Введение к работе
Актуальность темы. Основы гомологической теории размерности малых категорий были заложены Барри Митчелом в серии ра-5от, опубликованных в 1968-1982 годах. Каждой малой категории с ставятся в соответствие три числа: когомологическая размерность o.d.c , размерность Хохшильда-Митчела dim с и зависящая эт абелевой категории »4 глобальная размерность gl.dim i»t категории <ы функторов с -* **. Основной задачей теории размерности малых категорий является вычисление этих чисел, по заданной малой категории. Значительный вклад в развитие этой теории внесли О.А.Лаудал, У.Оберет, Ч.Ч.Ченг и Б.В.Новиков. Различным аспектам этой теории были посвящены докторские диссертации 3.S. Иеха, Б.Митчела, В.Спирса, Х.Брша, В.И.Кузьминова. В случае, когда малая категория является частично упорядоченным множеством, поскольку.категория определенных на ней функторов изоморфна категории пучков над подходящим топологическим пространством, гомологическая теория размерности частично упорядоченных множеств является разделом гомологической теории размерности топологических пространств.
Теория глобальной размерности категории функторов восходит к теореме Гильберта о цепях сизигий, интерес к этой теории значительно повысился после подтверждения Д.Квилленом и А.А. Оуслиным гипотезы Я.-П.Серра. Для частично упорядоченных множеств развитие этой теории стимулирует результат М.Хешшера и Х.Ленцинга [1] о том, что проективные объекты в категории диаграмм модулей свободны.
Размерность Хохшильда-Митчела была введена в [2] . В случае, когда малая категория является моноидом, эта размерность равна размерности Хохшильда моноидного кольца. Митчелом установлено, что для любых малой категории с и абелевой категории «і с точными суммами верна оценка gl.dim Одна из задач гомологической теории размерности малых категорий - нахождение условий lim-ацикличности проективных систем объектов абелевой категории. Эта задача изучалась Ж.-Е.Русом [6], Дж.Милнором [73, Б.Греем [8], О.А.Лаудалом [9], Р.Де-евелем [10] , ее решение значительно продвинуто топологами -В.И.Кузьминовым [11Ы12], С.Мардежичем и А.В.Прасоловым [13], Е.Г.Скляренко [141, Д.А.Эдвардсоы и Х.М.Хастингсом [15]. Центральным достижением теории размерности упорядоченных множеств явилось вычисление когомологической размерности частично упорядоченных множеств, двойственных направленным. Вклад в решение этой проблемы внесли К.Иенсен, Джон Мур, Реми Гобло, Алекс Хеллер , окончательное решение получено Барри Митчелом [2], [16], установившим, что для направленных множеств конфинальности *п эта размерность равна n+1. Но проблема вычисления размерности Хохшильда-Митчела остается открытой даже для линейно упорядоченных множеств. Долгое время оставалась нерешенной проблема В.Митчела [2] о размерности множества вещественных чисел. Решение этой проблемы С.Бальцержиком [171 было значительным вкладом. В настоящей диссертации удалось вычислить размерность более общих линейно упорядоченных множеств - подмножеств числовой прямой, имеющих мощность континуума. Однако при вычислении размерностей произвольных числовых множеств и подмножеств обобщенных канторов-ских множеств пришлось привлечь дополнительные теоретико-множественные предположения. Цель работы. Цель настоящей диссертации - показать, что во многих случаях проблемы вычисления размерности Хохшильда-Митчела и глобальной размерности категории функторов сводятся к изучению производных функторов функтора предела,следовательно могут быть решены классическими методами, разработанными ы. Андре, О.Лаудалом, У.Оберстом [18] . И, используя этот подход, решить конкретные проблемы вычисления этих размерностей для линейно упорядоченных и конечных частично упорядоченных множеств. Научная новизна. Доказано, что для малых категорий с сокращениями размерность Хохшильда-Митчела равна размерности Ба-уэса-Виршинга. Приведен пример малой категории , для которой эти размерности не равны. Выработан новый подход к вычислению размерностей частично упорядоченного множества, основанный на изучении групп гомологии нервов открытых интервалов. Вычислены когомологическая размерность джойна и размерность Хохшильда-Митчела ординальной суммы частично упорядоченных множеств. Найден критерий выполнения равенств gl.dim t«t = dim С + gl.dim rf для конечных частично упорядоченных множеств с и абелевых категорий «а, установленный Б.Митчелом в частных случаях. Дан ответ на поставленный в 1966 году В.И.Кузьминовым вопрос [19, проблема 2.35] об ацикличности сумм копий ацикличного спектра конечно-поровденных абелевых групп. Построена допускающая компактную топологию проективная система абелевых групп над счетным направленным множеством, счетная сумма копий которой не ііт-ациклична. Доказано , что размерность Хохшильда-Ыигчела всякого имеющего мощность континуума подмножества множества вещественных чисел равна 3- Доказано, что в предположении выполнения хотя бы для одного натурального числа п строгого не- равенства 2 > кп+1 общая гипотеза Б.митчела о размерности линейно упорядоченных множеств неверна. Установлено,что виполім нение для всех натуральных п равенств 2 = нп+1 эквивалентно утверкдению о том, что размерность Хохшильда-Митчела всякого линейно упорядоченного.множества,содержащего полуплотное подмножество меньшей мощности, равной к при некотором натуральном п , равна п+з . В предположении обобщенной гипотезы континуума общая гипотеза Б.митчела подтверждена для линейно упорядоченного множества , содержащего полуплотное подмножество меньшей мощности, либо содержащегося в качестве полуплотного подмножества в линейно упорядоченном множестве большей мощности. Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы как для развития гомологической теории размерности неотделимых то- пологическшс пространств, так и при исследовании колец инци-денций частично упорядоченных множеств. Представляется возможным обобщение результатов на диаграммы в предабелевых категориях с дальнейшим применением в топологической алгебре и функциональном анализе. Апробация работы. Основные результаты докладывались на расширенном совместном заседании Московского математического общества и Московского топологического семинара, посвященном памяти академика П.С.Александрова (Москва, 1988), на Международной конференции по алгебре (Новосибирск, 1989), на Втором советско-японском симпозиуме по топологии ("Теория размерности и сменные вопросы", Хабаровск, 1989), на Второй международной алгебраической конференции, посвященной памяти А.И.Ширшова ( Барнаул, 1991), на Втором Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ( Новосибирск, 1996 ), посвященном памяти А.А.Ляпунова, А.П.Ершова, И.А.Полетаева. Результаты регулярно докладывались и обсуждались на семинарах "Топология", "Теория колец" в Институте математики СО РАН. В 1996 году основные результаты докладывались на семинаре им. Д.К.Фадцеева в Санкт-Петербургском отделении Института математики им. В.А. Стеклова, на семинаре кафедры высшей алгебры Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, на семинаре "Алгебра и геометрия" ИМ СО РАН им. С.Л.Соболева. Публикации. По теме диссертации опубликовано Ї5 работ. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Каждая глава разбита на параграфы. Объем диссертации - 210 страниц. Библиография содержит 89 наименований.Похожие диссертации на Гомологическая теория размерности малых категорий и упорядоченных множеств
