешних достаточно сильных электрическом или магнитном полях, низкоразмерных случаях (d<3) возникает необходимость учета всех компонент параметра порядка жидких кристаллов [72,73]. Отметим в этой связи аналогию с квантовой бозе-жидкостыо, для которой вблизи области фазового перехода также необходимо расширить набор параметров
сокращенного описания - учитывать не только фазу параметра порядка, но и его модуль [74,75].
Наконец, набор параметров связан с характером спонтанного нарушения симметрии системы. Формулировка теории упругости, как раздела механики сплошной среды [76], основывается на представлении о спонтанно нарушенной трансляционной симметрии. Базовой динамической величиной в наборе параметров сокращенного описания, связанной с таким нарушением симметрии, является тензор дисторсии. Последняя величина полностью отображает характер деформации сплошной среды, однако, введение ее в качестве дополнительной динамической величины, как правило, избыточно.
Гидродинамическая теория жидких кристаллов также представляет собой механику сплошной среды со спонтанно нарушенной симметрией. По сравнению с изотропным и однородным (нормальным) состоянием, в изучаемом случае имеет место нарушение симметрии относительно поворотов в конфигурационном пространстве и зачастую трансляционной симметрии.
Получению уравнений динамики одноосных нематиков посвящены работы [77-86]. Основываясь на феноменологическом подходе, линейные динамические уравнения получены в работах [32,44]. Учет нелинейных особенностей уравнений динамики одноосных нематиков проведен в [77-82]. Результаты микроскопического статистического подхода к описанию состояния равновесия жидких кристаллов представлены в работах [83,84]. Возможные релаксационные процессы для нематических жидких кристаллов изучены в работах [85,86]. В обзоре [87] дано детальное описание физических методов измерения кинетических коэффициентов в нематических жидких кристаллах. Для одноосных жидких кристаллов в работах [46,53] показано, что дополнительный гидродинамический параметр - ось пространственной анизотропии, связанная с таким нарушением симметрии, может быть представлена в терминах тензора дисторсии. Результаты исследований спектров коллективных возбуждений в нематиках приведены в монографии [6].
В 1980 году экспериментально открыты двухосные нематики [88] в лиотропных жидких кристаллах. Первые сообщения об экспериментальном открытии биаксиальных нематиков в термотропных жидких кристаллах появились
в 2004 году в работах [89,90]. Трудности в идентификации таких состояний и другие возможности в интерпретации экспериментальных данных таких жидких кристаллов обсуждены в работе [91].
В теоретических работах [92-94] рассмотрена термодинамика и гидродинамика этих конденсированных сред. Для этого класса жидких кристаллов является характерным полное спонтанное нарушение симметрии относительно поворотов в конфигурационном пространстве. Однако в этих работах не выписаны в явном виде выражения для всех реактивных плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах функционала энергии и не выявлен характер влияния формы молекул на динамические уравнения для этого класса жидких кристаллов.
Как уже отмечено выше, динамическое поведение жидких кристаллов зависит от формы и размеров молекул. Учет влияния внутренних микроскопических параметров на макроскопические характеристики реальных жидких кристаллов приобретает важное значение в их практическом использовании. В настоящее время известны такие виды структурных элементов нематических жидких кристаллов: небольшие органические молекулы: /»10"8 м; надмолекулярные структуры - синтетические полипептиды, вирусы: /»10"6 м; жесткие полимеры: /*10"4 м [1]. Поэтому при изучении динамики нематиков нами детально рассмотрены различные возможности этого влияния. Форма структурного элемента конденсированной среды моделировалась в виде эллипсоида или дискоида со сторонами l,d,h.B диссертации детально изучены следующие четыре случая:
1. Одноосная стержнеподобная молекула. В этом случае имеют место
следующие соотношения характерных размеров молекул конденсированных сред
l»d,h, d = h.
2. Одноосная дископодобная молекула. Характерные размеры молекул
изучаемых конденсированных сред удовлетворяют соотношениям
l«d,h, d-h.
3. Двухосная эллипсоидальная молекула. В этом случае справедливы
следующие соотношения для характерных размеров молекул конденсированных
сред
l>d>h, d*h.
4. Двухосная дискоидная молекула. Имеют место следующие соотношения для характерных размеров молекул изучаемых конденсированных сред
l«d,h, d^h, d&h.
В данной работе исследовано влияние деформации формы и размера структурных элементов среды на динамику неравновесных пространственно-неоднородных состояний, количество и характер анизотропии спектров коллективных возбуждений.
Наличие большого количества разнообразных идей, теорий и методов исследований динамики жидких кристаллов свидетельствует, что это направление остается далеким от своего завершения, и работы в этом направлении являются актуальными и важными.
Целью диссертационной работы исследование динамики и установление спектров коллективных возбуждений в одноосных и двухосных нематических жидких кристаллах с учетом формы и размеров молекул.
Математической основой нашего изучения выбран гамильтонов подход, являющийся эффективным методом получения и исследования нелинейных динамических уравнений, описывающих явления переноса в различных конденсированных средах. Указанный подход позволяет исследовать динамику, как классических конденсированных сред, так и макроскопических квантовых объектов.
Основой наших исследований является использование идеологии сокращенного описания многочастичных состояний, применение и развитие гамильтонова формализма для нематических жидких кристаллов, обобщение и усовершенствование имеющихся подходов при теоретическом описании вышеуказанных конденсированных сред. Для реализации цели были поставлены и решены такие задачи:
Построение уравнений динамики для одноосных нематиков с учетом формы и размеров структурных элементов таких сред и исследование спектров коллективных возбуждений.
Установление уравнений динамики для двухосных нематических жидких кристаллов с учетом деформации формы и размеров структурных элементов и изучение угловых характеристик спектров коллективных возбуждений.
3. Анализ и компьютерное моделирование спектров коллективных
возбуждений нематических жидких кристаллов. Использованный в диссертации гамильтонов подход основан на общих положениях физики конденсированного состояния, связанных с законами сохранения, основных термодинамических принципах и построении нелинейных уравнений динамики рассматриваемого класса конденсированных сред, обладающих ярко выраженной анизотропией, в основе которой лежит физическая анизотропия структурных элементов таких сред. Ключевым в таком подходе является установление явного вида скобок Пуассона для всего набора параметров сокращенного описания.
Следует иметь в виду, что, в отличие от параметров сокращенного описания, связанных со свойствами симметрии гамильтониана, для которых скобки Пуассона хорошо известны (см. [6,50,53]), скобки Пуассона для дополнительных динамических параметров, отражающих особенности формы и размера молекул, имеют нетривиальную структуру и их нахождение представляет основную проблему. Для ее решения использована идея представления всех дополнительных параметров сокращенного описания в терминах тензора дисторсии [46,53], которая была реализована в этих работах для одноосных нематиков. Дополнительные величины (оси анизотропии и конформационные степени свободы, задающие форму молекулы и связанные со спонтанным нарушением симметрии относительно поворотов в конфигурационном пространстве) нами введены в терминах тензора дисторсии.
Научная новизна полученных результатов
Выведены нелинейные уравнения динамики одноосных нематических жидких кристаллов с учетом оси анизотропии и размеров молекул стержнеподобной и дископодобной формы.
Выяснено, что учет деформации конформационной степени свободы в одноосных нематиках приводит к двум спектрам коллективных возбуждений. Получено аналитическое выражение для скоростей обоих спектров в одноосных нематиках как функция полярного угла. Выявлены особенности этих спектров для молекул стержнеподобной и дископодобной форм. Проведено компьютерное моделирование спектров с учетом изменения термодинамического параметра.
Выведены нелинейные уравнения динамики для двухосных нематических жидких кристаллов с учетом осей анизотропии и трех конформационных параметров, отражающих влияние формы и размера эллипсоидальной и дискоидной молекул.
Выяснено, что в двухосных нематических жидких кристаллах возможно распространение от одного до трех спектров коллективных возбуждений. Получено аналитическое выражение скоростей распространения волн в двухосных нематиках как функция полярного и азимутального углов и выявлены их особенности для эллипсоидальной и дискоидной молекул. Проведено компьютерное моделирование спектров с учетом вариации термодинамических параметров.
Практическое значение полученных результатов
В работе развит гамильтонов подход описания динамики нематических жидких кристаллов с учетом формы и размера структурных элементов среды. Теоретически предсказана возможность распространения двух спектров коллективных возбуждений в одноосных нематиках и трех спектров в двухосных нематиках. Количественное описание угловой зависимости спектров коллективных возбуждений получило экспериментальное подтверждение. Полученные данные могут быть полезны в разработке неразрушающего контроля материалов [95,96].
Вопросы изучения акустических и коллективных неравновесных свойств жидких кристаллов имеют существенное значение для понимания физических процессов в биологических объектах. В частности, передача нервных импульсов, работа мышц, формирование атеросклеротических бляшек - это примеры физических процессов, протекающих в жидкокристаллической фазе [97]. Анизотропное строение биологических сред позволяет, с одной стороны, осуществлять защитные функции в организме, а с другой, в виду жидкостного характера, обеспечивает хорошие транспортные свойства, необходимые клетке для эффективной жизнедеятельности.
Другим важным фактором интереса к этим конденсированным средам является возможность их использования в качестве жидкокристаллических дисплеев. Легкость управления внешним электрическим полем, быстродействие и экономичность делают их применение в сфере отображения и передачи
информации весьма перспективным. Акустические особенности жидких кристаллов уже используются в получении подводных изображений и медицинской диагностике.
Апробация результатов диссертации Основные результаты диссертационной работы докладывались и были представлены на таких конференциях: 6 Международная конференция по математическому моделированию, МКММ 2003, Херсон, сентябрь, 2003; International Conference "Recent Trends in Kinetic Theory and Its Applications" Kyiv, 11-15 May 2004; International Conference on Statistical Physics (STATPhys22) Bangalore, India, 4-9 July 2004; Международная конференция "Physics of liquid matter: Modern problems" Киев, сентябрь, 2003; 20-th General Conference Condensed Matter Division EPS, Prague, 19-20 July 2004; 7 Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике Кисловодск, май 2006; Международная конференция "Квантовая электродинамика и статистическая физика" Харьков, 19-23 сентября 2006; Научно-практический семинар «Математические модели формирования новых конструкционных материалов» Белгород, 16-17 октября 2006; II Международной конференции «Теория конденсированного состояния», Харьков, 16-17 января 2007; XLIII всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии Москва, 23-27 апреля 2007; Международный математический конгресс «Нелинейный динамический анализ - 2007», Санкт-Петербург, 4-8 июня 2007; Международный симпозиум «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики», Херсон, 11-16 июня 2007.
Публикации содержание диссертации опубликовано в работах [98-110].
Личный вклад соискателя состоит в проведении большей части аналитических расчетов, выполнении компьютерного моделирования по теме диссертации, участия в постановке задач исследований и обсуждении полученных результатов. Им же сформулированы основные результаты выполненных исследований, написаны тексты диссертации и автореферата.
Объем и структура диссертации диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы из 133 наименований и содержит 24 рисунка. Полный объем работы 133 страницы машинописного текста.
Работа выполнена в рамках научных исследований, проводимых в Белгородском государственном университете, и поддержана грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты № 03-02-17695, № 05-02-16663).
На защиту выносятся следующие положения диссертации
1. Развит гамильтонов подход, описывающий гидродинамический этап
эволюции нематических жидких кристаллов с учетом диско- и стержнеподобной
формы и размеров структурных элементов этих сред. Получены уравнения
динамики одноосных нематиков с учетом оси анизотропии и размера молекул
стержнеподобной и дископодобной формы.
Найдены аналитические выражения для двух скоростей распространения коллективных возбуждений в одноосных нематиках как функции полярного угла и модуля упругости для молекул стержнеподобной и дископодобной формы. Проведено компьютерное моделирование спектров с учетом изменений модуля упругости и выяснены угловые особенности этих спектров.
Выведены уравнения динамики двухосных нематических жидких кристаллов с учетом двух осей анизотропии и трех конформационных параметров, отражающих влияние деформации формы и размеров эллипсоидальной и дискоидной молекул.
Установлены аналитические выражения для спектров коллективных возбуждений в двухосных нематиках как функции полярного и азимутального углов и выявлены их особенности для эллипсоидальной и дискоидной молекул. Проведено компьютерное моделирование спектров с учетом изменения модулей упругости конформационных степеней свободы и выяснены угловые особенности этих спектров.
Достоверность результатов обусловлена использованием хорошо апробированных математических и физических методов исследований. Полученные результаты имеют предельные переходы, которые согласуются с теоретическими данными других авторов, а также с экспериментальными результатами исследователей.
Дифференциальные законы сохранения. Представление плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах плотностей аддитивных интегралов движения
Сформулируем в рамках гамильтонова подхода дифференциальные законы сохранения, связанные с различными свойствами симметрии гамильтониана. Уравнение движения для плотности произвольной физической величины
Используем соотношение (1.2.1) для формулировки законов сохранения в дифференциальной форме. Рассматриваемая конденсированная среда характеризуется пятью аддитивными интегралами движения Здесь н - гамильтониан, Л - импульс системы, N - число частиц системы.
Аддитивность интегралов движения заключается в том, что их значения пропорциональны объему V при стремлении V - со. Орбитальный момент
Дифференциальные уравнения движения для плотности аддитивных интегралов движения, согласно (1.1.12) и с учетом (1.1.30), (1.2.1), имеют вид TaW=-V M, (1.2.5) где їа(х) є(х\хк{х),п(х) - плотности аддитивных интегралов движения. В правые стороны уравнений (1.2.5) входят величины Лх) чЛх) -Лх\іЛх) являющиеся плотностями потоков аддитивных интегралов движения: Ax) = qAx) - плотность потока энергии, \, (x) = t., (х) - плотность потока импульса, С, ., (х) = j, (х) - плотность потока числа частиц. Полагая в формулах (1.2.1), (1.2.2) а(х) = п(х), где п(х) - плотность числа частиц и учитывая справедливость соотношения получим дифференциальный закон сохранения числа частиц
В заключение этого раздела заметим, что для галилеево-инвариантного гамильтониана (1.1.30) плотность потока массы совпадает с плотностью потока импульса
Для нормальной (изотропной) конденсированной среды гамильтониан является функционалом набора гидродинамических параметров. К ним относятся плотность энтропии, плотность импульса и плотность числа частиц (массы)
Используя представление плотностей потоков в виде формул (1.2.7), (1.2.8), (1.2.9), найдем выражения плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах термодинамического потенциала. С этой целью обратимся к выражению для плотности потока (1.2.6) и учтем скобки Пуассона (1.2.16).
Используя теперь явный вид скобок Пуассона (1.1.20), (1.1.21), получим после интегрирования по частям подынтегрального выражения в плотности потока энергии (1.3.9). Формулы (1.3.7)-(1.3.9) представляют собой выражения для плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах плотности энергии.
Заметим здесь же, что выражение для потока энергии (1.3.9) можно было бы получить, используя связь плотностей потоков аддитивных интегралов движения, установленную в работах [126,27]. Это соотношение имеет вид Ya[YkCa+Y0(J=0. (1.3.10)
Обратим внимание, что формула (1.3.10) имеет универсальный характер. Это соотношение не зависит от конкретного вида второго начала термодинамики и справедливо для широкого класса конденсированных сред. Из (1.3.10) получаем следующее выражение для плотности потока энергии
Формулы (1.3.3), (1.3.13), полученные в разделе 1.3, дают возможность выписать уравнения идеальной гидродинамики нормальной жидкости, впервые полученные Л. Эйлером ga(x)=-VkCak{x), а = 0,кА- (1-4.1) Уравнение динамики для плотности энтропии, в силу соотношения (1.3.4), имеет вид Подставляя в эту формулу равенства (1.3.14) и учитывая явный вид для плотностей аддитивных интегралов движения (1.3.13), приходим к уравнению Последнее уравнение отображает условие адиабатичности течения жидкости. Прежде чем линеаризовать уравнения (1.4.1), (1.4.2), удобно перейти от плотности энтропии к плотности энтропии единицы массы, которая определяется равенством s = aln. (1.4.3) Для этой величины, в соответствии с (1.4.1), (1.4.2), имеет место уравнение движения s = -vkVks. (1.4.4) Линеаризуем уравнения для плотности числа частиц, импульса и плотности энтропии единицы массы около состояния равновесия, в котором к, = v, = 0. В силу (1.4.1), (1.3.13), (1.4.4), получим линеаризованные уравнения гидродинамики для этих величин
Термодинамика одноосных нематиков со стержнеподобными молекулами. Нахождение плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах термодинамического потенциала
Ярко выраженная анизотропия свойств жидкокристаллических конденсированных сред присуща веществам, структурный элемент которых представляет собой анизотропные молекулы. Большинство жидких кристаллов состоят из молекул стержнеобразной формы. Приведем пример такого химического соединения [5]:
Форма молекулы метоксибензилиден-и-бутиланилина. В нематической фазе жидких кристаллов происходит спонтанное нарушение вращательной инвариантности, поэтому, наряду с динамическими переменными, описывающими состояние изотропной жидкости - плотностью массы р(х), плотностью импульса л, (х), плотностью энтропии ст(х), вводят в рассмотрение дополнительный параметр - единичный вектор пространственной анизотропии п{х) (директор), связанный с нарушением вращательной симметрии. В работах [46,53] показано, что этот вектор анизотропии может быть представлен в терминах тензора дисторсии Ъ.. (х). U В некоторой области изменения термодинамических параметров (температура, концентрация) происходит фазовый переход из изотропного состояния в анизотропное состояние. Это состояние изображается рисунками 2.2 и
Анизотропное одноосное состояние. Структурный элемент среды двухосные стержнеподобные молекулы Видим, что в случае одноосных молекул имеет место упорядочение направления осей анизотропии этих молекул. Для двухосных молекул упорядочены только длинные оси молекул. Направления коротких осей неупорядочены. Представленные рисунки отражают свойства трансляционной инвариантности и одноосной пространственной анизотропии. Для случая, когда молекулы жидких кристаллов двухосны, дальнейшее понижение температуры может привести к упорядочению как длинных, так и коротких осей молекул.
Рассмотрим две возможности введения единичного вектора пространственной анизотропии в терминах тензора дисторсии. Одна из них соответствует нематику с молекулами стержнеобразной формы, другая - нематику с дискообразными молекулами. Последний случай будет рассмотрен в следующей главе.
Пусть частицы среды состоят из молекул стержнеобразной формы (нематики каламитного типа). Тогда в недеформированном состоянии можно задать некоторое семейство линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением стержней. Пусть =%-(сс) - параметрические уравнения одной из линий этого семейства. Тогда направление стержней в каждой точке характеризуется вектором с координатами
Этот вектор описывает ориентационный и конформационный порядок недеформированного жидкого кристалла и имеет смысл лагранжевой переменной. Модуль этого вектора задает длину стержнеподобной молекулы в недеформированном состоянии. Единичный вектор щ =1.11 определяет направление оси анизотропии молекулы в недеформированном состоянии. При деформации среды линии семейства также деформируются, происходит изменение направления оси анизотропии и конформационного параметра. Пусть х.=х.(а) - новые параметрические уравнения уже рассмотренной линии семейства после деформации, которые характеризуются вектором l.(x)=dx./da. (2.1.2) Учитывая, что х. =х.(), легко видеть, что векторы /. и 1.(х) связаны соотношением L(x) = b7.l(x)l.. (2.1.3)
Отсюда следует, что единичный вектор для произвольного деформированного состояния может быть определен формулой Заметим, что скобки Пуассона (2.1.8) совместны с условием п2(х) = \. (2.1.9) Сделаем теперь пояснение, обосновывающее необходимость расширения набора параметров сокращенного описания для жидких кристаллов, которое обусловлено конформационной нежесткостью молекул. Тензор дисторсии Ь,.(х) (1.2.13) задает ориентационные и трансляционные состояния равновесия и определяет группу движений в неравновесном состоянии в трехмерном пространстве. В терминах этой величины введена плотность вещества произвольного состояния р{х) (1.2.15). Другая возможность проявления группы произвольных деформаций реализуется в двухосном нематике, где параметром сокращенного описания является величина &b.,e ,b.,e ], имеющая физический смысл угла между осями [98,99,101], где е,,е - лагранжевы векторы, описывающие недеформированные оси (смотри подробнее главы 4 и 5). Для одноосного нематика естественной величиной, имеющей физический смысл конформационного порядка, является свертка «., е, Ь.,е,, где е - лагранжев вектор, задающий недеформированную ось нематика. Учет конформационных степеней свободы при описании динамики нематиков мы проводим путем включения в набор параметров сокращенного описания дополнительной переменной - модуля вектора l(x)=l(xj (2.1.5), придавая ему физическую интерпретацию конформационного структурного элемента. В соответствии с определением (2.1.5), учитывая связь деформированного и недеформированного векторов (2.1.3) и формулу (2.1.7), получим скобку Пуассона для величин я.{х) и (2.1.10)
Скобки Пуассона (1.2.19), (1.2.20) совместно с (2.1.8), (2.1.10) образуют замкнутую алгебру динамических переменных нематика со стержнеподобными молекулами при наличии конформационных степеней свободы и позволяют получить нелинейные уравнения динамики в адиабатическом приближении.
Обратим внимание, что выбор параметров сокращенного описания на гидродинамическом этапе эволюции для вырожденных конденсированных сред не является іривиальной задачей. Концепция спонтанного нарушения симметрии, хорошо "работающая" для квантовых жидкостей и магнетиков, для жидкокристаллических сред не совсем достаточна. Причина этого - не только отсутствие свойства квантовости объекта исследований, но и явное влияние геометрии структурных элементов таких сред на количество и характер параметров сокращенного описания.
Термодинамика одноосных нематиков с дископодобными молекулами. Нахождение плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах термодинамического потенциала
Третья глава диссертации посвящена изучению на основе гамильтонова подхода одноосных нематических жидких кристаллов с молекулами дископодобной формы. Проведено построение термодинамики и получены нелинейные уравнения динамики, учитывающие форму и размер дископодобных молекул в адиабатическом приближении. Плотности аддитивных интегралов движения и соответствующие им потоки представлены в терминах термодинамического потенциала. Исследованы нелинейные динамические уравнения и рассмотрены спектры колебаний в этих жидких кристаллах. Найдены две ветви акустических колебаний и выяснен характер анизотропии скоростей звуков. Осуществлено компьютерное моделирование фронта распространения акустических волн. Дан анализ и проведено сравнение полученных результатов с рассмотренным ранее случаем одноосных нематических жидких кристаллов с молекулами стержнеподобной формы.
Форма молекулы бензол-гекса-я-гептаноата. Очевидно, что указанный тип молекул обладает одноосной симметрией. Направление ориентации таких жидких кристаллов определяется единичным вектором нормали к плоскости таких молекул. Изучение динамического поведения конденсированной среды с такой формой молекул мы проведем аналогично с ранее рассмотренным случаем среды со стержнеподобными молекулами. Для этого введем семейство поверхностей, касательные поверхности к которым в каждой точке совпадают с плоскостями дисков. Как следует из предыдущего рассмотрения, два неколлинеарных вектора 1Ах), /Ах), определяющих деформированное положение плоскости, могут быть представлены в виде /,.( )= i Wy. (3-1.1) /Д Ну М/,-, где /., /. - некоторые постоянные неколлинеарные векторы, определяющие положение плоскости недеформированного состояния. Тогда вектор нормали к плоскости, натянутой на векторы dАх), /Ах), равен а.(х)=йкдк1дх.= 1кЪы(х\ (3.1.2) здесь - вектор, определяющий направление пространственной анизотропии d -l d и диаметр дископодобной молекулы d = A\d} в недеформированном состоянии. Единичный вектор нормали к плоскости дископодобной молекулы в деформированном состоянии определим формулой d.(x) где ( 1 \l/2 d(x) = \df(x)\ (3.1.4) - модуль вектора d.(x), имеющий физический смысл диаметра дископодобной молекулы в деформированном состоянии. Используя определение вектора анизотропии п-(х) (3.1.3) и формулы (1.2.20), для величин 7r,(x),nAx),d(x)= d(x} получим скобки
Видим, что скобки Пуассона (2.1.8), (2.1.10), найденные для одноосного нематика с молекулами стержнеподобной формы, отличаются от скобок Пуассона (3.1.5), полученных для одноосного нематика с молекулами дископодобной формы. Эти различия, как мы увидим далее, приведут к различному виду плотностей потоков импульса и энергии, а также к разной форме уравнений идеальной гидродинамики и далее к иному виду акустических спектров.
Так же, как и в предыдущем разделе, мы будем полагать, что гамильтониан имеет галилеево-инвариантный вид. Плотность энергии в рассматриваемом случае является функцией плотностей аддитивных интегралов движения, ориентационного и конформационного параметров
Из сравнения формул (3.2.2) и (3.2.5) с учетом (3.2.4) получим связь термодинамических соотношений _5__J_dfy дє _ 1 до д__ дсо ...„ Приступим теперь к нахождению плотностей потоков аддитивных интегралов движения С, , . Вычисление плотности потока числа частиц (при а = 4) проводится подобно тому, как это проделано в разделе 1.4. При этом, учитывая вид скобок Пуассона (1.2.20), видим, что выражение для этого потока остается прежним, то есть не зависит от формы молекулы: 4к=7Гк/т- (3 2-7) Аналогичным образом не изменяется выражение для плотности потока энтропии:
Перейдем к нахождению плотности потока импульса. Для этого вычислим подынтегральное выражение плотности потока импульса (1.3.7) в рассматриваемом случае. Учитывая функциональную зависимость плотности энергии, имеем (3.2.13) Обратимся к вычислению плотности потока энергии q, . Исходя из соотношения (1.4.8), получим равенство
В формуле (3.2.15) первое слагаемое в правой части представляет собой вклад в плотность потока аддитивных интегралов движения, который аналогичен плотности потока в изотропной фазе конденсированной среды. Второе слагаемое в правой части формулы (3.2.15) представляет собой вклад в плотность потока аддитивных интегралов движения, обусловленный наличием оси анизотропии и конформационного параметра.
Сравнивая формулы потоков (2.2.14), (2.2.15) предыдущей главы для одноосных стержнеподобных молекул с формулами (3.2.13), (3.2.14), видим, что различие этих потоков проявляется в разной функциональной зависимости от оси анизотропии и конформационного параметра для этих случаев.
Термодинамическое соотношение (3.2.4) устанавливает связь плотностей аддитивных интегралов движения и термодинамических параметров. Выражение (3.2.15), полученное для плотностей потоков аддитивных интегралов движения, также устанавливает связь этих величин с термодинамическими параметрами. Поэтому формулы (3.2.4), (3.2.15) позволяют сформулировать замкнутые уравнения гидродинамического типа для рассматриваемой конденсированной среды.
Термодинамика двухосных нематиков с эллипсоидальными молекулами. Нахождение плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах термодинамического потенциала
В четвертой главе рассмотрена конденсированная среда - двухосные нематические жидкие кристаллы с эллипсоидальными молекулами. Для изучаемой системы построена термодинамика и дан вывод нелинейных уравнений динамики в адиабатическом приближении. Проведен учет формы молекул путем введения трех конформационных степеней свободы. Плотности аддитивных интегралов движения и соответствующие им потоки представлены в терминах термодинамического потенциала. Использование гамильтонова формализма позволяет уточнить функциональную гипотезу для двухосных жидких кристаллов и приводит к необходимости введения дополнительных параметров сокращенного описания -конформационных степеней свободы. Эти степени свободы описывают влияние формы и размера молекул на динамику нематических жидких кристаллов.
Изучены нелинейные динамические уравнения и рассмотрены спектры коллективных возбуждений в этих жидких кристаллах. Получены условия на термодинамические параметры, при которых возможно распространение от одного до трех ветвей колебаний и выяснен угловой характер их анизотропии. Проведено компьютерное моделирование фронта распространения колебаний.
В случае исследования динамики двухосных иематиков в работах [47,48] показано, что набор термодинамических переменных для таких жидких кристаллов расширяется: соответственно вводятся два единичных и ортогональных вектора анизотропии. В рамках феноменологического подхода этих работ получены уравнения гидродинамики таких систем. Обратим внимание, что выбор параметров сокращенного описания для жидких кристаллов (в данном случае двухосных нематиков) не является тривиальным. Для исследуемого случая введение в рассмотрение только двух осей анизотропии соответствует учету свойств анизотропии структурных элементов жидких кристаллов и не принимается во внимание их размер и форма.
Для двухосных молекул в состоянии равновесия возможно пространственное упорядочение только длинных осей молекул. При этом направления коротких осей неупорядочены. Такое состояние соответствует одноосному нематику. Мы будем рассматривать другой случай, в состоянии равновесия которого одновременно упорядочены длинные и короткие оси молекул (состояние двухосного нематика). Это состояние изображается рисунком 4.1:
В случае эллипсоидальных молекул единичные и ортогональные оси анизотропии п(х),т(х), характеризующие нарушение вращательной инвариантности, определим равенствами
Эти величины, так же как и в случае одноосных нематиков, заданы в терминах тензора дисторсии. Постоянные и ортогональные векторы ?« и е задают размеры и ориентацию двухосной молекулы в недеформированном состоянии. Учитывая явный вид обратной матрицы в терминах прямой матрицы
Видим, что включение в набор параметров сокращенного описания, помимо осей анизотропии n(x),fh(x), конформационной величины р(х) приводит к замыканию алгебры скобок Пуассона (смотри формулы (1.2.19), (4.1.4)-(4.1.8)). Необходимость расширения набора параметров сокращенного описания путем включения конформационной степени свободы впервые отмечена в работе [70].
Наряду со скалярной величиной р(х) в набор макроскопических переменных, по аналогии с рассмотренным ранее случаем одноосных нематиков, мы введем в рассмотрение величины u(x),v[x), которые учитывают размеры длинной и короткой осей молекул. Конформационные параметры u(x),v(x) определим в терминах векторов А -(х),В .(х) или, учитывая (4.1.2), (4.1.6), в терминах тензора дисторсии
Рассмотрим термодинамику двухосных нематиков с молекулами эллипсоидальной формы. Набор параметров сокращенного описания состоит из плотностей аддитивных интегралов движения, двух осей анизотропии и трех коиформационных параметров PQ(X) - ba(x) n(x) (x) P(x) u(x) v(xH Полагаем, что гамильтониан Н имеет галилеево-инвариантный вид и является функционалом следующих параметров Н = jd3x 7Tf(x) - - + Ф{р{х),а{х), п(х), Vn(x), т(х), Vm{x), р(х), и(х), v(x)) ,(4.2.1) где Ф(х) - плотность энергии взаимодействия, локально зависящая от параметров сокращенного описания. В соответствии с введенным набором гидродинамических параметров плотность энергии является функцией параметров
Обратимся теперь к нахождению плотностей потоков аддитивных интегралов движения С, ,. Вычисление плотности потока числа частиц (при а = 4) проводится подобно тому, как это проделано в разделе 1.4. При этом, учитывая вид скобок Пуассона (1.2.20), видим, что выражение для этого потока остается прежним 4к = як/т. (4.2.10) Аналогичным образом не изменяется плотность потока энтропии:
Перейдем к нахождению плотности потока импульса. Преобразуем с этой целью подынтегральное выражение в плотности потока импульса (1.3.7). В формуле (4.2.17) первое слагаемое в правой части представляет собой вклад в плотность потока аддитивных интегралов движения, который аналогичен плотности потока в изотропной фазе конденсированной среды. Второе слагаемое в правой части формулы (4.2.17) представляет собой вклад в плотность потока аддитивных интегралов движения, обусловленный наличием осей анизотропии и конформационных параметров. Модельное выражение плотности энергии для рассматриваемого типа двухосных нематических жидких кристаллов с молекулами эллипсоидальной формы имеет вид
