Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Аналитический обзор 10
1.1 Переходные процессы при фазовых переходах в конденсированных средах 10
1.1.1 Равновесные и неравновесные фазовые переходы 10
1.1.2 Диссипативные структуры 14
1.1.3 Макроскопические флуктуации при фазовых переходах 16
1.1.4 Эффекты пред- и постплавления как неравновесные фазовые переходы 18
1.1.5 Основные подходы к вопросу теории плавления твердых тел 20
1.2 Эффект синхронизации в динамических системах 29
1.2.1 Понятие синхронизации в линейных и нелинейных системах 29
1.2.2 Автоколебательная система и ее фаза 37
1.2.3 Синхронизация двух и многих осцилляторов 42
1.2.4 Синхронизация в хаотических системах 48
Глава 2. Модель кристаллической решетки как системы связанных нелинейных осцилляторов 58
2.1 Применимость осцилляторов Ресслера для моделирования тепловых колебаний в условиях сильного ангармонизма 58
2.2 Влияние параметра хаотичности колебаний на синхронизацию в цепочке связанных осцилляторов Ресслера 67
2.3 Влияние параметра жесткости связи между осцилляторами на синхронизацию в цепочке связанных осцилляторов Ресслера 71
2.4 Влияние размеров цепочки на синхронизацию в цепочке связанных осцилляторов Ресслера 75
Глава 3. Синхронизация в двумерных изотропных решетках связанных нелинейных осцилляторов 79
3.1 Двумерная модель тепловых колебаний на основе решетки связанных осцилляторов Ресслера 79
3.2 Влияние параметра хаотичности колебаний на синхронизацию в изотропной решетке связанных осцилляторов Ресслера 80
3.3 Влияние параметра жесткости связи на синхронизацию в изотропной решетке связанных осцилляторов Ресслера 87
3.4 Влияние размеров решетки на синхронизацию в изотропной решетке связанных осцилляторов Ресслера 93
3.5 Свойства динамических нанокластеров 100
Глава 4. Синхронизация в двумерных анизотропных решетках связанных нелинейных осцилляторов 103
4.1 Влияние параметра хаотичности колебаний на синхронизацию в анизотропной решетке связанных осцилляторов Ресслера 103
4.2 Влияние параметра жесткости связи на синхронизацию в анизотропной решетке связанных осцилляторов Ресслера 111
4.3 Влияние анизотропии жесткости связи на структурные изменения в решетке связанных нелинейных осцилляторов 114
Глава 5. Диссипация энергии при хаотической синхронизации нелинейных осцилляторов 118
5.1 Учет ангармонических слагаемых в потенциале взаимодействия между осцилляторами решетки 118
Перераспределение энергии решетки при хаотической синхронизации 122
Динамические условия возникновения диссипации энергии 128
Заключение и выводы 134
Список литературы 135
- Эффекты пред- и постплавления как неравновесные фазовые переходы
- Влияние параметра хаотичности колебаний на синхронизацию в цепочке связанных осцилляторов Ресслера
- Влияние параметра хаотичности колебаний на синхронизацию в изотропной решетке связанных осцилляторов Ресслера
- Влияние параметра хаотичности колебаний на синхронизацию в анизотропной решетке связанных осцилляторов Ресслера
Введение к работе
Актуальность работы.
Хаотическое движение в детерминированных нелинейных системах интенсивно изучается в последнее время. Интерес к этой проблеме вызван тем, что детерминированный хаос носит междисциплинарный характер и позволяет применить качественно иные подходы к решению проблем физики нелинейных явлений. Особое внимание вызывает концепция детерминированного хаоса в приложении к рассмотрению неравновесных фазовых переходов, наблюдаемых в конденсированных средах. При исследовании фазовых переходов в конденсированных системах, таких как плавление, разрушение, пластические деформации, наблюдаются переходные процессы, которые сопровождаются термодинамическими неустойчивостями и с позиций неравновесной термодинамики рассматриваются как неравновесные фазовые переходы.
Особую важность в трактовке этих явлений приобретает хаотическая синхронизация как возможный механизм возникновения коллективного коррелированного поведения кристаллической решетки, приводящего к диссипации тепловой, акустической и электромагнитной энергии и образованию наноструктурированньгх диссипативных систем.
Решение фундаментальных задач механизмов образования диссипативных структур тесно связано с бурно развивающимся наукоемким направлением - индустрией наносистем. Фундаментальной проблемой нанотехиоло-гий является изучение термодинамики и кинетики наносистем. Исследование этой проблемы позволит решить актуальные задачи нанометериаловедения -получение самоорганизаванных динамических систем, сформированные в неравновесных условиях, и осуществить переход от изолированных консервативных наносистем к открытым кооперативным.
Работа является частью комплексных исследований, проводимых в рамках гранта РФФИ № 03-03-96027-р2003пчр_а «Получение, идентификация и параметризация самоорганизованных нанокластеров».
Цель работы.
Исследование динамики тепловых колебаний кристаллической решетки в условиях сильного ангармонизма на основе модели пространственно-распределенных связанных нелинейных осцилляторов.
Задачи работы.
Построение модели переходных процессов при плавлении на основе пространственно-распределенной системы связанных нелинейных осцилляторов.
Исследование условий возникновения эффекта хаотической синхронизации в изотропном и анизотропном случаях.
Исследование диссипативных процессов в условиях синхронизации тепловых колебаний.
Научная новизна
Предложена модель синхронизации пространственно-распределенной системы связанных нелинейных осцилляторов Ресслера для описания динамических эффектов фаз предплавления кристаллических веществ.
Определены условия возникновения эффектов синхронизации и класте-рообразования в одномерных и двумерных моделях связанных осцилляторов для изотропных и анизотропных систем.
Обнаружен эффект диссипации энергии при синхронизации тепловых колебаний в модельной кристаллической решетке.
7 Основные положения, выносимые на защиту
Описание коллективных эффектов в кристаллической решетке на этапе предплавления в рамках модели связанных нелинейных осцилляторов Ресслера.
Динамическое наноструктурирование в изотропных и анизотропных средах как результат синхронизации тепловых колебаний.
Диссипация энергии за счет перераспределения кинетической и потенциальной энергии при возрастании ангармонизма тепловых колебаний
Практическая значимость.
Предложен подход по исследованию динамики тепловых колебаний кристаллической решетки с помощью методов нелинейной динамики, который может быть использован при моделировании возбужденных состояний с образованием наносистем.
Разработанные модели и программы могут быть использованы при планировании, постановке эксперимента и интерпретации экспериментальных данных по формированию динамических наноструктурированных систем.
Апробация работы
Основные положения и результаты диссертации составили содержание докладов на конференциях международного уровня «16-th European frequency and time forum» (Санкт-Петербург, 2002 г.), «Physics and control» (Санкт-Петербург, 2003г.), «Chaotic oscillations and pattern formation» (Саратов, 2001г.), «Synchro-2002» (Саратов, 2002г.), «5-th international congress of mathematical modeling» (Дубна, 2002г.), «7th International Conference on Inter-molecular and Magnetic Interactions in Matter» (Польша, 2003г.), и на кокфе-ренциях внутрироссийского уровня «ФиПС-2003» (Москва, 2003), «Шумовые и деградационные процессы в полупроводниковых приборах» (Москва, 2004), «Пояиматериалы-2003» (Москва, 2003).
8 По теме диссертации опубликованы следующие работы
ЖицкиЙ С.Г. Моделирование кооперативных эффектов предплавления с позиций теории детерминированного хаоса / Жицкий С.Г. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2004. - Т. 12, № 3. - С. 65-73.
Жицкий С.Г. Нелинейно-динамическая модель эффекта предплавления / Битюцкая Л.А., Жицкий СТ., Богатиков Е.В., Шебанов А.Н.// Конденсированные среды и межфазные границы.-2006. - Т.8, №2.-С.89-94.
Zhitskey S.G. Modelling of excited states of a crystal basing on the frequency-phase synchronization of vibrations of a crystal site lattice/ Bityut-skaya L.A., Zhitskey S.G.// 16-th European frequency and time forum: Proceedings of Int. Conference. - St. Petersburg. - 2002. - V.2. - P. 134.
Zhitskey S.G. Modeling of excited states of a crystal basing on the frequency-phase synchronization of vibrations of crystal site lattice I Bityutskaya L.A., Zhitskey S.G. II Physics and control: Proceedings of Int. Conference. - St. Petersburg. -2003. - V. 3. - P. 333-334.
Жицкий С.Г. Моделирование кооперативных эффектов предплавления с позиций теории детерминированного хаоса / Битюцкая Л.А., Жицкий С.Г. // Chaotic oscillations and pattern formation: Тезисы Междунар. конф. -Саратов.-2001.-С. 54.
Zhitskey S.G. Synchronization and cluster formation during phase-transient processes based on model of lattice coupled oscillators / Bityutskaya L.A., Zhitskey S.G.// Synchro-2002: Abstr. of Int. Conference. - Saratov. - 2002. -P. 47-48.
Zhitskey S.G. Synchronization effect at phase-transient processes / Bityutskaya L.A., Zhitskey S.G. II 5-th international congress of mathematical modeling: Abstr. of Int. Conference. - Dubna. - 2002. - P.l 04.
Zhitskey S.G, Modeling of excited states of a crystal basing on the two-dimensional lattice coupled chaotic oscillators I Bityutskaya L.A., Zhitskey S.G. II 7th International Conference on Intermolecular and Magnetic Interactions in Matter: Abstr oflnt. Conference. -Poland. -2003.
Жицкий С.Г. Реконструкция временных рядов переходных процессов при плавлении теллура / М.Ю. Хухрянский, С.Г. Жицкий, Л.А. Битюц-кая, Е.С. Машкина // Фракталы и прикладная синергетика: Тр. Международ, междисципл. симп. - Москва. - 2001.- С. 23-25.
Жицкий С.Г. Моделирование кооперативных эффектов предплавления с позиций теории детерминированного хаоса / Л.А. Битюцкая, С.Г. Жицкий // ФиПС-01: Материалы Междунар. междисциплинарного симп. -Москва.-2001.-С. 68-70.
Жицкий С.Г. Моделирование кооперативных эффектов предплавления с позиции теории детерминированного хаоса / Л.А. Битюцкая, С.Г. Жицкий // Нелинейные процессы в дизайне материалов: Тезисы Межд, школы-семинара. - Воронеж. - 2002. - С. 165-168.
Жицкий С.Г. Моделирование кооперативных процессов при фазовых переходах / ЛА.Битюцкая, С.Г.Жицкий // Полиматериалы-2003: Материалы Междунар. науч.-техн. конф. - Москва. - 2003. - С. 73-80.
Жицкий С.Г, Эффект синхронизации и наноструктурирование при фазовых переходах / ЛА.Битюцкая, СГ.Жицкий // ФиПС-03: Тр. Международ, междисципл. симпозиума, - Москва, - 2003, - С.259-264.
Жицкий С.Г. Моделирование динамической неустойчивости фазово-переходных процессов / С.Г. Жицкий // Шумовые и деградационные процессы в полупроводниковых приборах: Материалы Международ, науч.-техн. семинара. - Москва. - 2004 г. - С. 104-108.
Жицкий С.Г. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ «Ressler 3» № 2006612783
Структура и объем диссертации:
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы. Общий объем диссертации 146 страниц, в том числе 114 рисунков и 3 таблицы.
Эффекты пред- и постплавления как неравновесные фазовые переходы
В работах [31-34] было показано, что плавление кристаллических веществ с различным типом химической связи (КС1, Ge, Си) в динамических режимах нагревания при скорости нагревания v=5, 10 К/мин, сопровождается возникновением возбужденных флуктуационных областей пред- и постплавления и характеризуется системой неравновесных термодинамических параметров.
В силу этого, эффекты пред- и постплавления по сумме отличительных признаков (экзотермичность, флуктуационность, скачкообразность, необратимость, неравновесность) могут быть классифицированы как неравновесные фазовые переходы. В этом случае неравновесность достигается в результате "быстрого" нагревания кристаллического вещества. При этом в начале энергия сосредотачивается в основном в фононной подсистеме кристалла, поскольку эта подсистема в сравнении с атомной подсистемой менее инерционна, «температура» газа фононов становится выше, чем «температура» решетки, а затем происходит относительно медленное перераспределение энергии из фононной подсистемы в атомную, где она сосредотачивается в виде дефектов кристаллической решетки, в основном вакансий. Открытость понимается в более широком смысле, не только как обмен энергией между системой и ее окружением, но и как энергетическое взаимодействие двух подсистем - атомной и фононной в условиях сильного ангармонизма [24]. При температурах, близких к температурам плавления, в ангармонической системе колеблющихся атомов становятся возможны два вида явлений, которые приводят к локальным повышениям энергии и амплитуды колебаний: интерференция упругих колебаний кристаллической решетки и перераспределение энергии между различными модами колебаний (переход энергии из одних мод в другие) в результате их нелинейного взаимодействия [24]. Еще одним примером неравновесного фазового перехода может служить "переход" деформируемого тела через предел текучести [35]. В этом случае упругая область соответствует более симметричной фазе, а пластичная - менее симметричной, при этом роль температуры играет степень деформации є , а роль параметра порядка - разность (є Е /а) - где а - механическое напряжение, Е - модуль упругости. Переход при сверхкритическом нагружении -это переход закрепленных дислокаций в подвижные. В работе [36] показано, что неравновесный фазовый переход в системе дислокаций сопровождается скачком модуля сдвига. Кроме того, рассмотрена последующая эволюция дислокационного ансамбля, приводящая к расслоению однородного распределения дислокаций с образованием полосовой диссипативной структуры, что соответствует представлениям о понижении степени симметрии в пластически деформируемом кристалле.
Наиболее простое объяснение механизма плавления было дано Линде-маном [37,38]. Согласно теории Линдемана при приближении температуры твердого тела к точке плавления Тт увеличивается амплитуда колебаний атомов кристаллической решетки около своего положения равновесия. Когда амплитуда колебаний атомов достигает определенной величины доли расстояния между равновесными положениями атомов, колебания начинают взаимно интерферировать. В результате этого кристалл становится механически неустойчивым, происходит разрыв связи в решетке между данным атомом и его соседями. Рост количества таких разрывов но всей решетке приводит к тому, что она перестает представлять собой единое целое и переходит в жидкую фазу (происходит плавление). В качестве оценки максимальной амплитуды колебаний атома при Т = Тт Линдеман использовал следующий критерий: где и = J и2), (и2)-средний квадрат атомных смещений, а- минимальное межатомное расстояние. При этом, как, правило, фононы являются хорошо определенными коллективными возбуждениями во всей зоне Бриллюэна, а ангармонические эффекты относительно малы вплоть до Тт. Для температуры плавления Линдеманом было получено следующее выражение: где V -молярный объем, М -масса атома, v,, -характеристическая частота, 9-температура Дебая, с а с -постоянные, которые принимаются одинаковыми для кристаллов со сходными структурами.
Влияние параметра хаотичности колебаний на синхронизацию в цепочке связанных осцилляторов Ресслера
Рассмотрим для примера простейшую автоколебательную систему-маятниковые часы. Предположим, что у нас есть не одни часы, а двое. Даже если они одного и того же типа и сделаны одним производителем, то они только кажутся идентичными, но это не так. Какие-либо параметры механизма всегда различаются, пусть всего лишь на десятую долю процента, но это мельчайшее различие приводит к различию в периодах колебаний. Допустим, эти часы могут каким-то образом взаимодействовать (например, будучи подвешенными к общей балке, как в опыте Гюйгенса). Способ взаимодействия здесь не важен, важно только то, что движение каждого маятника передается через структуры подвеса к другому маятнику, и в результате часы «чувствуют» друг друга: они взаимодействуют через вибрацию общего подвеса. Эта вибрация может быть практически незаметна; для того, чтобы ее обнаружить, могут потребоваться высокоточные механические измерения. Тем не менее, несмотря на то, что вибрация очень слаба, она может изменить ритм обоих часов.
Эксперименты показывают, что даже слабое взаимодействие может синхронизовать двое часов. Это значит, что двое ыеидентичных часов, которые, взятые по отдельности, имеют различные периоды, при наличии связи подстраивают свои ритмы и начинают демонстрировать колебания с общим периодом. Это явление часто и называют в терминах совпадения частот их захватом: если два неидентичных осциллятора имеющих свои собственные частоты /j и /2 связываются, то они могут начать осциллировать с общей частотой [65-68]. Произойдет это или нет, т.е. синхронизируются ли они, зависит от двух факторов:
Силы связи. Этот параметр характеризует, насколько слабо или сильно взаимодействие. В эксперименте не всегда ясно, как измерить эту величину. В описанном выше эксперименте она сложным образом зависит от способности балки (подвеса) двигаться. Действительно, если балка абсолютно жесткая, то движение маятников не передается через опору, и, следовательно, часы не могут воздей ствовать друг на друга. Если часы не взаимодействуют, то сила связи равна нулю. Если балка не жесткая, а может сгибаться или продольно вибрировать, то имеет место взаимодействие.
Расстройки по частоте. Расстройка частот Д _/ = у, - характеризует, насколько различны осцилляторы. В противоположность силе связи, в экспериментах с часами расстройка может быть легко измерена или изменена. Если рассогласованность автономных систем не очень велика, то частоты двух часов (двух систем) становятся равными, или захваченными, т.е. наступает синхронизация,
В общем случае можно ожидать, что ширина области синхронизации возрастает с увеличением силы связи.
Более детальное рассмотрение синхронных состояний показывает, что синхронизация двух часов может возникнуть в различных формах. Может случиться, что два маятника качаются сходным образом, одновременно достигая правого или левого максимума колебания. Также возможна ситуация, при которой оба маятника всегда движутся в противоположных направлениях: когда первый маятник достигает, скажем, крайнего левого положения, второй достигает крайнего правого; когда они пересекают вертикаль, они движутся в противоположных направлениях. Чтобы описать эти два явно различных режима, вводится ключевое понятие теории синхронизации, а именно понятие фазы осциллятора.
Под фазой понимается величина, которая пропорциональна доле периода и возрастает на 2п в течение одного цикла колебаний. Фаза однозначно определяет состояние периодического осциллятора. Как и время, она параметризует сигнал внутри одного цикла.
Если два маятника движутся в одном направлении и почти одновременно достигают, скажем, крайнего правого положения, то их фазы щ и ср2 близки и такой режим называется синфазной синхронизацией [69]. Если взглянуть на движение маятников с большей точностью, то можно выявить, что эти движения не в точности одновременны. Часы, которые изначально шли чуть быстрее, оказываются немного впереди других, так что обычно говорят о фазовом сдвиге между двумя колебаниями. Этот фазовый сдвиг может быть очень мал, в случае двух часов он может быть невидим невооруженным глазом, но он всегда присутствует, если две системы изначально имели разные периоды колебаний, или же разные частоты.
Если маятники двух синхронизованных часов движутся в противоположных направлениях, то говорят о синхронизации в противофазе.
Возникновение определенного соотношения между фазами двух синхронизованных автоколебательных систем часто называют захватом фаз.
Следует сделать одно важное замечание по поводу силы связи между маятниками. Когда мы говорим о том, что колебания часов связаны между собой, то не имеется ввиду их жесткое соединение. Очевидно, что в таком случае маятники будут колебаться синхронно. Но этот тривиальный эффект нельзя назвать синхронизацией: связь не слаба, она накладывает слишком сильные ограничения на движение двух систем, и, следовательно, естественно рассматривать всю систему как неделимую.
Обычно довольно сложно, если вообще возможно, строго определить, какую связь можно считать слабой, где лежит граница между слабым и сильным и, соответственно, должны ли мы рассматривать проблему синхронизации или же изучать новую, единую, систему [70,71]. Можно сказать, что введение связи не должно качественно изменять поведение каждой из взаимодействующих систем и не должно лишать систему ее индивидуальности. В частности, если одна система перестает осциллировать, то это не должно мешать второй системе поддерживать ее собственный, ритм.
Влияние параметра хаотичности колебаний на синхронизацию в изотропной решетке связанных осцилляторов Ресслера
Жидкость подогревается снизу, и, при достаточно сильном подогреве, возникает конвекция. Вблизи порога ее возникновения движение стационарно, с постоянной скоростью V. Ясно, что вследствие симметрии движение возможно как по часовой стрелке, так и в противоположном направлении. При увеличении подогрева стационарное вращение становится неустойчивым, и происходят переключения направления конвективного движения. Более того, эти переключения не регулярны и не повторяются: движение не периодично, а хаотично.
Система Лоренца является типичным примером системы, которая может быть описана простыми дифференциальными уравнениями и при этом демонстрировать хаос. Определение фазы и частоты для нелинейных осцилляторов представляет собой гораздо большую трудность, чем для линейных, и требует специальных подходов. Один из методов определения фазы основан на том факте, что многие хаотические автоколебания выглядят как периодические, но с нерегулярной модуляцией. Например, если для системы Лоренца взять координаты ZH и = лр +у2 (это, фактически, соответствует специальной двумерной проекции фазового портрета), то траектория на плоскости (z, и) будет выглядеть как размазанный предельный цикл (Рис. 16).
Временные зависимости величин z и и напоминают периодические колебания с изменяющимися «амплитудой» и «периодом». Поскольку процесс нерегулярный, то период нельзя определить так, как это было сделано для периодических автоколебаний. Вместо этого мы можем определить время между двумя схожими событиями процесса, например, между двумя максимумами переменной z. В терминах теории динамических систем это можно представить как построение отображения Пуанкаре [98-100] по условию максимума переменной z и рассмотрение времен между двумя последовательными пересечениями секущей поверхности. Эти времена возврата не постоянны: они зависят от значения переменной на секущей. Эти значения — хаотические, поэтому и времена возврата нерегулярны. Можно интерпретировать эти времена как «мгновенные» периоды колебаний и определить средний период процесса z(t). Для этого достаточно взять большой интервал времени г и сосчитать число максимумов N(r) переменной z на этом интервале (или сосчитать число других событий, выбранных для построения отображения Пуанкаре); отношение / , даст средний период. Соответственно, средняя угловая частота колебаний может быть определена как
Основная идея фазовой синхронизации хаотических автоколебаний состоит в возможности захвата этой частоты периодической внешней силой или же в возможности ее подстройки к частоте другого хаотического осциллятора в результате их взаимодействия [69, 101-104].
Для определения фазы хаотических колебаний, действуя, как и в случае периодических автоколебаний, припишем каждому обороту траектории на рис. 16 приращение фазы 2л-. Используя отображение Пуанкаре, можно считать, что каждому пересечению секущей соответствует определенная фаза (выберем ее равной 0). За один оборот между двумя последовательными пересечениями фаза увеличивается на 2л-. Поскольку времена возврата нерегулярны, мгновенная частота, определенная как обратное время возврата, флуктуирует. Другими словами, фаза вращается не равномерно, как при периодических автоколебаниях, а то ускоряется, то замедляется, причем нерегулярно. В результате фаза диффундирует как при периодических автоколебаниях с шумом. Полную динамику фазы можно представить как комбинацию двух процессов: вращение со средней частотой и случайные блуждания, интенсивность которых пропорциональна вариации времен возврата. Динамика фазы показана на Рис. 17.
Рассмотрим методику определение фазы еще для одной широко известной нелинейной динамической системы-системы Ресслера [105]. Система Ресслера, как и система Лоренца, является нелинейной диссипативной динамической системой со странным аттрактором.
Влияние параметра хаотичности колебаний на синхронизацию в анизотропной решетке связанных осцилляторов Ресслера
В случае сильной хаотичности (а=0.33) сильной жесткости связи (к = 0.6) колебания во всех решетках остаются в режиме синхронизации. Следовательно размер решетки не является определяющим параметром для перехода колебаний в режим хаотической синхронизации, с одной стороны возрастание размеров решетки может несколько затруднить переход системы в режим синхронизации, с другой в решетке большого размера может наблюдаться новый тип коллективного поведения хаотических осцилляторов-кластеризация, при котором участки синхронизированных осцилляторов чередуются с участками рассинхронизированных осцилляторов. Размеры этих кластеров лежат приблизительно в пределах 10x10 до 20x20 осцилляторов. Малая решетка размера 10x10-20x20 осцилляторов способна сама достаточно хорошо синхронизироваться даже при сильном хаосе в случае наличия связи между осцилляторами, более крупные решетки в случае сильного хаоса делятся на кластеры, примерно соответствующие по размеру малым решеткам.
Динамическая синхронизация в решетке связанных осцилляторов, в отличии от одномерной модели, носит только локальный характер. Такие локальные области содержат не более нескольких десятков осцилляторов, поэтому применительно к кристаллической решетке можно считать их наиоразмерными. Увеличение параметра хаотичности а заметно снижает общую площадь локально синхронизированных областей - динамических синхронизированных нанокластеров.
Для количественного изучения процесса синхронизации в двумерной системе связанных осцилляторов Ресслера производилась идентификация моментов синхронизации и рассинхронизации для каждого осциллятора. Было обнаружено, что характер зависимости доли синхронизированных кластеров от степени хаотичности и параметра связи носит пороговый характер (рис. 86). При этом доля синхронизированных осцилляторов даже в условиях сильной хаотичности достигает 5 % и более (рис. 87). Плотность вероятности нахождения единичного осциллятора в синхронизированном состоянии в зависимости от времени (в средних периодах колебаний). Таким образом, в двумерной решетке связанных нелинейных осцилляторов в отличие от одномерной решетки наблюдаются 2 режима: локальная синхронизация и рассинхронизация. Локальная синхронизация в решетке имеет пороговый характер и определяется величиной жесткости связи к. Начиная с размера 50x50 осцилляторов качественных изменений в динамике исследуемой системы не происходит. Для кристаллической решетки образование локальных синхронизированных областей тепловых колебаний рассматриваются как процесс упорядочения, а области упорядочения - как динамические нанокластеры.
Рассмотренная ранее двумерная модель решетки связанных осцилляторов Ресслера являлась изотропной моделью. Под изотропностью модели понималось наличие одинакового по величине значения параметра жесткости связи по всем направлениям кх = ку. Рассмотрим случай, когда кК ку. При рассмотрении влияния условия кх о ку на возможность возникновения эффекта синхронизации в решетке связанных нелинейных осцилляторов необходимо рассмотреть вопросы зависимости параметра порядка от тех же параметров модели, что и в изотропном случае: влияние на синхронизацию параметра хаотичности а, параметра жесткости связи между осцилляторами к и влияние на синхронизацию размера решетки осцилляторов.
Рассмотрим влияние на синхронизацию в решетке размером 10x10 осцилляторов параметра хаотичности а. Зафиксируем параметр жесткости связи кх = 0.75, а ку будем изменять в пределах 0.4-0.6 0.4 к 0.6 (рис. 89-90).
