Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Комплексы в полуабелевых категориях 16
1.1. О Кег — Сокег— последовательности в полуабелевой категории 16
1.2. О когомологической последовательности для короткой точной последовательности комплексов в полуабелевой категории ... 33
Глава 2. Комплексы Соболевских пространств, ассоциированные с абстрактным гильбертовым комплексом ....37
2.1. Предварительные сведения об операторах в банаховых пространствах 37
2.2. Соболевские пространства, ассоциированные с замкнутым оператором 43
2.3. Гильбертовы комплексы... 58
Выводы
Заключение
- О Кег — Сокег— последовательности в полуабелевой категории
- О когомологической последовательности для короткой точной последовательности комплексов в полуабелевой категории
- Предварительные сведения об операторах в банаховых пространствах
- Соболевские пространства, ассоциированные с замкнутым оператором
Введение к работе
Согласно известной теореме де Рама [1] у гладкого многообразия М сингулярные когомологии с вещественными коэффициентами совпадают с когомологиями комплекса де Рама О — fi°(Af) -± tl\M) -U U Qj(M) A W+1(M) -А • • •, где Q?(M)- пространство гладких дифференциальных форм степени j на М, a d- оператор внешнего дифференцирования. Еще в 50- е годы было показано, что на замкнутом римановом многообразии пространство когомологии изоморфно пространству гармонических форм. Оператор Ходжа на римановом многообразии позволил ввести на пространстве DJ(M) дифференциальных форм степени j с компактными носителями, лежащими в Int М, внутреннее произведение (ш,9)= / шЛ 0, JM пополнение .пространства D3\M) относительно которого совпадает с гильбертовым пространством L32(M) дифференциальных форм степени j на М, удовлетворяющих условию о;І2 = fMu Л w со. При этом оператор внешнего дифференцирования d : D3\M) —— DJ+1(M) можно расширить до замкнутого оператора, заданного на подпространстве пространства L32{M). Именно, будем считать, что форма ср лежит в области определения оператора d, если и только если существует последовательность {vfy} С°°— форм такая, что срц и dip сходятся в норме • 2- Положим dip = lim dcp . \х— оо Использование методов гильбертова пространства сделало возможным получить различные варианты разложения Ходжа- Кодаиры [2-3]. Это позволило Коннеру [4] поставить задачи Дирихле и Неймана для дифференциальных форм на римановом многообразии и исследовать вопросы их разрешимости. В 1976 г. в работе [5] М. Атья впервые определил L2— когомологии ри-манова многообразия и положил начало их использованию для изучения некомпактных римановых многообразий и римановых многообразий с особенностями. В дальнейшем L2— когомологии изучались М. Гаффни, Дж. Доджиком, Дж. Чигером, М. Громовым, В. Мюллером, С. Цуке-ром, В. Пансю и другими авторами. В 80- е годы В. М. Гольдштейн, В. И. Кузьминов и И. А. Шведов ввели в рассмотрение Lp— комплекс де Рама риманова многообразия М и начали изучать его Lp— когомологии. Эта тематика активно разрабатывается ими в настоящее время. На п— мерном римановом многообразии М для каждой дифференциальной формы и определен ее модуль х н- о;(а;). Для 1 р со и непрерывной положительной функции г на М пусть символ ,(М, т) обозначает банахово пространство, образованное измеримыми формами степени j на М, модуль которых интегрируем с весом г в степени р на М для р со и удовлетворяет условию ess sup o;(a;)r(a;) 00 для р = со. хвМ Норма в пространстве LJp(M, т) вводится формулой (if Нх)\мТр(Фх}1/р, если 1 р со, jw _ ) м "LJP{M,T) \ egs SUp о;(а;)д/т(аО, если p = CO. І хЄМ Через Di(M) обозначим векторное пространство форм степени j на М с компактными носителями, содержащимися в Int М.
Дифференциальная форма ф Є 1 ос(М) называется [обобщенным)
дифференциалом du формы ш Є L3lloc(M), если для любой формы и Є .Dn-J_1(M), носитель которой лежит в ориентированной области, и ее обычного внешнего дифференциала du выполняется равенство
[ uAdu= (-l)i+1 [ фЛи.
м м
Положим
W}(M,т) = {ие Ц(М,r)\du Є LP+1(M,г)}.
Норму в пространстве W (M,r) введем формулой
\H\wHM,r) = (IMfy(,,lT) + ll 4ij+-(M,T))1/2 Замыкание в пространстве \(М, т) подпространства D (M) будем обозначать через V (M, г).
Таким образом, с каждым римановым многообразием М, числом р Є [1, со] и непрерывной положительной функцией т на М связан банахов комплекс LP(M, т) : 0 —)• L°(M, т) A L\(M, т) А • • • ...П гіЛ м, -, (0.1) образованный банаховыми пространствами L3p(M, г) и замкнутыми плотно определенными линейными операторами d?. Наряду с комплексом (0.1) удобно бывает рассматривать также комплекс Wp{M,r) : 0 — И °(М,т) А И (М,т) А •• • ... ТУДМ,г) Л М, -, (0.2) в котором операторы d? уже всюду определены и непрерывны. Когомоло-гии Щ(М,т) комплекса (0.1) (совпадающие с когомологиями комплекса (0.2)) называются (весовыми) Ьр-когомологиями риманова многообразия М. Факторпространство Щ(М,т) по замыканию нуля дает банахово пространство Нр(М, т) редуцировнных Ьр-когомологий М. Пространства Щ(М,т) и Нр(М,т) совпадают тогда и только тогда, когда d3 нормально разрешим. Меняя в формуле (0.2) всюду W на V, получим комплекс \™(М,т), когомологии которого обозначаются символом ЩС(М, т) ( а редуцированные когомологии - соответственно Нрс(М, т) ) Предположим, что многообразие М представлено в виде объединения двух замкнутых множеств М\ и Мг, причем М\ и Мч гладкие п- мерные подмногообразия, а М1ПМ2- гладкое п — 1- мерное подмногообразие М, Mi П М2 С IntM. Пусть ф3 : W3(M,r) — И (Мьт)- оператор ограничения форм с М на Mi, a (р3 : V3(M2,r) — • W3(M,r)- оператор продолжения нулем с Мч на М. Эти операторы перестановочны с дифференциалами и образуют короткую точную последовательность комплексов О —у VP{M2, т) - WP(M, т) A WP(MU т) —» 0. Этой точной последовательности комплексов соответствует точная последовательность Lp— когомологий І-ІҐЛЖ „\ 6І \ ИЗ ҐЛ, - Щ тті,Л/Г „S Щ Щ-\Мът) Z-+ H pfi(M2,r) Щ(М,т) Щ{Мът) — и полуточная последовательность редуцированных когомологий У Нр \МЪ т) Нр с(М2, т) 4 Нр(М, т) 4 Нр(Ми т) — • • -. (0.3) Возникает естественный вопрос: когда последовательность (0.3) является точной? Этот вопрос исследовали В. И. Кузьминов и И. А. Шведов в [6] для короткой точной последовательности произвольных банаховых комплексов, компоненты которых суть банаховы пространства, а дифференциалы- замкнутые плотно определенные линейные операторы. Эти авторы изучили (Теорема 1 из [6]), как влияет на точность последовательности редуцированных когомологий предположение о нормальной разрешимости дифференциалов одного из комплексов Л, В или С. Категория ВАМ банаховых пространств и непрерывных линейных операторов представляет собой пример полуабелевой категории . Аддитивная категория с ядрами и коядрами называется полуабелевой , если она удовлетворяет условиям а)если коммутативный квадрат А -- В d 91 (1.1) С D коуниверсален, то из условия /3 — coker ker/З следует, что a = coker ker а и Ь) если квадрат (1.1) универсален, иа = ker coker а, то (3 = ker coker (3.
Важность распространения понятий и методов, используемых при изучении абелевых категорий, на более широкий класс категорий, обусловлена тем, что многие важные категории функционального анализа и топологической алгебры не являются абелевыми. Исследования в этом направлении начали румынские математики К. Бэникэ и Н. Попэску (пре-дабелевы категории [7]), М. Журеску и А. Ласку (канторовы категории [8]). В 1969 г. в [9] Д. А. Райков ввел понятие полуабелевой категории, подробно исследованное затем В. И. Кузьминовым и А. Ю. Черевики-ным в [10] и самим Райковым в [11]. Р. Суччи Кручани в [12] изучала существование функторов Extn в квазиабелевой (канторовой аддитивной) категории. Как отметил Райков, квазиабелева категория в смысле Суччи Кручани является полуабелевой. В 1998 г. Ж. -П. Шнайдере дал определение квазиабелевой категории, совпадающее с данным выше определением полуабелевой категории. Как доказали в [10] еще в 1972 г. Кузьминов и Черевикин, это определение эквивалентно определению полуабелевой категории, данному Райковым.
Морфизм /і называется строгим (коротко /х Є Ос), если в его каноническом разложении \i = (іт/і)Д(соіт ) Д- изоморфизм. В категории ВАМ строгость означает нормальную разрешимость. Когомологии ко-цепного комплекса А в категории ВАМ представляют собой редуцированные когомологии банахова комплекса А.
Последовательность А — В — С называется точной, если \пкр = ker ф. В полуабелевой категории эта последовательность точна тогда и только тогда, когда coim ф = coker ср.
Последовательность 0 — А — В — С — 0 будем называть строго точной и писать (р\ф, если ср = кетф, ф = coker (р. Строго точной последовательности О іАвЛС- 0 (1.15) коцепных комплексов в полуабелевой категории соответствует когомологическая последовательность ... — Нп{А) Н- Н] Нп(В) Н Ч] Нп{С) - Нп+1{А) —+ ... (1.17) Вопрос о том, как влияет строгость морфизмов в одном из комплексов, образующих строго точную последовательность (1.15) на точность когомологической последовательности (1.17) и свойства морфизмов этой последовательности был досконально исследован В. И. Кузьминовым и Я. А. Копыловым ([14], [15]). Еще Д.А.Райков в [9] показал, что последовательность (1.17) точна и морфизмы, ее образующие, являются строгими, если все дифференциалы комплексов А, В и С — строгие морфизмы.
В [14] дано следующее обобщение этого результата:
(1) если дифференциал d\ комплекса А является строгим морфиз-мом, то последовательность (1.17) точна в членах Нп{С) и Нп(В), а Нп{ф)— строгий морфизм;
(2) если дифференциал d комплекса В является строгим морфиз-мом, то последовательность (1.17) точна в членах Нп(С) и Нп+1(А), а А" — строгий морфизм;
(3) если дифференциал OVQ комплекса С является строгим морфиз- \ мом, то последовательность (1.17) точна в членах Нп+1(А) и Нп+1(В) а Нп+1( р) —строгий морфизм. Диссертация состоит из двух глав.
В первой главе рассматривается когомологическая последовательность (1.17), соответствующая строго точной последовательности комплексов (1.15) в полуабелевой категории.
Мы вводим «выделенный» класс морфизмов О-р, обладающий рядом существенных свойств класса строгих морфизмов, но, вообще говоря, более широкий, чем класс Ос. Заменяя условие строгости дифференциалов одного из комплексов А, В или С более слабым условием их принадлежности этому «выделенному» классу мы получаем в результате следующий вариант вышеупомянутой теоремы из [14] о точности когомологической последовательности.
Теорема 1. 1. Для когомологической последовательности (1.17) строго точной последовательности комплексов (1.15) справедливы следующие утверждения:
1) если d\ Є Op, то Нг(ф) Є Ор и последовательность (1.17) точгш в члене Нг{С)\
2) если dB Є Op, то Аг Є Ор и последовательность (1.17) точна в члене НІ+1(Л);
3) если с? Є Ор, то Нг+1((р) Є Ор и последовательность (1.17) точна в члене Нг+1(В);
Теорему 1. 1 дополняет теорема 1. 2, которая решает в некотором смысле «обратную» задачу.
Теорема 1.2. Для короткой точной последовательности комплексов (1.15) с когомологической последовательностью (1.17) выполнены утверждения:
1) если а11д1 в,Н1(ф)е Ор, то \dB eOM= dA a Ор);
2) если dlB,d 1, Ні+\ р) Є О-р, то (а 1Є Ом =» 4? Є ОД;
3) если dlA, dlc, Аг Є Op, mo (cfa Є 0 f = dB Є Op),
где класс Ом удовлетворяет условиям, двойственным условиям, наложенным на класс Ор. Доказательство этих теорем базируется на утверждениях п. 1. 1 о Кег — Coker — последовательности Кега Кег/3- Кег7- Сокега- Сокег - .Сокег7 (1.7) соответствующей коммутативной диаграмме AQ J«L+ Во ± Со — О (1.6) О - Лі Ві 4 Сі удовлетворяющей условиям фо = coker (ро, ері — кеіфі.
В параграфе 1.1 главы 1 представлены результаты исследования вопроса о том, как влияет условие принадлежности одного из морфизмов а,/3 или 7 классу Ор в диаграмме (1.6) на точность последовательности (1.7) и свойства образующих ее морфизмов. Эти результаты получены автором совместно с научным руководителем, профессором В. И. Кузь-миновым.
Предложение 1.1. Для коммутативной диаграммы (1.6) с Кег — Coker- последовательностью (1.7) справедливы следующие утвероісде-ния:
1) если а Є Op, то последовательность (1.7) точна в члене Кег7;
2) если {3 ЄО-р, то последовательность (1.7) точна в члене Coker а;
3) если 7 ЄОр, то последовательность (1.7) точна в члене Coker /3. Предложение 1.2. Для коммутативной диаграммы (1.6) с Кег —
Coker- последовательностью (1.7) справедливы следующие утвероюде-ния:
1) если а Є Op, mo gu Є Op;
2) если /З Є Op, то 5 Є Ор;
3) если 7 Є Ор, то р є Op .
Предложение 1.3. Для диаграммы (1.6) с Кег —Coker -последовательностью (1.7) справедливы следующие утверждения:
1) если о/и, tpo Є Op, /З Є Op П Ox» то а Є Op]
2) если /3,2 Є Op, фі Є Op П Ом, mo 7 Є Op;
3) если а, (5 Є Op, 7 6 Op П 0 , то /З Є Op. Вторая глава диссертации посвящена исследованию комплекса Соболевских пространств, ассоциированного с абстрактным гильбертовым комплексом.
Под гильбертовым комплексом мы будем понимать последовательность гильбертовых пространств Аг и их (плотно определенных, замкнутых) линейных отображений dA : Аг — Аг+1 таких, что для каждого і Є ZImdA С Кегс д"1. В частности, гильбертовым комплексом является Ьч- комплекс де Рама на римановом многообразии.
Для любого гильбертова комплекса Л— ( ,dA)ieZ и произвольного целого числа к Є Z определены гильбертовы пространства редуцирован-ных когомологий Н А и топологические векторные пространства кого-мологий НкА. Эти пространства совпадают тогда и только тогда, когда оператор dA нормально разрешим, т. е. имеет замкнутый в Ак образ.
Абстрактные гильбертовы комплексы изучались, например, в работе [16] и в более общей ситуации (банаховы комплексы) в работе [6].
Операторы dA позволяют сконструировать для каждого к Є Z плотно определенный самосопряженный оператор Лапласа ДЛ. = ( ) + ( Для#достаточно «хороших» функций / функционал /(Ыл + Ад ) • Щ является нормой. Пополнение Dom/(Id : + А ) по данной норме называется соболевским пространством с показателем f и обозначается через Н к(А).
Существуют пары функций /,#, позволяющие построить «каноническое» отображение єрк : Н ,к(А) — Н9,к(А), которое иногда является вложением.
Нам понадобятся следующие условия на функции f,g : Ш+ — Е+, с помощью которых мы будем определять Соболевские пространства:
(i) / измерима, конечна и определена почти всюду относительно спектрального семейства {Е\} оператора Id + Ад«.
(ii) /(A) 0 для п. в. А Є а{Ы + ААІ).
(iii) Существует константа с О такая, что для п. е. А Є cr(Id + АДІ) выполнено неравенство g(X) с- /(А).
(iv) lim g(\)/f(\) = 0.
А- оо
(v) Существует константа у 0 такая, что /(А) у для п. в. А Є cr(Id + АЛІ).
(vi) Существует константа у 0 такая, что /(А) 7 для п. в. A(Ea(Id +АЛІ).
Справедлива следующая
Теорема 2.3.1. Для гильбертова комплекса А = (Аг, dlA)ieZ справедливы следующие утверждения:
1) Для любой пары функций f,g : R+ + удовлетворяющих условиям (i)-(iii) оператор єрг° : Н г{А) — і/"9 г(Н.) ограничен. Если операторы d?2, dA компактно разрешимы, dimH°A со, то для любой пары функций f,g : Ш+ — Е+; удовлетворяющих условиям (i)—(iv) оператор є г° компактен;
2) если существует такая пара функций f,g : Е+ — М+; что / и g удовлетворяют условиям (i)—(iv) и отображение е г° компактно, то операторы сГ; сГ компактно разрешимы и dim if °Л оо. Можно найти такие классы функций /, которые позволяют сформировать для комплекса A = {A1, dlA)ieZ ассоциированный с ним комплекс соболевских пространств HJk(A): ...-»н °(А) 4н м ЧА) - ...- HWX N(A) - ...; причем замыкания d в соболевских пространствах операторов внешнего дифференцирования d™ будут ограниченными операторами. Такой комплекс мы будем называть Соболевским комплексом, ассоциированным с комплексом А. Соболевские комплексы такого вида исследовались Дж. Доджиком для функций / = Ап/2, п Є Z, и гильбертова комплекса (4(M),4).-ez.
Оставшаяся часть главы 2 посвящена исследованию вопроса о том, как влияет нормальная разрешимость дифференциалов гильбертова комплекса на свойства дифференциалов ассоциированого с ним Соболевского комплекса.
Пусть гильбертов комплекс A = (A1, dlA)iez удовлетворяет следующему условию:
(F) А1 — 0 при і 0; и существует такое целое N 0, что Аг = О при і N.
Такие комплексы мы будем называть конечными. Пусть теперь А — конечный гильбертов комплекс и функция / : Ж+ Ш+ удовлетворяет условиям (і), (іі) и, кроме того, условию: (Gk) для любого І Є {0,..., N} функция А"/(А) удовлетворяет хотя бы одному из условий (v), (vi) для некоторого к Є Z. то любому конечному гильбертову комплексу А: О - А0 Д А1 - ... -+ A -% Ai+1 - ... - AN - 0, (2.3.2) и функции / : R+ — R+, удовлетворяющей условиям (і), (іі) и условию (С?&), можно поставить в соответствие ассоциированный с (2.3.2) «Соболевский комплекс» %к с ограниченными всюду определеннными операторами в качестве дифференциалов: О _ #/( .0(Д) 4 #/( ЧД) _../_ Я А)АЦК-ЛГ(Л) - о, (2.3.3) Справедлива Теорема 2.3.2. Для конечного гильбертова комплекса А = (Аг, сІгА)іеІі и функции f : R+ + удовлетворяющей условиям (і), (іі) и (Gk) для некоторого к ЕЪ, справедливы следующие утверждения: 1) оператор 6 нормально разрешим тогда и только тогда, когда нормально разрешим оператор djfl0,l°, редуцированные когомологии Н А комплекса А совпадают с редуцированными когомологиями комплекса 7ik в степени г о В частности, комплексы А и %к фредгольмовы одновременно. Если комплекс А не удовлетворяет условию конечности, то условие (Gk) следует заменить условием: (Goo) для любого к Є Ъ функция А г /(А) удовлетворяет хотя бы одному из условий (v), (vi). -Пусть A = (A\dlA)ieZ - бесконечный гильбертов комплекс и /(А) = Аг, где sGl. Введем обозначения Н (А) = tfAf (Л), d = d xV где a = s -Ь га, m Є Z. Теоремы 2.3.1 и 2.3.2 дают
Следствие 2.3.1. Для гильбертова комплекса А = 04\d )i(EZ спра-ведливы следующие утверэюдения.
1. Операторы е$/° : Я8-І0(Л) - • #Мо(Л) ограничены для всех пар (s,t)ElxR таких, что s t, и являются влооїсениями.
2. Вложение є1 г°, где (s,t) ЄШхШ, s t, компактно тогда и только тогда, когда операторы cf , ( компактно разрешимы и
dim Я °А со.
3. Оператор d?A нормально разрешим тогда и только тогда, когда нормально разрешим оператор ds °, где s€l любое.
4. Пространство Н А совпадает с пространством для любого s Є К. Здесь замыкание берется в пространстве Hs l°(A).
В частности, комплексы А и Лх" фредгольмовы одновременно.
Данные результаты имеют приложение в теории дифференциальных форм на римановых многообразиях. Рассмотрим гладкое риманово многообразие М и гильбертово пространство Ь%(М) измеримых дифферен циальных форм степени к на М, имеющих интегрируемый в квадрате модуль.
Пусть задано некоторое замкнутое подпространство Гк пространства Wk(M), содержащее Vk(M). Для любой формы со є dk(Tk) уравнение dkv = и) имеет в Г единственное решение, ортогональное к подпространству Гк П Keidk. Обозначим это решение через (dk) luj. Оператор (dk) l : dk(Tk) — L\{M) ограничен тогда и только тогда, когда подпространство dk(Tk) замкнуто в L§+1(M), Т. е. когда оператор внешнего дифференцирования с?, действующий из L(M) В Lk+1(M), с областью определения Тк нормально разрешим.
Для каждого к Є Z имеется плотно определенный самосопряженный оператор Лапласа Дг = (4) 4 + 4_1(4_1) - в данном случае Соболевские пространства Щк(М) представляют собой пополнения Dom/(IdL (M) +ДГ ) по норме /(IdL (M) + Дг ) • L (M).
Пространства Щ0(М) рассматривались Л. Р. Волевичем и Б. П. Па-неяхом в [25], а также Л. Хермандером в [26] в случае, когда Г° = V U), где U- область в Шп
В случае, когда / = Ап/2, где п Є Z, многообразие М компактно или полно и имеет ограниченную геометрию (см. [17]), а Г = (М), пространства Щк(М) представляют собой обычные соболевские пространства Я п 2(АкТ М), которые в работе [17] обозначаются символом Ап,к(М) В частности, если М представляет собой искривленный цилиндр, можно найти (пользуясь следствием 2. 3. 1 и результатами работы [18]) явные условия на искривляющую функцию /, достаточные для того, чтобы вложения Соболевских пространств были компактны. Эти результаты могут быть использованы для исследования свойств вложений соболевских пространств на некомпактных римановых многообразиях, разрешимости задачи Неймана- Спенсера (см. [31]), а также, к исследованию эллиптических краевых задач для псевдодифференциальных комплексов на многообразиях с краем (см. [27]- [30]). Кроме того, полученные результаты позволяют построить аналог теории Соболева для произвольных комплексов псевдодифференциальных операторов на римановом многообразии с краем. В частности, теорема 2.3.2 и следствие 2.3.1 позволяют в ряде случаев свести проверку эллиптичности краевых задач для комплекса де Рама к проверке фредгольмовости -комплекса де Рама с подхо дящими «идеальными краевыми услровиями»([18], [19], [21]). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [25]- [27] и докладывались на конференции по геометрии и анализу, посвященной памяти А. Д. Александрова ( Новосибирск, 2002 ), топологическом семинаре под руководством профессора В. И. Кузьминова, семинаре «геометрия, топология и приложения» под руководством член- корр. РАН И. А. Тайманова и объединенном семинаре отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН под руководством академика Ю. Г. Решетняка.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В. И. Кузьминову за постановку задач и постоянное внимание к работе.
О Кег — Сокег— последовательности в полуабелевой категории
Наряду с комплексом (0.1) удобно бывает рассматривать также комплекс в котором операторы d? уже всюду определены и непрерывны. Когомоло-гии Щ(М,т) комплекса (0.1) (совпадающие с когомологиями комплекса (0.2)) называются (весовыми) Ьр-когомологиями риманова многообразия М. Факторпространство Щ(М,т) по замыканию нуля дает банахово пространство Нр(М, т) редуцировнных Ьр-когомологий М. Пространства Щ(М,т) и Нр(М,т) совпадают тогда и только тогда, когда d3 нормально разрешим. Меняя в формуле (0.2) всюду W на V, получим комплекс \(М,т), когомологии которого обозначаются символом ЩС(М, т) ( а редуцированные когомологии - соответственно Нрс(М, т)
Предположим, что многообразие М представлено в виде объединения двух замкнутых множеств М\ и Мг, причем М\ и Мч гладкие п- мерные подмногообразия, а М1ПМ2- гладкое п — 1- мерное подмногообразие М, Mi П М2 С IntM. Пусть ф3 : W3(M,r) — И (Мьт)- оператор ограничения форм с М на Mi, a (р3 : V3(M2,r) — W3(M,r)- оператор продолжения нулем с Мч на М. Эти операторы перестановочны с дифференциалами и образуют короткую точную последовательность комплексов Этой точной последовательности комплексов соответствует точная последовательность Lp— когомологий и полуточная последовательность редуцированных когомологий (0.3) Возникает естественный вопрос: когда последовательность (0.3) является точной? Этот вопрос исследовали В. И. Кузьминов и И. А. Шведов в [6] для короткой точной последовательности произвольных банаховых комплексов, компоненты которых суть банаховы пространства, а дифференциалы- замкнутые плотно определенные линейные операторы. Эти авторы изучили (Теорема 1 из [6]), как влияет на точность последовательности редуцированных когомологий предположение о нормальной разрешимости дифференциалов одного из комплексов Л, В или С. Категория ВАМ банаховых пространств и непрерывных линейных операторов представляет собой пример полуабелевой категории . Аддитивная категория с ядрами и коядрами называется полуабелевой , если она удовлетворяет условиям а)если коммутативный квадрат коуниверсален, то из условия /3 — coker ker/З следует, что a = coker ker а и Ь) если квадрат (1.1) универсален, иа = ker coker а, то (3 = ker coker (3. Важность распространения понятий и методов, используемых при изучении абелевых категорий, на более широкий класс категорий, обусловлена тем, что многие важные категории функционального анализа и топологической алгебры не являются абелевыми. Исследования в этом направлении начали румынские математики К. Бэникэ и Н. Попэску (пре-дабелевы категории [7]), М. Журеску и А. Ласку (канторовы категории [8]). В 1969 г. в [9] Д. А. Райков ввел понятие полуабелевой категории, подробно исследованное затем В. И. Кузьминовым и А. Ю. Черевики-ным в [10] и самим Райковым в [11]. Р. Суччи Кручани в [12] изучала существование функторов Extn в квазиабелевой (канторовой аддитивной) категории. Как отметил Райков, квазиабелева категория в смысле Суччи Кручани является полуабелевой. В 1998 г. Ж. -П. Шнайдере дал определение квазиабелевой категории, совпадающее с данным выше определением полуабелевой категории. Как доказали в [10] еще в 1972 г. Кузьминов и Черевикин, это определение эквивалентно определению полуабелевой категории, данному Райковым. Морфизм /і называется строгим (коротко /х Є Ос), если в его каноническом разложении \i = (іт/і)Д(соіт ) Д- изоморфизм. В категории ВАМ строгость означает нормальную разрешимость. Когомологии ко-цепного комплекса А в категории ВАМ представляют собой редуцированные когомологии банахова комплекса А. Последовательность А — В — С называется точной, если \пкр = ker ф. В полуабелевой категории эта последовательность точна тогда и только тогда, когда coim ф = coker ср. Последовательность 0 — А — В — С — 0 будем называть строго точной и писать (р\ф, если ср = кетф, ф = coker (р. Строго точной последовательности коцепных комплексов в полуабелевой категории соответствует когомологическая последовательность Вопрос о том, как влияет строгость морфизмов в одном из комплексов, образующих строго точную последовательность (1.15) на точность когомологической последовательности (1.17) и свойства морфизмов этой последовательности был досконально исследован В. И. Кузьминовым и Я. А. Копыловым ([14], [15]). Еще Д.А.Райков в [9] показал, что последовательность (1.17) точна и морфизмы, ее образующие, являются строгими, если все дифференциалы комплексов А, В и С — строгие морфизмы. В [14] дано следующее обобщение этого результата: (1) если дифференциал d\ комплекса А является строгим морфиз-мом, то последовательность (1.17) точна в членах Нп{С) и Нп(В), а Нп{ф)— строгий морфизм; (2) если дифференциал d комплекса В является строгим морфиз-мом, то последовательность (1.17) точна в членах Нп(С) и Нп+1(А), а А" — строгий морфизм; (3) если дифференциал OVQ комплекса С является строгим морфиз- \ мом, то последовательность (1.17) точна в членах Нп+1(А) и Нп+1(В) а Нп+1( р) —строгий морфизм. Диссертация состоит из двух глав. В первой главе рассматривается когомологическая последовательность (1.17), соответствующая строго точной последовательности комплексов (1.15) в полуабелевой категории. Мы вводим «выделенный» класс морфизмов О-р, обладающий рядом существенных свойств класса строгих морфизмов, но, вообще говоря, более широкий, чем класс Ос. Заменяя условие строгости дифференциалов одного из комплексов А, В или С более слабым условием их принадлежности этому «выделенному» классу мы получаем в результате следующий вариант вышеупомянутой теоремы из [14] о точности когомологической последовательности.
О когомологической последовательности для короткой точной последовательности комплексов в полуабелевой категории
Будем использовать следующие обозначения: X, Y — банаховы пространства, Т — плотно определенный замкнутый линейный оператор с областью определения Dom (Т), действующий из пространства X в пространство Y. В пространстве Dom (Т) зададим норму жвот(Г) = (ll llx + Та;у) . Поскольку оператор Т замкнут, пространство Dom(T) полно в норме Dom (Г)- Через ІшТ и KerT будем обозначать соответственно пространства {Тх \ х Є Dom (Г)} и {re Є Dom (Т) Тх = 0}.
Будем говорить, что последовательность {yn}nez С ImT накрывается последовательностью {хп}п% С Dom(T), если Тхп = уп для любого п Є Z. Определение 2.1.1. Оператор Т называется нормально разрешимым, если любая ограниченная последовательность из подпространства ImT накрывается ограниченной последовательностью из пространства Dom(T), и компактно разрешимым, если любая ограниченная последовательность из подпространства Im Т накрывается последовательностью из области определения Dom (Т), содержащей сходящуюся в пространстве X подпоследовательность.
Наряду с оператором Т рассмотрим оператор Т""1 : Y — Х/КетТ такой, что Domp1-1) = ImT, Т-1 о Т = тг, где тг : X -+ Х/КетТ — каноническая проекция на фактор-пространство. Лемма 2.1.1. Пусть операторТ замкнут и плотно определен. Оператор Т нормально разрешим тогда и только тогда, когда оператор Т-1 ограничен. Оператор Т компактно разрешим тогда и только тогда, когда оператор Т 1 компактен. Предложение 2.1.1. [19] Пусть оператор Т замкнут и плотно определен. Оператор Т компактно разрешим тогда и только тогда, когда компактен оператор вложения Предложение 2.1.2. [19] Если замкнутый плотно определенный оператор Т нормально (компактно) разрешим, то сопряоюеппый оператор Т также замкнут, плотно определен и нормально (компактно) разрешим. Лемма 2.1.2. Пусть в диаграмме пространства Во, В\, Со, С\ банаховы, операторы фо, фі, /3,у ограничены и всюду определены, Ітфо = Со, Ітфі = С\, причем фо(х) = фф(х) для каждого х G Во- Тогда если оператор fi компактен, то компактен и оператор 7- Обратно, если dimKer i со, то из компактности оператора j следует компактность оператора (3. Предложение 2.1.3. Для замкнутого плотно определенного оператора Т следующие свойства эквивалентны: 1) оператор Т компактно разрешим и dim КегТ со; 2) влоэ/сепие г : Dom (Т) — X компактно. Доказательство. Пусть оператор Т компактно разрешим и dim Ker Т со. Тогда по предложению 2.1.1 вложение г о : Dom(T)/KerT —» Х/КетТ компактно. Поскольку г(ж)х = жх IMDom(r) вложение і ограничено. Таким образом, диаграмма удовлетворяет условиям леммы 2.1.2. Поэтому оператор г компактен. Обратно, пусть вложение г компактно. Тогда по лемме 2.1.2 вложение г о компактно, откуда по предложению 2.1.1 следует компактная разрешимость оператора Т. Рассмотрим последовательность {хп}п% С КегТ такую, что япх С со. Поскольку pnx = FnDom(:r) и оператор і компактен, последовательность {xn}nz содержит сходящуюся в пространстве X подпоследовательность. Таким образом, пространство КегТ конечномерно. Предложение доказано. Каждому линейному подпространству А банахова пространства X можно сопоставить подпространство А1- пространства X , состоящее из всех (непрерывных линейных) функционалов / Є X таких, что f(x) = О для всех элементов х Є А. Подпространство А1- замкнуто в пространстве X , каким бы ни было подпространство А С X. Лемма 2.1.3. Если линейный оператор Т, действующий из банахова пространства X в банахово пространство Y , замкнут и плотно определен, то (ImT)1- = КегТ . Если, кроме того, оператор Т нормально разрешим, mo (КегТ)1 = ImT . Пусть теперь оператор Т, действующий на гильбертовом пространстве X, плотно определен и самосопряжен. Рассмотрим измеримую конечную и определенную почти всюду по отношению к спектральному семейству {Е\} оператора Т комплекснозначную функцию ш. Функция w(T) оператора Т определяется следующим образом: Здесь g Є X, f Є Dom (w(T)), где Dom (w(T)) — множество всех / Є X таких, что +оо Приведенное ниже утверждение представляет собой хорошо известный факт функционального анализа (см. [20]). Лемма 2.1.4. Для любой функцииw с указанными выше свойствами справедливы следующие утвероюдения. 1. Если функция w отлична от нуля почти всюду относительно спектрального семейства {Е\} оператора Т, то имеет место равенство привел Dom ([ЦТ)]-1) = Dom(w_1(T)). 2. Оператор w(T) замкнут и плотно определен, причем [w(T)] = w(T). 3. Для того чтобы оператор w(T) был ограничен, необходимо и до статочно, чтобы функция w была ограничена почти всюду относи тельно спектрального семейства {Е\} оператора Т; при этом условии выполнено равенство ги(Т) = vrai тахги(А). 4. Положительным функциям соответствуют полоэюительные операторы. 5. Пусть функция и измерима, действительна и почти всюду конечна относительно спектрального семейства {Е\} самосопряженного оператора Т, пусть, далее, функция v (действительная или комплексная) измерима и почти всюду конечна относительно спектрального семейства {F } самосопряженного оператора S = и(Т). Тогда слоэюная функция w(X) = v(u(X)) такоюе измерима и почти всюду конечна относительно спектрального семейства {Е\} и w(T) = v(S) = v(u(T)).
Предварительные сведения об операторах в банаховых пространствах
Пусть w Є Dom(T). Подобно тому, как это делалось при доказательстве предложения 2.2.3, можно доказать, что последовательность
сходится к элементу и в норме пространства Н) (X). Для этого достаточно заметить, что равенство справедливо на подпространстве Dom (Id + Т2)1/2. Кроме того, отображение (Id +Т2)1/2 продолжается до изометрических изоморфизмов пространств Н Х(Х) и X на пространства X и Нт (X) соответственно. Таким образом, диаграмма (2.2.11) коммутативна, и операторы Tw и Т" нормально разрешимы одновременно. Далее, как показано ранее, Dom(T) = Dom (Id + Т2)1/2. Кроме того, нормы ЯЧ/АГП и вот(т) эквивалентны на Dom(T). Поэтому ImT = lmTw и нормальная разрешимость оператора Tw эквивалентна нормальной разрешимости оператора Т. Случай, когда функция / удовлетворяет условию (v), доказывается аналогично. Предложение доказано. Предложение 2.2.5. Пусть функция f : R+ — R+ удовлетворяет условиям (i), (ii), (vi) и, кроме того, для л/А/(А)выполнено условие (v). Тогда диаграмма вертикальные стрелки которой являются изометрическими изоморфизмами, коммутативна. Доказательство аналогично доказательству коммутативности диаграмм предыдущего предложения. Предложение 2.2.6. Пусть функции f,g : R+ — R+ удовлетворяют условиям (i)-(iii) и, кроме того, функция f удовлетворяет одному из условий (v), (vi). Тогда отображение є : Hj,(X) — Hj,{X) является вложением. Доказательство. Если / удовлетворяет условию (v), то по лемме 2.1.5 пространство Dom /(Id + Т2) полно в норме /(Id + Т2) и, следовательно, Кегє = 0. Если / удовлетворяет условию (vi), то диаграмма HfT(X) — HT{X) 4 коммутативна и ее вертикальные стрелки являются изометрическими изоморфизмами. Действительно, по лемме 2.2.4 отображение (l//)(Id + Т2) осуществляет изометрические изоморфизмы X на Hj,(X) и Hjl (X) на Н (Х). Коммутативность диаграммы очевидна. Поэтому отображение (l//)(Id + Т2) осуществляет изометрический изоморфизм пространства Кегє/, на Кеге . Пространство X полно в норме х, так что Hereby = 0. Но тогда Кег = 0. Предложение доказано. 5Определение 2.3.1. Последовательность А = {Al,dA)iqZ гильбертовых пространств Аг и их линейных отображений d\ : Аг — Аг+1 называется гильбертовым комплексом, если для каждого г Є Z операторы d! замкнуты и плотно определены, причем Іпкі "1 С Kerd . Скалярное произведение в пространстве Аг будем обозначать через Определение 2.3.2. Пусть A = (Al,dA)ie% — гильбертов комплекс. Оператором Лапласа на пространстве Лг называется оператор с областью определения Dom (ААІ) = {ж Є Dom () П Dom ((dj1) ) c z Є Dom (№) ), ( - GDomfe-1)}. Предложение 2.3.1. [21] Если операторы dA, dlAl замкнуты и плотно определены, то оператор АА% замкнут и плотно определен. Если операторы dA, о1гА1 нормально (компактно) разрешимы, то оператор АДІ нормально (компактно) разрешим. Для гильбертова комплекса A = (Al,dA)ie% введем следующие обозначения: Ж А Ker dyimtfj1, 4і А Ker d\ П Ker (dj1) . Пространства Н А каноническим образом изоморфны пространствам Кегс П (Im -1)1 = WA и называются редуцированными когомоло-гиями комплекса А. Лемма 2.3.1. WA = KeiAAi. Доказательство Ясно, что WA С Ker Д . Обратно, если х Є Ker ААІ, то Отсюда х Є WA. Лемма 2.3.2 (разложение Ходжа.) Для любого гильбертова комплекса А = (Аг, dlA)ieZ выполнено равенство Для каждого і Є Ъ в гильбертовом комплексе Л операторы Id -f ААІ плотно определены, самосопряженны и строго положительны: ((Id + ААІ)Х,Х)АІ {Х,Х)ДІ для любого х Є Dom (Id + ААІ). Пусть функция / : Ш+ —» R+ удовлетворяет условиям 2 (і) и 2(іі). Тогда для каждого і Є Z определены пространства Н г (Л), представляющие собой пополнения Dom /(Id + A t) в норме /(Id + ААІ) \\АІ. Говорят, что гильбертово пространство X является ортогональной суммой семейства своих замкнутых подпространств (Хи\и Є N), если эти подпространства попарно ортогональны и линейная оболочка множества.
Соболевские пространства, ассоциированные с замкнутым оператором
Отметим, что образ оператора d совпадает с образом оператора сГ, поскольку оператор (f индуцирован оператором cf, т. е. c?#i# = ІЇдХ для любого а; Є Нс г(А) и, кроме того.
Точно так же образ оператора dH совпадает с образом оператора сГ. Это следует из коммутативности диаграммы (2.2.11) и диаграммы Поскольку комплекс А конечен и удовлетворяет условию (Gk) для неко Т71 —1 торого к GZ,B силу предложений 2.2.5 и 2.2.4 операторы QfWx T o име т—1 ют плотные в H(j ,г(А) образы для любого m Є {&,...,&—iV+1} и, следовательно, таковы же и операторы dj lf. Кроме того, ввиду предложения 2.2.4 и коммутативности диаграмм (2.2.6), (2.2.11) и (2.2.12) оператор с?д нормально разрешим тогда и только тогда, когда нормально разрешим оператор d J. Таким образом, редуцированные когомологии комплекса (г о, /, т) -тривиальны во всех степенях, в то время как редуцированные КОГОМОЛОГИИ комплекса H"(io, /, т) отличны от нуля только в степени г о и совпадают с пространствами Н А. Поскольку для любой функции д : R+ - Ш+, для которой выполнены условия (і), (іі), имеется ортогональное разложение (2.3.1): На\А) = Hff[A) Є ЖД Є Н9/{А), то любому конечному гильбертову комплексу А: О - А0 Д А1 - ... - A -% Аі+1 - ...- AN - О, (2.3.2) и функции / :Ш+ — Е+, удовлетворяющей условиям (і), (іі) и условию (Gfc), можно поставить в соответствие ассоциированный с (2.3.2) «Соболевский комплекс» %{. с ограниченными всюду определеннными операторами в качестве дифференциалов: 0 #ДА)А ,о(д) %f Н№\Ф,ЦЛ) - ...- Н Х (А) - 0, (2.3.3) расщепляющийся в ортогональную сумму подкомплексов вида 7i (io, /, т) и (г о,/, т), га Є {&,...,& — iV}, причем оператор сС г? индуцирует оператор c !r на пространстве HQ г (Л) и нулевой оператор на про . . . ТО , странстве і/ Л Hj- ,г (А). Итогом изложенного выше служит Теорема 2.3.2. Для конечного гильбертова комплекса А = (Лг, G )tez и функции f : Е+ — Е+; удовлетворяющей условиям (і), (іі) u (G ) длл некоторого к Є Ъ, справедливы следующие утверждения: 1) оператор ( нормально разрешим тогда и только тогда, когда нормально разрешим оператор d \oM; 2) редуцированные когомологии Н А комплекса А совпадают с редуцированными когомологиями комплекса %к в степени г о В частности, комплексы А и %{. фредгольмовы одновременно. Если комплекс А не удовлетворяет условию конечности, то условие (Gk) следует заменить условием: (Goo) для любого к Е. Z функция Лг/(Л) удовлетворяет хотя бы одному из условий (v), (vi). В качестве примера рассмотрим бесконечный комплекс А = (Аг, dlA)ieZ и функцию /(А) = Л , где 5GK. Введем обозначения я ОД) = яА »Ш - # = %;л ; где 7 = s + га, т Є Z. Комбинируя теорему 2.3.2 и предложения 2.3.2 и 2.2.6, выводим Следствие 2.3.1. Для гильбертова комплекса A = {A\dA)ieZ справедливы следующие утверждения. 1. Операторыє$ : #у (Л) - Я# (.А), І+1 : Яг 0+1(Л) -» Я +1(Л) ограничены для всех пар (s,t) GlxR таких, что s t, и являются вложениями. 2. Если оператор ( компактно разрешим, то операторы влоэюения est l и є + компактны для всех пар (s,t)GRxl таких, что s t. 3. Если существует такая пара (s,t) Є Ш х Ш, s t, что вложение est c или вложение est,lQ компактно, то оператор сГ компактно разрешим. В частности, вложение es/, где (s,t) Є М. х Ш, s t, компактгю тогда и только тогда, когда операторы о А ; сГ компактно разрешимы и dim Н А оо. 4. Оператор cf нормально разрешим тогда и только тогда, когда нормально разрешим оператор d 0, где sGR любое. 5. Пространство Н А совпадает с пространством для любого s Є R. Здесь замыкание берется в пространстве Hs,t(A). В частности, комплексы А и T-L фредгольмовы одновременно.
