Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Теплопроводность полупроводниковых кристаллов с различным изотопным составом
1.1. Влияние нормальных процессов фонон-фононного рассеяния на релаксацию импульса в неравновесной фопонной системе
1.2. Нормальные процессы фонон-фононного рассеяния и решеточная теплопроводность
1.3. Частоты релаксации фононов в кристаллах германия 24
1.4. Результаты расчёта теплопроводности кристаллов германия с различным изотопическим составом
1.5. Ангармонические процессы рассеяния фононов и решеточная теплопроводность кристаллов Si с различным изотопическим составом
1.5.1. Частоты релаксации фононов в кристаллах Si 33
1.5.2. Результаты расчёта теплопроводности кристаллов кремния с различным изотопическим составом
1.6. Обсуждение результатов 44
1.7. Выводы 47
ГЛАВА II. Нормальные процессы фонон-фононного рассеяния и термоэде увлечения в кристаллах германия с изотопическим беспорядком
2.1. Результаты эксперимента 50
2.2. Нормальные процессы фонон-фононного рассеяния и релаксация импульса электронов и фононов в неравновесной электрон-фононной системе
2.3. Термоэде увлечения в полупроводниках с невырожденной статистикой носителей тока
2.4. Результаты расчёта термоэде увлечения кристаллов германия с различным изотопическим составом
2.5. Обсуждение результатов 62
2.6. Выводы 64
ГЛАВА III. Механизмы релаксации тепловых и высокочастотных фононов в ангармонических процессах рассеяния для кристаллов кубической симметрии
3.1. Упругая энергия кристаллов кубической симметрии 67
3.2. Механизм релаксации Ландау-Румера для поперечных тепловых и высокочастотных фононов в кубических кристаллах
3.2.1. Частота релаксации поперечных фононов в механизме Ландау-Румера для кубических кристаллов
3.2.2. Результаты численного анализа частоты релаксации фононов в механизме Ландау-Румера для кристаллов Ge, Si, алмаз, InSb и GaSb
3.3. Механизмы релаксации продольных фононов в ангармонических процессах рассеяния в кубических кристаллах
3.3.1. Частота релаксации продольных фононов для процессов рассеяния с участием трех продольных фононов
3.3.2. Частота релаксации продольных фононов в трехфоионных процессах рассеяния с участием поперечного фонона и двух продольных
3.3.3. Результаты численного анализа частот релаксации продольных фононов для кристаллов германия, кремния и алмаза
3.4. Обсуждение результатов 98
3.5. Выводы 102
Наиболее важные результаты и выводы диссертации 103
Литература
- Нормальные процессы фонон-фононного рассеяния и решеточная теплопроводность
- Нормальные процессы фонон-фононного рассеяния и релаксация импульса электронов и фононов в неравновесной электрон-фононной системе
- Механизм релаксации Ландау-Румера для поперечных тепловых и высокочастотных фононов в кубических кристаллах
- Частота релаксации продольных фононов в трехфоионных процессах рассеяния с участием поперечного фонона и двух продольных
Введение к работе
Интенсивное развитие полупроводниковых технологий в настоящее время требует поиска материалов с новыми физическими свойствами. В связи с этим особую актуальность приобретает понимание на фундаментальном уровне физических процессов, происходящих в этих материалах. Одной из важных проблем физики конденсированного состояния является исследование процессов электронного и фононного переноса в изотопически разупорядоченных кристаллах германия, кремния и алмаза. Интерес к этим исследованиям стимулируется потребностями современной микроэлектроники, в которой широко используются эти полупроводниковые материалы.
Хорошо известно, что большинство химических элементов имеют ряд своих изотопов. Согласно современным представлениям изотопы представляют собой атомы одного и того же химического элемента с разным количеством нейтронов. Тем самым изотопы данного элемента обладают одинаковыми химическими свойствами, но отличаются друг от друга массами атомов. Многие твердые тела состоят из нескольких изотопов, хаотически распределенных по узлам кристаллической решетки. В твердых телах параметры силового межатомного взаимодействия практически не зависят от композиции изотопов, поскольку конфигурация электронной оболочки атома очень слабо зависит от массы ядра: масштаб эффекта - порядка отношения массы электрона к массе ядра ~ 10~4. Зависимость от изотопического состава возникает из-за того, что движение атома в поле, созданном соседними атомами, определяется, помимо всего прочего, также его массой. Колебание атомов в узлах кристаллической решетки можно рассматривать, как движение в гармоническом потенциале, параметры которого зависят от объема элементарной ячейки кристалла, в квазигармоническом приближении частота колебаний атома пропорциональна Мха. Поэтому, как правило, влияние изотопов на колебательные спектры кристаллов сравнительно слабое, однако некоторые характеристики кристаллов могут меняться существенным образом. Дело в том, что изотопический беспорядок нарушает трансляционную инвариантность решетки и приводит к рассеянию фононов. Влияние «примесных» изотопов на фононы можно описать в терминах температурно-независимого изотопического рассеяния фононов. Частота релаксации для этого механизма пропорциональна фактору изотопического беспорядка g и четвертой степени волнового вектора фононов. Физические свойства таких кристаллов могут в значительной степени различаться в зависимости от их изотопического состава. В последние десятилетия исследования в области изотопической инженерии [1] и изучения физических свойств изотопически обогащенных кристаллов [2] приобрели особую актуальность. В
первую очередь необходимо отметить давно уже известный факт - изменение величины энергии межзонных переходов Eg при изотопическом замещении. Если в Ge при изотопическом замещении Eg изменяется на ~1мэВ, то в алмазе и в кристаллах LiHxD|.x -на 13 и 104 мэВ соответственно. Это довольно большие величины, и они легко измеряются. Заметные эффекты наблюдаются при изотопическом замещении и в фононном спектре, особенно в спектральном диапазоне продольных оптических фононов (LO). Сдвиг LO линий в алмазе лежит в пределах 50 см'1, тогда как в кристаллах LiHxD|.x он превосходит 200 см' . В 50-х годах были открыты такие изотопические эффекты, как сдвиг критической температуры сверхпроводящего перехода ртути [3,4] и значительный (в три раза) рост теплопроводности в изотопически обогащенном кристалле германия [5]. Первый из этих эффектов послужил решающим фактором для построения микроскопической теории низкотемпературной сверхпроводимости [6]. В то же время изотопический эффект в теплопроводности Ge, наглядно продемонстрировал, сколь велико может быть влияние изотопического разупорядочения кристаллической решетки, и подтвердил теорию И.Я. Померанчука [7], согласно которой именно случайное распределение изотопов в решетке является причиной ограничения роста теплопроводности диэлектрических кристаллов при низких температурах. Исключительно высокая теплопроводность изотопически чистых кристаллов имеет хорошие перспективы использования в технике в тех случаях, когда имеются большие тепловые нагрузки.
Исследования изотопических эффектов в теплопроводности диэлектрических кристаллов, таких как Ge, Si, GaAs, LiF и т.п., начались еще в середине прошлого века с экспериментальной работы Джебала и Халла [5] и теоретических работ [8-9]. Вслед за работой [5] в 1959 г. вышла теоретическая работа Каллавея [10], в которой были проанализированы экспериментальные данные по теплопроводности кристаллов Ge с натуральным изотопическим составом и изотопически обогащенного 74Ge [5]. Интерес к этой работе связан с тем, что в ней впервые учтена нетривиальная роль нормальных процессов (//-процессов) рассеяния фононов. В работе [10] было показано, что N-процессы фонон-фононного рассеяния не дают непосредственного вклада в релаксацию импульса фононной системы, а приводят ее к дрейфовому локально равновесному состоянию. При этом был сделан ряд упрощающих предположений, а именно: была использована одномодовая дебаевская модель [11] фононного спектра без разделения фононов на продольные и поперечные. Таким образом, неравновесная функция распределения фононов в теории [10] определялась тремя параметрами: частотами релаксации импульса фононов в резистивных и нормальных процессах рассеяния и средней скоростью дрейфа. Каллавею удалось описать экспериментальные данные
теплопроводности Ge в широком температурном диапазоне, однако, в области максимума теплопроводности результаты расчета значительно превосходили экспериментальные значения. По этой причине Холланд [12] отказался от модели Каллавея [10]. Он показал, что при расчете теплопроводности кристаллов Ge и Si необходимо выделять вклады продольных и поперечных фононов, поскольку поперечные фононы имеют сильную дисперсию, и дебаевские температуры для обеих колебательных ветвей существенно различаются. Однако он включил частоты релаксации нормальных процессов фонон-фононного рассеяния в резистивные частоты релаксации. Ему удалось удовлетворительно описать температурные зависимости теплопроводности Ge и Si с натуральным изотопическим составом в широком температурном интервале, однако при этом число подгоночных параметров теории увеличилось в два раза. Однако, теория Холланда [12] в определенном смысле является шагом назад по сравнению с теорией Каллавея [10]. поскольку она не учитывала особую роль нормальных процессов фонон-фононного рассеяния. Отметим, что в теории [12] неравновесная функция распределения фононов описывалась полными частотами релаксации продольных и поперечных фононов. В последующих работах [13-17] для описания экспериментальных данных по теплопроводности кристаллов Ge, Si, алмаза и т.п. использовались некоторые модификации теории Холланда и Каллавея.
Недавно были успешно выращены высококачественные монокристаллы германия с различным изотопным составом, включая уникально чистый, как химически, так и изотопически, кристалл с обогащением 99.99% по изотопу 70Ge [18], обозначаемый далее как 70Ge(99.99%). Экспериментальные исследования теплопроводности [2,18] этих кристаллов показали, что для моиоизотопных образцов Ge(99.99%) максимальные значения теплопроводности на порядок выше, чем для кристаллов с природным изотопным составом. Авторы [18] для описания теплопроводности кристаллов Ge с различной степенью изотопического обогащения воспользовались обобщенной моделью Каллавея (ОМК), в которой кинетическое уравнение для фононной функции распределения не решалось, а выражение для теплопроводности постулировалось в виде аддитивной суммы вкладов от продольных и поперечных фононов. В рамках этой модели в работе [18] были определены параметры, характеризующие различные механизмы релаксации импульса фононов. Предложенная модель позволила удовлетворительно описать экспериментальные данные по теплопроводности кристаллов Ge с природным составом изотопов и со сравнительно невысокой степенью изотопического обогащения (до 70Ge 96.3%). Однако для изотопически чистых кристаллов 70Ge (99.99%) авторы [18] столкнулись с той же трудностью, что и Каллавей [10]. В области максимума
теплопроводности рассчитанные значения для ОМК превосходили экспериментальные данные более, чем в 1.5 раза. Авторы ввели дополнительный механизм рассеяния фононов на дислокациях. Однако, введение дополнительного механизма релаксации фононов, только для изотопически высокообогащенного образца 70Ge (99.99%) не могло исправить ситуацию, так как концентрация дислокаций, согласно [19], оказалась на четыре порядка меньше, чем требовалась в [18] для согласования экспериментальных данных и результатов расчета. Обобщенная модель Каллавея широко использовалась для описания экспериментальных данных по теплопроводности Ge, Si [2,20-24]. Дальнейшее развитие теории решеточной теплопроводности сдерживалось отсутствием корректного анализа роли /^-процессов рассеяния фононов, принадлежащих различным колебательным ветвям. Учет особой роли N-процессов фонои-фононного рассеяния необходим в условиях, когда частота релаксации фононов в нормальных процессах - vpj,\(q) будет больше либо сравнима с частотой релаксации в резистивных процессах рассеяния \'p/,ii(q), которая обусловлена релаксацией фононов в процессах переброса, на границах, примесях и электронах проводимости. Хорошо известно [10,25-26], что в //-процессах импульс фононов, участвующих в столкновениях, сохраняется, и эти процессы рассеяния не дают непосредственного вклада в релаксацию импульса фононов и, соответственно, в теплосопротивление. Однако N-процессы формируют неравновесную функцию распределения фононов и обеспечивают релаксацию фононной системы к локально-равновесному состоянию со средней скоростью дрейфа. Перераспределяя энергию и импульс между различными фононными модами, они препятствуют сильному отклонению от равновесного распределения каждой фононной моды. При этом изменяется относительная роль различных резистивных процессов релаксации импульса фононов (рассеяние на дефектах, границах образца и в процессах фонон-фононного переброса). Таким образом, этот механизм играет существенную роль в релаксации полного импульса фононной системы и оказывает значительное влияние на величины теплопроводности в изотопически чистых образцах Ge при низких температурах, когда процессы фонон-фононного переброса в значительной степени выморожены. Отметим, что двухпараметрическое приближение Холланда [12] является справедливым в случае, когда для каждой из ветвей фононного спектра Я частоты релаксации фононов в N-процессах {v^phsiq)) гораздо меньше резистивных частот релаксации фононов (^pi,R(q))- В противоположном предельном случае, который, согласно данным [18], реализуется для продольных фононов в исследованных образцах германия, необходимо учитывать дрейф фононной системы, связанный с ^-процессами фонон-фононного рассеяния. В этом случае неравновесность фононной подсистемы должна описываться шестью параметрами:
четырьмя частотами релаксации i^phiiiq) и ^ph\{q) и средними скоростями дрейфа ид для фононов различных поляризаций. Как будет показано в настоящей работе, описание неравновесности фононной системы в расширенном базисе позволяет более корректно рассмотреть процессы релаксации импульса фононов и теплопроводность в изотопически чистых образцах Ge и Si. Итак, одна из проблем, которая рассматривается в данной работе, заключается в исследовании механизмов релаксации фононов в нормальных процессах рассеяния и их влияния на теплопроводность кристаллов германия и кремния с различным изотопическим составом.
В данной работе решена система кинетических уравнений для фононов различных поляризаций. Рассмотрено два механизма релаксации фононов в //-процессах рассеяния, обеспечивающих перераспределение импульса фононов как внутри каждой колебательной ветви (механизм Саймонса [27]), так и между различными колебательными ветвями фононов (механизм Херринга [28]). Проанализировано влияние нормальных процессов рассеяния фононов на теплопроводность кристаллов германия и кремния с различным изотопическим содержанием. Показано, что обобщенная модель Каллавея (ОМК) [18] фактически соответствует механизму Саймонса и не является корректной, поскольку основным механизмом релаксации импульса фононов в //-процессах для кристаллов германия и кремния является механизм Херринга (MX) [28].
Показано, что проблема, поставленная Холландом [12], и те проблемы, которые возникли при обработке экспериментальных данных [18,24], снимаются, если корректно учесть //-процессы релаксации Херринга. В этом случае перераспределение импульса между продольными и поперечными фононами в нормальных процессах приводит к значительному подавлению дрейфового движения продольных фононов в изотопически чистых образцах Ge (99.99%) за счёт их взаимодействия с поперечными фононами. Этот механизм перекачки импульса обеспечивает существенное уменьшение вклада продольных фононов в теплопроводность. В результате, при тех же значениях подгоночных параметров, что и [18], максимальные значения полной теплопроводности изотопически чистых образцов Ge (99.99%) уменьшаются примерно в 1.5 раза по сравнению с величинами, полученными в [18] в рамках обобщённой модели Каллавея. Таким образом, отпадает необходимость введения дополнительного механизма рассеяния фононов на дислокациях [18] и ещё одного подгоночного параметра теории.
Другая проблема возникла в связи с интерпретацией экспериментальных данных термоэдс изотопически обогащенных кристаллов германия. Дело в том, что экспериментальные исследования [21] показали двукратное увеличение абсолютных значений термоэдс при низких температурах в изотопически чистых кристаллах германия
( Ge 99.99%) по сравнению с кристаллами германия с природным составом изотопов. При низких температурах основной вклад в термоэдс вносит эффект электрон-фононного увлечения. Попытка объяснить изотопический эффект в термоэдс электрон-фононного увлечения аР1, в рамках теории Херринга [29] оказалась неудачной, поскольку расчеты этого эффекта согласно теории Херринга [29] давали очень слабую зависимость арн{Т) от изотопического состава кристаллов германия, что не соответствовало экспериментальным данным [21].
Очевидно, что эффект значительного увеличения решеточной теплопроводности в изотопически чистых кристаллов германия, кремния и алмаза [2,5,14-18,22-23] связан с увеличением длины свободного пробега тепловых фононов из-за уменьшения рассеяния на «примесных» изотопах. Поэтому изменение изотопного состава кристаллов должно сказываться и на таком термоэлектрическом явлении, как термоэдс электрон-фононного увлечения аР1,{Т), которая явным образом зависит от длинны свободного пробега. Следовательно, уменьшение степени изотопического беспорядка должно приводить и к увеличению абсолютных значений термоэдс фононного увлечения. Однако теория Херринга [29] предсказывала очень слабую зависимость арі,(Т) от концентрации примесей в случае достаточно чистого полупроводника (см., также [30-32]). В этой теории релаксация импульса фононной системы рассматривалась в рамках стандартного однопараметрического приближения. В этом приближении частота релаксации фононов в нормальных процессах (М-процессах) фонон-фононного рассеяния включалась в полную частоту релаксации фононов, которая являлась единственным параметром, определяющим неравновесную функцию распределения фононов. Такой подход является оправданным для «грязных» полупроводников, когда частота релаксации фононов в //-процессах -Vpi,\{q) гораздо меньше частоты релаксации фононов в резистивных процессах рассеяния -Vpi,R(cj), обусловленной рассеянием фононов на фононах в процессах переброса, на дефектах и границах образца. В противоположном предельном случае достаточно чистых полупроводников, как это уже отмечалось (см. также [33-34]), необходимо учитывать дрейф фононной системы, обусловленный //-процессами фонон-фононного рассеяния, и его влияние на термоэдс электрон-фононного увлечения.
Следует отметить, что в невырожденных проводниках электроны взаимодействуют только с длинноволновыми фононами, волновой вектор которых существенно меньше волнового вектора тепловых фононов, дающих основной вклад в теплопроводность: z х =tw) к1квТ «1 {tia>4x - энергия фонона с волновым вектором q и поляризацией Я). Поскольку вероятность изотопического рассеяния фонона пропорциональна четвертой
степени волнового вектора q, то термоэдс, рассчитанная в рамках однопараметрического приближения, оказалась нечувствительной к степени изотопического беспорядка. На аномалии термоэдс, возникающие в такой ситуации, обращали внимание Козлов и Нагаев еще 30 лет тому назад [35]. Они показали, что в случае совершенных кристаллов увлечение длинноволновых фононов тепловыми фононами может вызвать аномально высокие значения термоэдс. Эта термоэдс (термоэдс двухступенчатого увлечения) в отличие от херринговской обратно пропорциональна концентрации примесей [36] и связана с механизмом релаксации длинноволновых фононов на тепловых в нормальных процессах фонон-фононного рассеяния. Однако, авторы [36] использовали гидродинамическое описание для одномодовой дебаевской модели фононной системы. Эти приближения не позволяют воспользоваться теорией [36] для описания изотопического эффекта в термоэдс. Как следует из анализа теплопроводности [18], одномодовое приближение не является корректным для описания фононной системы в кристаллах германия и кремния.
Впервые попытка обнаружить влияние изотопического рассеяния фононов на термоэдс была предпринята Оскотским и др. [37], которые исследовали теплопроводность и термоэдс кристаллов Те с двумя разными изотопными составами, один из которых был обогащен до 92% по изотопу Те. Изотопическое обогащение приводило к трехкратному увеличению максимальных величин теплопроводности, однако авторы не обнаружили влияния изотопического беспорядка на термоэдс фононного увлечения при низких температурах. Этот негативный результат, возможно, обусловлен либо различной концентрацией заряженных примесей в исследованных образцах, либо сравнительно слабым вкладом N-процессов в суммарную частоту релаксации фононов.
В отличие от результатов, полученных в работе [37], в выполненных недавно измерениях термоэдс на кристаллах германия с разным изотопным составом [21] было обнаружено почти двукратное увеличение термоэдс при низких температурах в моноизотопном образце Ge(99.99%) по сравнению с Ge природным составом изотопов [21]. Этот результат свидетельствует о важной роли TV-процессов в релаксации фононной системы для изотопически обогащенных кристаллов германия. Поэтому в работе рассмотрено влияние дрейфового движения фононов, обусловленного нормальными процессами рассеяния фононов, на термоэдс электрон-фононного увлечения. В дрейфовую скорость фононов, как и в теплопроводность, основной вклад вносят тепловые фононы, рассеяние которых на изотопическом беспорядке играет важную роль. Таким образом, при учете дрейфа фононов термоэдс становится зависящей от степени изотопического беспорядка.
Третья проблема, которая решается в данной работе, заключается в расчете частот релаксации тепловых и высокочастотных фононов в ангармонических процессах рассеяния для кристаллов германия, кремния и алмаза, исходя из экспериментально определенных значений упругих модулей второго и третьего порядка. Дело в том что, при анализе теплопроводности и термоэдс электрон-фононного увлечения в рамках релаксационного метода [2,15,18,22,25-26] обычно используются выражения для частот релаксации фононов в /^-процессах рассеяния, полученные в длинноволновом приближении: z к =ha>l/A/квТ «1 {Тіа>чХ - энергия фонона с волновым вектором q и
поляризацией Л). Это приближение является вполне оправданным при расчете коэффициента поглощения длинноволнового ультразвука, а также термоэдс электрон-фононного увлечения, так как в полупроводниковых кристаллах электроны могут взаимодействовать только с длинноволновыми фононами. Однако в решеточную теплопроводность кристаллов Ge и Si с природным составом изотопов основной вклад вносят тепловые фононы с zqA и 1, а в изотопически обогащенных кристаллах - тепловые
фонопы с :^*2-4. Поэтому длинноволновое приближение для частот релаксации
фононов не является корректным для расчета теплопроводности. В рамках этого метода параметры, определяющие интенсивность ангармонических процессов рассеяния, являлись подгоночными параметрами теории, которые определялись из сопоставления результатов расчета с экспериментальными данными [2,15,18,22,25-26]. Однако при этом возникает вопрос: «Насколько однозначна процедура нахождения параметров, определяющих частоты релаксации фононов в ангармонических процессах рассеяния из данных по теплопроводности при вариации четырех подгоночных параметров теории?» Для оценки вероятности ангармонических процессов рассеяния обычно использовалась модель изотропной среды. Эта модель не является адекватной для кристаллов германия, кремния и алмаза, а также таких популярных объектов исследования, как InSb, GaAs, CaF2 и т. д., имеющих кубическую симметрию с существенной анизотропией упругих модулей как второго, так и третьего порядков. Такие расчеты позволят, во-первых, определить эффективные механизмы релаксации тепловых фононов и избавиться от произвола, связанного с выбором подгоночных параметров теории при расчете теплопроводности этих кристаллов, а, во-вторых, найти коэффициенты поглощения как длинноволнового, так и коротковолнового ультразвука. Эти исследования являются особенно актуальными для структурно совершенных, химически чистых и изотопически высокообогащенных кристаллов, поскольку именно в этих кристаллах проявляются в полной мере особенности релаксации фононных мод в ангармонических процессах рассеяния.
Итак, цель работы заключается в следующем: а) исследовать влияние нормальных процессов фонон-фононного рассеяния, а также изотопического беспорядка на теплопроводность и термоэлектрические явления в кристаллах германия и кремния с различным изотопическим составом; б) проанализировать механизмы релаксации квазичастиц, определяющих зависимости кинетических эффектов в этих кристаллах от температуры и степени изотопического беспорядка; в) рассчитать частоты релаксации фононов в ангармонических процессах рассеяния для кристаллов кубической симметрии германия, кремния и алмаза, исходя из экспериментально определенных значений упругих модулей второго и третьего порядка.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. В первой главе диссертационной работы рассмотрено влияние нормальных процессов фонон-фононного рассеяния на теплопроводность кристаллов германия и кремния с различным изотопическим обогащением. Решена система кинетических уравнений для функций распределения фононов различных поляризаций. Рассмотрено два варианта релаксации импульса фононов в //-процессах: 1) N-процессы рассеяния перераспределяют импульс фононов только внутри каждой колебательной ветви (механизм Саймонса [27])); 2) доминирует перераспределение импульса фононов между различными колебательными ветвями фононов (механизм Херринга [28]). Детально проанализированы вклады дрейфового движения продольных и поперечных фононов в теплопроводность. Отметим, что результаты расчёта теплопроводности кристаллов германия и кремния для двух вариантов релаксации импульса фононов в //-процессах отличаются не только количественно, но и качественно. Если значения теплопроводности в этих кристаллах в области максимума для обобщенной модели Каллавея [2,24] (механизм Саймонса) определяются главным образом продольными фононами, то для механизма Херринга - поперечными. Показано, что перераспределение импульса между продольными и поперечными фононами в ^-процессах Херринга приводит к существенному подавлению дрейфового движения продольных фононов и, соответственно, их вклада в теплопроводность. Рассчитана зависимость максимальных значений теплопроводности кристаллов германия и кремния от степени изотопического беспорядка. Показано, что оптимальным пределом обогащения кристаллов германия и кремния для получения максимальных значений теплопроводности является обогащение до 99.99% по изотопам 70Ge и 28Si. При дальнейшем увеличении степени изотопического совершенства кристаллов Ge и кремния максимальные значения теплопроводности увеличатся не более, чем на 1%, по сравнению с достигнутыми значениями.
Во второй главе развита теория увлечения электронов фононами в полупроводниках с невырожденной статистикой носителей тока, учитывающая особенности релаксации импульса фононов в нормальных процессах фонон-фононного рассеяния. Проанализировано влияние дрейфового движения фононов на термоэдс увлечения кристаллов германия с различным изотопным составом для двух вариантов релаксации импульса фононов в нормальных процессах рассеяния фононов. При расчете термоэдс использованы времена релаксации фононов, определенные из данных по теплопроводности германия. Проанализирована роль неупругости электрон-фононного рассеяния в термоэдс увлечения в полупроводниках. Дано качественное объяснение изотопического эффекта в термоэдс увлечения. Показано, что физическая основа этого эффекта достаточно проста: основной вклад в дрейфовое движение, как и в теплопроводность, вносят тепловые фононы, рассеяние которых на изотопическом беспорядке играет важную роль. Поэтому скорость дрейфа фононов существенно зависит от изотопического беспорядка в кристаллах германия. Вследствие этого термоэдс, рассчитаная в нашем подходе, в отличие от теории Херринга, оказывается зависящей от степени изотопического беспорядка.
Основное внимание в третьей главе уделено расчету частот релаксаций в ангармонических процессах фононов для кристаллов, имеющих кубическую симметрию. Получено выражение для ангармонической энергии кристаллов кубической симметрии, через волновые вектора, вектора поляризаций фононов и упругие модули второго и третьего порядка. Установлены соотношения между модулями упругости второго и третьего порядка кубических кристаллов, необходимые для перехода к модели изотропной среды. В модели анизотропного континуума проанализированы особенности релаксации продольных и поперечных тепловых и высокочастотных фононов. Анизотропия ангармонического рассеяния фононов в кубических кристаллах учитывалась через упругие модули второго и третьего порядков. Показано, что зависимости частот релаксации от волнового вектора для поперечных тепловых и высокочастотных фононов резко отличаются от линейной зависимости Ландау-Румера как в изотропных средах, так и в кубических кристаллах. Характерно, что для кристаллов германия, кремния, алмаза, InSb и GaSb в кристаллографическом направлении [100], в отличие от изотропных сред, они имеют немонотонный характер с двумя максимумами; один из них находится в высокочастотной области. Установлено, что обнаруженные особенности частот релаксации обусловлены угловой зависимостью вероятности ангармонического рассеяния и анизотропией упругих свойств кубических кристаллов. Определены зависимости частот релаксации от температуры и волнового вектора фононов в трехфононных процессах
рассеяния с участием трех продольных фононов (L<=>L+L), двух продольных и поперечного фонона (L<=>T+L). Проанализирован предельный переход к модели изотропной среды. Предложен метод экспериментального определения зависимости частот релаксации высокочастотных фононов от волнового вектора из температурных измерений коэффициента поглощения высокочастотного ультразвука.
В заключение диссертации приведены основные результаты и выводы работы.
Научную новизну диссертационной работы составляют следующие положения:
Дано обобщение теории Каллавея решеточной теплопроводности, последовательно учитывающее перераспределение импульса фононов в нормальных процессах рассеяния как внутри каждой колебательной ветви, так и между различными колебательными ветвями фононов. Предложенная модель перераспределения импульса фононов в механизме Херринга позволила адекватно описать экспериментальные данные теплопроводности кристаллов германия и кремния с различным изотопическим составом.
Показано, что нормальные процессы фонон-фононного рассеяния Херринга являются эффективным механизмом, ограничивающим максимальные значения теплопроводности в изотопически чистых кристаллах германия и кремния. Установлено, что оптимальным пределом для получения максимальных значений теплопроводности кристаллов германия и кремния является изотопическое обогащение до 99.99% по одному из изотопов.
Развита теория увлечения электронов фононами для невырожденных полупроводников, учитывающая особенности релаксации импульса фононов в нормальных процессах фонон-фононного рассеяния. Показано, что изотопический эффект в термоэде обусловлен дрейфовым движением фононной системы, которое сильно зависит от изотопического беспорядка в кристаллах.
Получено выражение для ангармонической энергии кристаллов кубической симметрии через вектора поляризаций, волновые вектора фононов и упругие модули второго и третьего порядка. Установлены соотношения между модулями упругости второго и третьего порядка кубических кристаллов, необходимые для перехода к модели изотропной среды.
Рассчитаны частоты релаксации фононов различных поляризаций в ангармонических процессах рассеяния в широкой области изменения волновых векторов как для
изотропной среды, так и для кристаллов кубической симметрии германия, кремния и
алмаза Из известных значений упругих модулей второго и третьего порядка найдены
параметры, определяющие величины частот релаксации фононов различных
поляризаций для рассмотренных кристаллов. Показано, что их зависимости от
волнового вектора для поперечных тепловых и высокочастотных фононов резко
отличаются от линейной зависимости Ландау-Румера как в изотропных средах, так и в
кубических кристаллах. Характерно, что для кристаллов германия, кремния, алмаза,
InSb и GaSb в кристаллографическом направлении [100], в отличие от изотропных сред,
они имеют немонотонный характер с двумя максимумами; один из них находится в
высокочастотной области. Установлено, что обнаруженные особенности частот
релаксации в кубических кристаллах обусловлены угловой зависимостью вероятности
ангармонического рассеяния и анизотропией упругих свойств.
Работа выполнена в лаборатории кинетических явлений Института физики металлов
УрО РАН, при частичной поддержке РФФИ (гранты № 00-02-16299, № 01-02-06238), УрО
РАН (молодежный грант УрО РАН N15-02-04), Фонда «Династия» и МЦФФМ, гранта
Президента РФ № НШ 1380.2003.2, а также «Фонда содействия отечественной науки».
Изложенные результаты опубликованы в работах [38-43], докладывались и обсуждались на П-ом молодежном семинаре "Проблемы физики конденсированного состояния вещества" (г. Среднеуральск 2001); на XIV Уральской международной зимней школе по физике полупроводников "Электронные свойства низкоразмерных полу- и сверхпроводниковых структур" (г. Екатеринбург 2002г.); на IX международном семинаре "Дислокационная структура и механические свойства металлов и сплавов» (г. Екатеринбург 2002г.); на XXXIII совещании по физики низких температур. Екатеринбург, 2003, стр.251-252; на VI Российской конференции по физике полупроводников. Санкт-Петербург, 2003, стр. 64-64; на международной конференции «Phonons-2004» (Санкт-Петербург, 2004); на семинарах и научных сессиях Института Физики Металлов УрО РАН Екатеринбург.
Нормальные процессы фонон-фононного рассеяния и решеточная теплопроводность
Итак, цель работы заключается в следующем: а) исследовать влияние нормальных процессов фонон-фононного рассеяния, а также изотопического беспорядка на теплопроводность и термоэлектрические явления в кристаллах германия и кремния с различным изотопическим составом; б) проанализировать механизмы релаксации квазичастиц, определяющих зависимости кинетических эффектов в этих кристаллах от температуры и степени изотопического беспорядка; в) рассчитать частоты релаксации фононов в ангармонических процессах рассеяния для кристаллов кубической симметрии германия, кремния и алмаза, исходя из экспериментально определенных значений упругих модулей второго и третьего порядка.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. В первой главе диссертационной работы рассмотрено влияние нормальных процессов фонон-фононного рассеяния на теплопроводность кристаллов германия и кремния с различным изотопическим обогащением. Решена система кинетических уравнений для функций распределения фононов различных поляризаций. Рассмотрено два варианта релаксации импульса фононов в //-процессах: 1) N-процессы рассеяния перераспределяют импульс фононов только внутри каждой колебательной ветви (механизм Саймонса [27])); 2) доминирует перераспределение импульса фононов между различными колебательными ветвями фононов (механизм Херринга [28]). Детально проанализированы вклады дрейфового движения продольных и поперечных фононов в теплопроводность. Отметим, что результаты расчёта теплопроводности кристаллов германия и кремния для двух вариантов релаксации импульса фононов в //-процессах отличаются не только количественно, но и качественно. Если значения теплопроводности в этих кристаллах в области максимума для обобщенной модели Каллавея [2,24] (механизм Саймонса) определяются главным образом продольными фононами, то для механизма Херринга - поперечными. Показано, что перераспределение импульса между продольными и поперечными фононами в -процессах Херринга приводит к существенному подавлению дрейфового движения продольных фононов и, соответственно, их вклада в теплопроводность. Рассчитана зависимость максимальных значений теплопроводности кристаллов германия и кремния от степени изотопического беспорядка. Показано, что оптимальным пределом обогащения кристаллов германия и кремния для получения максимальных значений теплопроводности является обогащение до 99.99% по изотопам 70Ge и 28Si. При дальнейшем увеличении степени изотопического совершенства кристаллов Ge и кремния максимальные значения теплопроводности увеличатся не более, чем на 1%, по сравнению с достигнутыми значениями.
Во второй главе развита теория увлечения электронов фононами в полупроводниках с невырожденной статистикой носителей тока, учитывающая особенности релаксации импульса фононов в нормальных процессах фонон-фононного рассеяния. Проанализировано влияние дрейфового движения фононов на термоэдс увлечения кристаллов германия с различным изотопным составом для двух вариантов релаксации импульса фононов в нормальных процессах рассеяния фононов. При расчете термоэдс использованы времена релаксации фононов, определенные из данных по теплопроводности германия. Проанализирована роль неупругости электрон-фононного рассеяния в термоэдс увлечения в полупроводниках. Дано качественное объяснение изотопического эффекта в термоэдс увлечения. Показано, что физическая основа этого эффекта достаточно проста: основной вклад в дрейфовое движение, как и в теплопроводность, вносят тепловые фононы, рассеяние которых на изотопическом беспорядке играет важную роль. Поэтому скорость дрейфа фононов существенно зависит от изотопического беспорядка в кристаллах германия. Вследствие этого термоэдс, рассчитаная в нашем подходе, в отличие от теории Херринга, оказывается зависящей от степени изотопического беспорядка.
Основное внимание в третьей главе уделено расчету частот релаксаций в ангармонических процессах фононов для кристаллов, имеющих кубическую симметрию. Получено выражение для ангармонической энергии кристаллов кубической симметрии, через волновые вектора, вектора поляризаций фононов и упругие модули второго и третьего порядка. Установлены соотношения между модулями упругости второго и третьего порядка кубических кристаллов, необходимые для перехода к модели изотропной среды. В модели анизотропного континуума проанализированы особенности релаксации продольных и поперечных тепловых и высокочастотных фононов. Анизотропия ангармонического рассеяния фононов в кубических кристаллах учитывалась через упругие модули второго и третьего порядков. Показано, что зависимости частот релаксации от волнового вектора для поперечных тепловых и высокочастотных фононов резко отличаются от линейной зависимости Ландау-Румера как в изотропных средах, так и в кубических кристаллах. Характерно, что для кристаллов германия, кремния, алмаза, InSb и GaSb в кристаллографическом направлении [100], в отличие от изотропных сред, они имеют немонотонный характер с двумя максимумами; один из них находится в высокочастотной области. Установлено, что обнаруженные особенности частот релаксации обусловлены угловой зависимостью вероятности ангармонического рассеяния и анизотропией упругих свойств кубических кристаллов. Определены зависимости частот релаксации от температуры и волнового вектора фононов в трехфононных процессах рассеяния с участием трех продольных фононов (L = L+L), двух продольных и поперечного фонона (L = T+L). Проанализирован предельный переход к модели изотропной среды. Предложен метод экспериментального определения зависимости частот релаксации высокочастотных фононов от волнового вектора из температурных измерений коэффициента поглощения высокочастотного ультразвука.
Нормальные процессы фонон-фононного рассеяния и релаксация импульса электронов и фононов в неравновесной электрон-фононной системе
В работе [40] были проведены экспериментальные исследования термоэдс а(Т) монокристаллов германия с тремя различными изотопными составами — природный, обогащенный до 96.3% и свыше 99.99% по изотопу Ge. Использовались кристаллы Ge п- и р-типа с концентрацией заряженных примесей jVd-Na 2x 10 cm . Отметим, что в работе [57] было установлено, что для высокочистых образцов п- и p-Ge термоэдс фононного увлечения очень слабо зависит от концентрации электрически активных примесей при уровне допирования менее 10 см" и уменьшается по абсолютной величине при более высоких концентрациях. Образцы представляли собой параллелепипеды с квадратным сечением. Полная длина образцов была приблизительно 40 мм, а сторона квадрата в сечении была примерно 2.5 мм. Измерения термоэдс были выполнены с использованием метода стационарного продольного теплового потока в вакууме в интервале температур от 8 до 300 К. Тепловой поток направлялся вдоль длинного ребра образца, при этом перепад температуры вдоль образца не превышал 1% от его средней температуры. Параметры пяти исследованных образцов приведены в таблице 2.1.
Экспериментальные данные по температурной зависимости термоэдс представлены на рис.2.1. Из рисунка видно, что при температурах выше 70 К термоэдс практически не зависит от изотопного состава. В этой области температур преобладает диффузионная компонента термоэдс которая определяется степенью легирования и зонными параметрами полупроводника и не зависит от времени жизни фононов. При низких температу pax, когда доминирует термоэдс фононного увлечения арь(Т), а(Т) растет с уменьшением изотопического беспорядка, причем в максимуме для изотопически чистого 70Ge(99.99%) термоэдс примерно в 2 раза выше, чем для германия с природным изотопным составом (natGe). германия оказалась примерно в пять раз менее чувствительна к изменению степени изотопического беспорядка. Отметим, что для образцов с одним и тем же изотопным составом термоэдс в пределах погрешности эксперимента не зависит от степени допирования. Это согласуется с хорошо известным фактом — слабой чувствительностью величины термоэдс увлечения от концентрации примесей в достаточно чистых кристаллах германия [29,57]. Эти особенности термоэдс требуют детального теоретического рассмотрения.
Рассмотрим для простоты полупроводник с изотропным законом дисперсии носителей тока. Вычислим поток заряда, обусловленный действием электрического поля (Е={ЕХ, 0, 0}) и градиента температуры VT=(VXT, 0, 0). Система кинетических уравнений для неравновесных электронной У(к,г) и фононной Nx(q,r) функций распределения с учетом N-процессов рассеяния фононов имеет вид [33]:
Здесь интегралы столкновений электронов с примесями /г/, фононами /е/,/, и фононов с электронами 1р/,е определены в [30-32,52-55]. В уравнении (2.1) для фононной функции распределения N (q,r), в отличие от теории Херринга, учтено, что -процессы рассеяния приводят фононную подсистему к локально-равновесному распределению Планка (1.2) с дрейфовой скоростью iu которая может быть различной для фононов различной поляризации [10,25-26]. На этом этапе можно сравнить принятые нами исходные приближения с использованными в теории Херринга. В теории Херрринга частота релаксации фононов в нормальных процессах рассеяния включалась в полную частоту релаксации фононов, т. е. нормальные процессы рассеяния рассматривались как процессы, приводящие к релаксации полного импульса фононной системы:
В этом приближении неравновесная функция распределения фононов определяется одним параметром - полной частотой релаксации фононов vxph.
Представим функции распределения электронов и фононов в виде: равновесная функция распределения электронов, a Sfk и #д(я) — неравновесные добавки к функциям распределения, линейные по внешним воздействиям. Линеаризуем интегралы столкновений по этим добавкам. Интегралы столкновений Iic{.Sfk), рА .-(/о ,і(Ч)) а также Ieph(.8fk,NqX) в приближении упругого рассеяния представим через частоты релаксации [55]. При расчете интеграла столкновений Ip ifaiSxi ) учтем пеупругость столкновений неравновесных фононов с равновесными электронами, не ограничиваясь линейным приближением по параметру неупругости, в отличие от [30-32,52-56]. Схема, иллюстрирующая перераспределение и релаксацию импульса, полученного фононной системой от градиента температуры приведена на рис. 1.1. В параграфе 1.1 была подробно описана релаксация импульса в фононной системы для двух механизмов N-процессов рассеяния (см. рис. 1.1), поэтому здесь мы не останавливаемся на ней.
Механизм релаксации Ландау-Румера для поперечных тепловых и высокочастотных фононов в кубических кристаллах
Эти процессы обуславливают перераспределение импульса между фононами различных колебательных ветвей и ограничивают максимальные значения теплопроводности в изотопически высокообогащенных кристаллах (см. главу I). С другой стороны, нормальные процессы рассеяния приводят к дрейфовому движению фононной системы. Как показано в главе II, дрейфовая скорость фононов (как и теплопроводность) определяется главным образом тепловыми фононами, для которых рассеяние на дефектах играет существенную роль. Поэтому термоэде электрон-фоношюго увлечения при учете дрейфа фононов становится зависящей от степени изотопического беспорядка.
При расчете теплопроводности и термоэде, как правило, используется релаксационный метод [2,12-18,20,22-26]. В рамках этого метода кинетическое уравнение для фононной функции распределения решается в приближении времени релаксации (частот релаксации фононов для различных механизмов рассеяния, см. главу I). При этом для частот релаксации фононов в ангармонических процессах рассеяния использовалось в длинноволновое приближение: zqX=tia)qXlkBT«\. Это приближение является вполне оправданным при расчете коэффициента поглощения длинноволнового ультразвука, а также термоэде электрон-фононного увлечения, так как в полупроводниковых кристаллах электроны могут взаимодействовать только с длинноволновыми фононами. Однако в решеточную теплопроводность кристаллов Ge и Si основной вклад вносят тепловые фононы с z л «1. Поэтому длинноволновое приближение для частот релаксации фононов не является корректным для расчета теплопроводности. В рамках этого подхода параметры, определяющие интенсивность ангармонических процессов рассеяния, являлись подгоночными параметрами теории, которые определялись из сопоставления результатов расчета с экспериментальными данными [2,12-18,20,22-26]. Однако при этом возникает вопрос: насколько однозначна процедура нахождения параметров, определяющих частоты релаксации фононов в ангармонических процессах рассеяния из данных по теплопроводности, при вариации четырех подгоночных параметров теории? С другой стороны для оценки вероятности ангармонических процессов рассеяния обычно использовалась модель изотропной среды. Эта модель не является адекватной для кристаллов германия, кремния и алмаза, а также таких популярных объектов исследования, как InSb, GaAs, CaF2 и т. д., имеющих кубическую симметрию с существенной анизотропией упругих модулей, как второго, так и третьего порядков.
Поэтому целью исследований, проведенных в данной главе, является расчет частот релаксации фононов в ангармонических процессах рассеяния во всей области волновых векторов фононов, исходя из экспериментально определенных значений упругих модулей второго и третьего порядка. Такие расчеты позволят, во-первых, определить эффективные механизмы релаксации тепловых фононов и избавиться от произвола, связанного с выбором подгоночных параметров теории при расчете теплопроводности этих кристаллов, а во-вторых, найти коэффициенты поглощения как длинноволнового, так и коротковолнового ультразвука. Эти исследования являются особенно актуальными для структурно совершенных, химически чистых и изотопически высокообогащенных кристаллов, поскольку именно в этих кристаллах проявляются в полной мере особенности релаксации фононных мод в ангармонических процессах рассеяния.
В настоящей главе проведен расчет частот релаксаций фононов различных поляризаций в ангармонических процессах рассеяния для кристаллов германия, кремния, алмаза, InSb и GaSb, имеющих кубическую симметрию. В параграфе 3.1 получено выражение для упругой энергии кубических кристаллов, связанной с ангармонизмом колебаний решетки. Рассмотрены соотношения между упругими модулями, необходимые для перехода к модели изотропной среды. В параграфе 3.2 вычислена частота релаксации поперечных тепловых и высокочастотных фононов в механизме Ландау-Румера. Проанализированы длинноволновый предел, переход к модели изотропной среды, а также зависимости частот релаксации фононов от температуры и волнового вектора фононов в кубических кристаллах. В параграфе 3.3 вычислены частоты релаксации продольных тепловых и высокочастотных фононов в трехфононных процессах рассеяния с участием трех продольных фононов (L»L+L), двух продольных и поперечного фонона (LoT+L) для кристаллов кубической симметрии. Проанализирована зависимость частот релаксации продольных фононов от температуры и волнового вектора фононов в кристаллах германия, кремния и алмаза. Проведено сравнение полученных результатов с результатами предыдущих исследований в модели изотропной среды.
Изложенные в главе результаты опубликованы в работах [41-43], которые частично были поддержаны грантом Президента РФ № НШ 1380.2003.2, молодежным грантом УрО РАН N15-02-04, а также Фондом «Династия» и МЦФФМ
Выражение для упругой энергии кристаллов кубической симметрии с точностью до членов третьего порядка по компонентам тензора деформации щ получено в работе [60] (см. также [61]). Оно имеет вид: Для упругих модулей третьего порядка с /д. здесь используется нормировка, принятая Бирчем.
В литературе более широко используются другие нормировки модулей упругости: нормировка Такера и Рэмптона [62] и нормировка Браггера [63]. Поскольку в работах [64-68] экспериментально определены значения термодинамических модулей упругости третьего порядка Сук, то для упругой энергии кубических кристаллов мы будем пользоваться нормировкой модулей сук, принятой Браггером [63].
Частота релаксации продольных фононов в трехфоионных процессах рассеяния с участием поперечного фонона и двух продольных
В отличие от Ge и алмаза, для кристаллов Si, InSb и GaSb величины Асиъ и с155 имеют противоположные знаки, и интерференционное рассеяние для них вносит отрицательный вклад в частоту релаксации поперечных фононов. Для InSb, в отличие от кремния, вклад интерференционного рассеяния превосходит вклад анизотропного рассеяния, при этом суммарный вклад изотропного и анизотропного рассеяния в окрестности первого максимума в значительной мере компенсируется интерференционным рассеянием (см. кривые 3 и 4 на рис. 3.56). Однако, для GaSb вклад интерференционного рассеяния значительно меньше вклада анизотропного рассеяния, и такой компенсации вкладов в окрестности первого максимума не происходит (см. кривые За и 4а на рис. 3.56). Поэтому для InSb, в отличие от Ge, Si, GaSb, значение второго максимума на зависимости VTLL (zi » ) частоты релаксации фононов превосходит первый.
Следует отметить, что зависимость частоты релаксации v ru(zx,T} для кристаллов Ge, Si, алмаза и GaSb от волнового вектора фононов в направлении [111] подобна изотропному случаю (см. рис. 3.2): второй максимум не наблюдается, и для этих кристаллов имеет место область «плато». В противоположность этому, для InSb в направлении [111] кривая зависимости У тиХ2\ Т) имеет двугорбый характер, причем величины частот релаксации в первом и втором максимуме практически совпадают. Итак, нами показано, что появление второго максимума на зависимости v ru _(z, ,Т) в кристаллах Ge, Si, алмаза, InSb и GaSb в направлении [100] обусловлено кубической анизотропией этих кристаллов.
Что касается расчетов теплопроводности рассмотренных кристаллов, то использование формул (3.17) для v" (z,,r) является неудобным - оно сильно усложняет такие расчеты. Поскольку энергии актуальных для теплопроводности фононов ограничены сверху величинами z\ 4-5 (большие значения экспоненциально обрезаются функцией распределения Планка), то частота релаксации фононов в окрестности первого максимума может быть аппроксимирована выражением: л( . ) /?-5го .[ехР(- о )+ехр(-а20 )], (3.26) где коэффициент Р = 0,65 для кристаллов Ge, Si, InSb, GaSb и алмаза. Как видно из рис. 3.3 (а,Ь), в интервале значений 0 z\ 8 аппроксимация (3.26) хорошо согласуется со значениями, полученными из формул (3.17), как для изотропного случая, так и для кубических кристаллов. Эта аппроксимация значительно лучше описывает зависимость частоты релаксации vr {zx,T) для тепловых фононов, чем введение подгоночного множителя в формулу Ландау-Румера (3.11).
Рассмотрим возможность экспериментального наблюдения отмеченных выше особенностей зависимости частот релаксации поперечных фононов от волнового вектора. При достаточно низких температурах величины v TLL(z\,T) являются практически функциями только z\ для кристаллов Ge, Si, InSb, GaSb и алмаза. Как видно из рис. 3.6, для кристаллов InSb и GaSb они мало меняются при изменении температуры. Положение максимумов и минимумов и их высоты изменяются менее, чем на 1% в температурном интервале К Т ЗОК для кристаллов Ge, InSb и GaSb; интервале К Т 40К для Si и интервале 1 Т ШОК алмаза. Эти особенности позволяют определить зависимость величины ( Г) от волнового вектора фононов из измерений коэффициента поглощения ультразвука. Коэффициент поглощения ультразвука сети, пропорционален частоте релаксации vT (см., например, [59,72]):
Поэтому из измерений коэффициента поглощения ультразвука с частотой ha qT 10 К в интервале температур от 0.1 К до 50К можно определить зависимость величины v m (z, ,Т) в интервале 0.2 Z 100: (3.28) ад vrtAz\J)
Для этого необходимо температурную зависимость v ru_(г,,Г)при фиксированной частоте фонона coqT перестроить как функцию гчГ =НсочТ/кнТ уже при фиксированной температуре, учитывая, что в вышеуказанных низкотемпературных интервалах v rLL(.zx,T) является практически функцией только параметра z\. Для поперечных фононов терагерцевого диапазона (ІТгц 50К) в кристаллах кремния и алмаза условия наблюдения более благоприятны. Можно отметить, что для этих экспериментов желательно иметь изотопически высокообогащенные, химически чистые кристаллы германия, кремния и алмаза, чтобы уменьшить эффект рассеяния фононов на дефектах, которое может при достаточно низких температурах завуалировать ангармонические процессы рассеяния. Таким образом, зависимости частот релаксации поперечных фононов от волнового вектора кубических кристаллов могут быть определены из измерений температурной зависимости коэффициента поглощения ультразвука.
Похожие диссертации на Ангармонические процессы рассеяния фононов и кинетические эффекты в кристаллах германия и кремния с изотопическим беспорядком
