Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Состояние вопроса и объект исследований.. 15
1.1 Информационно-измерительные системы на основе автоматических мишеней 15
1.2 Оценки точности стрельбы. Проверка гипотез и критерии оптимальности 19
1.3 Статистики в задачах оценивания и проверки статистических гипотез 24
1.4 Эффективность и робастность оценок 30
1.5 Выводы по главе 35
Глава 2. Исследование оценок точности стрельбы 36
2.1 Генерирование аномальных результатов измерения 37
2.2 Характеристики одномерных оценок меткости 40
2.3 Характеристики многомерных оценок меткости 51
2.4 Характеристики одномерных оценок кучности 51
2.5 Двумерные оценки кучности 65
2.6 Выводы по главе 2 69
Глава 3. Проверка статистических гипотез 71
3.1 Общие соображения 71
3.2 Законы распределения в случае нестабильных условий испытаний 73
3.3 Распределение выборочного с.к.о. в случае нестабильных условий испытаний 80
3.4 Проверка гипотезы о рассеивании по выборочной дисперсии 86
3.5 Методика испытаний (элементы последовательного анализа). Контроль годности изделии по кучности стрельбы с использованием предыстории 95
3.6. Методика перехода от одних оценок к другим (от неоптимальных к оптимальным) 100
3.7 Выводы по главе 3 102
Глава 4. Аппаратное и программное обеспечение информационно-измерительных систем 104
4.1 Технические характеристики и описание работы 105
4.2 Программное обеспечение ИИС 114
4.3 Настройка системы 127
4.4 Производственные испытания 130
4.5 Выводы по главе 4 135
Заключение 136
Список литературы 138
Приложение 146
- Оценки точности стрельбы. Проверка гипотез и критерии оптимальности
- Характеристики одномерных оценок меткости
- Распределение выборочного с.к.о. в случае нестабильных условий испытаний
- Методика перехода от одних оценок к другим (от неоптимальных к оптимальным)
Введение к работе
В процессе проектирования и отработки стрелкового оружия, его изготовления, а также во время приемосдаточных испытаний и эксплуатации в Армии осуществляется оценивание внешнебаллистических параметров: начальной скорости пули, меткости и кучности стрельбы или проверка гипотезы о не превышении контролируемым параметром с заданной вероятностью некоторого (заданного) значения. По ГОСТ под меткостью понимается степень совмещения средней точки попадания (СТП) с контрольной точкой (КТ). Под кучностью стрельбы (КС) понимается степень разброса координат точек попадания от СТП. Точность стрельбы характеризуется меткостью и кучностью одновременно.
Так как результат одного выстрела является случайной величиной, то имеем дело со случайными величинами и, соответственно, с точечным или интервальным оцениванием параметров, а также с проверкой статистических гипотез об истинных значениях оцениваемых параметров.
В случае стрельбы по бумажным или картонным мишеням, ручном счете координат и ручной обработке использовались более простые оценки с точки зрения простоты вычислений вручную. В случае информационно-измерительных систем с автоматическими мишенями сложность алгоритмов обработки не является ограничивающим фактором. Поэтому при выборе оценок и алгоритмов обработки результатов на первое место выступают точность и надежность оценки.
В наставлениях по стрелковому делу (НСД) рассматриваются, например, различные оценки кучности стрельбы: срединные отклонения по боку и по верху Вf„ 5fi, сердцевинные отклонения Си, Сй, размах w, круги R50, RHo, Rmo относительно СТП или контрольной точки, поперечник рассеивания Пию. Очевидно, что все они имеют разную эффективность. При этом в ТУ на различные виды стрелкового оружия заданы различные оценки.
Очевидно, что для увеличения точности и достоверности необходимо использовать эффективные оценки.
В случае допускового контроля или проверки гипотезы о годности оружия оценка, полученная по выборке ограниченного объема, сравнивается с критическим значением, соответствующим заданной надежности, или заданному уровню значимости.
Если в технических условиях и НСД для испытаний в полигонных условиях задана неэффективная оценка, например, Cg, Се, то при производственных испытаниях с использованием информационно-измерительной системы с автоматической мишенью целесообразно использовать эффективную оценку по В в, Вв. Но для этого нужно пересчитать критические значения С6, Се, соответствующие заданному уровню значимости а, на критические значения В б, Вт соответствующие тому же самому уровню значимости.
В случае допускового контроля и статистической проверки гипотез применяются различные методики, отличающиеся количеством переиспытаний и правилом принятия решения. Методики с переиспытаниями соответствуют (реализуют) идеям последовательного анализа, направленного на уменьшение в среднем объема испытаний при сохранении вероятностей ошибок / (риск изготовителя) и // (риск потребителя) рода. Поэтому, в связи с наличием разнообразных методик с переиспытаниями, целесообразно выяснить насколько они отличаются друг от друга по эффективности и какая из них является эффективной (оптимальной) и, соответственно, более целесообразной для применения.
Говоря, например, о координатах попадания, как о случайных величинах, нельзя не говорить о законе распределения, от которого зависит критическое значение. На основании центральной предельной теоремы теории ис-роятностей и экспериментально установлено, что координаты точек попадания в случае одиночных выстрелов подчиняются нормальному закону N{fi,a ) (ft- математическое ожидание, или среднее значение; а - диспер-
7 сия случайной величины). Если дисперсия известна, то можно найти крити-
1 " ческие значения для выборочной дисперсии s =——/(.v,-.*;) (и- объем выборки, .Y--V.V,- выборочное среднее), соответствующее уровню значи- " /=1
, -> (n-\)s2мости а, используя тот факт, что величина х ~ \— имеет ли-квадрат о распределение с п -1 степенью свободы (закон %г{п -1)).
Однако практика нескольких десятилетий испытаний показывает о том, что при выборе таким образом критического значения фактическое значение уровня значимости оказывается больше, чем принято при определении критического значения. Это имеет место даже при стремлении поддержать качество производства и технологии на одном уровне. Данный факт можно объяснить нестабильностью условий испытаний, приводящей к тому, что в случае конкретных условий мы имеем определенное значение дисперсии а2 и нормальный закон распределения координат точек попадания, а в случае других условий дисперсия имеет другое значение. В результате по совокупности всех условий испытаний закон распределения координат не является нормальным и критическое значение при том же самом уровне значимости должно быть больше. Чтобы найти критическое значение, надо знать закон распределения дисперсии или среднеквадратичсского отклонения. Приведенные соображения позволяют сформулировать следующие утверждения.
Объект исследований является случайным и поэтому необходимо применять вероятностно-статистические методы исследований.
Существуют различные оценки одного и того же параметра генеральной совокупности, например, среднего или дисперсии, имеющие различную эффективность, и целесообразно использовать эффективные оценки.
Существуют различные методы с переиспытаниями, различающиеся, по-видимому, различной эффективностью (например, средним объемом выбор-
8 ки при фиксированных вероятностях / и // рода) и целесообразно использовать эффективные (оптимальные) методики.
Техническими условиями, инструкциями на испытания, в частности ІІСД для Армии, задаются различные, часто неэффективные оценки и методики с переиспытаниями. Существуют причины, обуславливающие применение тех или иных, в общем случае неэффективных оценок и методик. Первая причина - удобство в случае ручных измерений и обработки. Вторая причина -регламентировано применение по ТУ и т.д. и внести изменения в ТУ и т.д. очень трудно или практически невозможно.
Предыдущее предопределяет возможность применять более эффективные оценки и методики при испытаниях в процессе производства и контроля в случае наличия информационно-измерительной системы. Но в этом случае для сохранения надежности результатов не хуже, чем по существующей методике, необходим правильный переход от критических значений или методик к значениям или методикам более эффективным. В настоящее время стоимость боеприпасов очень велика. В процессе испытаний для получения достоверных результатов с высокой надежностью объем испытаний достаточно велик. Поэтому снижение объема испытаний при сохранении точности и надежности результатов является актуальным. Снижение объема испытаний за счет более эффективных, но трудоемких при вычислении оценок и методик возможно благодаря ИИС с мощным компьютером.
Объектом исследований являются информационно-измерительные системы на основе автоматических мишеней для оценивания точности стрельбы и проверки гипотез о качестве стрелкового оружия и боеприпасов.
Предметом исследований являются точечные и интервальные оценки параметров положения и масштаба (применительно к стрелковому оружию -меткости и кучности стрельбы) случайных величин и методики с переиспытаниями для проверки статистических гипотез, математическое описание законов распределения координат точек попадания, алгоритмы получения оценок, программное обеспечение ИИС с автоматическими бесконтактными мишенями.
Целью работы является проведение комплексных исследований, направленных на научное обоснование информационно-измерительных систем на основе автоматических мишеней, обеспечивающих повышение эффективности оценивания точности стрельбы и проверки гипотез о качестве оружия и боеприпасов путем анализа существующих и разработки новых эффективных и робастных оценок точности (меткости и кучности) стрельбы, новых методик переиспытаний, разработки методики перехода от существующих оценок и методик к оптимальным.
Для достижение поставленной цели решаются следующие задачи исследовании:
Исследование возможностей и путей совершенствования существующих ИИС, повышение их технических характеристик за счет: анализа существующих и разработки новых эффективных и робастных точечных и интервальных оценок параметров, методик с переиспытаниями, определения их эффективности и выбора оптимальных; разработки программного обеспечения информационно-измерительной системы для испытаний стрелкового оружия с автоматической мишенью с использованием предложенных и исследованных оценок и методик, а также методики перехода к оптимальным оценкам и методикам переиспытаний при сохранении вероятности ошибки /рода.
Комплексное исследование с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента для: разработки законов распределения оценок, определяемых по выборкам ограниченного объема, и определения оптимальных и робастных оценок и методик переиспытаний на основе выбранных критериев оптимальности; обоснования и исследования законов распределения оценок в случае нестабильных условий испытаний, ориентируясь, в том числе, на совпадение расчетного и опытного значений вероятности ошибок / рода. in Мы оставляем без внимания еще один вопрос, который может быть темой отдельных исследований. Речь идет о допустимой погрешности первичных измерений, которая влияет на точность и достоверность оценок и методик. Если, например, рассеивание оценивается по размаху выборки w = x(n)~xi\)> где хш> х(\)~ кРайнис (наибольшее и наименьшее) значения в выборке, то дисперсия погрешности измерения оценки w будет равна 2а2((72- дисперсия погрешности измерения x(ll) или .y(|)) в предположении независимости погрешностей измерений. В случае оценки рассеивания по выборочной дисперсии s" = / (х -х)~ происходит суммирование по- грешностей всех членов выборки и осреднение. Поэтому погрешности измерений влияют на if более сильно по сравнению с влиянием на s2.
Методика исследования. В работе для теоретических исследований применены, главным образом, методы теории вероятностей и математической статистики, методы математического анализа, оптимизации и вычислительной математики. При разработке программного обеспечения для ИИС использованы методы теории вычислительных машин и программирования. При проверке эффективности алгоритмов и получения характеристик оценок, особенно в случае, когда не получено аналитического решения, использованы методы статистического моделирования и натурных испытаний.
Достоверность полученных результатов подтверждена совпадением аналитических решений и решений, полученных методом статистических испытаний, достаточно большим объемом испытаний, а также совпадением с результатами натурных испытаний.
Научная новизна и личный вклад автора состоит в следующем: Модифицировано программное обеспечение и повышены технические характеристики информационно-измерительных систем на основе автоматических мишеней благодаря: новым эффективным и робастиым оценкам точности стрельбы и методике переиспытаний с учетом предыстории для проверки гипотез о качестве оружия; методике перехода от неоптимальных оценок к оптимальным при условии сохранения вероятности ошибки /рода.
Выполнены теоретические исследования и проведено математическое моделирование, позволившие: обосновать предложенные законы распределения случайных величин в случае нестабильных условий испытаний и определить их характеристики; определить эффективность и робастность предложенных оценок точности (меткости и кучности) стрельбы, полученных: 1) по методу наименьших квадратов на основе порядковых статистик, симметричных и последовательных квазиразмахов; 2) для порядковых статистик с помощью уменьшения весовых коэффициентов для крайних статистик за счет изменения величины элементов корреляционной матрицы; 3) оптимизацией параметров оценок; 4) нелинейным уточнением медианной оценки. - составить мате мати ко-статистичес кие таблицы критических значений, ис пользуемые для перехода к оптимальным оценкам в случае проверки гипотез о качестве оружия и боеприпасов.
Практическая ценность и внедрение результатов работы
Проведенные исследования позволили определить эффективность и робастность существующих оценок точности стрельбы (меткости и кучности), а также предложить новые оценки и составить математико-статистичес кие таблицы функций распределения с помощью аналитических зависимостей и статистического моделирования.
Разработанная методика перехода от одних оценок к другим позволила осуществить переход к оптимальным оценкам с соответствующим пересчетом критических значений для проверки гипотез.
Разработанные составные распределения выборочного с.к.о. в случае нестабильных условий испытаний объяснили несоответствие фактиче-
12 ского уровня значимости расчетному и позволили определить критическое значение для заданного уровня значимости.
Разработаны методики последовательного анализа и переиспытаний, как частного случая последовательного анализа, для проверки гипотез о качестве оружия по меткости и кучности.
Разработано программное обеспечение ИИС для испытаний и оценок точности стрельбы, а также для проверки гипотезы о годности оружия по меткости и кучности.
Апробации и публикации. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на: НТК ИжГТУ "Приборостроение в XXI веке. Интеграция науки, производства и образования " (г. Ижевск, 13-14 апреля 2004 г.); международном форуме "Высокие технологии-2004", 2004г; НТК "Приборостроение в XXI веке. Интеграция науки, производства и образования " (г.Ижевск, 14-15 апреля 2006г); Пятой Всероссийской НТК "Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности и экологии" (г.Тула, ТулГУ, 2006г.); Всероссийской НТК "АСУИТ-2006", (г. Пермь, ПГУ, 2006г.), а также ежегодных НТК в ИжГТУ (2003-2006 г.г.).
Материалы работы обсуждались на НТС предприятий при выполнении НИР с организациями и предприятиями: ДОАО "Ижевский оружейный завод" (г.Ижевск, 2003-2006 годы), ЦКИБ СОО (г.Тула, 2005-2006 г.г.), Вятско-Полянский машзавод "Молот" (г. Вятские Поляны, 2004-2006г.г.) и в/ч 33491 (г. Санкт-Петербург, 2003-2006 годы).
Основной материал работы отражен в 16-ти печатных статьях, в том числе одна статья в издании, рекомендованном ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, указателя литературы из 91 наименования и Приложения. Работа содержит 145 страницы машинописного текста, включая 47 рисунков и 11 таблиц.
В первой главе с целью постановки задачи исследований приводятся сведения об информационно-измерительных системах на основе автоматиче-
13 ских мишеней для испытания стрелкового оружия и боеприпасов к нему, о существующих точечных и интервальных оценках точности стрельбы, о методиках испытаний при проверке статистических гипотез. Анализируется возможность использования г-статистик при получении различных эффективных и робастных оценок.
Во второй главе исследованы применяемые в настоящее время оценки меткости и кучности и их эффективность, разработаны и исследованы новые робастные оценки меткости и кучности. Приведены параметры, используемые в предлагаемых оценках, а также рекомендации по их применению.
Многие оценки представляют собой г-статистики и поэтому для их исследования и разработки новых использована теория порядковых статистик. В тех случаях (например, в случае определения эффективности при наличии аномальных измерений), когда аналитические зависимости не известны, применялось статистическое моделирование. Статистическое моделирование использовалось и тогда, когда использование аналитических выражений было трудоемко, например, численное вычисление четырехкратных интегралов, а также для проверки полученных аналитических зависимостей.
В третьей главе предложены законы распределения случайной величины в случае нестабильных условий испытаний. Для рассмотренных законов распределения в случае нестабильных условий испытаний получены составные распределения выборочных с.к.о. или дисперсии, выполнены исследования методики контроля годности изделий по кучности стрельбы с использованием предыстории (элементы последовательного анализа), разработана методика перехода от одних оценок к другим. Все исследования проведены методом статистического моделирования на персональном компьютере, а также аналитическим решением, если удавалось его получить.
В четвертой главе приведено описание ИИС испытаний оружия на основе световых блокирующих экранов. Описаны программные и аппаратные средства. В главе рассмотрены структура ИИС, работа системы в различных режимах, программное обеспечение (с учетом определения и использования
14 предлагаемых оценок меткости, кучности и методик испытаний). Дано описание программ настройки ИИС, а также последовательности испытания стрелкового оружия под управлением программы рабочего режима. Приводятся результаты опытно-промышленной эксплуатации.
В заключении сформулированы основные научные и практические результаты работы.
Приложение содержит Акты внедрения результатов работы в учебный процесс, для испытаний стрелкового оружия в процессе изготовления на промышленном предприятии.
Работа выполнена на кафедре "Вычислительная техника" Ижевского государственного технического университета (ИжГТУ).
Оценки точности стрельбы. Проверка гипотез и критерии оптимальности
Проверка гипотез и критерии оптимальности Рассматриваемые в данном разделе результаты применимы для любых случайных величин. Однако в силу назначения ИИС для испытаний стрелкового оружия речь будет идти конкретно о характеристиках меткости и кучности стрельбы. Многочисленными исследованиями и на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей установлено, что координаты точек попадания в вертикальную мишень при одиночных выстрелах подчиняются нормальному закону распределения N(p, j2), а совместно обе координаты точки попадания подчиняются двумерному нормальному закону N2(pvf.i2,( 7{j)), где {(Jjj)- корреляционная матрица двумерной случайной величины (.Y,J2). Считается, что компоненты вектора (х],х2) не коррелированны. Согласно стандартам на оценку результатов испытаний стрелкового и артиллерийского оружия, а также боеприпасов (пуль и снарядов) под точностью стрельбы понимается суммарный показатель, определяемый меткостью и кучностью стрельбы. Меткость - это отклонение средней точки попадания (СТП) от контрольной точки (КТ), с которой совпадает СТП при наведении в точку наведения (ТН). В частном случае КТ совпадает с ТН. Кучность - это рассеивание относительно СТП. С точки зрения теории вероятностей и математической статистики [14, 20, 61, 63, 89, 90] СТП является оценкой математического ожидания случайной величины (СВ). Кучность характеризуется 2 /— дисперсией D = (T или среднеквадратического отклонения с.к.о. и-лЮ. Дисперсия или с.к.о. характеризуются выборочной дисперсией или с.к.о., размахом, срединным и сердцевинным отклонением [89, 90].
Точность, таким образом, можно охарактеризовать средним квадратом отклонения от КТ (равно СТП2 +сг2) или радиусом круга с центром в КТ, накрывающим все пробоины. В отличие радиус круга с центром в СТП, накрывающий все пробоины, характеризует кучность или с.к.о. Положение эллипсоида рассеивания на плоскости определяется вектором математических ожиданий (д,,//2), компоненты которого оцениваются координатами средней точки попадания 0\,m zcm)- Предлагаемый в НСД графический метод определения СТП способ последовательного деления отрезков соответствует нахождению выборочных средних Здесь использованы обозначения переменных, принятые во внешней баллистике (в правой системе координат, ось X которой направлена по направлению стрельбы, ось Г направлена вертикально (верх), а ось Z направлена вправо (бок), образуя с осями X, Yправую тройку [І І, 32, 42]). Если конкретно не указывается верх или бок, то будем, как правило, обозначать координату через X. При большом числе пробоин на основании симметричности рассеивания в случае нормального закона распределения средняя точка попадания по НСД определяется способом проведения осей рассеивания, проведенных так, что слева и справа или сверху и снизу оказывается одинаковое число пробо ин. Если число пробоин нечетное, то оси проходят через «среднюю точку». Очевидно, что данный способ соответствует нахождению медианы, являю щейся в случае симметричного закона распределения несмещенной оценкой математического ожидания. Расположим выборочные значения х ,хп в ва риационный ряд „Y(I],...,.Y(/J), (л .+ Х;), / = 1...// (здесь х{г)- r-стати етика). То гда медианной оценкой математического ожидания в случае нечетного п = 2к + \ будет (к + 1) -статистика .%+]), а в случае четного п = 2к средне арифметическое средних /--статистик -(x(yt) +.v(bl)). В ряде случаев для экспресс-анализа в качестве оценки математического ожидания используют среднее арифметическое крайних / -статистик Кучность - рассеивание, характеризуемое размерами эллипсоида рассеивания, которое соответствует дисперсиям а", , сгнили среднеквадратичным отклонениям СГ[, а2. Известно, что несмещенной эффективной оценкой дис персии является выборочная дисперсия s2 = Y\(Xj -х)2, где Ї = -Ух,- выборочное среднее. По НСД кучность оценивается величиной срединного отклонения В(В6тп Вв), которое может быть вычислено по величине выборочного среднеквадратичного отклонения В х 0,67s. В случае большого числа пробоин абсолютные значения отклонений от среднего значения выписываются в вариационный ряд .ЇМ,,...,.ЇГ(), и в качестве В берется среднее значение этого ряда, если п - нечетное, и среднеарифметическое значение средних значений ряда, если п- четное число. При графическом способе отсчитывают справа (сверху) 25% попаданий и отделяют их вертикальной (горизонтальной) линией; отсчитывают слева (снизу) 25% попаданий и также отделяют вертикальной (горизонтальной) линией. Половина расстояния между вертикальными (горизонтальными) линиями дает В- (Вв). Следующей оценкой рассеивания по НСД является сердцевинные полосы Сб (Св). В этом случае проводят вертикальные (горизонтальные) линии так, чтобы между ними лежало 70% точек попаданий, а справа и слева (сверху и снизу) по 15% . Очевидно, что эти оценки также связаны с г-статистиками абсолютных отклонений.
Характеристики одномерных оценок меткости
В соответствии с п.1.2 мы рассмотрим выборочное среднее х, медиану хие и средние симметричных г-статистик. Как отмечалось ранне эффективной (с минимальной дисперсией) линейной оценкой (линейной функцией от выборочных значений) математического ожидания при любом законе распределения в случае независимой выборки с равноточными измерениями является выборочное среднее X достигает нижней границы, и более эффективной оценки не существует. Поэтому можно искать более робастную оценку по отношению к аномальным результатам измерений, жертвуя эффективностью в случае отсутствия аномальных измерений. Величину двустороннего доверительного интервала при доверительной вероятности у = \-а определим как Заметим, что в случае неизвестного с.к.о. а придется воспользоваться его оценкой - выборочным с.к.о. s и вместо (2.2.2) ширина двустороннего доверительного интервала будет равна где t а - квантиль /-распределения, или закона Стыодепта S(«-l) с п-\ 1 — ,п-\ 2 степенями свободы. Далее для сравнения доверительных интервалов разных оценок мы предполагаем, что с.к.о. известно. Оценка (2.1.1) вытекает из критерия оптимальности по методу наименьших квадратов (МНК) Необходимое условие экстремума функции (2.2.5) по x-dj, дает линейную оценку (2.2.1).
В случае критерия общего вида при v Ф 2 получаются нелинейные оценки, частным случаем которых является оценка метода наименьших модулей (МНМ) при v = 1 [70]. Если v 1, то в оценке увеличены веса больших отклонений, а если v 1, то наоборот. Поэтому, применять оценки с v 2 нежелательно с точки зрения аномальных измерений. С точки зрения уменьшения Х/П-&1 + xfn)-0, влияния аномальных измерений целесообразно при \ / менять оценки с v l. Функция (2.2.6) не диффе 1 f ренцируема и поэтому нельзя воспользоваться необ — 0i х(!) х(п) ходимым условием экстремума. Поэтому для нахож Рис.2.2.1. Зависимость _ депия оценок по критерию общего вида разработан суммы модулей отклонений от Oi метод вариационно-взвешенных квадратических приближений, который может быть применен лишь при v 2. Если к тому же v l, то возникают трудности, связанные с наличием п местных (локальных экстремумов) функции (2.2.6), по т.к. точки локальных минимумов совпадают с r-статистиками х,г), задача сводится к нахождению минимального из п значений функции (2.2.6). При v I оценки не совпадают с медианой [70]. В случае МНМ (v = l) оценку 0! по критерию (2.2.6) можно найти без применения метода вариационно-взвешенных квадратических приближений тривиальным образом. Рассмотрим сумму модулей отклонений для двух крайних г-статистик хп\ и x/fJy Зависимость этой суммы от 9j имеет вид, показанный на рис.2.2.1. Зависимость суммы модулей отклонений следующих г-статистик x,2,,x,H_v,y вложенных в интервал (Х(,,.Ї.Н)) имеет аналогичный вид, и минимальное значение общей суммы будет внутри интервала {Xn\,x,n_ ) и т.д.
Таким образом, минимальное значение суммы будет при 0} = xJ!±1, если п - нечетное, или в интервале Цг),х .), если п - четное. В этом случае оптимальное значение можно взять равным середине интервала 0Х -\{\ + , ,). Следовательно, МНМ-оценка при v = 1 совпадает с медианной оценкой. Отсюда, в частности, следует, что МММ-оценка является несмещенной оценкой математического ожидания для симметричных распределений. Это относится и к другим оценкам 0V для v 2. Ma рис. 2.2.2 показаны натуральные логарифмы эффективности оценки по медиане и методу наименьших модулей с коэффициентом v = 1/2 (MNML-эффективность оценки по методу наименьших модулей, MeL - эффективность оценки по медиане, MNMAL и MeAL - эффективности соответствующих оценок с аномальными результатами измерений, которые получены по алгоритму, описанному в п.2.1). Из рис.2.2.2 видно, что медианная оценка и с аномальными результатами и без них более эффективна. Оценку по МНМ целесообразно использовать в случае малых объемов выборки (// 10) при большой вероятности аномальных результатов. Очевидно, что в случае оценки 9V, v Ф 2, по критерию (2.2.5) величина критерия (2.2.6) будет больше. Поэтому в смысле крите рия (2.2.5) любая другая оценка менее эффективна. Тем не менее, если снижение эффективности не очень большое, она будет предпочтительнее с точки зрения уменьшения влияния аномальных измерений. Достоинством оценки (2.2.5) является то, что она является несмещенной и эффективной (в классе линейных оценок [2])
Распределение выборочного с.к.о. в случае нестабильных условий испытаний
В реальных условиях происходит изменение условий испытаний. Можно допустить, что в серии опытов, протекающей за относительно короткий промежуток времени, условия остаются постоянными. В частности, остается постоянной дисперсия (или среднеквадратическое отклонение). При других условиях дисперсия (среднеквадратическое отклонение) меняется. Можно предположить по совокупности многих испытаний (в генеральной совокупности), что дисперсия (или среднеквадратическое отклонение - с.к.о.) распределена по определенному закону с некоторыми характеристиками (средним и дисперсией). Я.Б. Шор применительно к нестабильным условиям испытаний, предложил считать, что если случайная величина при определенных условиях испытаний распределена по нормальному закону (закон N(p, Т)) с плотностью распределения [89,90] то по совокупности условий испытаний с.к.о. является нормальной случайной величиной (закон N( 7Q , оа)) с плотностью где q. = —— - относительное среднеквадратическое отклонение. Со
Поскольку диапазон изменения и с нижней стороны ограничен (и 0), то нормальное распределение в чистом виде неприменимо. Поэтому разговор идет об усеченном нормальном распределении, коэффициенте -,) которого в (3.2.2) выбирается из условия нормировки и, например, для qc Q3 не превышает 1.00043.
По совокупности всех условий испытаний с различными значениями а получим плотность распределения случайной величины X
Нам представляется более естественным принять распределенной по нормальному закону дисперсию случайной величины, а не ее ск.о [46, 54, 57]. Если рассеивание случайной величины обусловлено множеством причин, то дисперсия, а не ск.о., будет равна сумме дисперсий от причин. Поэтому, на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей должно постулироваться нормальное распределение дисперсии. Кроме того, совместное распределение выборочных характеристик рассеивания идеальных и реальных (с ошибками) измерений является распределением Уишарта [80], которое имеет своими аргументами дисперсии, а не ск.о. Это позволяет в будущем построить критерий допустимой погрешности измерений, основанный на допустимых изменениях рисков изготовителя и потребителя.
Предположим, что дисперсия нормальной случайной величины с плотностью (3.2.1) распределена но усеченному нормальному закону N(D0,a 2) с Аналогично случаю нормального закона распределения ск.о. для нормального закона распределения дисперсии по совокупности всех условий испытаний получим плотность распределения случайной величины X
Неприменимость в чистом виде нормального закона для описания распределения дисперсии или с.к.о. в случае нестабильных условий испытаний из за усечения (сг 0 или а 0) заставила искать другой закон распределения. Известно, что нормальный закон распределения является предельным при выполнении условий центральной предельной теоремы. К нему также можно придти исходя из условия максимума неопределенности, то есть энтропии, определяемой по К. Шеннону [70] как
При этом добавляются ограничения на искомую плотность распределения. В частности, в случае стабильных условий испытаний ограничениями являются условие нормировки, заданные значения математического ожидания ц и дисперсии о" , т.е.
В случае нестабильных условий испытаний естественно предположить, что при фиксированных условиях имеем нормальную условную случайную ве личину с законом N(/J,cr ), а при нестабильных условиях с.к.о. является случайной величиной с плотностью p[(j). В этом случае безусловная плотность распределения есть представить
Известно, что в этом случае задача на условный экстремум функционала (энтропии) с дополнительными условиями (3.2.11) сводится к изопериметриче-ской задаче, из решения которой следует, что [70] т.е. с.к.о. распределено по закону Релея, а случайная величина (по совокупности всех испытаний) - по закону Лапласа.
Рассмотрим четвертый вариант для случая нестабильных условий испытаний, также исходя из условия максимума неопределенности, т.е. энтропии (3.2.8). В этом случае предположим, что дисперсия нормальной величины имеет плотность f( j2) = f(D) с ограничениями
В этом случае (при х N(0,D0)) функционал (энтропия) имеет вид С учетом условий (3.2.11) имеем изопериметрическую задачу [43, 62, 85], решение которой определяется экстремумом функции
Отсюда не удалось получить решение относительно искомой плотности распределения p{D). Поэтому сделана попытка получения решения численным путем. Решение искалось s классе функций p{D,a,b)= AD"e l! , где коп станты А и В определялись из условий (3.2.13). Для нахождения параметров a, b вычислялось значение энтропии И(а, Ь) по (3.2.14) при разных значениях параметров. По результатам вычислений установлено, что максимальному значению Н{а, b) = max соответствуют значения параметров а = 0, Ь = —, так что
Методика перехода от одних оценок к другим (от неоптимальных к оптимальным)
Информационно-измерительные системы для стрелкового оружия [49, 51, 69] предназначены для проведения испытаний с целью определения внешнебаллистических характеристик для оценки по параметрам кучности и меткости [71] качества конкретных изделий.
Сотрудниками кафедры вычислительной техники ИжГТУ, научно-технического подразделения НТЦ-ВТ при кафедре и отдела МИТМ Института прикладной механики УрО РАН разработаны и внедрены на многих оружейных заводах и полигонах страны ИИС различного типа. Они в основном основываются на акустической и световой мишенях. Аппаратное и программное обеспечение этих систем друг от друга отличается незначительно. В данной главе рассматривается ИИС-БТО-1М, используемая в одной из в/ч для испытаний различных образцов стрелкового оружия.
В главе рассмотрены структура ИИС, работа системы в различных режимах, программное обеспечение (с учетом определения и использования предлагаемых оценок меткости, кучности и методик испытаний), настройка, приведены результаты производственных испытаний системы.
Информационно-измерительная система ИИС-БТО-1М сдана в эксплуатацию в 1991г. В 2005г. прошла модернизацию, которая заключалась в замене аппаратной части (стойки управления) на новую, основанную на современной элементной базе и новых решениях, повышающих функциональность и надежность работы системы. Был заменен вычислительный блок ЦОИ (ПЭВМ, монитор, клавиатура, мышь, принтер), применен терминал в составе монитора, клавиатуры и системного блока без подвижных частей. Установлено новое программное обеспечение, расширяющее возможности ИИС, в том числе оценку качества изделий как по действующим в настоящее время, так и по предлагаемым методикам.
ИИС предназначена для испытания стрелкового оружия калибра от 5.45 до 9.3 мм со скоростями пуль от 500 до 1000 м/сек, темпом 0.5-2 выстрела в секунду при стрельбе одиночным огнем и до 30 выстрелов в секунду при стрельбе автоматическим огнем. Число выстрелов в серии - до 30, число серий - до 6. Система обеспечивает определение требуемых параметров и отображение результатов испытаний на монитор центра обработки (ЦОИ) и па монитор терминала испытателя. Определяемые параметры меткости и кучности: Д В, Дстп, Rm Rso, Rsa, ПІ00, D, Cf„ Св, B6, ЙД55, 71]. При вычислении Rwo, П100 и D по существующим методикам допустимы отрывы (возможность определения параметров с учетом отрыва устанавливается с помощью меню системы). Если при вычислении R/oo или D система обнаруживает, что критерий не выполняется, то при наличии разрешения определять эти критерии с учетом отрыва система анализирует пробоины на отрыв и при наличии его определяет R/oo или D с учетом отрыва, о чем сообщает на монитор. Отрыв при вычислении R определяется следующим образом: претендентом на отрыв является самая удаленная от СТП пробоина, затем вычисляется Rm и СТП для оставшихся пробоин и если расстояние от нового СТП до центра удаленной пробоины превышает новое R/oo в 3.5 раза, то пробоину можно не учитывать.
Программное обеспечение системы кроме применяемых в настоящее время параметров меткости и кучности предусматривает определение этих-параметров по предлагаемым методикам. Зона регистрации пробоин в данной ИИС представляет собой квадрат 1600x1600 мм на отметке 100м. Погрешность определения координат составляет от 1 до 5 мм в зависимости от координат точки попадания и стабильности полета пули.
Информационно-измерительная система ИИС-БТО-1М построена на основе световой мишени [3, 37]. В световой мишени для определения коор динат точек пролета пуль в плоскости регистрации применяется принцип косвенных измерений, который заключается в том, что в качестве входных данных используются времена пролета нулей от одного светового экрана до другого. Световой экран является основным элементом световой мишени. Он образуется парой: оптический датчик - излучатель (см. рис.4.1.1).
На практике применяют несколько вариантов конструктивного исполнения световых экранов. В том случае, когда не требуется большой зоны регистрации пролета пули, световой экран образуют из одного излучателя и одного оптико-электронного датчика (вариант «а» на рис.4.1.1), а при увеличении зоны приема для образования экрана применяют два или три оптико-электронных датчика с одним излучателем (нормальной или увеличенной длины) (см. вариант «б» на рис.4.1.1).
В световой мишени координатные световые плоскости (плоскости, используемые для определения координат пробоин) устанавливаются специальным образом. На рис 4.1.2 показано одно из возможных расположений световых плоскостей (экранов) в случае построения системы, инвариантной к углу входа траектории пули в плоскость регистрации.
