Содержание к диссертации
Введение
1. Введение 7
1.1. Объект исследования и его признаки 8
1.2. Актуальность исследования 9
1.2.1. Краткая история развития объекта исследования . 9
1.2.2. Область использования 10
1.2.3. Современное состояние 12
1.2.4. Практическая ценность предлагаемого метода . 13
1.3. Цель диссертационной работы 14
1.4. Научная новизна 14
1.5. Положения, выносимые на защиту 15
1.6. Обоснованность и достоверность результатов 15
1.6.1. Обоснованность 15
1.6.2. Апробация 15
1.6.3. Публикации 16
1.7. Аннотация диссертационной работы по главам 16
2. Разработка математической модели многоуровневых КМ с периодической структурой 18
2.1. Многоуровневые иерархические структуры 19
2.2. Локальные координаты 21
2.3. Дифференцирование и интегрирование в МИС 22
2.4. Формулировка основной задачи метода гомогенизации . 23
2.5. Асимптотическое решение 25
2.6. Локальные и осредненные задачи первого уровня 26
2.7. Локальные и осредненные задачи второго уровня 27 Стр.
2.8. Локальные и осредненные задачи n-го уровня 28
2.9. Рекуррентная последовательность задач 29
2.10. Эффективные модули n-го уровня 30
3. Разработка метода решения локальных задач 34
3.1. Преобразование локальных задач к задачам на 1/8-ой ячейки периодичности 34
3.2. Метод определения эффективных характеристик 39
3.3. Метод определения компонент тензора концентраций напряжений 40
3.4. Разработка численного конечно элементного метода решения локальных задач 42
3.4.1. Вариационная формулировка локальной задачи . 42
3.4.2. Решение локальной задачи методом конечных элементов 43
4. Разработка программного комплекса 47
4.1. Общие подходы к разработке 47
4.1.1. Перечень решаемых задач 47
4.1.2. Предъявленные требования 49
4.1.3. Принятые допущения 49
4.1.4. Стандартизация программных компонент 50
4.2. Архитектура программного комплекса 50
4.2.1. Особенности программной реализации 50
4.2.2. Общая идеология системы ПК GCAD 52
4.2.3. Внутреннее устройство БД 53
4.2.4. Моделирование расчетной области в среде ПК GCAD 55
4.2.5. Определение краевых условий, свойств материалов
и прочих данных постановки 57
4.2.6. Генерация КЭ сетки 59
4.2.7. Решение задачи упругости с помощью МКЭ в среде GCAD 59
4.2.8. Решение задачи определения ЭХ и компонент тензора концентраций напряжений 59
4.2.9. Проведение анализа получаемых результатов с помощью подходов Фойгта-Рейсса и Хашина-Штрикмана 62
4.2.10. Отображение результатов 62
4.3. Важнейшие алгоритмы системы. Оптимизация расчетов 63
4.3.1. Автоматизация разработки ПК 63
4.3.2. Алгоритм работы «Генератора кода» 64
4.3.3. Универсальный алгоритм МКЭ 65
4.3.4. Задача фильтрации результатов МКЭ 66
4.3.5. Математические методы, примененные при разработке программного комплекса 68
5. Результаты численного моделирования упругих свойств многоуровневых КМ 69
5.1. Тестирование разработанных методов и ПК 69
5.1.1. Удовлетворение оценкам Фойгта-Рейсса 69
5.1.2. Ansys и Разработанный ПК. Сравнительный анализ получаемых результатов промежуточных задач . 72
5.2. Результаты численного моделирования 72
5.2.1. Исследование дисперсно-армированных МКМ . 73
5.2.2. Исследование тканевых МКМ 80
5.2.3. Исследование 4D армированных МКМ 90
5.3. Перспективы использования разработанных методов . 95
Заключение и выводы 97
Литература 98
- Многоуровневые иерархические структуры
- Преобразование локальных задач к задачам на 1/8-ой ячейки периодичности
- Особенности программной реализации
- Тестирование разработанных методов и ПК
Введение к работе
Настоящая работа посвящена моделированию эффективных упругих характеристик композиционных материалов с многоуровневой иерархической внутренней структурой армирования.
Понятие многоуровневости предполагает, что рассматривается модель композиционного материала, компоненты которого, в свою очередь, могут являться другими композитами и т.д.
Используются методы осреднения, предложенные в работах Бахва-лова Н.С.[5] и Победри Б.Е.[50], адаптированные для МИС, в сочетании с методом конечных элементов.
В современном мире, в мире новых технологий, рыночной экономики, открытой конкуренции от промышленности требуются все более и более совершенные технологические процессы производства с целью повышения качества готовой продукции и получения экономической выгоды. При этом от используемых материалов может требоваться удовлетворение определенным требованиям, чтобы именно этот материал был использован в данном изделии. К этим требованиям могут быть отнесены: себестоимость единицы продукции; удельный вес; теплофизические, прочностные, электро-физические и прочие характеристики.
Композиты позволяют совмещать в себе целый спектр требуемых свойств. Однако, они очень дороги при производстве и целесообразность их использования должна быть обоснована.
Предлагаемые в работе подходы могут повысить эффективность процесса изготовления КМ: помочь в выборе материалов-компонентов и сократить расходы на эксперименты по определению свойств получаемых материалов.
Многоуровневые иерархические структуры
В настоящем разделе предложена математическая модель многоуровневых иерархических структур, которая далее используется, для расчета эффективных упругих характеристик и полей микронапряжений в МКМ.
Задача определения ЭХ МКМ
Задача определения ЭХ МКМ с произвольной многоуровневой периодической иерархической структурой армирования включает в себя вычисление компонент тензора концентраций микро-напряжений в волокнах. Известными являются характеристики составляющих МКМ и структура армирования.
Итак, необходимо определить следующие механические характеристики: компоненты эффективного іспзора модулей упругости С /А,; эффективные модули упругости (модулей Юнга) Ef, эффективные коэффициенты Пуассона оц\ эффективные модули сдвига С,3; поля компонент цензора концентраций напряжений Впц(), как функций локальныч координат в ЯП.
Для проверки работоспособности разрабатываемого метода в работе рассматриваю-! ся три модели трех типов МКМ: дисперсно-армированный, тканевый и 4D армированный. ЯП этих структур были представлены ранее.
Во всех рассмотренных случаях компоненты МКМ предполагаются изотропными, хотя разрабатываемые методы не чувствительны к этой характеристике материала. Представлены 1/8-ые части полной ЯП, что обусловлено разработанной математической моделью.
Введем специальную математическую модель многоуровневой периодической иерархической структуры. Опишем геометрическую МИС с произвольным числом уровней п, в которой каждый низший 71-й уровень вложен в высший (п—1)-й уровень. Сама МИС занимает объем V в R3 и предполагается состоящей из ЯП первого уровня Vf, т.е. V = uf01 Vy, где Ми - число ЯП первого уровня (ЯП1), которое предполагается достаточно большим: Лої 1. Каждая ЯП1 Vf состоит из т\ компонентов, занимающих объем Vla, а = /,...,ть т.е. V/ = Via. В свою очередь, каждый компонент У\С1 представляет собой совокупность ячеек периодичности второго уровня V2a, т.е. Vit = ЦК2а. Вообще говоря, эти ячейки V , состоящие из компонентов второго уровня V2p, могут различаться для различных компонентов V1(i.
Для перечисления компонентов V%p введем единую нумерацию (3 = 1,...,т2,ьт2,і + l,...,m2,2,m2,2 + 1,...,7712,,, -1,7712,,74-1 + l,...,m2,mi, в которой числа т2,а (где а = l,...,mi) соответствуют максимальным номерам компонентов Vip в пределах фиксированной ЯП2 У , причем V2a = Т. Уц/з и m2,mj =7П2 - общее число различных компонен тов на втором уровне. Продолжая образование новых уровней, получим, что каждый компонент І2/Ї состоит из ЯПЗ Vajg с компонентами Уз-,, где 7713,,3-1 7 тз,# и т.д
Такой способ позволяет описывать любую МИС с помощью только двухиндексного набора чисел тп, а, где п - вертикальный индекс (номер уровня), а а - горизонтальный индекс (номер компонента в единой нумерации уровня). Взаимосвязь нумерации компонентов Vnp на различных уровнях показана на 2.2, где каждый прямоугольник с номером тп,(3 соответствует компоненту Vnmnfi. декартовы координаты точки из области V и введем безразмерные координаты х1 — хг/L, которые будем называть глобальными.
Различные физические свойства или процессы, происходящие в МИС, описываются с помощью некоторых функций д = g(i,...N) ОТ N локальных переменных, удовлетворяющих условиям периодичности по каждому аргументу: 9(і,-п + аіЄі,...,к) = gfa, ...,„, ...,&r),V„ 6 (2.6) где аг - произвольные целые числа. Функции, удовлетворяющие условию (2.6), будем называть многоуровневыми периодическими. Если функция д = р(я,ъ C/v) является многоуровневой периодической и зависит от глобальных координат, то .ее назовем многоуровневой квазипериодической (МК). Градиент Vg от МК-функции вычисляем по правилу дифференцирования сложной функции:
Преобразование локальных задач к задачам на 1/8-ой ячейки периодичности
Формулировка локальных задач в декартовой системе координат Рассмотрим локальные задачи Lnj3 (2.26) и запишем их в декартовой системе координат. Для этого представим тензоры напряжений и деформаций этой задачи в декартовом базисе: нулевого приближения. Неизвестными в этой системе являются функции %„л(ї,0 то" гда как Щ х), Єшпсл(х) - исходные данные задачи, определяемые из решения осредненной задачи Апа.
Рассмотрим подробно локальную задачу (3.2) на ЯП.
Условие нормировки в локальной задаче представляет собой интегральное соотношение, являющееся уравнением Фредгольма 1-го рода. Это соотношение, как известно, определяет некорректно поставленную задачу, поэтому локальную задачу в указанном виде необходимо дополнительно преобразовать. Предлагается следующий подход. Используем факт линейности локальной задачи (3.2), а также то, что задача содержит только 6 функций щ.цпаАх), являющихся входными данными. Решение локальной задачи (3.2) на полной ЯП будем искать в виде суммы по 6-ти функциям:
Задача (3.8), в отличие от задачи (3.2), содержит лишь «поверхностные входные данные» и не содержит массовых, но при этом по-прежнему содержит интегральное условие нормировки и краевые условия периодического типа. Однако, в случае если композит обладает симметричной геометрической структурой, задача (3.8) на полной ЯП может быть сведена к задаче на 1/8 ЯП, которая свободна от указанных недостатков.
Везде далее будем полагать, что все рассматриваемые ЯП МКМ имеют геометрическую симметрию расположения компонентов композита относительно 3-х координатных плоскостей. Кроме того, положим, что имеется и физическая симметрия, т.е. геометрически-симметричные компоненты имеют и одинаковые упругие характеристики. Тогда задаче (3.8) можно поставить в соответствие задачу на 1/8 ЯП V : V — Vn (j 0), дополнив постановку краевыми условиями на торцевых поверхностях:
Здесь и далее используются обозначения: поверхности контакта компонентов внутри V: E nt ; координатные плоскости: Ss = { . = 0} и торцевые поверхности ЯП: Es = {s = 1/2}, 5 = 1, 2, 3.
Для задачи (3.9) необходимы еще условия на торцевых поверхностях, которые будут разными для различных (p,q). Общий вид этих условий представлен ниже: Далее явным образом представлены указанные ГУ. Условия для задачи L33 представлены на рисунке (3.1 а)). Для других пар (р, q), когда р — q = 1, р = q — 2 меняются только значения 5зз — ёц и е3з — 22- У функций: U\ = \єц на Е для задачи (р,д) = (1,1), U2 = \Ё22 на для задачи (p,g) - (2,2). Условия для задачи L13 представлены на рисунке (3.1 б)). Для задач (p,q) = (1,2), (p,q) = (2,3) решение строится аналогично простой замены (далее представлены только ненулевые граничные условия): для (р, q) = (1,2) заданы ненулевые на Е2 : U\ = \є\2, для (Р) ) — (2, 3) заданы ненулевые на : [/2 = 1. Условия для задачи L3i представлены на рисунке (3.1 в)). Для задач (p,q) — (2,1), (р, q) = (3,2) решение строится аналогично простой замены (далее представлены только ненулевые граничные Указанные вычисления проводятся для каждого структурного уровня п, для каждой соответствующей ячейки периодичности V p.
Тензор концентрации напряжений В тп пру{ ) [66] связывает напряжения в компонентах композита &шпру(Л) (микронапряжения) и осредненные напряжения (ащпр}) в композите (макронапряжения).
Особенности программной реализации
Так как ключевой задачей работы являлось определение ЭХ МКМ с произвольной струкрурой армирования, то, естественно, встала задача задания такой структуры армирования. Т.е. необходимо программное средство по формированию геометрии внутренней структуры ЯП (далее эту структуру будем называть геометрической или ГС). При этом настоящая промежуточная задача должна быть решена с учетом возможности использования полученной ГС в дальнейших расчетах для МКЭ. Это подразумевает формирование КЭ сетки на основе ГС с помощью стандартных средств генерации КЭ сеток.
В качестве генератора сеток было выбрано ПО Netgen. В среде GCAD были разработаны средства определения ГС и дальнейшего формирования файла геометрии в формате Netgen.
Исходя из поставленных задач, перед тем как начать разработку приложения, был проведен анализ исходных данных. В результате был сделан вывод о том, что стандартный подход решения здесь не пригоден.
Под стандартным понимается подход, при котором моделируемая геометрическая структура «живет» лишь на время работы программы. При реализации этого подхода возникает задача сохранять построенные геометрические структуры, что влечет за собой необходимость использования стандартных форматов хранения такого рода информации (например, STL), а, следовательно, возникает необходимость написания интерфейса по работе с этими форматами (сохранение/загрузка геометрических структур).
Такой подход возможен, однако, условие использования стандартных форматов накладывает определенные ограничения при разработке.
Поэтому было принято решение: для хранения информации о построенных ГС будут использоваться механизмы БД как наиболее универсальные. Такой подход позволил автоматически создавать файл геометрии для ПО Netgen, преобразуя информацию, хранящуюся в БД.
Создание файла геометрии При создании файла геометрии осуществляется трансляция данных, хранящихся в БД в формат совместимый с ПО Netgen. Для осуществления этого преобразования был разработан соответствующий класс-преобразователь TNGFileFormat .
Детальное описания алгоритмов, использованных здесь, выходит за рамки настоящей работы, поэтому будет опущено.
Редактирование дерева геометрической структуры Для редактирования построенной геометрии были разработаны соответствующие средства, позволяющие обновлять данные в БД. После осуществления требуемых изменений в БД, производится обновление формата Netgen. Все обновления в ПК GCAD осуществляются автоматически.
Определение краевых условий, свойств материалов и прочих данных постановки
На рисунке (4.7) показан механизм задания исходных данных: граничных условий и свойств материалов. Пользователь, определив ГС, автоматически определяет все TLO (объекты верхнего уровня иерархии) или объекты ГС, которые будут расцениваться как отдельные однородные материалы. Каждый TLO помечается маркером, по которому можно определить принадлежность тому или иному материалу.
Также, все поверхности геометрии маркируются уникальными ключами, что используется при определении граничных условий.
ПО Netgen позволяет генерировать сетку с учетом определенных свойств геометрии (маркеров TLO и маркеров поверхностей). В результате генерации сетки, для каждого КЭ можно определить принадлежность тому или иному TLO и/или поверхности.
В ПК GCAD были реализованы несколько типов ГУ: условия первого рода (задание перемещений на внешней поверхности) или в частности заделки (U\QGC = и ) (эти условия еще называются условиями Дирихле, для одномерного случая); силовые условия (распределенные нагрузки, определенные на целой поверхности и одинаковые в каждой точке, для одномерного случая называются условиями Неймана); условия симметрии, определяемые для плоскостей и условия ограничения степеней свободы (например, фиксация на плоскости).
Свойства материалов могут быть заданы двумя способами: определение изотропного материала (два независимых параметра: модуль Юнга, коэффициент Пуассона) и в компонентах тензора модулей упругости.
В ПК GCAD ГУ и свойств материала задаются независимо от геометрии, сетки КЭ и вообще задачи. Одни и те же ГУ и свойства материалов могут быть использованы для целого класса задач (см. рис. (4.7)).
После определения ГУ и свойств материалов должны быть подготовлены исходные данные в виде файлов для последующего расчета МКЭ. Эту операцию можно провести с помощью соответствующей возможности ПК. Позже, при описании механизма решения задачи упругости с помощью МКЭ, будет подробно описан алгоритм, который позволил сделать процесс решения поставленной задачи МКЭ универсальным (см. стр. 65).
Тестирование разработанных методов и ПК
Для проведения сравнения получаемых ЭХ с приближенным подходом «Фойгта-Рейсса» была взята модель тканевого МКМ (см. рис. (2.1)). Подход предназначен для получения верхних и нижних оценок ЭХ КМ в зависимости от объемной концентрации волокон в общем объеме КМ. Для выбранной структуры варьировать концентрацию довольно удобно, изменяя радиусы волокон. Механические свойства волокон и матрицы были взяты в соответствие реально существующим материалам: использовалась фенольная матрица и углеродные волокна.
Полученные зависимости представлены на рисунках (5.1), (5.2), а исходные данные сведены в таблице (2).
Как видно из иллюстраций, расчетные значения удовлетворяют оценкам Фойгта-Рейсса. Как и следовало ожидать, эффективные характеристики (модули Юнга и модули сдвига) результирующего КМ будут зависеть от направления, что отражает ортотропию механических свойств: Е\ = Ei ф Е%, G\ = G23 ф Gu- Ортотропию свойств можно было предугадать, исходя из исходной геометрии ЯП. Также эти свойства тканевых КМ подтверждаются экспериментально: материал значительно сильнее сопротивляется растяжению вдоль волокон, нежели чем поперек.
Для отладки работы решателя МКЭ ПК GCAD проводились комплексные сравнения получаемых полей распределений деформаций, напряжений и перемещений. Результаты сравнивались с результатами, полученными в ПК Ansys, приведенными в работе [22], а также с экспериментальными данными, для случая 3D ортогонально-армированного одноуровневого КМ (материалы предоставлены ОАО «ЦНИИСМ» и представлены в работе [22]). Указанный ПК является коммерческим продуктом и корректность получаемых им результатов, для моделей линейной теории упругости, для однородных твердых тел, не подвергалась сомнению. Корректность работы этого ПК была многократно подтверждена натурными испытаниями. Отклонение результатов, получаемых разработанным решателем МКЭ и ПК Ansys, не превышало 2-3% для всех рассмотренных тестовых задач. Указанные погрешности вычислений стоит отнести к проблемам вычислительных погрешностей. МКМ трех типов: дисперсно-армированного, тканевого и 4D армирован ного МКМ. Ниже приводятся полученные промежуточные и окончательные результаты расчетов.
Исследование дисперсно-армированных МКМ
В соответствие предложенному методу сначала проводится расчет серий задач Lm, а затем определяются ЭХ на соответствующих структурных уровнях.
КМ, построенный на основе модели ЯП, представленной на рис. {2.1 в)) будет обладать изотропными свойствами за счет выраженной центральной симметрии ЯП. В таблице (3) представлены исходные данные, которые использовались при расчете ЭХ дисперсно-армированного МКМ. Далее следуют графические результаты расчета.
На рисунке (1.1) представлена геометрия трехуровневого дисперсно-армированного МКМ. Ниже представлены графические результаты, полученные при определении ЭХ композита такого типа.
Стоит остановиться на некоторых особенностях геометрии моделируемого МКМ. Гранулы ЯП 1-го уровня представлены аналогичным дисперсно-армированных КМ с ЯП 2-го уровня. В свою очередь, гранула в ЯП 2-го уровня представлена композитом 1-го уровня с соответствующей ЯП. Качественно ЯП всех уровней одинаковы, отличия заключаются в концентрации гранул в общем объеме КМ.
Модель ЯП на любом уровне предполагала наличие приграничного слоя, свойства которого также известны. Эти свойства были постоянными, для ЯП со всех структурных уровней.
Как видно из иллюстраций, при расчете серии задач, на нижнем 3-м уровне, микронапряжения сосредотачивались в грануле за счет резкого отличия свойств матрицы и наполнителя. С уменьшением уровня, механические свойства гранулы падают, она становится менее прочной, при постоянных свойствах приграничного слоя. Поэтому на первом уровне мы имеем такое яркое сосредоточнение микронапряжений в погранслое, а гранулы содержатся как бы в более прочной «скорлупе».
