Содержание к диссертации
Введение
1. Флуктуации и эффекты энергетической релаксации в сверхпроводящем кольце, содержащем дюзефоновский контакт 14
1.1. Макроскопическая квантовая интерференция в слабосвязанном сверхпроводящем кольце 14
1.2. Флуктуации в одноконтактном сверхпроводящем интерферометре 20
1.3. Влияние неравновесных процессов в сверхпроводящем точечном контакте на характеристики ВЧ-сквида 24
1.3.1. Малая амплитуда колебаний, линейное приближение 30
1.3.2. Гистерезис в сквиде, связанный с неравно -вескостью джозефсоновского контакта.Малая амплитуда колебаний 37
1.3.3. Произвольная амплитуда колебаний 47
1.4. Обсуждение результатов и выводы 50
2. Влияние тепловых флуктуации на когерентные явления в системах дюзефоновских контактов в высокочастотном электромагнитном поле. 56
2.1. Предварительные замечания 56
2.2. Двухконтактный интерферометр в высокочастотном электромагнитном поле 59
2.2.1. Вольт-амперные характеристики симметричного СКИ 59
2.2.2. ВАХ асимметричного интерферометра 66
2.3. Синхронизация в многоконтактной джозефсоновской цепочке. 68
2.4. Выводы 79
3. Электрон-фононное взаимодействие в сверхпроводящих микроконтактах 82
3.1. Изучение электрон-фононного взаимодействия в металлах с помощью микроконтактов 82
3.2. Модель контакта и основные уравнения 88
3.3. Вычисление неупругой добавки к току 97
3.4. Нелинейная ВАХ микроконтакта типа S-C.-.N при больших напряжениях 100
3.5. Нелинейная проводимость и избыточный ток микроконтактов S-c-S. при больших напряжениях 114
Заключение 126
- Флуктуации в одноконтактном сверхпроводящем интерферометре
- Произвольная амплитуда колебаний
- Синхронизация в многоконтактной джозефсоновской цепочке.
- Вычисление неупругой добавки к току
Введение к работе
К настоящему времени достигнуты значительные успехи в изучении слабосвязанных сверхпроводящих структур, начало которому бы -ло полонено в 1962 году теоретическим предсказанием Джозефсоном [і] эффекта когерентного туннелирования между сверхпроводниками, разделенными тонкой диэлектрической прослойкой. При этом сверх -проводящий туннельный ток переносится куперовскими парами. Это явление тесно связано с макроскопической квантовой когерентностью сверхпроводящего состояния, вытекающей из существования комплексного параметра порядка А (Г, t) [2], который играет роль макроскопической волновой функции конденсата куперовских пар. Существенно, что когерентность может сохраняться между сверхпроводниками, разделенными локализованными в пространстве областями, где сверхпроводимость каким-либо способом подавлена, - такие системы принято называть слабосвязанными.
За последние более чем два десятилетия сверхпроводящие слабосвязанные системы интенсивно изучались экспериментально и теоретически [з**б] і что стимулировалось все более широким их использованием для создания различных криоэлектронных устройств, во многих случаях обладающих уникальными свойствами: элементов вычислительной техники, СВЧ-приборов (смесителей, детекторов, усилителей), метрологических устройств, а также измерительных приборов, основанных на явлении макроскопической квантовой ин -терференции, получивших название сквидов * [7~Il].
Для реализации джозефсоновских систем с требуемыми параметрами и нахождения их предельных характеристик важное значение
* ОТ англ. SQUID - Supercpnducting Quantum Interference
Device.
5 имеет исследование флуктуации в слабосвязанных сверхпроводниках. Собственные термодинамические флуктуации в этом случае могут играть существенную роль, поскольку энергия джозефсоновской связи J\Ic/2e ш где Тс - критический ток, е - заряд электрона, может быть сравнима по величине с тепловой энергией квТ (в дальнейшем полагаем кв= 1 ).
Важное значение для практических применений имеет система, состоящая из замкнутого контура, образованного достаточно массивным сверхпроводником (с поперечными размерами гораздо больше глубины проникновения магнитного поля), и включенного в него джозеф-соновского контакта, такая система, - слабосвязанное сверхпроводящее кольцо, является основным элементом высокочастотных сверхпроводящих квантовых интерферометров (одноконтактных ВЧ-сквидов), впервые рассмотренных Сильвером и Циммерманом Cl2] . Анализу работы ВЧ-сквидов и их применениям посвящена обширная литература (см. напр. \з\ » а также сборники [7*11 ] ).
Влияние флуктуации тока на вид вольт-амперной характеристики одиночного джозефсоновского контакта изучалось .в ряде работ, начиная с работ Иванченко, Зильбермана [l3,I4] и Амбегаокара, Гальперина [l5] . В то же время, к моменту начала работы над данной диссертацией (1974 г.) вопрос о влиянии флуктуации на сверхпроводящее кольцо со слабой связью был исследован недостаточно. Результаты диссертации по этому вопросу получены независимо от опубликованной несколько ранее работы [іб] , близкой по постановке задачи.
Обычно при рассмотрении систем с джозефсоновскими контактами для описания слабых связей различных типов используется феноменологическая резистивныя модель [І7,Ів] . В ВЧ-сквидах широкое распространение получили джозефсоновские слабые связи типа
S - С - S (сверхпроводник - сужение - сверхпроводник), в частности, наиболее простые для изготовления точечные прижимные контакты [l2,I9] . Справедливость резистивной модели для контактов этого типа при условии, что размер d микросужения мал по сравнению с длиной когерентности сверхпроводника (Т) , а температура Т близка к критической температуре 7^ ,была показана Асламазовым и Ларкиным [2о] в рамках зависящей от времени теории Гинзбурга-Ландау (см. напр. [2l] ).
В последние годы на основе микроскопических уравнений теории сверхпроводимости были рассмотрены стационарные [22 J и нестационарные [23,24] свойства микроконтактов типа S-C-S .
При стационарном эффекте Джозефсона зависимость Ts (<р) сверхпроводящего тока от разности фаз параметра порядка на контакте отличается L22 J от обычного выражения резистивной модели Гс SIH (р , причем это отличие более сильное для чистых контактов, размер которых мал по сравнению с длиной упругого рассеяния электронов на примесях. Однако, такое отличие значительно лишь при температуре близкой к нулю. Экспериментальное измерение зависимости Xs ((f) с помощью слабосвязанного кольца дает, в пределах погрешности эксперимента, обычную синусную зависимость [16,25,26] .
При нестационарном эффекте Джозефсона в слабых связях с непосредственной металлической проводимостью существенны неравновесные явления, связанные с большой величиной времени энергети -ческой релаксации квазичастиц Т~є [27,28] . Поскольку в ВЧ-сквидах полный магнитный поток в кольце и разность фаз о? меняются с частотой порядка частоты сигнала накачки СО , представляет интерес исследование влияния неравновесности джозефсо-новского контакта на измеряемые в эксперименте характеристики
7 сквида при величине СО сравнимой с Т^ . При этом можно ожидать значительного отклонения характеристик сквида от обычных, соответствующих резистивной модели контакта. В данной диссертации впервые проделано такое исследование на основе результатов микроскопической теории нестационарного эффекта Джозефсона в микроконтактах типа S-C-S [23,24] .
Наряду с одноконтактными ВЧ-сквидами, большое практическое значение имеют двухконтактные сверхпроводящие интерферометры или сквиды постоянного тока [29І . Макроскопическая квантовая коге -рентность приводит, как известно [з*5] , к осциллирующим зависи * мостям критического тока интерферометра и постоянного напряжения на нем от магнитного поля. В данной работе рассмотрен двухконтактный интерферометр в режиме детектирования переменного сигнала, т.е. кроме постоянного транспортного тока имеется высокочастот -ная составляющая. Изменение вольт~амперной характеристики (ВАХ) одиночного джозефсоновского контакта при воздействии высокочас ** тотного сигнала хорошо изучено [5] . Результаты, полученные в диссертации, показывают, как влияют эффекты когерентности и тепловые флуктуации на вид ВАХ интерферометра при наличии внешнего переменного тока.
Кроме упомянутых выще одно*- и двухконтактных джозефсоновских систем, в последнее время большой интерес проявляется к изучению многоконтактных джозефсоновских структур, в которых возможны процессы взаимной синхронизации. Использование таких систем важно при применении джозефсоновских контактов в качестве элементов СВЧ приемных устройств. Имеется ряд экспериментальных работ [30-33] по эффектам синхронизации в джозефсоновских цепочках. Физически ясно, что тепловые флуктуации препятствуют установлению синхронного режима. В диссертации проведено исследование
частного, но достаточно интересного случая синхронизации простой цепочки последовательно соединенных контактов, связь между которыми осуществляется за счет включенного параллельно цепочке резонансного элемента. В зависимости от величины постоянного тока, задающего среднее напряжение на контактах, может возникать синхронизация в системе при частоте джозефсоновской генерации контактов близкой к резонансной частоте элемента связи. Амплитуда переменного напряжения на цепочке пропорциональна в синхронном режиме числу контактов N , причем считается, что N » 1 Тепловые флуктуации тока в контактах сужают область синхронизации и при некотором соотношении параметров она совсем исчезает.
В последнее время появились теоретические работы [34»35І , где синхронизация в многоконтактных джозефсоновских цепочках рассмотрена при более общих предположениях о характере связей между контактами.
Изучение джозефсоновских свойств слабых связей затрагивает в основном область напряжений и частот, соответствующих энергиям меньшим или порядка величины энергетической щели сверхпроводни -ка Л . в последние годы развито новое направление, связанное с изучением нелинейной проводимости металлических микроконтактов при значительно больших напряжениях, соответствующих по величине характерным фононным частотам. Это направление получило название микроконтактной спектроскопии электрон-фоионного взаимодействия (ЭФВ) [Зб*-39] . До последнего времени рассматривались контакты между нормальными металлами.
При больших напряжениях большая плотность тока и сильное электрическое поле в области микросужения вызывают значительное отклонение от равновесия электронной функции распределения. Неупругая релаксация неравновесных возбуждений происходит путем
испускания неравновесных фононов в интервале частот (при нулевой температуре) 0 < СО < е V/H , где V - напряжение на контакте. Для нормальных микроконтактов эти процессы генерации фононов приводят к отрицательной нелинейной добавке к току контакта, причем при Т = О вторая производная тока по V пропорциональна микроконтактной функции ЭФВ
G-(co) при со = eV/H [40]. Данная
функция тесно связана с функцией Элиашберга g(co)^d (CjS)F(uS) [4l], где F(CO) - плотность состояний фононов, ОІ (со) - усредненный по поверхности Ферми квадрат матричного элемента ЭФВ. Микроконтактная функция &~(0U) отличается тем, что при усреднении по ферми^поверхности в ней учитывается геометрический форм-фактор, или т.н. К - фактор [40,42,43 ] » связанный с геометрией микросужения.
Размер микроконтакта d должен быть мал по сравнению с длиной неупругой релаксации неравновесных электронов 1^ , а температура 7" должна быть много меньше дебаевской температу -ры, при этом понижение Т приводит к более точному восстановлению &(си) по второй производной ВАХ.
В последнее время появились экспериментальные работы [44-47], в которых метод микроконтактной спектроскопии применен при изучении ВАХ микроконтактов типа S-C-S [44,45] и S- C-N [46,47] в области больших напряжений. В связи с этим представляется актуальным рассмотрение специфики, вносимой сверхпроводящими берегами контакта (одним для S-C-N ) в процессы генерации неравновесных фононов.
В диссертации впервые проведено такое исследование для чистых микроконтактов типа S~C~N и S~C~S ,
В исследуемой области напряжений V ^> Л согласно существующей теории вольт-амперные характеристики линейны, но появ-
ляется постоянная (при AJ,T« V ) добавка к току - т.н. избыточный ток [23,24,48 J . Физический механизм избыточного тока связан с процессами андреевского отражения [49] в области контакта. В недавних работах [50-52] удалось достаточно наглядно интерпретировать результаты микроскопической теории, используя "квазитун-нельную" модель микроконтакта с учетом андреевского отражения, а также получить новые результаты, в частности объяснить субгармонические щелевые особенности ВАХ [51,52] .
В данной работе вычисление нелинейной добавки к току контактов типа S-C'S и 5-С-Д/, обусловленной процессами фонон-ной генерации, проведено с помощью микроскопической теории. Оказывается, что наряду с обычным нелинейным вкладом, совпадающим с выражением для нормального металла, имеется чисто сверхпроводя -щий нелинейный вклад в ток. В случае контакта типа 5-е - А/ микроскопический расчет можно просто объяснить, принимая во внимание влияние андреевского отражения на конечные электронные состояния, в которые может перейти ускоренный электрическим по -лем "горячий" электрон после испускания фонона. Учет связанного с этим вклада в ток приводит к тому, что даже при нулевой температуре связь между функцией ЭФВ СгШ) и второй производной ВАХ остается интегральной.
Избыточный ток, определяемый как разность нелинейных вольт-амперных зависимостей Г (V) в сверхпроводящем и нормальном состоянии, будет убывающей функцией напряжения, причем скорость убывания пропорциональна G'(CO) ,
На основании данных результатов можно сделать вывод, что с некоторыми ограничениями информация о поведении функции ЭФВ G-(Cd) может быть получена и в случае контакта между сверхпроводниками или сверхпроводником и нормальным металлом.
Изложенные выше краткие характеристики рассматриваемых в работе задач в связи с уже имеющимися теоретическими и экспериментальными результатами позволяют сделать положительный вывод об актуальности темы диссертации.
Целью настоящей работы является:
изучение влияния тепловых флуктуации и эффектов неравно -весности джозефсоновского контакта на характеристики слабосвязанного кольца и ВЧ-сквида;
изучение влияния тепловых флуктуации на квантовые когерентные явления в двухконтактном интерферометре и на синхронизацию в многоконтагатной джозефсоновской цепочке;
* исследование нелинейной проводимости микроконтактов типа 5 -C~S и S-C-/V, связанной с процессами энергетической релаксации неравновесных возбуждений при напряжениях, соответствующих характерным фоноиным частотам.
Научная новизна. Большинство результатов, составляющих основу диссертации получено впервые:
впервые исследованы характеристики ВЧ-сквида на основе микроскопической теории неравновесного поведения джозефсоновского контакта;
впервые рассмотрена синхронизация в многоковтактной джозефсоновской цепочке со связью через параллельно включенную резонансную цепь при учете флуктуации;
впервые вычислена нелинейная вольт»-амперная характеристика микроконтактов типа S-C-N и S~C~S , обусловленная про -цессами генерации фононов неравновесными возбуждениями.
Практическая ценность. Результаты исследования влияния энергетической релаксации квазичастиц на характеристики ВЧ-сквида могут быть использованы при создании сквидов с СВЧ накачкой.
Полученное в работе изменение вольт-амперной характеристики двухконтактного сквида под действием переменного внешнего сигнала представляет интерес при реализации СВЧ детекторов на основе сквидов и многосвязных джозефсоновских контактов. Условия возникновения синхронизации в многоконтактной джозефсоновской цепочке с учетом флуктуации надо принимать во внимание при использовании подобных систем в качестве СВЧ приемных устройств и других элементов криоэлектроники. Связь вольт-амперных характеристик микроконтактов между сверхпроводником и нормальным металлом с функцией электронноионного взаимодействия позволяет исследовать высоко -температурные сверхпроводники методом микроконтактной спектроскопии с целью повышения их критических параметров.
Кроме введения, диссертация состоит из трех глав, заключения и двух приложений. Глава I посвящена исследованию флуктуации в сверхпроводящем слабосвязанном кольце [53] , а также влияния процессов энергетической релаксации на характеристики ВЧ-сквида [5^,55] . В главе 2 вычислена вольт-амперная характеристика двух-кшгтактного сквида при действии внешнего переменного сигнала с учетом флуктуации [53*56] . Рассмотрена также синхронизация в джозефсоновской цепочке последовательно соединенных контактов при резонансной связи через внешнюю цепь [57,58] . В главе 3 рас -смотрена нелинейная проводимость микроконтактов типа S-C-N и S-C~S , связанная с процессами фононной генерации [59-62J
В Приложениях 1,2 содержатся некоторые детали вычислений.
Выводы сформулированы в конце каждой главы. В заключении сформулированы основные результаты работы, выносящиеся на защиту.
Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзных совещаниях по физике низких температур НТ-20 (Москва, 1979 г.)
и НТ-22 (Кишинев, 1982 г.)» Меадународной конференции по физике низких температур LT - 16 (Лос-Анджелес, США, 1980 г.), Всесоюзных семинарах "Эффект Джозефсона в науке и технике" (Киев, 1979 г., 1981 г., 1983 г#)і 2-й Всесоюзной школе-семинаре по некоторым вопросам физики сверхпроводимости и нормальных металлов и опубликованы в 10 научных работах.
Флуктуации в одноконтактном сверхпроводящем интерферометре
Выражение для тока с учетом флуктуационного слагаемого для джозефсоновского контакта с малой емкостью имеет вид где коррелятор і (t) равен (1.9). Подставляя (1.10) в уравнение (1 6), получим уравнение Ланжевена [бб! для / (t) со "случайной Безразмерная величина личины От уравнения (І.ІІ) известным образом [бб] переходим к уравнению Фоккера-Планка для функции распределения f( f,t) случайной ве-U) в момент t Это уравнение является одномерным уравнением диффузии в поле по -тенциала равного сумме энергии слабой связи и энергии магнитного поля кольца. В стационарном случае (I.I2) принимает вид dip2- дер К дер } Поскольку потенциал U (ер) на бесконечности возрастает, данное уравнение всегда имеет решение (распределение Гиббса) удовлетворяющее условию нормировки Г f((p)d(p= 1 . Потенциал U(W) имеет единственный минимум при I 1 , а при і 1 -несколько локальных минимумов (рис. 2), положение которых находится из уравнения Влияние термодинамических флуктуации характеризуется параметром 7 п1с/2еГ, равным отношению энергии слабой связи к тепловой энергии. При у» 1 флуктуации ер относительно значения, соответствующего минимуму энергии U (ер) , пренебрежимо малы и зависимость полного потока $ и циркулирующего в кольце тока от внешнего магнитного потока ЗРе определяются уравнением (I.I6) (см, напр. [ 3 ] ). При і 1 эти зависимости однозначны (безгис-терезисный случай), а при і 1 становятся многозначными (гис-терезисный случай), что соответствует существованию нескольких устойчивых токовых состояний в слабосвязанном кольце при заданном е 7] из которых только наинизшее по энергии состояние абсолютно устойчиво, а остальные являются метастабильными. Эти состояния имеют конечное время жизни относительно термических активационных переходов через потенциальный барьер [68,69], время жизни А го состояния равно [69] Здесь Л Uк "- высота энергетического барьера, отделяющего к -е метастабильное состояние от соседнего более низкого по энергии состояния. При Y » 1 времена жизни метаетабильных состояний очень велики и превосходят как все характерные времена системы, так и время наблюдения [бв] . Величина барьера A Uг/с может понижаться при приближении (ре к критическому значению, отвечающему исчезновению наиболее высокого по энергии локального минимума потенциала.
Влияние тепловых флуктуации на процесс перехода в низшее стационарное состояние в этом случае было рассмотрено Куркиярви [70] . Если Т не слишком велико, у 1 , то времена Г могут стать сравнимыми с характерными временами системы и при достаточно медленном изменении внешнего поля WQ успевает установиться полное термодинамическое равновесие слабосвязанного кольца, которое описывается функцией распределения (I.I5). При , когда метастабильные состояния отсутствуют, характер « ное время установления равновесного распределения порядка L/R Среднее значение циркулирующего в кольце тока в равновесии вычисляется с помощью (I.I5) [53_ в виде фурье-разложения по сре : ( Thij) модифицированные функции Бесселя). Среднее значение тока J при наличии флуктуации является периодической функцией Хе с периодом х « На рис, 3 показаны результаты численного расчета TCxg) по формулам (I.I8) -(I.I9) при 1 = 1 и различных значениях у , При малом у (1,18) сводится к Если у фиксированно, т.е. температура и критический ток Тс заданы, то амплитуда высших гармоник в выражении I(Фе) быстро падает с ростом де , т.е. индуктивности L , и при д 1 При Т = 4К значению St - 1 соответствует /_ 1,8 10"" Гн. При большей индуктивности средний ток в кольце экспоненциально падает. Аналогичные вычисления зависимости Ф(Фе) с учетом тепловых флуктуации в безгистерезисном случае ( 1 1 ) проведены в [к]. Как видно из (I.I8) - (I.2I) и графиков рис. 3, флуктуации уменьшают амплитуду среднего тока в кольце и приближают зависи -мость Т(Фе) к простой синусной. Это соответствует эффективному уменьшению 1г или параметра I 1.3. Влияние неравновесных процессов в сверхпроводящем точечном контакте на характеристики ВЧ-сквида L54,55J В данном разделе рассматривается сверхпроводящее кольцо с включенным в него джозефсоновским элементом типа 5-С-о , связанное индуктивно с резонансным контуром, который подключен к источнику переменного тока с частотой СО , близкой к резонансной частоте контура OJo Как отмечалось ранее, данная система является основой высокочастотного сверхпроводящего квантового интерферометра (ВЧюквида), его базисная схема показана на рис. 4. Магнитный поток х в кольце и разность фаз параметра по -рядка на контакте содержат быстро меняющиеся компоненты с частотами порядка со , поэтому вместо простого выражения (1.7) в общем случае для тока следует использовать вытекающее из микро -скопической теории нестационарного эффекта Джозефсона функциональ- Функционал вычислялся в работах [23,24] для микрокон- тактов малых размеров в чистом ( d « 1,- ) ив грязном пределе ( « а ), где - длина свободного пробега электронов относительно упругого рассения на примесях, и характерный размер микросужения d должен удовлетворять неравенствам [23,24] : в чистом пределе ( 0 Of/Tc - радиус корреляции в сверхпроводнике), а в грязном пределе где (Т) длина когерентности грязного сверхпроводника Считая эти ограничения на размер слабой связи d выполненными, рассмотрим характеристики ВЧ-сквида в случае, когда поведение контакта не описывается резистивнои моделью и следует использовать результаты микроскопической теории. функционал I{(p(t)\ может быть вычислен в явном виде и имеет достаточно простую форму при температуре 7" вблизи критической температуры TQ берегов контакта (т.е. Д Г).
При этом полный ток равен сумме нормальной компоненты V/ R и слагаемого, которое в дальнейшем будем называть сверхпроводящим током. В общем случае этот вклад в ток отличается от обычного выражения Тс Sin (р в (1.7). При условии, что характерная частота изменения разности фаз, в данном случае U) , значительно меньше величины энергетической щели А(Т") в берегах контакта, а также при Л « Т , сверхпроводящий ток 1$\ f \ в случае чистого контакта можно записать в виде І2Ч \ а для грязного контакта [23] Использованные при выводе (1,25), (1,26) упрощения, связанные с малостью Л/Т , приводят к тому, что в выражениях Ts\fS появляется единственный параметр, определяющий их отличие от ре-зистивной модели, а именно время энергетической релаксации элект-ронов Tg = У . в данном случае это время неупругих электрон-фононных стожновений, причем вблизи критической температуры, где величина энергетической щели значительно меньше характерного изменения электронной энергии при столкновениях, Тс совпадает с соответствующим значением в нормальном металле, Т д N(0) т пг » где д - константа электрон-фоноиного взаимодействия, N(0) - плотность состояний электронов на поверхности Ферми, $ - де-баевская температура. При медленном изменении разности фаз на контакте или потока в кольце за время Т в (1.25),(1»2б) зависящие от р функции можно вынести из-под интеграла по времени, в результате чего оба выражения сводятся к Тс Sin (р , т.е. приводят к резистивной модели. Таким образом, вблизи Тс влияние энергетической релаксации электронов на поведение ВЧ-сквида зависит от величины СОТ , при 6Л « 1 справедливо описание на основе резистивной моде - ли [5,71,72] . Целью последующего рассмотрения является изучение поведения ВЧ -сквида и его характеристик в случае, когда COTs не мало, т.е. существенны эффекты, связанные с конечностью времени энергетической релаксации. В сквиде измеряется напряжение на колебательном контуре к ( ) (рис. 4). Нас интересует зависимость его амплитуды и фазы от амплитуды сигнала генератора накачки 1а и от величины внешнего магнитного потока, т.е. от (ре . Эта последняя зависимость особенно интересна для приложений, поскольку она определяет чувствительность сквида по полю. Указанные выше характеристики сквида выражаются через зависящие от амплитуды колебаний в резонансном контуре и внешнего потока у?е функции: эффективную расстройку (или сдвиг резонансной частоты) контура и коэффициент затухания (эффективную добротность) [5,7l] . Данные функции характеризуют нелинейное поведение коле- бательного контура, обусловленное индуктивной связью со сверхпроводящим кольцом, замкнутым джозефсоновским контактом.
Произвольная амплитуда колебаний
Перейдем к рассмотрению случая произвольной амплитуды колеба ний Ъ , снова считая ШТг » і . Решение будем искать в виде разложения по степеням I , полагая I « j , В нулевом приближе нии по і решение для (р совпадает при q «= О с ipx = ip+-acoscf t откуда легко вычислить эффективную расстройку и коэффициент зату хания при произвольной амплитуде СО , в линейном приближении по Рассчитанные по этой формуле зависимости д2(а) при различных значениях (ре приведены на рис. 8. Их вид значительно отличается от результата, следующего из резистивной модели: Величина расстройки АО. при (fe-1V и & = 0 согласуется с (1.47) при I « 1 и равна - в/к2. На кривых рис. 8 имеются особые точки при критических значениях амплитуды GL = &с , удовлетворяющих условиям Cbc ± ре » «= (jLn + ljTT, при достижении которых происходит резкое смещение резонансной частоты сквида в отрицательную сторону, связанное с возникновением гистерезисной петли при движении в плоскости ( ,.) . При малом t величина скачка А 2 равна где Л при & = &c находится из (І.51). Таким образом, на кри вых рис, 8 должны иметься горизонтальные участки, длина которых пропорциональна Ъ и убывает с увеличением & , однако фор- мула (І.5І), полученная в линейном приближении по I , дает вместо горизонтальных участков корневые особенности AQ.(d) при Z = (lc, Каждая гистерезисная петля, пройденная за период изменения w , дает вклад в коэффициент затухания 0(сь, ipe) ,равный При увеличении амплитуды колебаний & число гистерезисных пе -тель возрастает пропорционально & . Поскольку A (&j fe) при возрастании & выходит на предельное значение 2. / ТГ , добав-ка к затуханию при больших СЬ спадает как Ъ , При (ре і близком к ТГ , величина наименьшей критической амплитуды мала, &с АУ , и мы возвращаемся к рассмотренному выше случаю. Для произвольного CJ в линейном по і приближении выражение для расстройки будет Таким образом, поведение сквида, содержащего чистый точечный контакт, в пределе большой частоты накачки, U)T » 1 , может быть проанализировано достаточно подробно. Характеристики ВЧ-скви-да при этом наиболее сильно отличаются от случая, когда для описания джозефсоновского контакта справедлива резистивная модель ( сиТе « 1 ).
На рис. 9 показаны высокочастотные вольт-амперные характеристики ВЧ-сквида, соответствующие выражению (I.5I) для расстройки. Они также значительно отличаются от обычных ВАХ [751 . Менее ярко отличия от результатов, полученных из резистивной модели, проявляются для грязного точечного контакта, что видно, например» из рис. 56. В заключение данного раздела выпишем для полноты уравнение для f ("О в случае грязного контакта, включенного в кольцо скввда: При A- 0 А не зависит от времени и снова сводится к средне-му по периоду колебаний, на этот раз от величины [1-К Sin —— ) , Линейное по а приближение было рассмотрено в п, 1.3.I. Для колебаний конечной амплитуды в случае сильной неравновесности надо в уравнении (1,39) использовать выражение для сверхпроводящего тока is Cf) вида Если А (к) не обращается в нуль при / - "/ , то эффективная "высокочастотная" токо-фазовая зависимость is ((f) имеет логарифмически расходящуюся производную dl5/d(f при (р ТҐ , в чистом пределе і$ У) имеет в этой точке скачок. Поэтому и в данном случае при любом і возможны гистерезисные эффекты. Но при малой амплитуде колебаний и (fe , близком к It , величина А при к 1 также мала и поведение характеристик сквида слабо меняется по сравнению с результатами, полученными линеаризацией по & Рассмотренные в п. 1,2 флуктуационные эффекты в сверхпроводящем слабосвязанном кольце физически очевидны и не требуют особого обсуждения, В п. 1.3 показано, что влияние неравновесности джозефсонов -ского контакта, которая создается вследствие конечности времени энергетической релаксации электронов Т , существенно изменяет поведение ВЧ-сквида при частоте накачки CJ сравнимой по величи-не с Tg . Расчеты проведены на основе результатов микроскопической теории [23,24 J , справедливой вблизи критической температу- ры Тс массивных сверхпроводников, образующих берега контакта и сверхпроводящее кольцо. При этом единственным параметром, определяющим степень неравновесности, является произведение wirB . В работе Сз4J экспериментально исследовались характеристики ВЧ-сквида с частотой накачки Cd ю8 сек , с прижимным точечным контактом из алюминия, поскольку для этого металла время неупругих электрон-фононных столкновений Tg 4 10"7 сек [7б] Следовательно, в данном случае можно реализовать предельно неравновесную ситуацию Сс1Те » / . Измерения в безгистерезисном режиме ( і 1 ) амплитудно-частотных характеристик сквида при температуре Т 0.95 - 1.00 К качественно согласуются с результатами п, 1.3 данной работы в предельном случае Я J [54,77] . При малой амплитуде колебаний в резонансном контуре наблюдалось смещение резонансной частоты сквида только в сторону положительных значений при изменении внешнего магнитного потока, как это следует из результатов п. 1,3.1 для чистого контакта. Зависимость смещения частоты от амплитуды колебаний при различных значениях внешнего потока уе для і 0.6 качественно согласуется с графиками рис. 8 L77] . Наблюдалось также существенное уменьшение добротности резонансного контура при величине внешнего магнитного потока близкой к полуцелому числу квантов Sr0 . По мере понижения температуры указанные выше особенности исчезали. В связи с этим представляет интерес более подробное исследование температурной зависимости характеристик ВЧ-сквида» поскольку вдали от ТС микроскопическая теория нестационарного эффекта Джозефсона tie дает простых выражений для связи тока и фазы, подобных (1.25), (1.26). Следовательно, изучение характеристик ВЧ-сквида при температурах, близких к ТС и при достаточно большой частоте накачки дает информацию о величине времени энергетической релаксации электронов Т и позволяет проверить выводы микроскопической теории эффекта Джозефсона.
Для таких сверхпроводников, как Nb , 5п или Та исследованные здесь эффекты неравновесности будут проявляться при СО , лежащей в СВЧ-диапазоне, т.е. порядка 109-1010 сек""1. В заключение коротко сформулируем полученные в первой главе диссертации результаты: 1. В сверхпроводящем слабосвязанном кольце тепловые флуктуации уменьшают амплитуду среднего значения циркулирующего тока и приближают зависимость I () к синусной. 2. Неравновесные явления в джозефсоновском контакте типа S-C-S, включенном в сверхпроводящее кольцо ВЧ-сквида, приводят к существенным изменениям характеристик сквида при частоте накачки си сравнимой с обратным временем энергетической релаксации квазичастиц в контакте, по сравнению с низкочастотным случаем 0/Т « 1 , когда для описания слабой связи пригодна резис-тивная модель. 3. При малой амплитуде ВЧ-колебаний в безгистерезисном режиме (i l) найдены расстройка и затухание резонансного контура сквида с учетом влияния кольца при произвольных значения параметров СОТ и cuL/R во всей области изменения внешнего магнитного потока Srg » исключая узкие промежутки вблизи значений (П+1/2) 3 7 . При WT / вычисленные величины зависят от значения сиТ и могут быть использованы для нахождения времени Tg . 4. В предельно неравновесном случае соТе 1 рассмотрен гистерезис, возникающий при і і из-за разрывности эффективной высокочастотной зависимости сверхпроводящего тока от фазы. Найдено поведение сдвига резонансной частоты и затухания контура в гистерезисной области при малой, но конечной амплитуде колебаний и Те вблизи полуцелого числа квантов $ 0 . 5. При і « 1 , в случае сильной неравновесности» получены выра жения для эффективной расстройки и затухания резонансного кон тура при произвольной амплитуде колебаний и внешнем магнитном потоке. Эти зависимости качественно отличаются от соответст - вующих характеристик сквида со слабым контактом, находящимся в равновесных условиях при СОТ% « 4 . 6. Отклонения от результатов резистивнои модели в поведении ха - рактеристик ВЧ-сквида существенны для чистых точечных контак тов типа 5- C-S, В этой главе рассматриваются многоконтактные джозефсоновские системы в высокочастотном электромагнитном поле и влияние тепловых флуктуации в слабых связях на когерентные свойства таких систем. Простейшей многоконтактной системой, имеющей широкое практическое применение, является двухконтактный сверхпроводящий квантовый интерферометр (СКИ), впервые реализованный в 1964 г. [29].
Синхронизация в многоконтактной джозефсоновской цепочке.
Возможность реализации когерентного поведения массива джозефсоновских контактов уже давно привлекала интерес, особенно с целью лучшего использования возможностей джозефсоновских систем для применений в СВЧ-технике. В данной работе рассматривается влияние тепловых флуктуации на возникновение синхронизации на примере модели, в которой цепочка последовательно соединенных джозефсоновских контактов включена параллельно с резонансным элементом связи (его импеданс Ze ) в цепь заданного внешнего тока. Относительно элемента связи предполагается, что он эквивалентен последовательному резонансному конту -ру, имеющему собственную частоту Cdo и малое затухание. Число контактов N велико (N » 1) , Никаких ограничений на расстояние меаду джозефсоновскими элементами не налагается R, поскольку для нас существенна связь контактов по току, который состоит из постоянного тока смещения, а также тока высокочастотных колебаний, которые могут возникать в системе. Эквивалентная схема ее представлена на рис, 12. В случае одного контакта подобная система рассматривалась в работах [84,85] . Рассмотрим пока случай идентичных контактов, имеющих критический ток Тс и сопротивление R . Постоянный ток смещения I Тс переводит слабые связи в резистивное состояние. Уравнение сохранения тока для контакта с номером к имеет вид: где ffcCt) (К = 1,2.,.,, N) - разность фаз параметра порядка на к м контакте, IQ(X) - протекающий через внешний контур переменный ток. Емкости контактов считаем малыми и ток смещения в (2f29) не Длина волны электромагнитных колебаний в системе Л считает ся больше длины цепочки L - единственное ограничение на размеры системы. учитывается. Тепловые флуктуации приводят к появлению в уравнениях для 9Н случайных источников, обладающих свойствами белого шума, причем флуктуации в разных контактах статистически независимы,т.е, Запишем уравнение для колебательного контура - элемента связи: где напряжение на цепочке Если записать ток Ie (оо) через импеданс 2е ( и компоненты Фурье напряжений на контактах V iu)) , то Согласно терминологии работ [35,34] , здесь осуществляется дальнодействие между контактами.
При наличии флуктуации фазы if являются случайными величинами, каждая из которых задается функцией распределения kitfkj t) , последняя может быть получена из совместной функции распределения F(f1}yZ).: Ун t) интегрированием по всем if- ф wk . Нас интересует установившийся режим в системе, описываемой уравнениями (2.29)-(2.32), при котором начальное распределение фаз не влияет на поведение системы через какое-то конечное время (здесь содержится, конечно, некоторое предположение об эрго- личности). Мы хотим рассмотреть "термодинамический предел", т.е. такие свойства системы контактов, которые не исчезают при N- . Тогда можно воспользоваться тем фактом, что суммарное напряжение V (2.32) является суммой большого числа N случайных величин. Если бы все фазы р были бы независимы статистически, то к сумме (2,32) был бы применим закон больших чисел, согласно кото- рому случайная величина -у У (ри при Л/ - является га- уссовой случайной величиной со средним значением тт X и с относительной дисперсией N [бб] . Полный импеданс системы с учетом цепочки пропорционален Л/ при больших /V (см. ниже), поэтому при вычислении тока Xe[t) (см. (2.33)) мы должны сохранить только вклад порядка /V в на пряжении V it) , поэтому в "термодинамическом пределе" надо считать V(t) в правой части (2.33) детерминированной величи- На самом деле случайные величины (Р it) не являются совершенно независимыми, поскольку в уравнение для каждой из них (2.29) входит ток Ie(t) , определяемый из (2,31) или (2.33). Но при /V 1 возникающие при этом корреляции между любой парой величин %,09, %/ОД можно считать малыми, т.к» они коррелируют "через" Ie it) , а каждая фаза дает вклад -гг в Ie it) # не считая это рассуждение строгим доказательством, тем не менее будем по-прежнему считать V(t) равным (2.34)» В результате имеем /V уравнений Ланжевена (2.29) для lfk , где Іе (t) - детерминированная функция, находимая из (2.31) или (2.33), а суммарное напряжение V(t) , входящее в эти уравнения, вычисляется суммированием средних значений. В нашем случае одинаковых контактов все функции распределения kfyk tyсовпадают с (fit), с помощью которой находятся у и V Предположим, что в системе возникают колебания с частотой (л) , близкой к собственной частоте резонансной цепи си0 . Вводя медленно меняющиеся амплитуду и фазу, представим ток Te(t) в виде: Ie (t) = I0 (t) cos (cut +- в (t)). (2.35) Для функции распределения f(f,t) справедливо уравнение Фоккера-Планка Уравнение колебаний (2.31) заменой (2.35) сводится к уравнению первого порядка относительно & и в : N Чтобы включение цепочки в резонатор не слишком увеличило затухание, будем считать R « Усредняя по быстрым осцилляциям, приходим к укороченным уравнениям для медленных переменных[73J d , : (черта означает усреднение по времени). В соответствии с высказанными выше соображениями, заменим сумму в правых частях (2.38) на NKsi/кру 9 где усреднение проводится с функцией распределения ftyT) , вычисленной из (2.36). Ограничимся случаем слабой нелинейности, Л о(У 1 . Проделанное ранее (п.2.2) вычисление і по теории возмущений справедливо при условии, что амплитуда возникающих в системе колебаний еще мала и особенности в импедансе джозефсоновского контакта сильно сглажены тепловыми флуктуациями.
Это накладывает на GL ограничение Не повторяя вычислений функции распределения разложением по Ы , запишем окончательное уравнение для CL и 6 : где =d-V , v=— » і , т.е. пропорционально разности между частотой колебаний СО и частотой джозефсоновской генерации 0JV Мы рассматриваем стационарные решения системы уравнений (2.49), CL = 9- О . Хотя, согласно (2.39), а/Ы. мало, мы оставим в первом уравнении нелинейные по CL члены, т.к. это позволяет найти амплитуду стационарных колебаний в области, где она мала. Состояние cfle(? является несинхронизированным в том смысле, что процессы джозефсоновской генерации в контактах независимы, соответствующие спектральные интенсивности суммируются, а максимальная мощность колебаний в резонансной цепи, возбуждаемых такой некогерентной генерацией, будет равна Ртк :jRTc (NR/(NR+R(3) ( при условии —— « -Q ,A(JL) = ( jr)R7"-ширина линии генерации). Амплитуда переменного тока, протекающего через элемент связи, будет порядка Tc/vN . Малость данной величины при Л/ / является основанием для замены суммы в (2.38) на сумму средних значений. При этом мы пренебрегаем некогерентными "фоновыми" колебаниями тока Те , что не противоречит дальнейшему рассмотрению влияния тепловых флуктуации на возникновение незатухающих колебаний в резонаторе, с учетом вносимой цепочкой нелинейности, при условии Появление ненулевого решения для oi , точнее -ь « а , соответст-вует установлению синхронного режима в поведении случайных величин и). , поскольку они теперь связаны вследствие наличия ВЧ-коле-баний в системе. Данная картина напоминает фазовый переход, где d играет роль параметра порядка. Стационарная амплитуда находится из уравнения При любых нулевое решение (2.42) единственно и устойчиво, если 8с/Г ( NR+Rj 8СОТ[ NR+Re 1 (2 43) что определяет область параметров, в которой синхронизация всегда разрушается тепловыми флуктуациями. При изменении этого неравенства на обратное, границы области синхронизации по J7 , т.е. по току смещения (по V ), выражаются соотношениями вида: Вблизи границ амплитуда d ведет себя как /f-/ ИЛИ Т2 ? и является малой величиной. Внутри области синхронизации, где d может стать порядка единицы» уравнение (2.42) уже непригодно, т.к. нарушается неравенство (2.39). Частота стационарных колебаний а) равна что соответствует положительной мнимой части импеданса цепи связи, I/w2 ( У) 0 [34,35]. Существование незатухающих колебаний на частоте, превышающей джозефсоновскуго частоту СО v , обусловлено хорошо известным фактом отрицательной величины импеданса джозефсоновского контакта[б]. Если амплитуда колебаний достаточно велика и не удовлетворяет условию (2.39), будем вычислять правые части уравнений (2.38),не используя теорию возмущений.
Вычисление неупругой добавки к току
Для вычисления нелинейного по V вклада в ток, связанного с неупругим электрон-фононным рассеянием, необходимо учесть, что оператор Кр в (3.16) отличен от рассмотренной выше разрыв-ной аппроксимации (3.17) на величину оКр , которая может быть представлена следующим образом Эти выражения представляют собой отклонения зависящих от координаты R электрического поля и фононного и примесного вкладов в собственно-энергетический оператор (З.П) от предельных значений данных величин в берегах контакта. Для нахождения поправки первого порядка к функции Грина по d/ig , d/ j следует при вычислении fKi использовать результат нулевого приближения. Поскольку функция Грина в этом приближении отличается от Gj % только на пролетных траекториях, вклад которых быстро убывает при удалении от контакта, величины 6 K-L стремятся к нулю при R » d . В рассматриваемых нами случаях потенциал p(.R) .вычисленный из уравнения электронейтральности (3.15), не зависит от времени (он будет таким же, как и для нормального контакта Uo] ). В результате первое слагаемое в 6KL выпадает из уравнения (3.16). Оставшиеся слагаемые описывают влияние примесного и элект-рон-фононного рассеяния на движение электронов в области сужения. Для добавки первого порядка по малым параметрам d/tB , i/t , gp(t, X j R ) , запишем следующее линейное неоднородное уравнение do ( і = 1,2 при 0 и S О соответственно). При R d из-за убывания о K-L по s можно отбросить пра -вую часть в (3.27) и найти решения однородного уравнения (для пролетной траектории) В отличие от решения (3,22) нулевого приближения, выражение (3.28) имеет разрывное поведение при стремлении 5" к нулю из правого и левого берегов контакта.
Для сшивки данного решения в области контакта учитываем, что при R $? 8 в уравнении (3 27) главными являются градиентный член и коммутатор в правой части, который не мал при R d . Следовательно, в этой пространственной области уравнение (3.27) дает В промежуточной области d « R « $, le асимптотики (3.28) при 5- ±0 и (3.29) при5- ± оо должны перекрываться, откуда получаем следующие соотношения Интеграл в (3.30) сходится на расстояниях порядка d и, по - скольку GpCS) меняется на значительно больших расстояниях, можно заменить G- CS) ее значением на контакте G P= &р () . При S oo добавка первого порядка к функции Грина должна стремиться к нулю, чтобы не нарушалось граничное условие (3.23). Это накладывает дополнительные ограничения на матрицы др в (3.28). Аналогично тому, как это делалось при выводе уравнений (3.24), можно показать (Приложение 2), что должны выполняться следующие условия: Используя (3.30), (3.31) и условия нормировки для функций Грина Q- - , приходим к окончательному выражению для поправки пер-вого порядка к функции Грина при R лежащем на отверстии: Величины Т± известны из решения нулевого приближения. Добавка к функции Грина 3p(t}t ;S=0,р), как будет видно ниже, зависит от поперечной координаты р . Поправка первого порядка к току имеет вид: Интересующие нас добавки к току, содержащие нелинейную зависи -мость от V , обусловлены фононным слагаемым в SК- и в Т±_ . Далее, исходя из (3.32), (3.33), мы рассмотрим нелинейности ВАХ S-c-N и S-C-S контактов, связанные с неупругими про -цессами релаксации. 3.4. Нелинейная ВАХ микроконтакта типа S-C-N при больших напряжениях [62] В микроконтакте между сверхпроводником и нормальным метал -лом отсутствует эффект Джозефсона, т.е. ситуация стационарная и функции Грина зависят только от разности временных аргументов. Благодаря этому система уравнений (3.24) преобразованием Фурье сводится к системе алгебраических уравнений. В нулевом по размеру контакта приближении ВАХ находится точно при любых V и 7 [24] . Соответственно упрощается и нахождение неупругой добавки к току (3.33). Имеются также основания полагать, что для точечного микроконтакта S - с - N связь между производными ВАХ по напряжению и функцией ЭФВ будет более простой, чем в случае контакта между двумя сверхпроводниками. Здесь можно отметить, что для туннельного перехода N - J- 5 отношение величины проводимости 0N$ (У ) к соответствующей величине в нормальном состоянии, UHN(V) , непосредственно дает туннельную плотность состояний [92 ] энергетическая зависимость которой служит в методе туннельной спектроскопии Мак миллана-Роуэлла исходной информацией для вое -становления функции ЭФВ d ((d) F (со) [92] . Поэтому имеет смысл рассмотреть возможность восстановления вида функции ЭФВ по "неупругому" микроконт акт ному спектру (по зависимости T(V) и ее производным по V ) в случае контакта между сверхпроводником и нормальным металлом. В последнее время появились экспериментальные работы по измерению нелинейностей ВАХ гетероконтактов двух различных нормальных металлов [ 102,ЮЗ] і в которых на второй производной d I/dV наблюдались особенности, соответствующие максимумам ЭФВ каждого из контактирующих металлов. Теория неупругой спектроскопии фоно-нов в нормальных гетероконтактах рассматривалась Щехтером и Кули-ком [104] . Было найдено, что d I/dV определяется аддитивными вкладами микроконтактных спектров обоих металлов. Также был вы -числен форм-фактор К с учетом различия электронных свойств металлов, образующих контакт.
В чистом пределе d « і; различие фермиевских скоростей приводит к "преломлению" пролетных траекторий на границе раздела металлов (если последняя предполагается идеально гладкой), что сказывается в выражении для К . В данном разделе рассматривается микроконтакт S-C-N в чистом пределе, Условие (3.1) считается выполненным. Температура Т ниже 7 с - критической температуры сверхпроводящего элект -рода, а нормальный электрод имеет T cN = 0 . Электронный свойства обоих металлов - плотность состояний /V (0) , фермиевские импульс рр и скорость iff , считаем пока одинаковыми. Их различие не приводит к каким-либо эффектам, специфическим для S-C-N - случая, а сводится к изменению К -фактора нормального контакта [104] . Разными будут, однако, матричные элементы электрон-фоноиного взаимодействия в берегах, которое в одном из них приводит к сверхпроводящему спариванию. Граница между металлами предполагается достаточно резкой (порядка нескольких межатомных расстояний), так что изменение матричного элемента ЭФВ при переходе через границу происходит скачком на квазиклассическом масштабе расстояний. На рис. 13 считаем область О занятой сверхпроводником, а 0 - нормальным металлом. Потенциал р выберем равным V в глубине нормального электрода (Vp = V) , а в сверхпро -воднике вдали от контакта (f =0(V1=!0) , в результате функ-ция Грина v?f совпадает с функцией Cf равновесного сверхпроводника (3.20), а в нормальном металле функция ( равна Решение уравнения (3.8) в нулевом приближении по d/iB и d/t с учетом граничных условий дает следующее выражение для функции Грина при Z = 0 , т.е. в плоскости контакта (для пролет-ной траектории, соответствующей импульсу р ): &о &a, определяют изотропную и анизотропную часть функции Грина и являются матрицами следующего вида Для вычисления неупругого тока, пропорционального d/ib , на- до вычислить соответствующую добавку к функции Грина Qn (3.32). В операторах о К-ь (3.26) оставим только фононный член їоііц который находим из (3.12), (3.13)» причем вместо электронной функции Грина надо подставить разность &р & д. «В результате при интегрировании по направлениям р остается только вклад пролетных траекторий, проходящих через заданную точку R . Если эта точка лежит на пролетной траектории» которая определяется направ- лением импульса (скорости) р и координатой Р в плоскости контакта (рис. 13), и положение R на траектории определяется значением параметра S , то можно ввести функцию д {р, р ) Р, S) , равную единице для импульсов р , отвечаю -щих пролетным траекториям (лежащим внутри конуса с вершиной R и опирающегося на отверстие), и равную нулю для непролетных траекторий.
