Введение к работе
Актуальность темы. Жизнь современного общества наполнена всевозможными компьютерными технологиями, средствами автоматизации производства, системами управления технологическими процессами и т. д. Соответственно все более значимой становится роль математических моделей, некоторые виды которых изучаются в комбинаторном анализе. В нем решаются задачи выбора и упорядочения (в том числе частичного) элементов рассматриваемого дискретного в соответствии с определенными требованиями. В связи с этим решаются проблемы существования различных видов подмножеств, методов и приемов нахождения их числа, разработки и оптимизации алгоритмов построения.
Идеи и методы комбинаторной теории находят разнообразные приложения в таких разделах математики, как теория вероятностей, теория чисел, алгебра, теория графов, теория конечных автоматов и др. Ее методы применяются при планировании и анализе результатов научных экспериментов, построении помехоустойчивых кодов, в линейном и динамическом программированиях, математической экономике, а также во многих других областях науки и техники.
Среди различных направлений в развитии комбинаторного анализа центральной и наиболее ранней в историческом плане является теория перечислений. В ней рассматриваются различные виды соединений конечного множества объектов, удовлетворяющих определенным условиям, находится их число. Одним из таких примеров является проблема распределения каких-либо п частиц в N ячейках, причем как частицы, так и ячейки могут быть различимыми и неразличимыми. В зависимости от этого получаются ее различные решения. Ситуации, в которых частицы и ячейки неразличимы, изучает аддитивная теория разбиений. Ее простейшей интерпретацией является теоретико-числовая задача о подсчете способов представления натурального числа в виде суммы натуральных слагаемых - частей разбиения. Средства этой теории позволяют решать многие практические задачи: при поиске рационального распределения памяти ЭВМ, в физике частиц, непараметрической статистике и др.
Одним из важнейших направлений исследования математических дисциплин является изучение их истории, позволяющей представить основополагающие структурные части математики в развитии и взаимодействии как единого целого. Анализ историко-математической литературы позволяет утверждать отсутствие исследований, посвященных целостной картине истории аддитивной теории разбиений. Вместе с тем, отдельные аспекты процесса ее формирования и развития обсуждались в работах некоторых авторов. Так, в известном «Lehrbuch der Combinatorik» немецкого математика Е. Нетто (Е. Netto, 1848-1919) имеется глава, посвящен-
ная разбиениям. Автор, излагая материал, привел в ней краткие сведения, не ставя целью представить их историю.
В одной из глав «Истории теории чисел» английского математика Л.Ю.Диксона (L. Е. Dickson, 1874-1954) в хронологическом порядке с краткими аннотациями перечислены работы многих ученых, посвященные разбиениям,. Однако, как писал академик Б. Н. Делоне, она носит справочный характер. Поэтому из столь краткого обзора невозможно получить представление об особенностях формирования и развития теории разбиений.
При изучении научного наследия Леонарда Эйлера (1707-1783) А. В. Киселев, Г. П. Матвиевская и Е. П. Ожигова исследовали его работы по «partitio numerorum» (такое латинское название носила теория разбиений в XVIII в.). Они установили, что ученый был первым, кто стал систематически изучать задачи такого рода.
В докторской диссертации по истории комбинаторного анализа А. Е. Малых указала основные направления его развития со средневековья до середины XX в. В теории разбиений намечены основные пути ее формирования и развития. При этом автор не ставил своей целью выполнение комплексного и системного изложения истории аддитивной теории разбиений. Развитию комбинаторных идей в математике посвящены работы Дж. Кутлумуратова, П. П. Пермякова. Однако в них теория разбиений не представлена.
Из последних изданий, относящихся к теории разбиений, следует назвать монографию Дж. Эндрюса (G. Е. Andrews, род. в 1938 г.) «The theory of Partitions», русскоязычный перевод которой появился в 1982 г. В ней изложена теория и показаны ее приложения в различных областях, поэтому исторические сведения представлены лишь упоминанием имен ученых и их работ.
Во всех вышеуказанных источниках не ставилась проблема комплексного изучения истории аддитивной теории разбиений. Поэтому до настоящего времени отсутствуют историко-математические исследования обобщающего характера, в которых достаточно глубоко и всесторонне были бы рассмотрены истоки и предпосылки ее зарождения, формирования и развития. Отмеченное выше указывает на актуальность темы исследования.
Объект исследования: история комбинаторного анализа.
Предмет исследования: формирование и развитие методов аддитивной теории разбиений в XIX столетии.
Цель диссертации: описание процесса формирования и развития аддитивной теории разбиений в XIX столетии.
Для достижения цели необходимо было решить следующие задачи:
выявить предпосылки зарождения аддитивной теории разбиений;
отыскать и рассмотреть задачи, при решении которых использовались разбиения натуральных чисел на слагаемые;
проследить процесс обобщения и систематизации задач, приведших к понятию такого разбиения;
выяснить истоки первых теоретических обобщений названных выше задач, решение которых привело к формированию наиболее ранних приемов и методов подсчета разбиений натурального числа; раскрыть вклад ученых (Г. В. Лейбниц, Л. Эйлер и др.), исследования которых послужили отправным пунктом формирования первых теоретических положений;
проследить дальнейшее формирование теории разбиений в исследованиях ученых середины XIX в.: М. Штерна, А. де Моргана, Дж. Гершеля; оценить научные результаты, внесенные в структуру теории разбиений А. Кэли, Дж. Дж. Сильвестром, П. А. МакМагоном, Г. Харди и С. Рамануджаном;
представить основные этапы развития аддитивной теории разбиений. Методы исследования, применяемые в диссертационной работе, включают источниковедческий и историко-научный анализ, историческое и логическое в единстве, анализ и синтез, обобщение, систематизацию, а также реконструирование методов в работах отдельных ученых, историческое и логическое в единстве.
Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующих результатах:
-
Выявлены задачи, решение которых привело к возникновению понятия разбиения.
-
Систематизированы сведения относительно формирования и развития теории разбиений на основе содержания теории, методов и задач на разных этапах ее истории.
-
Впервые выделены основные этапы развития аддитивной теории разбиений и определено содержание каждого из них.
-
Впервые оценен вклад ученых (Г. В, Лейбница, Л. Эйлера, М. Штерна, А. де Моргана, Дж. Гершеля, Дж. Сильвестра, А. Кэли, П. А. Мак-Магона, Г. Харди, С. Рамануджана) в развитие аддитивной теории разбиений; показано развитие методов подсчета разбиений в работах указанных исследователей.
-
Впервые выполнена реконструкция методов в работах отдельных ученых (М. Штерн, А. де Морган).
-
Впервые на основе анализа первоисточников установлен тот факт, что становление аддитивной теории разбиений как самостоятельной математической дисциплины произошло в работах Дж. Дж. Сильвестра, А. Кэли и П. А. МакМагона.
На защиту выносятся следующие положения: 1. В формировании и развитии аддитивной теории разбиений выделены четыре основных этапа:
I. Накопление задач на разбиения (VI в. до н. э. - середина XVII в.).
-
Разработка способов и методов подсчета разбиений (середина XVII в. - 60-е годы XIX в.).
-
Систематическое построение теории разбиений (60-е годы XIX в. -20-е годы XX в.).
-
Расширение понятия разбиения (с 20-х годов XX в.).
2. Начало формированию аддитивной теории разбиений положено в ра
ботах Л. Эйлера по partitio numerorum. М. Штерн, А. де Морган, Дж. Гер-
шель разрабатывали методы подсчета разбиений для решения практиче
ских задач, появившихся в других дисциплинах.
3. Становление аддитивной теории разбиений было положено рабо
тами А. Кэли и Дж. Сильвестра. Значительный вклад в процесс ее обоб
щения и расширения внес П.А. МакМагон, построивший свою комбина
торную доктрину целиком на понятии разбиения числа.
Практическая ценность диссертации состоит в том, что ее результаты могут быть предложены для использования в исследовательской и преподавательской деятельности, касающейся освещения вопросов истории комбинаторного анализа, аддитивной теории разбиений.
Результаты диссертационного исследования и его основные положения докладывались автором на следующих конференциях и семинарах:
Всероссийском семинаре по истории и методологии математики и механики при МГУ им. М. В. Ломоносова (Москва, 2006, 2007, 2010).
Международной научной конференции «59-ые Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, апрель 2006 г.).
Международной научной конференции «Современное математическое образование и проблемы истории и методологии математики» (Тамбов, 2006).
Международной научно-методической конференции, посвященной 90-летию высшего математического образования на Урале «Актуальные проблемы математики, механики, информатики» (Пермь, 2006).
Региональной научно-практической конференции «Математика. Информационные технологии. Образование» (Оренбург, 2006).
Семинаре по истории науки при Оренбургском государственном педагогическом университете (Оренбург, 2006).
Международной научной конференции «Леонард Эйлер и современная наука» (Санкт-Петербург, 2007).
Международной научной конференции «Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании» (Пермь, 2007).
Международной конференции «Колмогоровские чтения-2009» (Ярославль, 2009).
Публикации. Список работ по теме исследования включает 12 наименований общим объемом 4,72 печатных листа.
Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка, содержащего 154 наименований, а также двух рисунков и шести таблиц, насчитывает 161с.
