Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Микропластические механизмы пластической деформации и разрушения твердых тел 12
1.1. Механизмы пластической деформации кристаллов 13
1.1.1. Механическое двойникование 13
1.1.1.1 .Модели двойника 14
1.1.1.2. Упругое двойникование 15
1.1.1.3. Особенности зарождение микротрещин в двойникующих материалах 16
1.1.1.4. Двойникования в кристаллах кальцита. Каналы Розе 17
1.1.2. Скольжение 19
1.1.3. Другие формы пластической деформации 20
1.2. Пластическая деформация квазикристаллических материалов 22
1.3. Дислокационная пластичность кристалла 24
1.3.1. Динамика дислокаций в кристаллическом теле 27
1.3.2. Математическое и компьютерное моделирование динамики дислокаций 29
1.4. Математическое и компьютерное моделирование как способ изучения механизма разрушения 31
1.4.1. Моделирование пластической зоны в вершине трещины 33
1.4.2. Молекулярная динамика и метод Монте-Карло: история развития и применение 38
1.5. Залечивания кристаллических материалов 41
1.5.1. Высокотемпературное залечивание 41
1.5.2. Самопроизвольное залечивание трещин 42
1.5.3. Залечивание с помощью приложения внешнего сжимающего усилия 43
1.6. Современные методы исследования приповерхностных слоев материалов 44
ГЛАВА 2. Особенности остаточной пластической деформации при остановке микротрещин 48
2.1. Дислокационная структура остановившихся трещин 49
2.2. Математическая модель пластического течения в вершине трещины 51
2.2.1 .Асимметричное течение 51
2.2.2. Математическое решение полученной системы уравнений 56
2.2.3. Анализ полученных числовых данных 57
2.2.4. Сравнение результатов математического моделирования с экспериментальными данными 64
2.2.5. Симметричное течение 65
2.3. Исследование геометрического рельефа поверхности скола 69
2.3.1. Объект и методы исследования 70
2.3.2. Исследование чистой поверхности скола 71
2.3.3. Исследование образцов методом химического травления 73
2.3.4. Исследование боковой поверхности кристаллов 74
2.3.5. Обработка экспериментальных данных 75
2.4. Выводы к главе 2 80
ГЛАВА 3. Электрические эффекты при пластической деформации в вершине трещины в кристаллах с заряженными даслокациями 82
3.1. Электрические эффекты в ЩГК и полупроводниковых кристаллах...82
3.2. Статические электрические поля, создаваемые скоплениями заряженных дислокаций 86
3.3. Моделирование электрических полей в вершине трещины 88
3.4. Электрический дипольный момент скопления 93
3.5. Кинетика пластической деформации в вершине трещины 97
3.6. Выводы к главе 3 101
ГЛАВА 4. Зарождение микротрещин при взаимодействии встречных упругих двойников 102
4.1. Методика проведения эксперимента 103
4.2. Распределения по размерам микротрещин 104
4.3. Дислокационные модели двойников 106
4.4. Решение уравнений равновесия дислокаций 112
4.5. Результаты расчетов 112
4.5.1. Заторможенный двойник 112
4.5.2. Одиночный двойник 115
4.5.3. Напряжения вокруг упругого двойника 119
4.5.4. Взаимодействие встречных двойников 120
4.6. Выводы к главе 4 126
Общие выводы и заключение 127
Литература 129
- Пластическая деформация квазикристаллических материалов
- Залечивания кристаллических материалов
- Математическая модель пластического течения в вершине трещины
- Статические электрические поля, создаваемые скоплениями заряженных дислокаций
Введение к работе
Актуальность работы. В настоящее время появляются и интенсивно развиваются новые области техники и науки, базирующиеся на широком использовании своеобразных, а порой уникальных свойств монокристаллов.
Широкое использование получили кристаллы, в которых проявляются различные эффекты: пьезоэффект, пьезооптический эффект, пироэффект, магнито - и электрострикция. Показано, что в щелочногалоидных кристаллах наблюдается явление магнитопластичности - увеличение подвижности дислокаций при воздействии относительно слабого магнитного поля. Подобное возможно и при воздействии электрических полей. Последнее обусловлено наличием электрического заряда на дислокациях. Присутствие электрического заряда на дислокациях и других дефектах приводит к росту энергии разрушения и формированию в объеме кристалла электрических полей, напряженность которых может достигать пробойных значений и вызывать разрушение кристалла в областях скопления дислокаций, прежде чем механические напряжения достигнут разрушающих значений. В этом плане исследование эффектов в щелочногалоидных кристаллах, обусловленных скоплениями заряженных дислокаций является актуальным. Кроме того, электрическая активность структурных дефектов может быть использована для оценки кинетики их развития.
В ряде кристаллов, используемых в оптике, имеет место механическое двойникование. Механические двойники являются концентраторами напряжений, что представляет определенную опасность с точки зрения зарождения микротрещин. В тоже время двойникование является одним из видов деформации, в объяснении которой существует ряд неопределенностей и, следовательно, еще не выработаны четкие критерии и не определены условия возникновения трещин.
Эти и другие проблемы, связанные с использованием монокристаллов в науке и технике, делают в целом актуальными изыскания, направленные на изучение свойств ионных кристаллов, содержащих электрически активные дефекты или дефекты - концентраторы высоких механических напряжений.
Целью настоящей работы является исследование структуры пластической зоны, образующейся в вершине трещины при ее остановке и разгружении образца в кристаллах с заряженными дислокациями, а также установление механизма зарождения трещины в кристаллах кальцита при встречном развитии упругих двойников.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
Предложить математическую модель пластического течения при асимметричном развитии деформации в вершине трещины нормального отрыва.
Выполнить исследование рельефа поверхности скола щелочногалоидных кристаллов (ЩГК) методом атомно-силовой микроскопии (AFM)
для установления тонкой структуры линий скольжения в местах остановки трещины.
Установить роль заряда дислокаций на процессы формирования пластической зоны и разрушения образца.
Проанализировать дислокационные модели свободно растущего упругого двойника под действием постоянной нагрузки, а также заторможенного двойника и в рамках предложенных моделей рассмотреть взаимодействие встречных упругих двойников.
Предложить механизм вскрытия микротрещины между вершинами взаимодействующих встречных упругих двойников.
Научная новизна полученных результатов состоит в том, что:
1. Показано, что формирующуюся пластическую зону в вершине
остановившейся трещины в ЩГК можно моделировать одиночной линией
скольжения, которая адекватно описывает процесс развития и эволюции
пластической зоны, представленной набором дислокаций. Модель позволяет
определить количественные и качественные характеристики такого течения в
зависимости от величины внешнего нагружающего усилия в момент
остановки трещины и от величины напряжений трения кристаллической
решетки.
2. Экспериментально методами AFM-микроскопии получены данные о
геометрическом рельефе поверхности скола кристаллов LiF: определены
величины углов наклона и высот ступенек, образующихся на поверхности
скола кристалла в моменты кратковременных остановок трещины при
прохождении ее сквозь образец.
Впервые выдвинуто предположение, что зона сдвига, образующаяся при пластической деформации, представляет собой не локализованную полосу сдвига, а диффузную полосу скольжения толщиной до сотен нанометров, что подтверждено экспериментально.
Оценены электрические поля, характеризующие электрически активную пластическую зону в вершине трещины, полученную асимметричным сколом. Установлено, что при определенных условиях величина напряженности образованного скопления заряженных дислокаций может достигать значений, сравнимых с пробойным значением напряженности для атмосферного воздуха. Аналитически установлены зависимости напряженности электрического поля и дипольного момента скопления заряженных дислокаций от внешней нагрузки и напряжений внутреннего трения кристалла.
5. В кристаллах кальцита предложен механизм зарождения упругих
каналов Розе (УКР), основанный на взаимодействии встречных упругих
двойников, рост которых обусловлен соотношением сил взаимодействия
дислокаций двойников и сопротивления кристалла сдвигу. Проведена
аналитическая оценка такого взаимодействия.
Научная ценность и практическая значимость работы. Полученные в работе результаты могут быть использованы при разработке теории прочности и пластичности материалов. Рассмотренные модели пластической зоны в вершине остановившейся трещины взаимодействующих упругих двойников и найденные критерии зарождения микротрещин позволяют прогнозировать процесс разрушения материалов в зависимости от режимов нагружения. Кроме того контроль электрической активности кристаллов с заряженными дислокациями позволит получать информацию о состоянии кристалла по величине электрического диполя.
Результаты работы могут быть использованы в организациях и лабораториях, занимающихся разработкой теорий прочности и пластичности материалов: в Воронежском государственном университете, Белгородском государственном университете, Институте кристаллографии им. А.В Шуб-никова РАН, Сибирском государственном индустриальном университете, Институте физики прочности и материаловедения СО РАН, Тамбовском государственном университете им. Г.Р. Державина, МГУ им. М.В. Ломоносова.
На защиту выносятся следующие основные положения:
Модель асимметричной пластической зоны, формирующейся в вершине остановившейся трещины. Количественные характеристики пластической зоны в нагруженном и разгруженном состояниях кристалла.
Результаты исследования зоны сдвига, образующейся при пластической деформации на поверхности образца при движении трещины сквозь образец в местах ее остановки. Показано, что зона сдвига представляется диффузным набором полос скольжения толщиной от десятка до сотен нанометров.
Аналитически установленные значения напряженности и дипольного момента электрического поля, формируемого электрически активной пластической зоной, а также влияние заряда на дислокациях на процесс пластического течения ЩГК.
4. Результаты моделирования взаимодействия упругих двойников в
кристалле кальцита и влияние на это взаимодействие различных внутренних
факторов.
5. Механизм зарождения микротрещины (упругого канала Розе) между
вершинами взаимодействующих двойников, основанный на модели
зарождения трещины, предложенной Фудзито.
Апробация работы. Результаты исследований докладывались на «XV Петербургских чтениях по проблемам прочности, посвященных 100-летию со дня рождения, ак. С.Н. Журкова» (Санкт- Петербург, 2005), на XLIV Международной конференции «Актуальные проблемы прочности» (Вологда, 2005), на «XVI Петербургских чтениях по проблемам прочности, поев. 75-летию со дня рождения В.А. Лихачева» (Санкт-Петербург, 2006), на Четвертой Международной конференции «Фазовые превращения и прочность кристаллов», поев, памяти ак. Г.В. Курдюмова (Черноголовка, 2006), на III Международной конференции по физ. кристаллов
«Кристаллофизика 21-го века» (Черноголовка, 2006), на «XVII Петербургских чтениях по проблемам прочности, поев. 90-летию со дня рожд. проф. А.Н. Орлова» (Санкт-Петербург,2007), на IV Международной школе-конференции «Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих явлений» (Тамбов, 2007), на IX Российско-китайский симпозиуме «Новые материалы и технологии» (Астрахань, 2007), на Второй Международной конференции «Деформация и разрушение материалов» (Москва, 2007) и на научных конференциях преподавателей и сотрудников ТамбГУ (2004 -2008 г.г.).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 4 статьях из перечня ВАК и 10 тезисах докладов на международных и всероссийских конференциях.
Достоверность результатов. Выводы диссертации основаны на проведении комплексных исследований, включающих сопоставление данных, полученных при моделировании, с экспериментальными данными; они не противоречат известным положениям физики конденсированного состояния и согласуются с экспериментальными результатами других исследователей.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка цитированной литературы, содержащего 266 наименования. Полный объем составляет 152 страницы машинописного текста, в том числе 67 иллюстраций и одна таблица.
Пластическая деформация квазикристаллических материалов
Со временем открытия Д. Шехтманом квазикристаллической структуры [52] достигнуты значительные успехи в понимании механизмов пластической деформации квазикристаллических (QS) материалов [53, 54]. Для исследования механических свойств проводят эксперименты на растяжение-сжатие квазикристаллов при повышенных температурах [55-59]. Установлено, что пластическая деформация квазикристаллов при высоких температурах может осуществляться путем зарождения и движения дислокаций[52, 55-58]. Однако при комнатной температуре квазикристаллы являются хрупкими материалами, это объясняется отсутствием трансляционного порядка и наличием сильных связей между атомами, объединенными в кластеры. Отсутствие малых повторяющихся периодических ячеек в квазикристаллах делают движение дислокаций весьма затруднительным [52, 55, 51-62]. Температура перехода «хрупкость-пластичность» составляет 70 - 80% от температуры ликвидуса (600-750С) [52, 63]. Также для изучения механизмов пластической деформации широко применяется такой метод как наноиндентирован ие [64-66]. Такие эксперименты позволяют выявить дискретную природу пластичности, связанную с зарождением и движением отдельных дислокаций как в кристаллах [67-69] так и в квазикристаллах [70]. Так работа [71] посвящена изучению особенностей пластического поведения квазикристаллов Ti-Zr-Ni при наноиндентировании. Установлено, что механизмы деформации образцов кристалла и квазикристалла различны.
В настоящее время в литературе рассматриваются следующие гипотетические механизмы пластической деформации квазикристалллов: 1) зарождение полных дислокаций [52, 55, 61, 62]; 2) движение дислокаций посредством диффузионного переползания [72]; 3) деформация путем мартенситоподобного превращения [52]; 4) деформация, как результат накопления специфических фазонных дефектов, формирования фазонных стенок, двойникования и разбегания частичных дислокаций [54, 63, 73]. Однако перечисленные механизмы во многом сходны с известными для кристаллов, но имеются существенные отличия. При низких температурах движение полных дислокаций в квазикристаллах затруднено, а при повышенных температурах в «кильватере» движущейся дислокации образуется стенка фазонных дефектов, которые нарушают совершенство квазирешетки [52]. Природа и влияние фазонных дефектов на пластическую деформацию подробно рассмотрена в работе М. Клемана [54]. По современным представлениям именно фазонные дефекты играют решающую роль в пластической деформации квазикристаллов. Согласно модели Фейербахера [55-60], пластическая деформация в квазикристаллах связывается с эволюцией двух субструктурных параметров: плотности дислокаций и параметра аккомодации деформации = отвечает за деформационное разупорядочение и термически активируемое переупорядочение. Параметр аккомодации растет при пластической деформации, а плотность дислокаций может снижаться. Считается, что пластическая деформация квазикристалла чувствительна к скорости нагружения и температуре [52, 55-60]. Модель М. Фейербахера была разработана для высоких температур деформирования, но по последним данным дислокационный механизм возможен при низкой температуре и малой скорости деформации [61]. Мартенситоподобный механизм при наноиндентировании, по-видимому, не осуществляется, поскольку скорость деформации не столь велика, как этого требует гипотеза.
В работе [71] установлено, что кривая деформации квазикристалла состоит из чередующихся участков упругопластической (как на начальном этапе) и быстрой пластической деформации. В работе [74] выполнено молекулярно-динамическое моделирование распространения трещин в квазикристалле. Учитывалось, что механизм пластической деформации основан на движении дислокаций, которые в своем потоке образуют фазонную стенку, где структура ослаблена. Трещины испускают дислокации и следуют за фазонной стенкой. Работа выполнена с использованием пакета IMD. Понятие дислокаций как дефекта, сильно снижающего сопротивление кристалла кристаллографическому сдвигу и обеспечивающего элементарный акт пластической деформации было рассмотрено в работах Я. И. Френкеля, Е. Орована, Дж. Поляни, X. Тейлора и др, т.е. установив взаимосвязь дислокаций и пластической деформации, они открыли широкое применение представлению о дислокациях. Далее были открыты винтовая дислокация (Бюргере, 1939), источники дислокаций (Франк и Рид, 1950), экспериментальное наблюдение дислокаций (Хирш, 1956). Теория дислокаций и пластичность на несколько десятилетий становятся адекватно воспринимаемыми [75]. Однако, несмотря на ряд теоретических и экспериментальных исследований, значительного продвижения в понимании пластической деформации как целостного явления не произошло. Причины, по-видимому, заключаются в том, что решения задач теории дислокаций содержат многочисленные упущения, неточности и даже некорректности, наваливающиеся в процессе синтеза таких знаний с целью описания макроскопического поведения кристаллов. В настоящее время само понятие пластичности кристалла подразумевает в основном его дислокационную пластичность, т.е. трансляционное перемещение дислокаций по наиболее плотноупакованным плоскостям, в результате чего происходит пластическое формоизменение образца. В общем пластичности в условиях, когда вследствие заторможенности трансляций в кристалле появляются повороты; а в случае высоких температур - о вакансионной пластичности, когда преимущественный вклад в формоизменение кристалла вносят потоки вакансий [76]. Однако первоначально роль пластического течения кристаллического материала рассматривалась исключительно с точки зрения зарождения микротрещин, не учитывая ее значение на решающей стадии разрушения — прохождении трещины через материал. Первым обратил на это внимание Е. Орован [77].
Залечивания кристаллических материалов
Как уже рассматривалось выше, прочность твердых тел сильно зависит от наличия микротрещин и пор, поэтому их устранение существенно повышает прочность конструкционного материала. Данная задача не потеряла свою актуальность в современном материаловедении. Существует много способов, позволяющих восстановить сплошность твердых тел. Самыми распространенными способами высокотемпературного залечивания являются спекание и закалка при отжиге. Впервые механизмы залечивания были предложены в работах Я.И. Френкеля [146], Б.Я. Пинеса [147], и развиты в работах Я.Е. Гегузина [148]. Я.И. Френкель [146] объяснил процесс залечивания пор наличием вязкого течения твердого тела. Так как вязкость кристаллов определяется движением одиночных дислокаций [148], то такой механизм залечивания существенен при достаточно высокой плотности и подвижности дислокаций. Экспериментально механизм вязкого течения был обнаружен в кристаллах КС1 [149]. Еще один механизм высокотемпературного залечивания был рассмотрен в работе [147]. Авторы установили, что уменьшение поры происходит в результате «испарения» вакансий из нее, причем наличие определенного количества дислокаций может привести к полной ликвидации поры. Большую роль при залечивании ювенильных трещин и пор играют процессы диффузии. Так, например, в работе [150] рассматривается залечивание трещины как результат поверхностной диффузии по ее берегам.
Аналогичные процессы возможны и в порах [151, 152]. Описание залечивания микротрещин в меди при нагреве и всестороннем сжатии методом молекулярной динамики предложено в [153]. Восстановление сплошности объясняется образованием и движением дислокаций. Впервые процесс самопроизвольного залечивания ионных кристаллов было рассмотрено М.П. Шаскольской с сотрудниками [154]. Фигуры травления, получаемые на месте залеченной трещины, говорят о том, что структура кристалла не восстанавливается идеально, т.е. на месте слияния берегов образовывается ряд дислокаций [155]. Наличие полученных дислокаций обуславливает локальное упрочнение кристалла [154]. Чаще всего явление самопроизвольного залечивания трещин рассматривается применительно к ЩКГ [156]. Однако данный процесс наблюдался и в кристаллах кальцита [157-162]. Так же существенное влияние на процесс залечивания играет пластическая деформация [158]. Теория распространения вязкоупругих трещин и их залечивание предложена в работе [163]. Моделирование процесса самозалечивания при распространении разрушения приведено в [164]. В.М. Финкель, изучая процессы самопроизвольного залечивания, открыл новый вид дислокации — реанимирующей дислокации [165]. В работе [166] впервые рассмотрено залечивание микротрещин и пор под действием одноосной внешней нагрузки. Процесс залечивания обеспечивается испусканием дислокационных петель. Залечивание дефектов при сжатии близко к обратимому, однако межатомные соответствия не сохраняются. Если же трещина зарождается в хрупких материалах, т.е. пластическая зона в вершине трещины отсутствует, то такая «острая» трещина может мгновенно залечиться под влиянием поверхностных сил. Однако прочность конструкции с залеченными участками существенно изменяется. В.М. Финкелем и сотрудниками [156] проводились исследования, направленные на изучение причин, препятствующих полному восстановлению прочности реанимированных кристаллов.
Одна из причин связана с тем, что в полостях трещин остаются молекулы воздуха, которые препятствуют полному залечиванию трещины. Поэтому прочность кристаллов может восстановиться максимум на 75%. Кинетика залечивания пор в кристаллах меди при всестороннем сжатии рассмотрена в [167]. Работа [168] также посвящена залечиванию микротрещин и пор в нагруженных кристаллических материалах. На основе полученных результатов, авторы делают выводы о развитии процесса разрушения, отмечая целый ряд особенностей: процесс разрушения является кинетическим, термофлуктуационным, проходящим практически в течение всего времени пребывания материалов под нагрузкой. Залечивание трещин в двойникующих материалах рассмотрено в [169, 157], причем двойники неоднозначно влияют на процесс залечивания — это зависит от взаимной ориентации направления двойникового сдвига и плоскости трещины. Особый интерес для современных технологий представляют методы, позволяющие исследовать тонкие приповерхностные слои [170].
Данные методы должны отвечать ряду требований (т.к. здесь уже идут исследования в нанометровом диапазоне), например, должны иметь достаточно высокую чувствительность и разрешение, регулируемую глубину, кроме того не должны повреждать исследуемый объект, допускать однозначную интерпретацию, быть простыми и доступными в обращении [171]. Одной из основных задач микро- и наноструктурного анализа является определение атомно-молекулярной структуры (тип решетки, ее параметры, ориентация, спектр структурных дефектов и т.д.). Обработка и извлечение верных количественных данных из полученной информации является одной из важных частей исследования. С появлением мощных компьютеров и программных продуктов для работы с двух и трехмерной графикой обработка полученной информации превратилась не только в неотъемлемую часть эксперимента, но и в самостоятельную интересную область исследования. К основным методам микроструктурного анализа относятся: Микроскопия (электронная просвечивающая и растровая, сканирующая зондовая и др.); Дифрактометрия (рентгеновская, электронная, нейтронная); Спектрометрия (оптическая, инфракрасная, рамановская, рентгено-эмиссионная, фотоэлектрическая и др., радио- и масс-спектрометрия); Микроанализ химического состава. [172].
Математическая модель пластического течения в вершине трещины
Для решения поставленной задачи была предложена дислокационная модель пластического течения в вершине трещины: рассматривалась одна линия скольжения в полуплоскости, обращенной в сторону, противоположную движению трещины. Предполагалось, что трещина расположена в плоскости (010) и движется до полной остановки в направлении [100]. При математическом описании асимметричного течения пластическая зона в вершине трещины представлялась одиночной линией скольжения, как это показано на рис. 2.3. Учитывались два этапа формирования дислокационной структуры в вершине трещины. Первый - это образование линии скольжения в момент остановки трещины, когда образец остается нагруженным, и второй - ее эволюция после снятия нагрузки и частичного залечивания вершины трещины. Установлено, что в общем случае поведение трещины в конструктивном элементе зависит от способности материала сопротивляться росту трещины, значений и характера приложенных нагрузок, влияния окружающей среды, длины трещины. Поэтому при составлении уравнений равновесия дислокаций, эмитируемых трещиной в плоскости скольжения, учитывались напряжения, действующие на дислокацию со стороны трещины [191], силы изображения [192, 193], взаимодействие между дислокациями [194] и сопротивление кристалла сдвигу [195]. Для данной схемы пластического течения уравнения равновесного положения дислокаций будут иметь следующий вид: где тг(х,)- напряжения, создаваемые в плоскости скольжения трещиной, т0{хпх)— напряжения, действующие на /- ю дислокацию со стороны j— той, TS— напряжения трения решетки, Tim - напряжения изображения. Напряжения, действующие на /— ю дислокацию со стороны j— той, равны где A = Gb/2ft(l — v), G- модуль сдвига, Ъ- вектор Бюргерса дислокации, V— коэффициент Пуассона. В приближении линейной теории упругости справедливо асимптотическое представление напряженного состояния в вершине трещины нормального разрыва [196]: где ax,, yy,, &xy— компоненты тензора напряжений, kx— коэффициент интенсивности напряжений, г и в- полярные координаты, связанные с вершиной трещины.
В плоскости скольжения дислокаций напряжения (2.3) создают, в соответствии с формулой преобразования, компонент тензора напряжений, сдвиговые напряжения: Ъп тогда, для в = — касательные напряжения примут вид: перпендикулярно сколу усилием р, коэффициент , _ 2- Ъра интенсивности равен [197]: К Т , где со— ширина, a 2h - высота coihf образца. Численное значение р может быть рассчитано по критерию Гриффитса, если принять, что условия остановки и старта трещины совпадают. Тогда, следуя [198], получим /? =—(- )2, где Е— модуль а 6 упругости, у - величина поверхностной энергии. Для напряжений изображения имеет место выражение: х.т = cos в, где 2а в- угол между вектором Бюргерса и перпендикуляром к свободной поверхности, а - кратчайшее расстояние до поверхности. В нашем случае Входящее в (2.1) напряжение трения rs считается постоянным и принимается равным стартовому напряжению движения дислокаций. Пренебрегая изменением тензора напряжений трещины, связанным с присутствием дислокаций, получим уравнения равновесного положения дислокаций в линии скольжения (2.1) в следующем виде: Для получения замкнутой системы уравнений необходимо сформулировать условие для определения величины т, входящей в (2.6). Проанализируем прежде простейшую ситуацию одной дислокации в линии скольжения. На последнюю действуют напряжения (2.4) и напряжения изображения (2.5): Зависимости напряжений тг(х) трещины и изображения в функции расстояния от вершины трещины представлены на рис. 2.4. Для больших х тт (х) тш1 (х), но при приближении к вершине напряжения изображения увеличиваются гораздо быстрее напряжений от трещины и превосходят их по абсолютной величине на малых расстояниях. Поэтому на кривой 3, являющейся алгебраической суммой обеих величин, имеет место максимум, положение которого определяется координатой лг (2А К
Очевидно, что при х. X не может быть равновесных дислокаций. Дислокация будет удаляться от трещины до тех пор, пока не выполнится условие: При испускании трещиной следующих дислокаций величина максимальных напряжений, стремящихся удалить дислокацию от вершины, будет уменьшаться за счет запирающего действия предшествующих дислокаций. Эмиссия дислокаций прекратится, когда напряжения, инициирующие пластическое течение, не станут в точке х меньше напряжений трения: Точка х = х будет при этом ограничивать снизу положения в линии скольжения дислокаций, эмитируемых вершиной трещины и удерживаемых силами трения. Система уравнений (2.1) решалась численно методом последовательной верхней релаксации (ПВР) - Ньютона [199]. В методе ПВР-Ньютона для определения приближенного решения х, і -го уравнения где х —{Xi , ..., Xj.j , Xi, xl+i,..., xn). Затем в качестве х/ берется выражение где q - релаксационный параметр. Вычисления прекращались по критерию сходимости є2 max 1 / п max 1 і п х, -х, к+1 к X, —х. для Ньютоновой и для ПВР - итерации, где єхк є2 - требуемые точности вычислений. Конкретные расчеты проводились в следующей последовательности. Допустим, что уже определено равновесное состояние скопления из т — дислокаций. За приближенное положение (т +1) - й дислокации принимался К т+х корень уравнения —Г= + Т0(Х,Х.)-Т, = 0, заключенный в интервале (х ,хп1). -Jx м Величина xm+l и m остальных координат использовались в качестве начального приближения для скопления из и + 1 дислокаций и уточняются затем методом Ньютона (в общем итерационном процессе).
Таким образом, начиная с /и = 1 (дг, -корень уравнения (2.7)), последовательно рассчитывались равновесные скопления с увеличивающимся числом дислокаций. Считалось, что итоговая конфигурация соответствует линии скольжения с таким m = N, при котором выполняется условие (2.8). Величины, входящие в расчетные выражения, имели следующие значения: (7=5,15-1010 Па, 6=2,85-10-10 м, v =0,187, р=5 Н, со =0,004 м, /2=0,01 м, а =0,01 м. На первой стадии формирования линии скольжения плотность дислокаций (кривая 1 рис. 2.5) наиболее велика в хвостовой части линии скольжения, примыкающей к трещине. Она составляет »2 10б м"1 (г5=1,25-106 Па, р=3 Н). В области головных дислокаций ее величина уменьшается более чем на порядок. Общее число дислокаций в линии скольжения (в расчетах не учитывалось изменение во времени напряжений в вершине трещины, поэтому приводимые ниже значения являются оценкой сверху) зависит от нагружающего усилия в момент остановки трещины и напряжений трения и
Статические электрические поля, создаваемые скоплениями заряженных дислокаций
Впервые в работах [241] были выполнены расчеты электрических полей различных дислокационных скоплений: заторможенное скопление, скоплений, состоящих из заряженных дислокаций. Авторы [242], дополнив упругое взаимодействие электростатическим, получили математические выражения для напряженности электрического поля при двух способах описания дислокационного скопления - дискретном и континуальном. В первом дислокации рассматриваются как набор линейных источников внутренних напряжений, взаимодействующих между собой. Задача о распределении дислокации в скоплении сводится к решению нелинейной системы алгебраических уравнений равновесия относительно координат дислокаций Xt, а задача нахождения электрического поля скопления сводится к суммированию полей отдельных дислокаций. Такой подход позволяет аналитически рассматривать ограниченный круг задач для сравнительно простых законов изменения внешнего напряжения (однородное, линейно -меняющееся, описываемое полиноминальной функцией) и условий закрепления головных дислокаций. В континуальном представлении дислокации в скоплении заменяются бесконечно большим числом дислокаций с бесконечно малым вектором Бюргерса. При этом распределение дислокаций описывается с помощью функции р(х), имеющей смысл плотности вектора Бюргерса, а определение электрического поля скопления сводится к вычислению интеграла вида: где z - точка комплексной плоскости, /,, /2 - границы скопления. Дискретный способ описания, по сравнению с континуальным, лучше отражает реальный процесс пластической деформации, поскольку радиус ядра дислокации обычно меньше расстояний между ними.
Однако решения, получаемые с его помощью, не обладают той общностью, характерной для континуального описания дислокационных скоплений. С этой точки зрения континуальный подход предпочтительнее, так как решение задачи может быть получено для любого значения р(х) в удобной математической форме. Однако он, в свою очередь, плохо описывает напряжения, на расстояниях сравнимых с расстояниями между дислокациями, и не позволяет рассматривать дислокационные перестройки. В работах [243-245] рассмотрена эволюция пластической зоны у вершины трещины в электропроводящем кристалле; авторы оценили вклад различных механизмов в электро-стимулированную пластическую деформацию. Показано, что в ЩГК механическое разрушение предшествует электрическому пробою, а в соединениях А2В6 условия электрической и механической прочности примерно совпадают. Как следует из выше сказанного, практически во всех диэлектриках и полупроводниках дислокации являются заряженными. Причем величина этого заряда может достигать достаточно высоких значений (в пределе одного элементарного заряда е на несколько параметров решетки). В данном случае электростатическое взаимодействие дислокаций сравнимо с упругим и существенно влияет на их равновесные положения в скоплениях. Кроме того, скопления заряженных дислокаций создают в кристалле как упругие, так и электрические поля. Причем, это могут быть как стационарные поля неподвижных скоплений заряженных дислокаций, так и низкочастотные переменные электрические поля, связанные с движением и перестройкой дислокационных скоплений.
Основные результаты главы опубликованы в [253-257]. В кристаллах с заряженными дислокациями пластическая деформация будет сопровождаться поляризацией образца и созданием в объеме кристалла электрического поля. Рассмотрим электрические поля, создаваемые пластической зоной в вершине трещины. Будем считать дислокацию равномерно заряженной с линейной плотностью заряда X, которую можно выразить через число/элементарных зарядов е, приходящихся на параметр решетки. Такое предположение о равномерном распределении электрического заряда вдоль линии дислокации будет достаточно хорошим приближением и для дискретного распределения носителей заряда на дислокации, если расстояние между точечными зарядами будет меньше среднего расстояния между дислокациями. Тогда Я = ef/b, причем будем рассматривать дислокации, заряд которых не компенсируется слоем Дебая-Хюккеля противоположно заряженных носителей. Для описания напряженности поля, создаваемого заряженными дислокациями, рассмотрим комплексную функцию, предложенную в [246]: E(z) = Ex(z)+iEy(z), действительные и мнимые части которой представляют собой компоненты напряженности электрического поля в декартовой системе координат с центром на линии дислокации, a z = х + iy - точка комплексной плоскости. Поэтому поле заряженной краевой дислокации будет определяться выражением: где є - диэлектрическая постоянная.
Для удобства перейдем к полярной системе координат, тогда компоненты напряженности поля будут равны: где г и в — полярные координаты точки наблюдения. Для определения электрического поля дислокационного скопления необходимо просуммировать приведенные выражения по числу дислокаций в скоплении: («) =—І-. (3.1) Є =1 z - X, где х, - координаты дислокаций скопления, п — число дислокаций в нем. Для решения уравнения (3.1) необходимо рассчитать сумму. Она может быть рассчитана при условии определения полинома, корни которого совпадают с положениями дислокаций в скоплении: P(z) = fl(z- ,) (3.2) i=i Такой способ построения полинома Р\?) впервые был рассмотрен Дж.Д. Эшелби, Ф.С Франком и Ф.Р. Набарро [247]. Они предложили заменить систему уравнений равновесия дислокаций на дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Тогда заменим сумму в (3.1) логарифмической производной полинома P{z): -=5т (3-3) =1Z-X( P[z) Подставляя выражение (3.3) в (3.1), получим: Ч) є Р(гУ тогда действительная и мнимая часть напряженности поля запишутся в виде:
