Введение к работе
Актуальность темы. Теория мультипликаторов Фурье являетя одним из важних направлений функционального анализа. Первая теорема о мультипликаторах для тригонометрических рядов была доказана Дж.Марцинкевичем. используя результаты Дж.Марцинкевича,- С.Г.Михлин получил аналогичные теоремы для интегралов Фурье. Следующие упрощения и обобщения этих результатов были даны Л.Хермандером в рамках теории операторов, инвариантных относительно сдвига. Далнейшее развитие теория Фурье в к получила в работах П.И.Лизоркина, О-В.Бесова, Х.Грибэля, Дж.Петре и др.
Задача о мультипликаторах Фурье состоит в елодующем. Пусть А и В - нормирова!лые функциональные пространства, F - преобразование Фурье. Функции (р назовем мультипликатором из А в В, если оператор Т If) = ?'\?f является линейным ограниченным из А в В. Совокупность всех мультипликаторов из А в В представляет собой нормированное пространство Ы(А -*В). Требуется определить гладкостные и метрические характеристики, которыми должна обладать функция <р для того, чтобы являться мультипликатором из Л в В. Не смотря на обилие работ в данном направлении, оставались недостаточно описанными мультипликаторы в пространствах Лоренца и Бесова в случах когда А не совпадает с В. В этой связи отметим работы Е.С.Смаилова и Н.Т.Тлеуханозой в которых изучены множители Фурье тригонометрических рядов в дискретных пространствах Лоренца. Актуальность таких задач отмечена Х.Трибелем в его монографии "Теория функциональных пространств".
Цель работы. Исследование классов мультипликаторов Фурье
мГь . - I „ 1 и ы(в '-» В ' ) в терминах известных
Лро% ptV lpoqo . W
функциональных пространств.
»
Общая методика исследования. В диссертации систематически применяются методы и результаты теории интерполяции линейных и билинейных операторов. Особо выделим среди них интерполяционную теорему Овчинникова.,' которая позволила описать мультипликаторы Фурье в пространствах Бесова.
Научная новизна. В работе получены теоремы вложения функциональных пространств.Лоренца и Бесова в классы u\h — L 1 и
(
в в , В —> В 1 I.
Показана точность полученных теорем вложения.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационного исследования расширяют и углубляют теорию мультипликаторов Фурье в функциональных пространства^.. Результата могут найти применение в гармоническом анализе, в теории функциональных пространств и в теории дифференциальных уравнений.
Степень достоверности полученных результатов. Все результаты, полученные в диссертации являются верными и сопровождены доказательствами.
Основные положения, вшоскше на защиту. Теоремы вложения функциональных пространств Лоренца и Бесова в классы мультишшка-
торов Фурье M[Z - I ) и шф - в'р\ ) .
ОО 11 О О It
Апробации работы. Основные результаты работы апробированы на межвузовской научной конференции "Теория приближения и вложения Функциональных пространств" (Караганда 1991,1994 гг.), на международной конференции по теории прибликений (Санкт-Петербург,1992 г.)
на республиканской конференции "Применение методов теории функции и функционального анализа к задачам математической физики" (Алмати, 1993 г.). на республиканской конференции "Актуальные вопросы математики и методики преподавания математики" (Алмати, 1994), на международной конференции "Теория приближении, нелинейный анализ", посвященной 90-летию С.М.Никольского (Москва, )995). на региональном научном семинаре ИГВД НАН и МО РК 1995 г., на научных семинарах член-корреспондента НАН РК профессора А.А.Женсыкбае-ва, профессора Е.С.Смаилова, профессора Н-Т.Темиргалиева, профессора Р.О.Ойиарова, на юбилейной конференции посвященной 50-летию развитию математики в Казахстане (МПТМ, 1995).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах Ш-Г73, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Работа состоит из двух глав, и списка литературы, включающего 71 наттменованлв, объем работы 97 страниц.
![Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве p [a, b]](/i/i/4274/45259.png "Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве p [a, b] Кудрявцев Александр Иванович")
