Содержание к диссертации
Введение
1 Классические методы визуализации динамических объектов 8
1.1 Сердцебиение 9
1.1.1 Проблемы магнитно-резонансной томографии сердца 9
1.1.2 Методика синхронизации импульсно-градиентной последовательности с электрокардиограммой . 11
1.2 Дыхательные движения 13
1.3 Поток жидкости 14
1.3.1 Амплитудные эффекты потока 14
1.3.2 Фазовые эффекты потока 16
1.4 Магнитно-резонансная ангиография 18
1.4.1 Время-пролётная ангиография 19
1.4.2 Фазоконтрастная ангиография 23
1.5 Заключение 25
2 Произвольные траектории сигнала в Фурье- пространстве 27
2.1 Понятие -пространства 28
2.1.1 Градиентное эхо 29
2.1.2 Спиновое эхо
2.1.3 Эхо-планарное сканирование
2.1.4 Общие особенности классических траекторий .
2.2 Радиальное сканирование
2.2.1 Сканирование динамических объектов
2.2.2 Переоцифровка и недооцифровка -пространства .
2.3 Спиральное сканирование 37
2.3.1 Преимущества спиральной траектории 37
2.3.2 Варианты формы спиральных траекторий 38
2.3.3 Устойчивость спиральных траекторий к искажениям 40
2.4 Другие неклассические траектории 42
2.5 Внерезонансные эффекты 45
2.6 Заключение 47
3. Регистрация произвольных траекторий в Фурье- пространстве 48
3.1 Искажения траектории сканирования 49
3.1.1 Передаточная задержка градиентной системы . 49
3.1.2 Максвелловские поля 49
3.1.3 Вихревые токи 50
3.2 Измерение реальной траектории в /с-пространстве 51
3.3 Автоматическая коррекция искажений градиентных импульсов 55
3.3.1 Возможности аппаратуры 55
3.3.2 Метод Левенберга-Марквардта 57
3.3.3 Вычисление частных производных 57
3.3.4 Практическая реализация алгоритма коррекции . 60
3.4 Заключение 62
4. Реконструкция изображений по произвольным траекториям в Фурье-пространстве 64
4.1 Реконструкция с помощью линейной интерполяции . 66
4.1.1 Трёхточечный алгоритм интерполяции 66
4.1.2 Четырёхточечный алгоритм интерполяции 68
4.2 Усовершенствование реконструкции с помощью свёртки . 68
4.2.1 Интерполяция на регулярной сетке отсчётов . 69
4.2.2 Интерполяция на нерегулярной сетке отсчётов . 70
4.2.3 Алгебраический метод определения плотности от счётов 73
4.3 Численное моделирование и экспериментальные результаты 75
4.3.1 Модельный объект 75
4.3.2 Реальный объект 76
4.3.3 Результаты реконструкции 77
4.4 Заключение 85
Выводы 86
А Алгоритм Левенберга-Марквардта 88
Литература 92
- Проблемы магнитно-резонансной томографии сердца
- Градиентное эхо
- Передаточная задержка градиентной системы
- Трёхточечный алгоритм интерполяции
Введение к работе
Магнитно-резонансная томография (МРТ) — современный физический метод визуализации объектов, основанный на явлении ядерного магнитного резонанса (ЯМР). Явление ЯМР известно с 1946 года, когда Блох [1] и Парселл [2] зарегистрировали резонансное поглощение радиоволн атомами водорода в магнитном поле. Метод ЯМР быстро нашёл признание в качестве основного инструмента для анализа химической структуры молекул. Широкому распространению ЯМР-спектроскопии способствовали успехи в области теории обработки сигналов, в частности, изобретение алгоритма быстрого преобразования Фурье.
Значительным достижением в истории ЯМР-спектроскопии является изобретение двумерных методов ЯМР, позволяющих разделить вклады различных физических процессов в модуляцию регистрируемого сигнала, например прецессии и спин-спинового взаимодействия. Основные идеи и технические решения двумерной ЯМР-спектроскопии позднее легли в основу МРТ.
Возможность визуализации протонсодержащих объектов с помощью магнитного резонанса была продемонстрирована в пионерской работе Лаутербура в 1973 году [3]. К тому моменту явление магнитного резонанса было известно уже почти тридцать лет. Такая задержка открытия МРТ, видимо связана с тем, что по аналогии с оптической микроскопией считалось невозможным получить разрешение на изображении лучше, чем типичная длина волны используемого излучения. Применяемые в ЯМР-спектрометрах магниты обеспечивали напряжённость поля порядка 1-5 Т, что соответствует резонансной частоте протонов до 200 МГц
или радиоволнам метрового диапазона. Эта проблема была решена путём применения пространственно неоднородных магнитных полей, позволяющих установить однозначную связь между частотой излучения и координатами его источника.
Очевидная ценность метода МРТ для нужд медицинской диагностики привела к бурному технологическому развитию, и уже в конце 70-х годов на рынке появились первые MP-томографы для медицинских целей. Совершенствование технологии МРТ привело исследователей к пониманию специфических ограничений, стоящих перед методом.
Одна из наиболее серьёзных проблем в МРТ — относительно большая длительность эксперимента. Первые, ещё не оптимизированные, методы сканирования требовали до 10 минут для получения изображения приемлемого качества, в течение которых пациент должен сохранять полную неподвижность. В течение следующих лет было затрачено немало усилий, направленных на сокращение времени исследования без существенной потери качества изображений. Однако, разработка методов регистрации объектов, изменяющих своё состояние в процессе эксперимента, по-прежнему остаётся весьма актуальной задачей. Потоки крови, сердцебиение и всё, что связано с механическим перемещением, быстрые функциональные изменения органов, объекты, имеющие короткие времена спиновой релаксации или находящиеся в неоднородном магнитном поле, не могут быть корректно зарегистрированы классическими способами.
Целью данной работы является разработка алгоритмов регистрации и реконструкции изображений объектов, недоступных классическим методам МРТ, а также адаптация известных методов для визуализации динамических процессов.
В работе решены следующие задачи:
Создан метод измерения и визуализации реальной траектории сигнала ядерного магнитного резонанса в ^-пространстве в присутствии переменных градиентов поля.
Разработан и реализован алгоритм автоматической коррекции искажений формы градиентных импульсов, вызванных вихревыми токами.
Разработан и реализован алгоритм реконструкции изображений с помощью линейной интерполяции на нерегулярной сетке отсчётов, отличающийся высокой скоростью.
Усовершенствован алгоритм реконструкции изображений с помощью свёртки. Показано, что предлагаемый вариант алгоритма даёт точное решение задачи восстановления изображения по нерегулярным отсчётам в ^-пространстве при условии соблюдения некоторых ограничений.
В первой главе рассматриваются типичные движущиеся структуры человеческого организма, такие как дыхание и сердцебиение, с точки зрения оптимизации процесса сканирования, а также искажения, вызываемые их движением и способы борьбы с ними.
Вторая глава представляет собой литературный обзор принципиально нового подхода к проблеме, использующего альтернативную схему регистрации MP сигнала — нелинейные траектории сканирования, позволяющего значительно сократить ограничения по времени.
Третья глава излагает экспериментальные результаты регистрации сигнала в присутствии переменного градиента магнитного поля. В ней также предлагается метод прямого измерения реальной траектории в к-пространстве и расчёта компенсаций для оптимизации её точности.
Четвёртая глава посвящена описанию методов реконструкции изображений по произвольным траекториям. Рассмотрен ряд альтернативных алгоритмов, отличающихся точностью и вычислительной сложностью.
Диссертация завершается обсуждением результатов и списком литературы.
Проблемы магнитно-резонансной томографии сердца
Во временной шкале МРТ, сердцебиение — достаточно быстрый процесс. Типичная длительность сердечного цикла сопоставима со временем, необходимым для создания и регистрации сигнала эха. Классическим способом получения неподвижных МРТ изображений сердца является привязка импульсно-градиентной последовательности (ИГП) к сигналам электрокардиографа [4]. Каждый эхо-сигнал регистрируется в одной и той же фазе сердечного цикла, обеспечивая псевдо-неподвижность объекта. Этот способ легко интегрируется в классическую схему мно-госрезового сканирования, с возможностью получения кино-подобного пошагового изображения сердца во всех фазах цикла [5, гл. 2]. Такая схема применялась для количественной оценки объёмных характеристик сердечной деятельности и выявления областей инфаркта в работах сотрудников ВКНЦ АМН СССР [б] и МТЦ СО АН СССР [7].
Как правило, для регистрации сердечной деятельности используют ИГП с минимальным временем повторения с использованием градиентного эха. Это позволяет получить порядка 20 кадров каждого среза сердца в течение одного цикла. Однако, естественная нерегулярность сердечной деятельности может приводить к появлению нежелательной модуляции величины псевдо-равновесной намагниченности. Для борьбы с этим явлением применяется так называемая ретроспективная синхронизация, когда регистрация MP сигналов происходит непрерывно и сопровождается записью ЭКГ. Затем сигналы сортируются в соответствии с фазой сердечной деятельности [8] и реконструируются.
Серьёзной проблемой для МРТ сердца является тот факт, что размер объекта, « 15 см, сопоставим с минимальным возможным расстоянием до приёмной катушки. Низкий фактор заполнения приёмной катушки является наиболее важной причиной, ограничивающей отношение сигнал/шум [9]. Более того, окружающие сердце ткани не позволяют использовать малое поле зрения с малой спектральной шириной, что также ухудшает отношение сигнал/шум. Окружающие сердце лёгочные структуры, имеющие развитую поверхность между воздухом и тканью, а также наличие парамагнитного восстановленного гемоглобина в левом желудочке, обеспечивают весьма короткое время поперечной релаксации Т в пределах 12-30 мсек [10]. Таким образом, сердце представляет собой весьма «неудобный» объект с точки зрения МРТ. Для преодоления этих трудностей используются следующие приёмы: Использование оптимальной напряжённости поля. Практически применяются поля от 1.5 до 4 Т [11]. Применение максимальных полей приводит к возникновению проблем с радиочастотной нагрузкой на пациента. Использование специально сконструированных и тщательно настроенных приёмных катушек, рассчитанных с учётом электрических характеристик тканей [9]. Применение специальных дополнительных градиентных катушек для подавления сигналов окружающих тканей [12]. Использование сверхбыстрых методов сканирования, таких как FFE (Fast Field Echo) или ЕРІ (Echo Planar Imaging), позволяющих получать изображение среза за период порядка 100 мсек. Если диагностическая задача не требует высокого пространственного разрешения, это обеспечивает возможность непрерывной визуализации движения сердца в кино-режиме [13]. Проблемы, встречающиеся в МРТ при регистрации сердечной деятельности, явились толчком к развитию альтернативных подходов к ви зуализации движущихся объектов, которые рассматриваются в последующих главах.
По нашим наблюдениям, при регистрации томограммы сердца с использованием сигналов электрокардиографа следует обратить внимание на ряд технических моментов [14]. Во-первых, необходимо дождаться установления регулярной сердечной деятельности. Как правило, частота сердечных сокращений у пациента нестабильна в первые минуты обследования, что связано с психологическим дискомфортом и возникающим чувством страха. Мы рекомендуем проводить сканирование с синхронизацией во второй половине обследования, когда пациент относительно успокоится. Во-вторых, по нашим наблюдениям, регулярность сердечных сокращений нарушается при каждой смене режимов сканирования. Поэтому рекомендуется в течении одной-двух минут перед запуском программы проводить холостое сканирование, давая почувствовать пациенту связь между сердцебиением и работой прибора.
Получив устойчивую регулярную сердечную деятельность, необходимо оптимизировать параметры ИГП с учётом особенностей пациента. Следует выбрать одно из трёх отведений электрокардиографа, обеспечивающее максимальную амплитуду сигнала. Форма сигнала не имеет принципиального значения, в частности, она может и не совпадать с формами, принятыми в кардиологической практике. Важна лишь хорошая воспроизводимость сигнала и отсутствие шумов.
Следует ясно понимать, что время повторения ИГП с синхронизацией в основном зависит от периода сердечных сокращений, а не от параметра Тд, как в обычных несинхронизированных ИГП. Количество срезов и время ТЕ должны быть выбраны таким образом, чтобы длительность одного шага фазового кодирования была заведомо меньше минимального периода сердечных сокращений, с учётом физиологических вариаций. Нарушение этого принципа приводит к пропуску циклов сердечной деятельности, что нарушает создавшееся псевдо-равновесие продольной намагниченности, вызывает нежелательные случайные модуляции сигнала и значительно удлиняет общее время сканирования. Так, например, при частоте сердечных сокращений 60 мин-1 рекомендуемая длительность шага фазового кодирования должна быть порядка 700-800 миллисекунд. При использовании ИГП компенсированного градиентного эха с ТЕ = 12 мсек, один шаг фазового кодирования занимает около 30 мсек на каждый срез. Соответственно, с учётом вышеизложенных требований, можно получить 25 срезов в одном эксперименте. Однако, даже если диагностическая задача не требует такого количества срезов, мы не рекомендуем уменьшать длительность шага фазового кодирования, вместо этого можно увеличить интервал времени между срезами, что уменьшает эффект межсрезового насыщения. Для этого нужно отрегулировать параметр TR ИГП, наблюдая сигналы, наведённые переключением градиентных полей на электрокардиограмме. Оптимальная ИГП не должна иметь «пропусков», из-за слишком длинного или слишком короткого шага фазового кодирования.
Поскольку каждый срез регистрируется в свою определённую фазу сердечного цикла, то пакет срезов визуализирует не только различные области сердца, но и различные фазы. Если требуется исследование только одной малой области сердца, покрываемой одним срезом, то можно применить вариант ИГП, в котором все срезы располагаются в одном и том же месте пространства. При этом пакет срезов представляет собой временную последовательность кадров, пригодную для демонстрации работы сердца в кино-режиме. Следует учесть, что в этом случае для N кадров эффективный интервал повторения ИГП TR уменьшается в N раз.
Градиентное эхо
Самая простая и широко распространённая ИГП градиентного эха представлена на рис. 2.1. Возбуждающий импульс создаёт поперечную намагниченность, положение которой в -пространстве соответствует начальному моменту времени с к = 0. Совместное действие первого лепестка фазокодирующего градиента Р и компенсирующего лепестка читающего градиента R прокладывает траекторию намагниченности от центра к началу первой «строки» -пространства (пунктирная линия).
Следующий цикл ИГП снова подмешивает некоторое количество поперечной намагниченности к уже существующей, пришедшей из предыдущего цикла. Обе компоненты синфазны и далее эволюционируют одинаково. Отличие каждого последующего цикла заключается лишь в величине фазокодирующего градиента. Пошаговое уменьшение его амплитуды приводит к уменьшению величины вертикального смещения траектории, а следовательно, к оцифровке ниже лежащих строк. 16-кратное повторение цикла с изменением величины фазового кодирования от положительного до отрицательного максимума обеспечивает покрытие от — счётами всего изображённого участка /г-пространства.
Инвертирующий 180 импульс переводит намагниченность в комплексно сопряжённое состояние, что соответствует перемещению в центрально симметричную позицию. Далее, фазокодирующий градиент приводит траекторию к началу строки отсчётов, читающий градиент обеспечивает регистрацию первого эха и отрицательный лепесток фазокодирующего градиента возвращает состояние намагниченности в точку встречи. Цикл 180 импульс — фазовое кодирование — частотное кодирование — рефоку-сировка повторяется несколько раз, причём величина фазокодирующего градиента изменяется таким образом, чтобы покрыть / -пространство строками отсчётов с равномерным шагом. Следующее повторение всего цикла ИГП использует другое стартовое значение фазокодирующего градиента с тем же шагом, смещая всю цепочку отсчётов на одну строку вниз. Видно, что для случая, изображённого на рис. 2.2, потребуется 4 цепочки эхо-сигналов по 4 эхо-сигнала в каждой.
ИГП и траектория ЕРІ изображена на рис. 2.3. Траектория начинается, как обычно, из центра, смещаясь к первой строке отсчётов. В присутствии читающего градиента выполняется регистрация. До этого момента всё происходит так же как и в случае обычного градиентного эха. Но вот далее, вместо немедленной рефоку-сировки, траектория смещается фазокодирующим градиентом к другой строке и регистрация повторяется. Таким образом удаётся оцифровать несколько строк, и лишь потом траектория возвращается к началу координат, к сфазированному состоянию. Можно обратить внимание на то, что каждая вторая строка при регистрации проходится в противоположном направлении. Это обстоятельство предъявляет повышенные требования к точности градиентной системы и требует учёта при реконструкции.
Рассматривая приведённые примеры, можно отметить, что классические траектории в -пространстве обладают несколькими общими чертами [49]. Рис. 2.4. -траектории радиального скана. Регистрация сигнала происходит вдоль прямой линии или, что эквивалентно, в присутствии постоянного читающего градиента. Значительная часть траекторий, обозначенная пунктиром, выполняется без регистрации сигнала, что очевидно снижает эффективность метода. Пространственное разрешение в направлении фазового кодирования пропорционально числу шагов фазокодирующего градиента, а значит и времени сканирования.
Методы, отказавшиеся от прямоугольной схемы размещения траектории, получают важное преимущество: регистрация сигнала может начинаться сразу после создания поперечной намагниченности. Исторически первым методом, использовавшимся изобретателем МРТ, был метод радиального сканирования. Этому способствовала простота его реализации (рис. 2.4). В присутствии постоянного градиента объект возбуждается коротким неселективным импульсом, и затем немедленно начинается регистрация сигнала, -траектория представляет собой луч, исходящий из центра в направлении действующего градиента. Отсчёты располагаются на этом луче через равные интервалы и, как правило, не попадают в узлы прямоугольной координатной сетки. Далее, направление градиента меняется на фиксированный угол а и цикл повторяется. В результате, 2тг/а сканов покрывают -пространство сеткой отсчётов, расположенных в узлах полярной системы координат.
Метод радиальных траекторий оказывается малочувствительным к движению объекта с точки зрения искажений изображения [50,51]. Это делает его весьма привлекательным средством визуализации движущихся структур, а также для получения диффузионно-взвешенных изображений [52,53]. Искажения, вызванные движением, имеют вид узких полосок, направленных к движущемуся объекту, но не касающихся его, и зачастую находятся за пределами анатомических границ. Это существенно отличает радиальное сканирование от классического, где искажения подобного рода имеют максимальную интенсивность в месте расположения объекта. Показано, что фазочувствительная реконструкция радиальных данных имеет преимущества над амплитудной.
Для борьбы с искажениями, связанными с нерегулярным движением, можно принять во внимание тот факт, что нулевой и первый интегральные моменты проекции статического объекта связаны строгими ограничениями. Нулевой момент, или центр масс проекции не может двигаться вообще, а первый момент может совершать колебания только с периодом 27Г. Используя эти факты, можно применять простую коррекцию к каждому из радиальных лучей [54,55].
Передаточная задержка градиентной системы
Криволинейные траектории сканирования предъявляют строгие требования к скорости градиентной системы, поскольку регистрация сигнала сопровождается изменением вектора градиентного поля. Источники тока градиентных катушек реагируют на изменение управляющего потенциала с задержкой в десятки микросекунд, что приводит к накопле-нию ошибок и искажению траектории скана в -пространстве. Реальная траектория всегда запаздывает по сравнению с расчётной, как следствие рассинхронизации РЧ импульсов, сигнала и градиентной последовательности.
Эффект задержки по разному проявляет себя на траекториях различной формы. Классические траектории малочувствительны к этому виду искажений, поскольку они приводят к постоянному фазовому сдвигу всех проекций и не отражаются на амплитудных изображениях. Спиральные траектории поворачиваются целиком вокруг начала координат, что приводит к повороту изображения без искажений.
В случае эхо-планарных методов, передаточная задержка приводит к смещению чётных профилей относительно нечётных и проявляется в виде хорошо известного искажения — повторяющегося изображения объекта, смещённого на половину величины поля зрения. Для компенсации этого эффекта в импульсную последовательность вводят дополнительную задержку перед регистрацией каждого второго профиля, что обеспечивает выравнивание сигналов в направлении фазового кодирования.
Раннее упоминавшийся эффект возникновения поперечных компонент градиентного поля (см. стр. 46) также является источником искажения траекторий в fc-пространстве в случае достаточно сильного чи тающего градиента. В частности, согласно [23, гл. 3], частота прецессии в плоскости xz в присутствии читающего градиента Gx ш{х, 0, г) « а,о (1 + \ { \ J + !Gxx (3.1) квадратично зависит от положения в направлении z.
Переключающиеся градиентные поля представляют собой частный случай переменного магнитного поля и неизбежно индуцируют ток в металлических частях магнита, экранах и других токопроводящих средах, находящихся в непосредственной близости к градиентной катушке. Изменения магнитного потока приводят к образованию вихревых токов и создают дополнительные искажения основного магнитного поля, обладающие сложной, практически непредсказуемой пространственной структурой. Время затухания вихревых токов зависит структуры и сопротивления проводника и может достигать сотен миллисекунд.
Для получения некоторого представления о структуре вихревых токов можно использовать принцип «зеркальной поверхности». Представим, что обмотка градиентной катушки оптически отражается в некоторой токоведущей поверхности, например, во внутренней трубе магнита. Структура полей, создаваемых воображаемой «отражённой» обмоткой, соответствует полям вихревых токов «зеркала». Воображаемая катушка имеет больший диаметр и ту же длину, что и реальная катушка, а значит её размеры далеки от оптимальных, рассчитанных для настоящей катушки, и создаваемое ею поле может содержать нелинейные компоненты.
В современных приборах для борьбы с вихревыми токами применяют активно экранированные градиентные катушки. Активный экран представляет собой дополнительную обмотку, создающую поле, как можно более точно соответствующее вихревым токам на поверхности проводящего цилиндра того же диаметра. При точном совпадении поле вне катушки стремится к нулю и проблема вихревых токов снимается.
Для коррекции остаточных искажений, вносимых вихревыми токами, на практике прибегают к некоторой упрощённой модели. Считается, что амплитуда искажения поля пропорциональна величине градиента, вызывающего вихревой ток, и его вектор всюду одинаков и направлен в противоположную сторону. Далее, предполагается, что процесс затухания вихревых токов можно описать как сумму небольшого числа, обычно трёх, экспоненциальных спадов, отличающихся весами и временными константами. В этом случае становится возможным подобрать такую коррекцию формы градиентного импульса, чтобы минимизировать наблюдаемые искажения.
Однако, во многих случаях процедура подбора вышеупомянутых параметров коррекции становится слишком сложной. Остаточные эффекты вихревых токов вносят значительный вклад в искажение траектории скана.
Таким образом, исходя из вышеизложенного, можно полагать, что истинная траектория сканирования / -пространства отличается от расчётной при использовании достаточно сильных и быстро изменяющихся градиентных полей. Далее в разделе 3.3 мы опишем оригинальный метод автоматической адаптивной коррекции формы градиентного импульса, позволяющий компенсировать неточности аппаратуры.
Трёхточечный алгоритм интерполяции
Для каждого узла прямоугольной сетки координат г найти три ближайшие экспериментальные точки а, Ь, с таким образом, чтобы образованный ими треугольник содержал точку г и его периметр был бы наименьшим из всех возможных. Для этого на ближайшем луче выбрать две ближайшие точки а иЬ, \а\ \г\ \Ь\, составляющие основание треугольника. На втором соседнем луче также выбирать ближайшую к г точку, в которой расположить вершину треугольника.
Для каждого узла прямоугольной сетки координат г выбрать два ближайших луча траектории. На каждом из лучей выбрать по две точки, а, 6 и с, d, ближайшие к искомой (рис. 4.2). Найти на каждом луче точки ей/, такие, чтобы е = / = г.
Группа родственных алгоритмов интерполяции, обозначаемых термином "gridding", введена в практику MP-томографии в работе О Sullivan [99]. Новый термин возник потому что, вообще говоря, мы не требуем точного восстановления значений сигнала в узлах декартовой системы координат. Вместо этого вводится более мягкое требование совпадения Фурье-образа вычисленной функции д(х, у) и истинной про странственной плотности р(х, у) в некоторой области. Поскольку размер объекта всегда ограничен естественным образом, то потребовав совпаде 0 ния в области существования объекта мы получаем удовлетворительный практический результат.
Вычисление свёртки с sine функцией является трудоёмкой задачей, поскольку её значения медленно спадают по мере удаления от начала координат. Практически удобнее применять функции, имеющие ненулевые значения лишь в некоторой ограниченной области. Однако, для ограниченной С (к), с(г) неограничена и приводит к наложению повторов при свёртке с Фурье-образом сетки. Кроме того, её значения не постоянны в области определения р(х,у). Поэтому на следующем шаге алгоритма выбирается область интереса и внутри этой области производится коррекция искажений, внесённых свёрткой с С (к) путём деления на с(г). Финальное изображение внутри области интереса д(х, у) = Qcswix, у)/с(х, у). (4.19) — Выбор С{к) существенно влияет на скорость и качество интерполяции. Этот вопрос рассмотрен в классической работе Jackson et al [101]. Авторы исследовали несколько аподизационных функций, широко применяемых в ЯМР-спектроскопии, и экспериментально обнаружили, что наиболее подходящим вариантом является функция Кайзера-Бесселя С(к) = /0 (/Vі - (W/ W)2) (4-2) В таком виде алгоритм используется в большинстве рассмотренных выше работ. Алгоритм имеет две фундаментальные проблемы. Во-первых, неочевидный выбор С(к) оставляет открытым вопрос о его оптимальности. Во-вторых, функция плотности отсчётов D(u, v) не вполне корректно определена и зависит неустойчивым образом от формы тра ектории. В следующем разделе мы предлагаем альтернативный подход к определению корректирующей функции [100].
Выражение (4.26) представляет собой матричную форму записи си стемы iV2 линейных уравнений с N неизвестными D\... D . Таким образом, коэффициенты матрицы плотности можно определить не прибегая к анализу формы траектории.
Переопределённость системы (4.26) говорит о вероятном отсутствии единственного решения. Более того, нам известно, что подобные системы часто почти вырождены и могут не обеспечивать устойчивого оптимального решения. Для оценки вычислительной сложности и устойчивости проводились численные эксперименты на искусственных данных с шумом и на реальном объекте.
Для качественной и количественной оценки точности реконструкции необходим модельный объект. Желательно, чтобы форма объекта в -пространстве и его изображение были легко узнаваемы без сложного анализа. Очевидный «кандидат» — сфера в реальном пространстве (окружность для двумерного случая), проекция которой на любое поперечное направление представляет собой прямоугольник, а следовательно, Фурье-образ — сферически симметричную функцию типа sm(k)/k.
В качестве модели для наших численных экспериментов была выбрана несколько модифицированная окружность, свойства которой, как и свойства её Фурье-образа, очевидны и позволяют без труда оценивать качество реконструкции.
Эксперименты по регистрации и реконструкции данных реального сканирования проводились на томографе Tomikon S50 AVANCE производства фирмы Bruker (Германия). В качестве сканируемого объекта использовался прилагаемый к прибору «фантом» для проверки качества изображений, представляющий собой полый пластиковый цилиндр диаметром 185 мм, заполненный слабым раствором медного купороса Рис. 4.4. Фотография тестового объекта. (рис. 4.4). В полости также находится ряд более мелких деталей -- пластиковые штырьки, размещённые с интервалом 2 см, три гребёнки с интервалами 1 и 2 мм для оценки пространственного разрешения, а также два маленьких цилиндра, заполненных чистой водой и раствором желатина.
![Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве p [a, b]](/i/i/4274/45259.png "Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве p [a, b] Кудрявцев Александр Иванович")
