Полунормальные функторы в категории СОМР и обобщенная теорема Катетова Кашуба Елена Викторовна

Содержание к диссертации

Введение

1 Предварительные сведения

2 Обобщенная теорема Катетова для полунормальных функторов

3 Обобщение примера Грюнхаге для полунормальных функторов

Список литературы

• Предварительные сведения
• Обобщенная теорема Катетова для полунормальных функторов
• Обобщение примера Грюнхаге для полунормальных функторов

Введение к работе

Актуальность темы. В 1948 году М. Катетов доказал, что из наследственной нормальности куба компакта следует его метризуемость. Вопросу обобщения теоремы Катетова о кубе посвящены многие работы в области общей топологии. Количество публикаций, связанных с данной темой, продолжает увеличиваться и в настоящее время.

В 1971 году Ф. Зенор² доказал, что если куб компакта X наследственно счетно паракомпактен, то X метриуем. Операция возведения в куб компакта X является нормальным функтором степени 3, поэтому следующая теорема В. В. Федорчука³ 1989 года является обобщением теоремы Катетова о кубе: если для какого-нибудь нормального функтора Т степени > 3 компакт Т{Х) наследственно нормален, то X — метризуемый компакт. В 2000 году Т. Ф. Жураев⁴ заметил, что требование наследственной нормальности J~(X) в теореме Федорчука можно ослабить до требования наследственной нормальности J-{X)\X и по аналогии с теоремой Зенора заменил в теореме Федорчука наследственную нормальность пространства J-{X)\X на наследственную счетную паракомпактность J-(X)\X. А. П. Комбаров ⁵ в 2004 году доказал следующую теорему: если для какого-нибудь нормального функтора Т степени > 3 пространство J-(X)\X наследственно /С-нормально, где /С — класс а-компактных пространств, то X — метризуемый компакт. Из теоремы Комба-рова следуют одновременно и теорема Федорчука, и теорема Жураева. Для функтора суперрасширения А (А является полунормальным функтором) име-

^atetov М. Complete normality of Cartesian products // Fund. Math. 1948. V. 35. P. 271-274.

²Zenor P. Countable paracompactness in product spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1971. V. 30. P. 199-201.

³Федорчук В. В. К теореме Катетова о кубе // Вести. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ. 1989. №4. С. 93-96.

⁴Жураев Т. Ф. Нормальные функторы и метризуемость бикомпактов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ. 2000. №4. С. 8-11.

⁵Комбаров А. П. К теореме Катетова—Федорчука о кубе // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ.

2004. №5. С. 59-61.

ется следующий результат Т. Ф. Жураева 1999 года: если пространство Х^(Х)\Х наследственно нормально, то компакт X — метризуем. Индекс 4 — третий по величине элемент степенного спектра функтора Л. Степенной спектр sp(J-) функтора Т — это множество степеней точек пространств вида J-(X). А. В. Иванов⁷ доказал, что если J- — полунормальный функтор, удовлетворяющий некоторому комбинаторному условию (*), и sp(J-) = {1,к,п, ...}, то наследственная нормальность J-_n(X) \ X влечет метризуемость X (здесь п — третий по величине элемент sp(J-)). Условию (*) удовлетворяют такие известные в общей топологии функторы, как функтор экспоненты ехр, функтор суперрасширения Л, функтор вероятностных мер Р и все их конечные композиции⁸.

В той же работе 1948 года М. Катетов поставил проблему о метризуемости компакта, квадрат которого наследственно нормален. Контрпример в предположении МА+->СН был построен в 1977 году Никошем ⁹. В 1993 году Грюн-хаге¹⁰ в предположении континуум-гипотезы СН построил пример неметри-зуемого компакта Y, для которого Y² наследственно сепарабельно, У²\А совершенно нормально и Y² наследственно нормально. В 2002 году Ларсон и Тодорчевич¹¹ форсингом построили модель теории множеств, в которой справедлив положительный ответ на проблему Катетова, и тем самым доказали независимость проблемы Катетова от системы аксиом ZFC. Для полунормальных функторов проблема Катетова имеет следующий аналог: верно ли,

⁶Жураев Т. Ф. Функтор А и метризуемость бикомпактов // Вести. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ. 1999. №4. С. 54-56.

⁷Иванов А. В. Теорема Катетова о кубе и полунормальные функторы // .

⁸Иванов А. В. О степенных спектрах и композициях финитно строго эпиморфных функторов // Труды Петрозаводского университета. Серия "Математика". 2000. Вып. 7. С. 15-28.

⁹Nyikos P. A compact nonmetrizable space Р such that P² is completely normal // Topology Proc. 1977. V. 2. P. 359-364.

¹⁰G. Gruenhage, P. Nyikos. Normality in X² for compact X // Trans. Amer. Math. Soc. 1993. V. 340. №2. P. 563-586.

"Larson P., Todorcevic S. Katetov's problem // Trans. Amer. Math. Soc. 2002. V. 354. P. 1783-1791.

что из наследственной нормальности J-k(X)₇ где к — второй по величине элемент степенного спектра полунормального функтора J⁷, следует метризуемость XI Заметим, что Т. Ф. Жураевым¹² было объявлено о "наивном" положительном решении этого вопроса для функтора суперрасширения Л.

Цель работы — изучение вопросов, связанных с обобщением теоремы и проблемы Катетова для полунормальных функторов.

Основные методы исследования. В качестве методов исследования используются различные методы общей топологии, в частности, техника вполне замкнутых отображений и обратных спектров В. В. Федорчука¹³ и техника исследования полунормальных функторов конечной степени, предложенная В. Н. Басмановым¹⁴.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказано обобщение теоремы Катетова для полунормальных функторов и свойства наследственной /С-нормальности.

2. В предположении СН построен пример неметризуемого компакта X, обладающего следующими свойствам

1. Х^п наследственно сепарабельно для любого п Є N;

2. Х^п\А_п совершенно нормально для любого п Є N (А_п — обобщенная диагональ, которая определяется как множество точек пространства Х^п, имеющих хотя бы две совпадающие координаты);

3. для любого сохраняющего вес полунормального функтора Т и любого п Є зр(Т) Т_п(Х) наследственно сепарабельно и Т_п(Х) \Т_п_\{Х)

¹²Жураев Т. Ф. Функтор А и метризуемость бикомпактов // Вести. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ.

1999. №4. С. 54-56. ¹³Федорчук В. В. Бикомпакт, все бесконечные замкнутые подмножества которого n-мерны // Матем.

сб. 1975. 96(1). С. 41-62.

¹⁴Басманов В. Н. Ковариантные функторы, ретракты и размерность. // Доклады АН СССР. 1983. Т. 271. №5. С. 1033-1036.

совершенно нормально;

(d) для любого сохраняющего вес и точки взаимной однозначности полунормального функтора Т со степенным спектром sp(J-) = {1, &,...} пространство J-k(X) наследственно нормально (в частности, наследственно нормальны X² и Аз А).

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертационной работы носят теоретический характер и имеют научный интерес для специалистов в области топологии.

Апробация результатов. Основные результаты докладывались на студенческих научных конференциях Петрозаводского государственного университета (ПетрГУ) и научных семинарах кафедры геометрии и топологии ПетрГУ (2003 - 2008 гг.), на XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова в 2004 году, на международной конференции "Александровские чтения "в 2007 году и на научно-исследовательском семинаре по общей топологии имени П. С. Александрова под руководством профессора В. В. Федорчука в 2008 году.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Одна из работ выполнена в соавторстве.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 46 страниц. Список литературы включает 34 наименования.

Предварительные сведения

В 1948 году М. Катетов [1] доказал, что из наследственной нормальности куба компакта следует его метризуемость. Вопросу обобщения теоремы Катетова о кубе посвящены многие работы в области общей топологии. Количество публикаций, связанных с данной темой, продолжает увеличиваться и в настоящее время.

В 1971 году Ф. Зенор [2] доказал, что если куб компакта X наследственно счетно паракомпактен, то X метриуем. Операция возведения в куб компакта X является нормальным функтором1 степени 3, поэтому следующая теорема В. В. Федорчука [3] 1989 года является обобщением теоремы Катетова о кубе: если для какого-нибудь нормального функтора Т степени 3 компакт Т{Х) наследственно нормален, то X — метризуемый компакт. В 2000 году Т. Ф. Жураев [4] заметил, что требование наследственной нормальности Т[Х) в теореме Федорчука можно ослабить до требования наследственной нормальности J-"(X)\X и по аналогии с теоремой Зенора заменил в теореме Федорчука наследственную нормальность пространства Р(Х)\Х на наследственную счетную паракомпактность F(X)\X. А. П. Комбаров [5] в 2004 году доказал следующую теорему: если для какого-нибудь нормального функтора F степени 3 пространство Т(Х)\Х наследственно /С-нормально, где /С — класс а-компактных пространств, то X — метризуемый компакт. Из теоремы Комба-рова следуют одновременно и теорема Федорчука, и теорема Жураева. Для функтора суперрасширения А (А является полунормальным функтором) имеется следующий результат Т. Ф. Жураева [6] 1999 года: если пространство \4(Х)\Х наследственно нормально, то компакт X — метризуем. Индекс 4 — третий по величине элемент степенного спектра функтора А. Степенной спектр sp(J-) функтора Т — это множество степеней точек пространств вида 3 {Х). А. В. Иванов в работе [7] доказал, что если Т — полупормальный

Все необходимые определения приведены в главе 1. функтор, удовлетворяющий некоторому комбинаторному условию ( ), и sp F) = {1,&,п, ...}, то наследственная нормальность Тп{Х) \Х влечет метризуемость X (здесь п — третий по величине элемент 5р( )). Условию ( ) удовлетворяют такие известные в общей топологии функторы, как функтор экспоненты ехр, функтор суперрасширения Л, функтор вероятностных мер Р и все их конечные композиции [7, 8].

В работе 1948 года [1] М. Катетов также поставил проблему о метризуемости компакта, квадрат которого наследственно нормален. Контрпример в предположении MA+-iCH был построен в 1977 году Никошем [9]. В 1993 году Грюнхаге [10] в предположении континуум-гипотезы СН построил пример неметризуемого компакта Y, для которого У2 наследственно сепарабельно, У2\Д совершенно нормально и Y2 наследственно нормально. В 2002 году Ларсон и Тодорчевич [11] форсингом построили модель теории множеств, в которой справедлив положительный ответ на проблему Катетова, и тем самым доказали независимость проблемы Катетова от системы аксиом ZFC. Для полунормальных фунторов проблема Катетова имеет следующий аналог: верно ли, что из наследственной нормальности (Х), где к — второй по величине элемент степенного спектра полунормального функтора J7, следует метризуемость X? Заметим, что Т. Ф. Жураевым в работе [6] было объявлено о "наивном" положительном решении этого вопроса для функтора суперрасширения Л.

Целью данной работы является изучение вопросов, связанных с обобщением теоремы и проблемы Катетова для полу нормальных функторов.

В первой главе приведены сведения, необходимые для изложения основных результатов. Кроме того, рассматривается вопрос о строении носителей точек пространств вида F(X) для некоторых полунормальных функторов Т, в частности, для случая Т = А. Для максимальных сцепленных систем носитель совпадает с замыканием объединения всех минимальных по включению элементов, причем доказано, что замыкание в общем случае опускать нельзя. Приведено построение примера максимальной сцепленной системы, у которой объединение всех минимальных по включению элементов не является замкнутым множеством.

Вторая глава посвящена следующей теореме, обобщающей теоремы Ком-барова [5] и Иванова [7].

Теорема 1 Пусть X — компакт,, К — класс а-компактных пространств, Т — полунормальный функтор, удовлетворяющей условию ( ) и sp(T) = {1, m, те,...}. Если пространство Тп(Х)\Х наследственно К-нормально, то компакт X метризуель.

Следствие 1 Пусть Т — полунормальный функтор, sp(J-) = {1, m,п, ...} и функтор Т удовлетворяет условию ( ). Если для компакта X пространство Fn{X) \ X наследственно счетно паракомпактно, то компакт X метризуем.

В 1979 году М. Э. Рудин [12] было доказано в предположении принципа Йенсена существование двух неметризуемых компактов, произведение которых совершенно нормально. Из примера Грюнхаге следует существование таких компактов в предположении СН. В 1978 году А. В. Иванов [13] в предположении 0 доказал существование счетного набора неметризуемых компактов, произведение которых совершенно нормально. Теорема 4 является одновременным усилением результатов Грюнхаге и Иванова. В качестве методов исследования используются различные методы общей топологии, в частности, техника вполне замкнутых отображений В. В. Федорчука и методы применения этой техники, развитые В. В. Федорчуком [14] и А. В. Ивановым [13].

Основные результаты опубликованы в работах [31, 32, 30] и докладывались на студенческих научных конференциях Петрозаводского государственного университета (ПетрГУ) и научных семинарах кафедры геометрии и топологии ПетрГУ (2003 - 2008 гг.), на XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова в 2004 году (тезисы доклада и доклад опубликованы в [33, 34]), на международной конференции "Александровские чтения "в 2007 году и на научно-исследовательском семинаре по общей топологии имени П. С. Александрова под руководством профессора В. В. Федорчука в 2008 году.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору, заведующему кафедрой геометрии и топологии Петрозаводского государственного университета Александру Владимировичу Иванову за постановку задачи. Автор благодарит заведующего кафедрой общей топологии и геометрии Московского государст-" венного университета им. М. В. Ломоносова, доктора физико-математических наук, профессора Виталия Витальевича Федорчука и весь коллектив кафедры за обсуждение данной работы и неоценимую поддержку. Автор также выражает благодарность сотрудникам кафедры геометрии и топологии Петрозаводского государственного университета за помощь и доброжелательную атмосферу.

Обобщенная теорема Катетова для полунормальных функторов

Теперь рассмотрим случай а = + 1. В этом случае зададим топологию на Ха с помощью доказанной выше леммы, где в качестве отображения / рассмотрим pf : Ха — Х а к счетному семейству множеств {Е } отнесем все множества вида ((р )п) 1Е , где 6 и Е$ 7?г-допустимо. (Из построения спектра S и определения an-допустимого множества следует, что все условия леммы выполнены.) Из условий 1) - 3) леммы следует выполнение условий

В результате топологизации мы получим непрерывный спектр из компактов S = {Ха,р : a, j3 UJI}, для которого выполнены условия lWl), 2Wl). Предел этого спектра и есть искомый компакт X. Сразу отметим, что вес X несчетен, поскольку все проекции спектра S не являются гомеоморфизмами.

В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение: которое сразу вытекает из условия 2Ш1). В самом деле, по условию 2Wl) в семействе замкнутых множеств [((pf)n)-1-EVl С X , [3 8 каждое последующее множество является полным прообразом предыдущего при отображении (рр)п- Отсюда следует F).

Известно, что если квадрат компакта X является наследственно суслинс-ким, то X наследственно сепарабелен (см. [28]). Поэтому достаточно проверить, что для любого п в Хп нет несчетного дискретного подпространства. Докажем вначале, что в Хп нет несчетного дискретного подмножества, лежащего в общем положении. Пусть существует D С Хп с указанными свойствами. Без ограничения общности можно считать, что отображение р взаимно однозначно на D. Пусть G — счетное всюду плотное множество в PQD, Е = (po) lG П D и а ш\ таково, что (р7 ) 1{рт Е1) Е - Поскольку D лежит в общем положении в Хп, множество Е = рЕ cm-допустимо. Следовательно, Е имеет некоторый номер /3 в нумерации an-допустимых множеств: Е = Ер. В силу F)

В самом деле, если для некоторой точки х Є p D (2) не выполнено, то хотя бы одна координата точки (р$)пх принадлежит Lp. Следовательно, у точки х Є D, для которой PQX = ж, хотя бы одна координата принадлежит p Lp. Но последнее множество счетно. Так как D находится в Xа в общем положении, любая точка из р$гЬр может быть координатой не более, чем одной точки из D. Значит, множество точек х, для которых не выполняется условие (2), не более чем счетно.

Поскольку G всюду плотно в PQD и (р$)пЕ = G, все точки х Є PpD \ ({Ра)п) 1Е Ф 0? Для которых выполняется равенство (2), будут предельными точками ((p )n)-1i. И тогда в силу (1) "накрывающие" их точки х Є D будут предельными для Е — противоречие с дискретностью D.

Теперь по индукции докажем, что в Хп нет несчетных дискретных подмножеств. п = 1. В этом случае любое подмножество X находится в общем положении. Как было показано выше, это подмножество не может быть дискретным.

Предположим, что наше утверждение доказано при к п и пусть D — несчетное дискретное подмножество Хп. Обобщенная диагональ Ап С Хп является объединением конечного числа подпространств, гомеоморфных Xn . Следовательно, по предположению индукции, D П Дп счетно. Таким образом, можно считать, что D С Хп\ Дп. Все пересечения D со "слоями"Хп вида {{xi,..., хп) : xj- = с} где с Є X, 1 к п также счетны, поскольку эти слои гомеоморфны Хп 1. В такой ситуации легко построить несчетное подмножество D С D, лежащее в Xа в общем положении. Получено противоречие.

Покажем, что компакт X удовлетворяет условию 2 нашей теоремы. Индукция по п. п = 1. Пусть F — замкнутое подмножество X. Возьмем счетное всюду плотное подмножество Е С F и пусть а ш\ таково, что для любой точки х Є Е1 р 1рах = {х}. Тогда множество Е = раЕ al-допустимо. Следовательно, Е = Ер, /3 а. Далее, {р ) гЕ всюду плотно в ppF и в силу равенства (1)

Положим А = {х Є F : для любой окрестности Ох множество Ох П F не содержится в конечном объединении слоев Хп}. (Напомним, что слоем мы называем подмножество Хп, состоящее из точек, некоторая координата которых фиксирована). Выберем в А счетное всюду плотное подмножество В = {хп : п Є N} и для каждой точки хп зафиксируем счетную базу окрестностей {Охп : к Є N}. По индукции, путем последовательного перебора окрестностей Охп, n,fc EN МОЖНО построить счетное подмножество С = {ут т Є N} С F\ Дп, которое лежит в Хп в общем положении и пересекается с каждой окрестностью Ох , п, к 6 N. Очевидно, что [С] D [А]. Существует а ш\ такое, что множество С = р С лежит в Х% в общем положении и отображение р взаимно однозначно в точках С. Тогда С — cm-допустимо.

Обобщение примера Грюнхаге для полунормальных функторов

Следовательно, по предположению индукции множества F{ имеют тип Gs в слоях ТІ, а значит, и в Хп. Таким образом, для каждого і существует с ш\ такое, что {piylVnaXFi) = Fi-Докажем теперь, что Пусть х Є F и х $_ А, то есть существует окрестность Ох в Хп такая, что ОхП F лежит в конечном объединении слоев Хп. Пусть Т1,..., Тк — минимальный набор слоев Хп, объединение которых содержит Ох П F. Тогда каждый слой Т-7 является F-слоем, то есть Т-7 = Tiy Покажем, что х Є Ui .. Предположим противное. Пусть О х = Ox\UFir Имеем 0 ф O xHF С UT-7 и, следовательно, для некоторого TJ

Из условия 2 сразу следует, что для любого п всякое замкнутое подмножество в Хп \ Дп имеет тип Gs- Покажем, что Xn \ Ап нормально. Пусть АЪА2СХП\А п — замкнутые непересекающиеся множества. Положим В{ — И-і] "} г = 1, 2. Поскольку [ВІ \ Ап] = ВІ В силу условия 2 найдется а ш\ такое, что {Ра) гРа{В — ВІ. Множества рВ\ \р В2 и р В2 \р„Ві имеют в Х% непересекающиеся окрестности U\ и U2. Положим "Ц = (p) lUi. Тогда АІ с Vi. В самом деле, если х є А\ и р(ж) ь т0 Ра(х) е Р№, И, следовательно, х В2, что невозможно. Итак, Vi,T — непересекающиеся окрестности А\,А2. Утверждение 3 теоремы 2 доказано.

4). Пусть J- — сохраняющий вес полунормальный функтор и пусть п Є sp{T). Пространство (Хп\Ап) х 7(п) совершенно нормально в силу 4.5.16(b) [29], как произведение совершенно нормального пространства и метризуемого пространства {w(T{n)) WQ). Имеет место включение значит, П„(Х) также совершенно нормально. В силу замкнутости отображения 7Гппп(х) отсюда следует, что Тпп{Х) также совершенно нормально. Наследственная сепарабельность Тп(Х) следует из наследственной сепарабель- ности Хп х Т{п) в силу леммы

5). Пусть JF — полунормальный функтор, сохраняющий вес и точки взаимной однозначности, и spi F) = {1, &,...} (к — второе по величине число из степенного спектра Т).

Пусть А и В — два отделимых по Хаусдорфу подмножества {Х). Покажем, что существует счетное открытое покрытие множества А, замыкания элементов которого не пересекают В. Отсюда, в силу нормализующей леммы ([17], с. 56) будет следовать существование непересекающихся окрестностей множеств А и В. Разобьем В на два подмножества: В\ = В \ X, В2 — В П X (X С (Х)). Множество А П X финально компактно как подмножество совершенно нормального компакта X. Поэтому существует счетное покрытие j множества АП X, замыкания элементов которого не пересекают В\. Множества А \ X и В\ лежат в совершенно нормальном пространстве Jrk(X)\X (в силу 4)). Следовательно, А\Х обладает окрестностью, замыкание которой (в Tk{X)) не пересекает В\. Добавим эту окрестность к семейству У и получим счетное покрытие 7 множества А, замыкания элементов которого не пересекают В\. Рассмотрим множество

Поскольку функтор Тк сохраняет точки взаимной однозначности и отображение ро : X -л XQ взаимно однозначно в точках х L, множество Т лежит в L.

Докажем, что Т счетно. Предположим противное. Тогда существует непустое открытое в XQ множество U С [Т], для которого U П Fk{po)A всюду плотно в U и U С [Тк{ро)В2]. Возьмем точку х Є В і так, что Тк(Ро){х) — Ро(х) Є U. Пусть Ох — такая окрестность точки х в Х что [А] Г) Ох = 0 и Ро(Ох) С U. Имеем 0 ф р\Ох С U. Так как дополнение до L всюду плотно в XQ, в р\Ох найдется точка t L. Для этой точки t К -СРО))-1 = 1 и, значит, (Fk{Po)) lt С Ох. Следовательно, t Є Ot = T XQ) \ Тк{ро)[Л\ и Ot П Тк{ро)А = 0. Получено противоречие, поскольку U П Тк{ро)А всюду плотно в С/, a Ot П U открыто в U и не пусто.

Итак, Т счетно. Множество А\ ( гк(Ро)) 1 гк(ро)[В2] имеет счетное открытое покрытие 5 , замыкания элементов которого не пересекают В%. В самом деле, множество Тк{ро)А \ Тк{.Ро)[В2] обладает счетным открытым в Тк(Хо) покрытием, замыкания элементов которого не пересекают Тк{ро)[В2І- Прообразы элементов этого покрытия при отображении 3-к(ро) дадут искомое покрытие 5 .