Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения 14
1.1. Исключительные наборы и полуортогональные разложения 14
1.2. Комбинаторика диаграмм Юнга 18
1.3. Функторы Шура 21
1.4. Грассманианы и теорема Бореля-Ботта-Вейля 23
1.5. Капрановский набор 28
Глава 2. Конструкция расслоений х,и 29
Глава 3. Ступенчатые комплексы 38
3.1. Мотивировка 38
3.2. Ступенчатые комплексы для Ых 39
3.3. Ступенчатые комплексы для х,и 46
Глава 4. Исключительные наборы на грассманианах 49
4.1. Гипотеза Кузнецова-Полищука 49
4.2. Доказательство гипотезы 51
Глава 5. Лефшецевы разложения 60
5.1. Предварительные сведения 60
5.2. Верхнетреугольные диаграммы 63
5.3. Лефшецевы разложения производных категорий грассманианов 67
5.4. Полуортогональность и полнота 71
Литература
- Комбинаторика диаграмм Юнга
- Ступенчатые комплексы для Ых
- Доказательство гипотезы
- Лефшецевы разложения производных категорий грассманианов
Комбинаторика диаграмм Юнга
Полные исключительный наборы в производных категориях алгебраических многообразий были построены, например, для некоторых рациональных однородных пространств (см. [8], [23], [29], [26] и др.), на гладких торических многообразиях ([20]), поверхностях дель Пеццо ([7]), некоторых трехмерных многообразиях Фано ([6], [5]).
Нас будет интересовать строение производных категорий классических грассманианов -мерных подпространств в векторном пространстве V. Полные исключительные наборы на них были построены Капрановым в работе [4]. За подробностями мы отсылаем читателя к разделу 1.5.
Когда мы говорим «достаточное количество», имеется в виду следующее. Пусть (Ei,E2,..., Et) — полный исключительный набор в Т. Тогда классы [Ej\ образуют базис в кольце Гротендика KQ(X) (В подобном случае KQ(X) 1}). Проверка полуортогональности — вопрос проверки равенства нулю некоторых пространств морфизмов. Наиболее сложной частью является доказательство полноты. Долгое время стояла гипотеза, состоящая в том, что исключительный набор, содержащий достаточное количество исключительных объектов, является полным. То ли к сожалению, то ли к счастью, данная гипотеза была недавно опровергнута (см., например, [17]). Оригинальный подход Бейлинсона к доказательству полноты, использованный также Капрановым, состоит в построении резольвенты структурного пучка диагонали. К сожалению, его тяжело обобщить даже на прочие рациональные однородные многообразия. Другой подход к доказательству полноты дает следующий результат Орлова (мы приводим упрощенную формулировку).
Теорема 1.1.6 ([27, Теорема 4]). Пусть X — гладкое проективное многообразие размерности d над произвольным полем к, а С — очень обильное линейное расслоение на нем. Тогда объект = ki=k_dO является классическим генератором Dh{X), то есть минимальная полная триангулированная подкатегория в Dh(X), содержащая Е и замкнутая относительно взятия прямых слагаемых, совпадает с самой Dh(X).
В качестве приложения к вопросу доказательства полноты исключительных наборов немедленно получаем следующий критерий.
Следствие 1.1.7. Пусть X — гладкое проективное многообразие, аТ — полная триангулированная подкатегория в Db(X), содержащая Ох и замкнутая относительно подкрутки на очень обильное линейное расслоение С. Тогда Т = Dh{X). В частности, если в Dh{X) задан исключительный набор (Ei,..., Et), содержащий Ох, такой что Eje (EuE2,...,Et) при всех j = то данный набор полный.
На множестве исключительных наборов действует группа кос (с помощью так называемых перестроек). Особенно полезными при этом оказываются двойственные наборы. Мы дадим когомологическое описание, которое полностью их характеризует. Напомним, что в триангулированной категории Т по определению имеем Extk{X,Y) = Hom{X,Y[k]).
Тогда объекты (Ft, Ft-\}... }F\) также образуют полный исключительный набор, называемый правым двойственным. Меняя местами F{ и Ej в когомологическом условии, получаем левый двойственный набор.
Замечание 1.1.9. К сожалению, до сих пор нет единой договоренности, в какой градуировке должны сидеть нетривиальные пространства расширений в определении двойственных наборов. Отметим, что соответствующее разложение при этом инвариантно, так как получающиеся исключительные объекты отличаются друг от друга исключительно сдвигом.
Обычно диаграммы Юнга отождествляют с невозрастающими положительными целочисленными последовательностями конечной длины. Подобные диаграммы Юнга мы будем называть обычными. Тем не менее, нам будет удобно отождествлять диаграммы Юнга с доминантными весам общих линейных групп. Последним соответствуют невозрастающие целочисленные последовательности конечной длины, члены которых вполне могут быть отрицательными. Когда мы говорим о диаграммах Юнга, мы подразумеваем, что, как и доминантные веса, они могут иметь строки нулевой и даже отрицательной длины. Такие строки нужно представлять себе, как клетки, нарисованные слева от некоторой выбранной вертикальной оси, обозначающей ноль.
Групповые действия на диаграммах Начнем с простой инволюции на множестве всех диаграмм Юнга. Отрицанием диаграммы с к строками Л = (Лі, Л2,..., А ) называется диаграмма. Если рассматривать Л как доминантный вес Gl_(&), то —Л есть не что иное, как старший вес двойственного представления.
Ступенчатые комплексы для Ых
Пусть X = Gr(k, V) — грассманиан -мерных подпространств в векторном пространстве V размерности п. Далее мы будем предполагать, что к 1, п — 1, иначе говоря, что X не является проективным пространством.
Из реультатов Капранова (см. раздел 1.5) мы знаем, что расслоения вида Ых и (V/U) А при всех А Є Yn_k,k — исключительные объекты в Db{X). Свойство объекта быть исключительными сохраняется при (анти)автоэквивалентностях, поэтому исключительными являются двойственные к ним, а также расслоения, получаемые подкруткой на 0(t) при любом целом і є Z. Заметим, что все такие расслоения неприводимые, то есть получаются ограничением неприводимого представления фактора Леви на параболическую подгруппу. В данном разделе приводится геометрическая конструкция некоторых эквивариантных расслоений на грассманиане X, которые неприводимыми не являются. Позже, в разделе 4.2, мы докажем их исключительность.
Для пары целых чисел 0 w n — киО Н к определим множество которое будем называть блоком. Пусть Z = F\(k — h,k; V) — пространство частичных флагов. Проекции на первую и вторую компоненты флагов обозначим q и р соответственно:
Итак, нам достаточно доказать зануление высших прямых образов вида Rlp, {{U/Wf 8 (U/W)-a) , где а С /І. Пусть (W/W) 6 С (W/ V)A (X) (W/ V) a — неприводимое слагаемое. По теореме Бореля-Ботта-Вейля нетривиальный прямой образ будет тогда и только тогда, когда в последовательности ) все элементы различны, а сама последовательность не является убывающей. Заметим, что первые h членов (2.2) различны и убывают. То же можно сказать про последние k—h членов (2.2). Если нетривиальный прямой образ существует, то к — h+l+fih 1. С другой стороны, по Лемме 1.3.3 / —сі\ —Ці h — k, откуда к — h + 1 + (3h 1. Таким образом, высших прямых образов нет у присоединенных факторов фильтрации, а значит, и у исходного расслоения.
Для пары дигарамм (А,/І) Є Bw положим Sx v = р ((U/W)x g (V/W)- ) . (2.3) Для обычной диаграммы Юнга а определим ширину wa = а\ и высоту ha = 1OL\. Заметим, что пара диаграмм (А,/І) может принадлежать какому-то блоку BW;/j, если и только если wx + h п — к и hx + Wjj, к. Вообще говоря, по паре (А,/І) блок определяется неоднозначно. Например, пару пустых диаграмм можно рассматривать в качестве элемента любого из блоков. Тем не менее, мы сейчас покажем, что векторное расслоение х,и зависит только от А и /І. ДЛЯ этого нам понадобится следующая лемма.
Доказательство. Эквивариантность немедленно следует из того, что Х,И — прямой образ эквивариантного расслоения относительно эквивариантного мор-физма р. Из доказательства Предложения 2.0.3 следует, что на Х,И есть фильтрация, присоединенный факторы которой имеют вид
Заметим, что так как (а,/3) Є BWj/l, т. е. а Є YWj/l, (З Є Yk-h,n-k-w, имеем «/г = 0 и /Зп_/; = 0. По Лемме 1.3.3 А ( = 0, /І і —f3n-k = 0. Значит, последовательность (2.4) должна быть нетривиальной перестановкой (1,... , п). Таким образом, необходимым условием является А 0 и —/І 0. Последнее возможно только в случае 7 ск, С /3, что есть условие полуортогональности. Наконец, в случае j = а, 5 = f3 единственные подходящие слагаемые — тривиальные, причем каждое из них имеет кратность 1. Получаем исключи тельность.
Замечание 2.0.6. Несложно проверить, что на множестве всех эквивариантных неприводимых расслоений на X можно ввести порядок, такой что получится (вообще говоря, бесконечный) полный исключительный набор в эквивариант-ной производной категории DQ(X) (СМ. [25, Теорема 3.4]).
Следующий член равен /г+ 71, причем по Лемме 1.3.3 w Лі 71- Таким образом, нетривиальный вклад в высшие прямые образы дают только те слагаемые (W/W)7, для которых 7i 0, что эквивалентно —7 0. Незаменимая, как вы уже поняли, Лемма 1.3.3 утверждает, что такое возможно только при условии А С т. В свою очередь, гСа, откуда получаем необходимое условие X Q а.
Итак, нам остается рассмотреть случай А = г = а. Единственный соответствующий присоединенный фактор Ы при этом равен (U/W) a, единственное допустимое слагаемое 7 = 0, а единственный нетривиальный прямой образ
Все нетривиальные члены спектральной последовательности (2.5) сосредоточены в одной строке и равны що = На у/щР (y/wy ) = Exta ((V/Wf, (V/Wf) . Наконец, {V/W)11 и (V/W)x лежат в двойственном капрановском наборе на X , откуда получаем необходимое условие /3 1Э а. Заметим, что при а = А и /3 = /І единственное нетривиальное пространство Ext (Ыа g (V/uy S ) = Horn (ZT g (V/uy S ) = к одномерно, причем все морфизмы эквивариантны. П
Доказательство гипотезы
Отсюда видно, что оц = Х при і = 1,..., п — к. Случаи 2о = —п и ап-к+\ = 0 были рассмотрены выше. Немедленно проверяется, что Ъ = п + а , поэтому нетривиальные Е 4 і в точности соотвествуют членам (3.6).
Мы знаем, что спектральная последовательность выраждается. Посмотрим на соседние значения а и c +i. Легко видеть, что выполняются равенства di+i — di = a(i + 1) — а (і) + 1 = b{ — b{+\ + 1. Значит, суммарная градуировка a,j + bj принимает последовательные значения к — 1 — п,... , 0, а спектральная последовательность, будучи вырожденной, превращается в искомую длинную точную последовательность.
Пользуясь изоморфизмом Gr(k,V) Gr(n — k,V ), при котором тавтологическое подрасслоение на последнем отождествляется с (V/U) на первом, мы немедленно получаем следующий вариант ступенчатых комплексов на X.
Теорема 3.2.3. Пусть /І Є Yk,n-k диаграмма Юнга максимальной ширины, то есть Ц\ = к. Тогда на X имеется точный комплекс векторных расслоений вида Пример 3.2.4. На грассманиане Gr(&,y) имеется длинные точные последовательности вида 0 -+ Sn kU -+ Sn-k lU g V -+ ... -+ U g кп к- V - An- y - Є (1) - 0, о -+ sk{v/uy -+ sk-\v/uy g V -+ ... -+ AkV -+ (9(1) -+ 0. Первая из них соответствует диаграмме А = (п — к} 0,... , 0), для которой г-ое ступенчатое обрезание Х = (n — k — i, 0,..., 0). Вторая получается аналогично.
Ступенчатые комплексы для х Обобщим результаты предыдущего раздела на случай расслоений ЕХ,И. Напомним, что в разделе 2 по блоку Bw был построен исключительный набор, состоящий из векторных расслоений (А " (А,„,св., С D\X). Расслоения эти однозначно характеризуются тем, что в эквивариантной категории DQ(X) образуют левый двойственный набор к набору {u -(v/u)-»)M hcDl(X). В терминах частичных флагов Z\ = F\(k — h, к; V) и Z i = F\(k, п — w;V) Z2 Z\ 9/ \/ v/ \ ? Gr{n-w1V) = X" X X = Gr(k-h,V) имеем явные формулы x# = p, ((U/W)x 8 {v/w)-»), A M = Л ((/С/И)-" 8 /CA) , где W и /С — тавтологические иодрасслоения рангов к — h и п — w на Zi и Z i соответственно.
Применим к последовательности (3.12) функтор / ((/С//)_/х 8) # (—)). Разберемся с последним членом: а третье — по формуле проекции. Наконец, заметим, что пара (Л{1},/І(1)) лежит в блоке BW;/j_i. Отсюда получаем равенство
Итого, никаких высших прямых образов нет, откуда заключаем следующее. Теорема 3.3.1. Для всякой пары (А, /І) Є Bw , такой что Х\ = w, на X имеется точная последовательность вида Аналогично, рассматривая 8Х,И как прямой образ р [(U/W)x (8) (V/IV)-1") и используя ступенчатые комплексы из Теоремы 3.2.3, немедленно получаем следующий вариант предыдущей теоремы.
Как обычно, X = Gr(k, V) — грассманиан -мерных подпространств в векторном пространстве V размерности п. Рассмотрим строго возрастающую непрерывную функцию Г : [0,n-fc] ч 1с граничными условиями Г(0) = О и Т{п — к) = к. Будем мыслить о таких функциях как о монотонных путях, ведущих из левого нижнего угла прямоугольника ширины п — к и высоты к в правый верхний угол. Обозначим за РІ = (ХІ,УІ): і = 0...,/(Г) точки на графике Г, хотя бы одна из координат которых целочисленная, и упорядочим их по возрастанию любой из координат.
Прежде чем перейти к доказательству Гипотезы 4.1.2, сделаем ряд предварительных замечений. Газложения, которые предсказывает гипотеза, связаны с путями некоторого вида в прямоугольнике. Несмотря на непрерывную природу пространства параметров, гипотетическое множество разложений дискретно. Действительно, компоненты разложения зависят от точек пересечения пути Г с сеткой Af = RxZUZxKc Ш2. Пусть р — одна из точек пересечения. Имеется три типа точке пересечения: только абсцисса р целочисленная, только ордината р целочисленная, либо обе координаты р целочисленные. В каждом из этих случаев соответсвующая компонента разложения зависит только от номера р в упорядоченной последовательности всех точек пересечений Г с N и блока Вр. Но последний зависит только от целых частей координат р. В частности, без ограничения общности можно считать, что интересующие нас пути кусочно-линейны и соединяют точки с полуцелыми координатами.
Кроме того, мы уже знаем часть утверждения гипотезы, касающуюся строения блоков разложения. Предложение 4.1.3. Пусть р Є П; тогда подкатегория Вр С Db(X) порождается исключительным набором.
Пусть р = (ж, у) — точка в прямоугольнике П, ни одна из координат которой не является целочисленной. Пусть Г — строго монотонный путь, проходящий через р и ведущий в (n — k}k). Обозначим за ро,... , /(7) точки Г, лежащие правее р: одна из координат которых целочисленная. Как и раньше, упорядочим рі в порядке возрастания любой из координат. Мы собираемся доказать следующее утверждение.
Доказательство Теоремы 4-2.1. Согласно приведенному в конце раздела 4.1 рассуждению, без ограничения общности можно считать, что точка р имеет координаты вида (х — , у — ), где 1 х п — ки1 у к — целые числа. Будем доказывать утверждение убывающей индукцией по сумме координат р. Для удобства введем обозначения w = п — к — х, h = у и В{ = Вр..
Лефшецевы разложения производных категорий грассманианов
Сразу же видно, что сумма двух верхнє (соотв. нижнє) треугольных диаграмм с одинаковым наклоном вновь верхнє (соотв. нижнє) треугольна.
Для данной диаграммы А Є UYn обозначим за г(А) длину пути, ведуще го из правого верхнего угла прямоугольника до самой правой вершины, лежащей на диагонали и отличной от исходной. Например, если А — стро го верхнетреугольная, то r(A) = п. Для данной диаграммы Л Є LYn обозначим за /(А) длину пути, ведущего из левого нижнего угла прямоугольника до самой левой вершины, лежащей на диагонали и отличной от исходной. В частности, Лс Є UYn,k и/(А) = г(Ас).
Для данной диаграммы Л Є Yn обозначим за d(X) наименьшее d О, такое что \{d} — нижнетреугольная. Это то же самое, что длина пути, ведущего из правого верхнего угла прямоугольника до самой правой L-допу-стимой вершины диаграммы. В частности, если Л Є LYn то d(X) = 0.
Для данной диаграммы Л Є Yn обозначим за е(Л) длину пути, ведущего из левого нижнего угла до самой левой L-допустимой вершины, отличной от исходной. В частности, е(Л) 0 и при Л Є LYn имеем е(Л) = /(Л).
В данном разделе мы построим два лефшецевых разложения ограниченной производной категории когерентных пучков на грассманиане X = Gr(k, V) подпространств размерности к в векторном пространстве V размерности п. В случае взаимно простых пик разложения совпадают и оказываются минимальными. некоторой полной триангулированной подкатегории Л С Vb(X) с лефшеце-вым базисом, заданным исключительным набором (Ы х Л Є mUYn_k,k) и носителем о(Х).
Можно сравнить данный набор с набором из Примера 5.3.2 и заметить, что объекты S2U и S2W{\) были заменены на Л2 (4) и Л2 (5), что уменьшило первый блок набора.
Как уже было упомянуто, важным вопросом является построение не просто произвольных, а минимальных лефшецевых разложений. Мы ожидаем следующее.
Гипотеза 5.3.6. Подкатегории ЛІ образуют минимальное лефшецево разложение Т Ъ{Х).
Замечание 5.3.7. Мы рассматриваем два лефшецевых разложения ЛІ И ВІ категории Т Ь{Х). Заметим, что Ло С Во, так как исключительный набор, порождающий Ло, является поднабором набора, порождающего Во. Действительно, первый из них состоит из объектов, соответствующих минимальным верхнетреугольным диаграммам, в то время как второй — всем верхнетреугольным диаграммам. Значит, разложение ЛІ не превосходит разложения ВІ ПО отношению к порядку включения, заданному на первых блоках.
Более того, имеется ровно два случая, в которых Ло = Во- Это выполняется тогда и только тогда, когда кип взаимно просты или к = 2. В этих случаях орбиты циклического действия на Yn_k,k имеют ровно по одному врех-нетреугольному элементу, который автоматически минимален, и для всякого Л Є \JYn,k выполнено г(Л) = о(Х). Значит, ЛІ = В{ при всех г = 0,..., п — 1, что, в частности, согласуется с утверждением о том, что всякое лефшецево разложение задается своим первым блоком.
Гипотеза 5.3.6 представляется достаточно сложной, ибо до сих пор не известно естественного способа проверять лефшецевы разложения на минимальность. Несмотря на это, имеются несколько случаев, когда она немедленно выполняется. Предложение 5.3.8. Выполнено следующее: 1. Гипотезы 5.3.4 и 5.3.6 выполняются, когда пик взаимно просты. 2. Если к = р — простое, то из Гипотезы 5.3.4 следует Гипотеза 5.3.6. Доказательство. Легко видеть, что число блоков лефшецева разложения ограничено сверху индексом многообразия. Действительно, т.к. сих — Ох{—п): по двойственности Серра Иот{Е{п),Е{п)) Extd{E{n),E) для всякого объекта Е Є Vb{X)) где d — размерность многообразия X. Первая группа содержит выделенный ненулевой элемент idE{n) Є Hom((n),(n)), откуда видно, что группа Extd (Е(п),Е) — ненулевая. Значит, объект Е(п) не может быть ортогонален слева к Е ни при каком 0 ф Е Є Т Ь{Х).
В случае грассманиана Gr(&, V) индекс равен п = dim V. Значит, все наши разложения уже состоят из максимально возможного числа блоков.
В Замечании 5.3.7 мы видели, что подкатегории ЛІ совпадают с Д; при взаимно простых к и п, а значит, образуют лефшецево разложение. Более того, в этом случае разложение — прямоугольное и имеет максимально возможное число блоков, а потому — минимальное. Первое утверждение доказано. Чтобы доказать второе утверждение, заметим, что в при к = р: р \ п имеется всего одна короткая орбита, представленная минимальной верхнетреугольной диаграммой
Предыдущие равенства означают, что диаграммы А, /І ВЫХОДЯТ на диагональ и могут быть записаны в виде /i = b ф а и X = Ъ фа для некоторых а,Ь Є Yj(n_k)/k,j и а\Ъ Є Y(k-j)(n-k)/k,k-j- Вспомним, что, согласно правилу Литтлвуда-Ричардсона, г-ая строка /І ВНОСИТ вклад в строки слагаемого тензорного произведения с номерами не меньше г. Применяя Лемму 1.3.3, заключаем, что а 1Э У и, аналогично, а 1Э Ъ.