Введение к работе
Диссертация посвящена ключевым аспектам в структурной теории самоподобных множеств.
Актуальность проблемы.
Бурное развитие в последние десятилетия фрактальной геометрии и фрактального анализа, выявившее роль этих разделов математики как одного из главных факторов ее роста на рубеже 20 и 21 веков, продиктовано логикой развития математики и имеет целый ряд причин, которые уместно перечислить.
С одной стороны, идея внутреннего подобия объектов прослеживается в истории научной и философской мысли человечества с древнейших времен. С другой - это развитие было вызвано новыми требованиями к математическому инструментарию, возникшими в разных сферах приложения математики. Наконец, важнейшим фактором развития фрактальной геометрии и анализа является то, что их возникновение и рост проистекали из естественных закономерностей развития математического анализа и его непосредственных нужд.
Первые предпосылки изучения самоподобных объектов были заложены в 17 веке основателем математического анализа Г. В. Ф. Лейбницем (1646—1716). Но математическому анализу предстояло двухвековое развитие, прежде чем эти предпосылки реализовались в виде первых нетривиальных конструкций.
Более века те задачи и методы, которые рассматривались математическим анализом, исходили из предположения о гладкости и непрерывности рассматриваемых объектов. Аппарат и основные конструкции анализа разрабатывались в рамках представлений о гладкости и континуальности, а изолированные нарушения последних хотя и допускались, но воспринимались как помехи, вносящие дополнительные технические трудности. С течением времени вопрос о включении в рассмотрение и об исследовании объектов, не являющихся гладкими и непрерывными, стал все чаще возникать в разных разделах анализа; сначала это были отдельные примеры, затем на повестку дня встал вопрос об исследовании некоторых классов таких нестандартных объектов; впоследствии обозначилось, что как правило, граница области применимости суще-
ствующих методов анализа пролегает в области объектов, обладающих некоторой общностью свойств, и эти же свойства адекватно отвечают запросам приложений; пока, наконец, не стало ясно, что область применения методов анализа может и должна быть распространена на более широкий диапазон объектов, не являющихся гладкими, но обладающих некоторой регулярной структурой, более общей, чем гладкая.
В 1829 году Дирихле, рассматривая сходимость тригонометрических рядов, строит пример всюду разрывной функции. В 1831-34 годах первые попытки построить нигде не дифференцируемые непрерывные функции делает Б. Больцано (1781- 1848). Первый полностью обоснованный пример нигде не дифференцируемой функции был построен в 1872 г. Вейерштрассом (1815-1897). Этот пример считается первой конструкцией нетривиальной фрактальной кривой в истории математики.
В 1884 году в своем письме в журнал Acta Mathematica Г. Кантор строит совершенное нигде не плотное подмножество прямой, равномощ-ное отрезку и предлагает конструкцию монотонной непрерывной непостоянной функции на отрезке [0,1], производная которой почти всюду равна нулю.
Другим важным с точки зрения развития фрактальной геометрии событием этого периода является создание в 1880-84 гг. А. Пуанкаре, Ф. Клейном, Л. Фуксом и М. Кёбе теории клейновых групп, предельные множества которых являются мебиусово самоподобными множествами.
В 1904 году Хельге фон Кох строит непрерывную кривую, не имеющую касательной ни в одной из своих точек. Эта конструкция, в отличие от функции Вейерштрасса, носит чисто геометрический характер. В 1905 году Э. Чезаро указывает на ее самоподобие.
В феврале 1915 года В. Серпинский публикует свою заметку о кривой, каждая из точек которой есть ее точка ветвления. В ней впервые появляется один из важнейших объектов фрактальной геометрии — треугольник Серпинского. В статье приведен способ построения этого множества, как предела последовательности ломаных, каждая из которых получается из предыдущей заменой каждого ее звена на уменьшенную копию первой ломаной в последовательности.
В 1914 году К. Каратеодори вводит понятие внешней меры и на ос-
нове своей конструкции определяет fc-мерную меру подмножества в п-мерном пространстве. Основываясь на работе Каратеодори, в 1918 году Ф. Хаусдорф определяет меру с нецелым показателем и дробную размерность и доказывает, что хаусдорфова размерность канторова множества равна log32.
На эти же годы (1918 - 1922) приходится создание теории итераций аналитических преобразований в работах Г. Жюлиа, П. Фату и — независимо от них — Дж. Ритта.
Крупнейший вклад в исследование множеств, имеющих дробную размерность, был сделан А. С. Безиковичем. В его серии работ 1926 - 1939 гг. им был построен тонкий и нетривиальный аппарат для исследования геометрических свойств множеств дробной хаусдорфовой размерности и иррегулярных множеств целой размерности.
В 1938 году П. Леви публикует исследование свойств самоподобных кривых. Он показывает, что построение кривой Коха может быть обобщено и рассматривает кривые, состоящие из п подобных частей; во второй части своей работы он строит примеры симметричных кривых на плоскости, имеющих размерность 2 и являющихся первыми примерами тайлов, т.е. самоподобных множеств, которыми можно замостить всю плоскость.
В 1935 году X. Уитни строит пример неспрямляемой кривой 7> множество особых точек которой есть канторово множество на плоскости, и вещественной функции f(x,y) класса С1, непостоянной на 7 и такой, что все ее частные производные обращаются в нуль на 7- Замечательно, что кривая 7? как будет показано в гл.2, является аттрактором граф-ориентированной системы, которую мы назовем мультициппером. Но еще более знаменательно, что исследование примеров таких функций привело к выявлению в 1986 г. А.Нортоном в работе [14] взаимосвязи между хаусдорфовой размерностью критического множества 7 функции / в Rn и гельдеровым классом т + а гладкости этой функции, гарантирующей постоянство функции / на множестве 7-
Осознание того, что изучение фрактальных объектов является цельной областью математических исследований, имеющих широкий спектр приложений, пришло на заре эпохи компьютерных вычислений, с появ-
лением, начиная с 1967 года, работ Б. Мандельброта.
Четкая математическая основа для построения и исследования самоподобных множеств была задана основополагающей работой Дж. Хатчинсона [7] "Фракталы и самоподобие" (1981), за которой последовал ряд работ, в которых формулировались ключевые методы и конструкции теории. В 1988 году Р. Маулдин и С. Уильяме [13] ввели понятие граф-ориентированной системы, существенно расширив подход, предложенный Дж. Хатчинсоном.
Одним из важнейших вопросов теории самоподобных множеств, служащим побудительным стимулом многих работ и по сей день, является вопрос о вычислении хаусдорфовой размерности самоподобного множества. Основой таких вычислений служило сформулированное Дж. Хатчинсоном условие открытого множества (OSC), обеспечивающее совпадение размерности подобия и размерности Хаусдорфа. В работе К. Банд-та [1] это условие заменялось алгебраическим условием, требующим, чтобы замыкание ассоциированного семейства подобий jF = G~l G не содержало Id. В дальнейшем это привело к полученному М. Цернером [19] слабому условию отделимости Id ф. G~l G\ {Id}, являющемуся основным критерием положительности хаусдорфовой меры и вычислимости хаусдорфовой размерности.
Потребности приложений продиктовали развитие таких направлений исследований, как исследование случайных процессов на фракталах [4],[2], анализ на фракталах, разрабатываемый Дж. Кигами [8], исследование дифференциальных операторов и дифференциальных уравнений на фракталах ( Р. Стричартц)[18], изучение топологических пространств, моделируемых фракталами — фрактафолдов (А. Тепляев), построение геометрической теории интегрирования, позволяющая доказывать основные формулы интегрирования для широкого класса объектов, включающего фракталы (Дж. Харрисон)[б]. В цикле работ С. Пономарева [15, 16] исследовались интегралы типа Коши на семействе кривых Коха, имеющие приложение к краевым задачам математической физики. Р. Григор-чуком [5] разработана теория самоподобных групп. Важной областью исследований является теория самоаффинных замощений — тайлов и муль-титайлов, отраженная в многочисленных работах К. Бандта. И. Вон-
га, и др. В работах М.В. Коробкова исследованы случаи, когда множества значений производных дифференцирумых функций имеют фрактальную структуру (см. [10] для случая дифференцируемой (негладкой) вектор-функции одной переменной и [11] для случая вещественнознач-ной С1-гладкой функции двух переменных).
Цель работы.
Получение топологических аналогов самоподобных структур, как инвариантных множеств полугрупп действующих на компактах или полных метрических пространствах. Получение структурных теорем и теорем жесткости для самоподобных жордановых континуумов. Нахождение хаусдорфовой размерности и хаусдорфовой меры множества крайних точек самоподобного множества. Доказательство теорем конечности для выпуклых оболочек самоподобных множеств.
Методы исследования. В диссертации используются топологические и геометрические методы, обычно применяемые в теории самоподобных множеств. При построении топологических аналогов самоподобных структур используются методы общей топологии и теории гиперпространств. Исследование самоподобных жордановых дуг опирается на методы, впервые примененные К. Бандтом и основанные на анализе свойств ассоциированного семейства полугруппы сжимающих подобий. Исследование выпуклых оболочек самоподобных множеств опирается на методы выпуклого анализа и дискретных динамических систем.
Основные результаты работы.
Первая группа результатов относится к определению самоподобных структур на компактных топологических пространствах, описанию мор-физмов этих структур а также основных свойств топологических самоподобных структур.
Напомним, что классическое определение самоподобных фракталов формулируется в терминах сжимающих отображений для полных метрических пространств, а основная теорема существования — теорема Хатчинсона - справедлива для полных метрических пространств.
В диссертации, для общего случая хаусдорфовых топологических пространств, введен новый класс действующих на этих пространствах полугрупп непрерывных инъективных отображений или полугрупп, удо-
влетворяющих условию (Р). Эти полугруппы являются аналогом полугрупп сжимающих отображений в полных метрических пространствах, но определяются условиями не требующими ни метризуемости, ни полноты.
С помощью этого класса полугрупп определяется понятие самоподобной структуры на компактном топологическом пространстве. Такое определение близко к определению Дж. Кигами [8], но, как показано в первой главе диссертации, имеет по сравнению с последним ряд преимуществ.
Для систем отображений из указанных полугрупп, удовлетворяющих условию (Р), доказан аналог теоремы Хатчинсона, справедливый для произвольных хаусдорфовых топологических пространств.
Изучено действие операторов Хатчинсона в гиперпространстве и доказана теорема о полугруппах, порожденных операторами Хатчинсона, описывающая многообразия случайных фракталов, или фрактальные расслоения, как аттракторы таких полугрупп.
Вторая группа результатов связана с построением и исследованием конструкций циппера и мультициппера, идея которых восходит к работам X. Коха [9] и П. Леви [12]. Получены условия представимости самоподобного континуума в виде аттрактора циппера и мультициппера. Получены критерии жордановости аттрактора циппера и ограниченности искривления аттрактора жорданова циппера. Доказана теорема о существовании линейной параметризации циппера и мультициппера и о гельдеровости такой параметризации. Доказана теорема об условиях ограниченности искривления аттрактора, из которой следует формула для хаусдорфовой размерности аттрактора.
Третья группа результатов относится к исследованию самоподобных жордановых континуумов. Доказана теорема о жесткости самоподобных жордановых дуг. Согласно этой теореме, всякая отличная от прямолинейного отрезка жорданова самоподобная дуга является компонентой аттрактора самоподобного мультициппера. Из этой теоремы следует, что если такая дуга имеет ограниченное искривление, то она удовлетворяет сильному условию открытого множества, что дает алгоритм вычисле-
ния хаусдорфовой размерности самоподобной жордановой дуги. Доказана теорема о жесткости самоподобных одномерных структур, не удовлетворяющих слабому условию отделимости.
Четвертая группа результатов относится к исследованию выпуклых оболочек самоподобных множеств. Получено описание динамики действия обратного оператора Хатчинсона на границе выпуклой оболочки самоподобного множества. Доказана теорема о равенстве нулю хаусдо-фовой размерности множества крайних точек выпуклой оболочки самоподобных множеств на плоскости, удовлетворяющих условию открытого выпуклого множества. Доказана теорема конечности для выпуклых оболочек самоподобных множеств в банаховых пространствах, указывающая условия, при которых такая оболочка является конечным полиэдром. Доказана теорема о том, что лебегова одномерная мера множества крайних точек выпуклой оболочки самоподобного множества на плоскости равна нулю.
Научная новизна, теоретическая и практическая значимость. Все основные результаты диссертации являются новыми, снабжены доказательствами и своевременно опубликованы. Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы для дальнейшего развития как фрактальной геометрии, так и взаимодействующих с ней областей математики: теории квазиконформных отображений, теории динамических систем, теории дифференциальных уравнений и в естественнонаучных приложениях, опирающихся на модели фрактального анализа.
Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах автора. Вклад авторов в совместных работах является равным.
Материалы диссертации неоднократно докладывались на международных и российских конференциях:
"Математические проблемы в механике сплошных сред" (г.Новосибирск 1999, 2000).
6-th Russian-Korean International Symposium on Science and Technology, KORUS-2002 (June 24-30, 2002), Novosibirsk.
Школа-конференция по геометрии и анализу, посвященная памяти
А. Д. Александрова, Новосибирск, Академгородок, 9-20 сентября 2002 г.
Международная конференция "Геометрическая топология, дискретная геометрия и теория множеств", посвященная 100-летию Л. В. Келдыш, (24-28 августа 2004 г.), Москва.
Международная конференция "Геометрия и топология трехмерных многообразий", Новосибирск, 23-28 августа 2005 г.
Всероссийская научная конференция "Математика. Механика. Информатика." Челябинский государственный университет. Математический факулвтет. 19-22 сентября 2006 г.
Конференция, посвященная 50-летию Института математики СО РАН им. С. Л. Соболева, 17-23 сентября 2007 г., Новосибирск.
Международная конференция "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений," посвященная 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева, 5-12 октября 2008, Новосибирск.
Международная конференция "Современные проблемы анализа и геометрии," 14-20 сентября 2009, Новосибирск.
Международный математический конгресс ICM-2010, Хайдерабад, Индия, 18-27 августа 2010.
Результаты диссертации доложены также на семинарах :
Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН "Математические проблемы механики сплошных сред" под руководством академика В. Н. Монахова , чл.-корр. РАН П. И. Плотникова (2004, 2005),
Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, лаборатории теории функции под руководством д.ф.-м.н. профессора Асеева В. В. и д.ф.-м.н. профессора Сычева А. В. (2006).
Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, отдела отделом геометрии и анализа под руководством акад. Ю.Г.Решетняка (2006).
Семинар кафедры дифференциальной геометрии и топологии МГУ под рук-вом акад. А. Т. Фоменко (2006).
Семинар по дифференциальной геометрии ИМ СО РАН под рук-вом И. А. Тайманова (2009).
Семинар по фрактальной геометрии в Институте математики и информатики Грайфсвальдского Университета (Германия) под рук-вом проф. К. Бандта (2009).
Семинар по фрактальной геометрии и стохастике Йенского Университета (Германия) под рук-вом М. Залле и В. С. Матвеева (2009).
Семинар по топологии в Варвикском университете (Великобритания) под рук-вом К. Сериес (2010).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы и списка литературы. Нумерация теорем и формул в каждом параграфе своя.
