Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Основные обозначения и предварительные сведения 12
1.1. Пространства измеримых функций 12
1.2. Симметричные пространства 18
1.3. Ряды Фурье-Хаара 31
1.4. Дополнительные сведения 38
Глава II. Мультипликаторы рядов Фурье - Хаара 40
2.1. Ограниченность мультипликаторов Фурье - Хаара в пространствах L{ и Lm 40
2.2. Ограниченность мультипликаторов в пространствах Еу 50
2.3. Норма мультипликатора в паре пространств (LPsaa,Lq) 53
2.4. Ограниченность мультипликатора АЕ в симметричных пространствах с нетривиальными индексами Бойда 56
2.5. Различие свойств мультипликаторов в пространствах Лоренца и Zx 61
2.6. О непрерывности мультипликатора из пространства Марцинкевича в пространство Лоренца 65
Глава III. Базисные свойства системы Хаара 73
3.1. Ограниченность проектора в пространствах Лоренца 74
3.2. Условные базисы в симметричных пространствах 80
3.3. Ограниченно полные базисы 84
Библиографический список использованной литературы 96
- Симметричные пространства
- Ограниченность мультипликатора АЕ в симметричных пространствах с нетривиальными индексами Бойда
- О непрерывности мультипликатора из пространства Марцинкевича в пространство Лоренца
- Ограниченность проектора в пространствах Лоренца
Введение к работе
Система Хаара была введена в анализ в докторской диссертации Хаара в 1910 году для построения базиса в пространстве С[0, 1]. Им же были найдены первые замечательные свойства этой системы. Позднее система Хаара стала изучаться и применяться во многих разделах анализа.
Среди банаховых пространств и, особенно банаховых решеток, важное место занимают симметричные (перестановочно-инвариантные) пространства. Значение теории симметричных пространств объясняется тем, что многие функциональные пространства, такие как Lpi Лоренца, Мар-цинкевича, Орлича и многие другие, являются симметричными. Их изучению посвящена обширная литература.
Сходимость и безусловная сходимость рядов Фурье-Хаара в пространствах Lp исследована в многих работах. Здесь можно указать моно-графии [4], [8], [21], [29], статьи [6], [12], [13], [14], [15], [30]. Безус-ловная сходимость таких рядов тесно связана с ограниченностью мультипликаторов по системе Хаара. Этой тематике посвящены работы [2], [9] и
ДР-
Предлагаемая диссертационная работа продолжает исследование рядов Фурье-Хаара в симметричных пространствах. Рассмотрен вопрос об ограниченности мультипликаторов по системе Хаара в различных симметричных пространствах, изучены базисные свойства системы Хаара в симметричных пространствах. Обобщен ряд теорем, посвященных данной тематике.
Основное содержание диссертации изложено в главах II и III. В первой главе собраны необходимые предварительные сведения и стандартные обозначения, используемые в работе.
В предлагаемой работе перестановочно-инвариантные (симметричные) пространства сокращенно обозначаются r.i. пространствами, система функций Хаара сокращенно обозначается с.Х.
Во второй главе диссертации изучаются условия ограниченности мультипликаторов по с.Х. Доказаны теоремы 2.1-2.6.
Обозначим через Q множество индексов
{(0,0), (п,к), и = 0,1,..., 1<к<2"}.
Пусть {%кЛ, (иД)єП-с.Х. Всякая последовательность Я = (ЯпЛ)
порождает линейный оператор Л (называемый мультипликатором), который на полиномах по с.Х. определяется следующим образом:
V. м )
Хорошо известно, что с.Х. образует безусловный базис в L, 1<р<со.
Отсюда вытекает, что Л
и sup
р (n,k)eQ
'п,к
. В L и L, с.Х. не является
безусловной. Поэтому возникает вопрос о вычислении нормы мультипликатора в Ц и Lm.
Пусть (n,k)<=Q и Акп =
(к~Л _Р ч 2п '2%
. Последовательность вложен-
ных друг в друга диадических интервалов
1 _ к к
А^эА?э...эА*", пеП
называется цепью. Множество цепей обозначим через А. Каждой цепи " = (1, &!,...,&„) поставим в соответствие число
которое естественно назвать вариацией Я по цепи К. Введем на пространстве последовательностей Я = { Хп k,. (и,к) є fit полунорму
КєА,пє№ m~i
ні-l
'm~\,k.
и множество тех Я, для которых X < со, будем обозначать через W.
Из соображений двойственности вытекает, что мультипликатор Л ограничен в L,, тогда и только тогда, когда Л ограничен в Lm9 и
Теорема 2.1. Для ограниченности Л в L необходимо и достаточ-
но, чтобы Л < оо. Более того, норма Л
эквивалентна
ж + SUP
'я, Л:
Из теоремы 2.1 вытекает
Следствие 2.2. Для того чтобы мультипликатор Л был ограничен в любом r.i. пространстве Е необходимо и достаточно, чтобы Л е W .
Обобщением в нескольких направлениях известной теоремы С. Яно об ограниченности мультипликатора Л в паре пространств (Lp, Lq), 1 < р < q < со является
Теорема 2.2. Пусть Е- симметричное пространство на [0; 1], индексы Бойда которого удовлетворяют неравенству 0<у<аЕЕ<1 и
пусть Еу - пространство с нормой
= \\Х
('И
Для ограниченно-
сти мультипликатора А~ІХпк\ из Е в Еу необходимо и достаточно.
чтобы
(л.*)єї
'п,к
2Щ <оо.
Более того, норма мультипликатора Л эквивалентна sup
{п.к)еП
Далее доказывается
Теорема 2.3. Пусть 1<р, q<<&. Тогда
'nji
X.
пу
Jp,a,>"(l
Л I L- СМ SUP
LaJB,La 1<к<2"
{
2-і пА
и=1
n\U
\
J
где константа С зависит только от р и q.
Обозначим через S множество мультипликаторов, удовлетворяющих условию Лпк~±\ для всех (иД)єП. Хорошо известно, что система Хаара образует безусловный базис в сепарабельном пространстве Е тогда и только тогда, когда Л | (Л є 5) равномерно ограничена.
Рассмотрим последовательность є-{єп], где єп=±1, п є N .
.Предположим, что данная последовательность содержит бесконечное число значений +1 и -1. Последовательность є = {єп) порождает последовательность Хщк = єп для всех ( п,к) є Q и соответствующий мультипли-
I I
катор As. Обобщением теоремы 1 [14], доказанной О.В. Лелонд, является
Теорема 2.4. Пусть Е - r.i. пространство. Следующие условия эквивалентны: (і) мультипликатор Л^ ограничен в Е,
(іі) всякий мультипликатор Л (Л є S) ограничен в Е и sup Л
(ііі)0<аЕЕ <1.
Как отмечалось ранее (теорема 2.1 и следствие 2.2), из ограниченности мультипликатора Л в Lx вытекает ограниченность Л в любом
пространстве Лоренца. Оказывается, что это вложение всегда является строгим.
Теорема 2.5. Пусть <р є Ф и
\im(p(t) = lim—— = 0 .
'-><> v 7 ^ (p(t)
Тогда существует такой мультипликатор MeS, что М ограничен в Л(^) и не ограничен в Ьж.
Пусть дана ограниченная последовательность Л = \Апкз (n.kjeQ и соответствующий мультипликатор Л. Предположим, что Яп к не зависят от к, т.е.
К*=к> (n,k)ed (1)
Я0 > А, >, (2)
Обозначим через Ф0 множество возрастающих, вогнутых на отрезке [0,l] функций ()(0) = 0, ^(1) = 1), удовлетворяющих условию
для некоторого є>0 и для любого /е[0,1]. Через ф(і) обозначим функцию ——
Теорема 2.6. Пусть мультипликатор удовлетворяет условиям (1) и (2) и пусть (p(t) - произвольная функция, принадлежащая множеству
Ф0. Для непрерывности мультипликатора Л из М(ф) в А(<р) необходимо и достаточно, чтобы Я-={Я^,Я1,Я2,...} elv Более того || Л |Ln w ч
и І Я эквиваленты, причем константы эквивалентности зависят только
II И/,
от
В третьей главе изучаются базисные свойства системы Хаара. Доказаны теоремы 3.1-3.4.
Пусть Хп (0э (п> ^)G ^ ~ система Хаара, и xt (?)' ' е ^ ~ некоторая ее подсистема. Проектором на подсистему Хаара называется линейный оператор, который на полиномах Хаара определяется следующим образом:
р( I ^(о]=Ё<'4(0-
i=l
(и, к)еП
Для заданного а>0 обозначим через
2 функцию из Ф, эквивалентную функции log а~~. Пусть пк, к<~Н воз-
растающая последовательность натуральных чисел. Обозначим через Р ортогональный проектор на подпространство, порожденное системой
функций j;^, = 1,2,...}. В силу безусловности системы Хаара в L, \<р<со оператор Р ограничен в L. В Л(^я) с.Х. не является
безусловной.
Теорема 3.1. Пусть пк возрастающая последовательность натуральных чисел и пк+1 -пк>2 для к є N . Для того, чтобы проектор Р был ограничен в пространстве Лоренца К{сра) необходимо и достаточно, чтобы
СО |
sup^X—<со-
keN j=k Ylj
Следствие 3.1. Если проектор Р ограничен в Л(^) для некоторого а>0, то Р ограничен в Л(^а) для всех а>0.
Следствие 3.2. Если sup V У]//иЛ. <с0, то мультипликатор М
JeN и=2'"+1 *=1
определяемый последовательностью Ыпк\, ограничен в &(<ра).
Пусть Х- банахово пространство над полем действительных чисел с базисом {e/;}J и |е;*} - система координатных функционалов. Гипе-
роктантом Г1{0А}], соответствующим данному набору знаков вк=±\, будем называть множество элементов х є X, пред ставимых в виде
х = 'У\аівіе1, где все сії неотрицательны.
і=і
Напомним, что ряд ^хк элементов банахова пространства сходит-
к=1
ся безусловно, если для любой последовательности ак=±\ (1<<со)
сходится ряд ^акхк.
Гипероктант Г (}^) будем называть безусловным для базиса
{ек}, если для любого хєГІ{0А}" І ряд x = ^e*{x)ei (разложение х
;=1
по базису {ek} ) сходится безусловно. Гипероктант, не являющийся безусловным для данного базиса, называется условным.
Базис в банаховом пространстве называется усиленно условным, если для этого базиса все гипероктаны условны. По определению всякий усиленно условный базис является условным. Известны примеры условных, но не усиленно условных базисов, В [6] В.М. Кадец и М.М. Попов доказали, что с.Х. образует усиленно условный базис в пространстве Li.
В предлагаемой работе доказано, что в любом сепарабельном гл. пространстве с.Х. является либо безусловным, либо усиленно условным базисом.
Теорема 3.2. Если с.Х. образует условный базис в сепарабельном гл. пространстве Е, то с.Х. есть усиленно условный базис в Е.
Из теоремы 3 2 как следствие вытекает
Теорема 3.3. Для того чтобы с.Х. была усиленно условным базисом в сепарабельном г А. пространстве Е необходимо и достаточно, чтобы ссЕ = 0 или 0Е = 1.
Следующая теорема описывает еще одно базисное свойство СуС. в пространствах Лоренца.
Теорема 3.4. Пусть ер є Ф. Для того, чтобы
*М
І Хл
Mv)
= СО
равномерно по \<пх<щ<...<пт необходимо и достаточно, чтобы
ШмЩ>1, limsup^<2.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах: [14], [16]—[19]. Из совместных работ [14] и [16] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие автору.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, старшему научному сотруднику И.Я. Новикову, а также доктору физико-математических наук, профессору Е.М. Семенову, оказавшим существенную помощь и поддержку в работе над диссертацией.
Симметричные пространства
Пусть 3 - измеримое пространство на т -алгебре измеримых множеств которого задана мера ji. В дальнейшем всегда будет предполагаться, что эта мера сг-конечна, т.е. что пространство 3 является объединением не более чем счетного числа множеств конечной меры.
Через гее (t) будем обозначать характеристическую функцию множества есЗ. Функция x(t) называется конечнозначной, если она принимает лишь конечное число ненулевых значений на множествах конечной меры, и обобщенно конечнозначной, если требование конечности меры не выполняются. Всякую обобщено конечнозначную функцию можно записать в виде где Є/- измеримые подмножества 3.
Всякая измеримая функция представляет собой предел последовательности обобщенно конечнозначных функций; при этом, если функция неотрицательна, то последовательность можно выбрать возрастающей.
Обозначим через (3, їх) - пространство всех вещественных измеримых на 3 функций (точнее классов эквивалентных функций). Пространство S(3, (л) является линейным пространством с обычным отождествлением и естественным порядком: х у, если x(t) y{t) почти всюду. В этом пространстве можно ввести метрику следующим образом: где v{t) - некоторая интегрируемая по мере /л положительная функция.
Пространство (3, //) в этой метрике становится полным метрическим линейным пространством. Сходимость в этом пространстве эквивалентна сходимости по мере на каждом множестве конечной меры. Банахово пространство всех интегрируемых на 3 по мере ju функций (точнее классов эквивалентных функций) обозначается через Li(3, ju). Не сводящееся к нулю банахово пространство Е, являющееся линейным многообразием пространства (3, ju), называется функциональным банаховым пространством. Определение 1.10. Функциональное банахово пространство Е называется идеальной банаховой структурой или, короче, идеальной структурой если из условия х у , где x(j) - измеримая функция. В [11, 2, теорема 1] доказано, что любая идеальная структура вложена в пространство (3,//). Важным классом идеальных структур являются симметричные (перестановочно инвариантные) пространства. Пусть (0, /) - конечный или бесконечный интервал, 5(0, /) — метрическое пространство всех измеримых по Лебегу почти всюду конечных функций на (0, /). Для каждой неотрицательной функции хе5(0, /) определена функция распределения по формуле Функция распределения убывает, непрерывна справа и может принимать бесконечные значения в случае / = со. Совокупность всех функций x(t), для которых ил(т) оо, обозначим через 5о(0, /). В дальнейшем рассматриваются лишь функции из SQ(0 1). Две неотрицательные функции x(t) и y{t) из So(0, 1) называются равно-измеримыми, если пх (г) = п (г). Определение 1.11. Перестановкой неотрицательной функции хе 0(0, 1) называется убывающая непрерывная слева функция x (t), равноизмеримая с функцией х(7). Перестановка единственна и может быть определена по формуле Для произвольной функции x(t) из SQ(0, 1) через x (f) обозначается перестановка модуля функции х(ґ). Отметим лишь некоторые свойства перестановок, используемые в дальнейшем (доказательства этих свойств имеются в [11, гл.П, 2]):
Ограниченность мультипликатора АЕ в симметричных пространствах с нетривиальными индексами Бойда
В данной главе выведено необходимое и достаточное условие ограниченности мультипликатора в пространстве Lx и, как следствие, в любом r.i пространстве. Получено необходимое и достаточное условие ограниченности мультипликатора Л = {ЛЯЛ из r.i. пространства Е, индексы Бойда которого удовлетворяют неравенству 0 y aE J3E \9 в пространство Еу с нормой х = х (ґ)Гх . Найдена оценка для нормы мультипликатора в паре пространств (LP;Q0, Lq), Получено необходимое и достаточное условие ограниченности мультипликатора Л , порожденного последовательностью є = {єп] (єп=±1, пеЩ в r.i. пространстве. Показаны различия пространств мультипликаторов, ограниченных в Ью и в любом пространстве Лоренца, отличном от Ц и Lm. Найдено необходимое и достаточное условие непрерывности мультипликатора, действующего из По прежнему, через S обозначается множество мультипликаторов, удовлетворяющих условию Хпк-±\ для всех (n,k}eQ. Хорошо известно, что система Хаара образует безусловный базис в сепарабельном пространстве Е тогда и только тогда, когда Л || (Л є S) равномерно ограничена. Рассмотрим последовательность є = {єп], где єп=±1, иєМ. Предположим, что данная последовательность содержит бесконечное число значений +1 и -1. Последовательность s = {en} порождает последовательность \к~п для всех (лД)єС и соответствующий мультипликатор Л^. Теорема 2.4. Пусть Е - r.i. пространство. Следующие условия эквивалентны: (і) мультипликатор As ограничен в Е, (ii) всякий мультипликатор Л (Л є S) ограничен в и sup Л | < со, AeS (ііі) 0 < аЕ < /5Е < 1. Доказательство. Эквивалентность условий (ii) и (ііі) хорошо известна [27, 2.с.6] или [11, 2.9.6]. Импликация (ii) ~> (і) тривиальна. Поэтому достаточно доказать лишь импликацию (і) -> (ііі). Покажем, что ограниченность мультипликатора Л влечет ограниченность оператора Пусть \%кп, (п,к)еОл -нормированная в Ь система Хаара. Всякой ограниченной последовательности Х ІХпк, (п,к)еО.) можно поставить в соответствие линейный оператор Л, называемый мультипликато.
О непрерывности мультипликатора из пространства Марцинкевича в пространство Лоренца
Таким образом, из ограниченности оператора А в Е вытекает ограни ченность #2 в Е. Всякий мультипликатор Л является самосопряженным оператором в Д и, в частности, из ограниченности Л в Е вытекает его ограниченность в Е и равенство Л = Л [2, формула (4)]. Применяя дока занное выше утверждение к Е , получаем, что оператор Н2 ограничен в . Тогдавсилу (2.15) Н\ ограничен в Е. Хорошо известно [11, т.2.6.6 ит.2.6,8], что ограниченность операторов Н\ и Н2 в Е влечет (ііі). П Итак, с.Х. образует безусловный базис в сепарабельном r.i. пространстве Е тогда и только тогда, когда мультипликатор А ограничен в Е.
Данная теорема является обобщением теоремы 1 [14], в которой О.В. Лелонд аналогичное утверждение доказала для мультипликатора Л0, определяемого последовательностью Япк (-1)", (иД) є Q. Различие свойств мультипликаторов в пространствах Лоренца и L Как уже отмечалось (см. доказательство теоремы 2.1), всякий ограниченный в Ьт мультипликатор, ограничен в любом r.i. пространстве. Следующая теорема показывает, что пространства мультипликаторов, ограниченных в Ln и в любом пространстве Лоренца, отличном от Ц и Д всегда различны. По прежнему, через Ф мы будем обозначать множество возрастающих вогнутых на [ 0,1] функций, удовлетворяющих условию не ограничена в окрестности нуля и, следовательно, мультипликатор М не ограничен в Ьл.
Докажем ограниченность М в пространстве Л( ). Обозначим через Q проектор на подсистему Хаара 1%1 іеЩ. Так как Q = — [1-М), то нам достаточно показать ограниченность Q в А( р). Если ec[0,l], то для любой ступенчатой функции x(t). Так как множество ступенчатых функций плотно в Л(р) [11, лемма 2.5.1] и Q ограничен в L2, то неравенство (2.23) справедливо для всех хеЛ( ). Отсюда Q 6 и Заметим, что условие (2.19) означает, что Л( ) не совпадает с L]
Ограниченность проектора в пространствах Лоренца
Заметим, что достаточность в теореме 3.1 справедлива и без предположения пк+1 -пк 2 для к е N . Действительно, любая возрастающая последовательность { пк} может быть представлена как объединение двух последовательностей {ik} и { уА}, для каждой из которых это условие выполнено. Тогда Р = Р{+Р2, где Plt Р2 - проекторы, соответствующие последовательностям {г ограниченности Р{, Р2 вытекает ограниченность Р.
Последовательность 2 , кеЦ удовлетворяет условию (1). Повторяя приведенные выше рассуждения, нетрудно показать ограниченность проектора Р, соответствующего последовательности {пЛ, если 2k nk 2Ш для всех к є N. Проектор Р осуществляет проекцию на подпространство, порожденное системой функций \%\к, к є NJ.
Можно рассмотреть более общий случай подпоследовательностей Доказательство теоремы 2.5 из второй главы переносится на этот случай без всяких изменений. Поэтому проектор на подпространство spanl %к, кеЩ ограничен в Л( ), если 2к
Для фиксированного у є N множество последовательностей fink, (/?,&) є Qj, удовлетворяющих условию ограничено, замкнуто и выпукло. Его крайними точками являются последовательности вида junk=Ot ±1, причем /ипк-±\ лишь для единственного индекса (n,k)eQ, 2j +l n 2J+x для любого j \, 2,.... Выше было показано, что для таких последовательностей // - шп Л Определение 3.2. Пусть Х- банахово пространство над полем действительных чисел с базисом {ек} и ieA - система координатных функционалов. Гипероктантом Г1{0Л}), соответствующим данному набору знаков вк=±1, будем называть множество элементов хеХ, пред 00 ставимых в виде x = S\ai6jei, где все а, неотрицательны. Напомним, что ряд У]хк элементов банахова пространства сходит jt=i ся безусловно, если для любой последовательности ак = ±1 (1 оо) со сходится ряд акхк. к=\ Гипероктант П{0А будем называть безусловным для базиса {ек}, если для любого хеТ\{0к}\ ряд х = е](х)еі (разложение х j=i по базису {ск}{) сходится безусловно. Гипероктант, не являющийся безусловным для данного базиса, называется условным. В [8] было введено понятие усиленного условного базиса. Определение 3.3. Базис в банаховом пространстве называется усиленно условным, если для этого базиса все гипероктаны условны. По определению всякий усиленно условный базис является условным. В [8] приведены примеры условных, но не усиленно условных базисов и было доказано, что с.Х. образует усиленно условный базис в пространстве Ь\. Докажем следующую альтернативу: в любом сепарабельном г.і. пространстве с.Х. является либо безусловным, либо усиленно условным базисом. Теорема 3.2. Если с.Х. образует условный базис в сепарабельном гл. пространстве Е, то с.Х. есть усиленно условный базис в Е. Доказательство. Обозначим через Л мультипликатор по с.Х., определяемый последовательностью В [14, т.1] доказано, что из ограниченности в Е мультипликатора Л0, определяемого последовательностью (-1)", вытекает, что с.Х. есть безусловный базис в Е. Для мультипликатора Л то же самое доказательство проходит без всяких изменений. Поэтому, предполагая противное, мы получаем утверждение о неограниченности Л в Е. Более того, как видно из доказательства Т.1 [14], норму мультипликатора Л достаточно оценивать лишь на функциях вида Без ограничения общности cn=cmn для всех 0 п т. Докажем теперь, что для любого набора знаков впк=±1, \ к 2п, 0 п т существуют такие числа в = ±\ и 1 кп 2п, что равноизмеримы следующие пары функций
![Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве p [a, b]](/i/i/4274/45259.png "Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве p [a, b] Кудрявцев Александр Иванович")
