Содержание к диссертации
Введение
I. СУІШРПАРАКОМПАКТНОСТЬ И ЕЁ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ СВОЙСТВАМИ ТИПА КОМПАКТНОСТИ 14
2. СУПЕРПАРАКОМПАКТНОСТЬ, СВЯЗНОСТЬ И НУЛЬМЕРНОСТЬ 18
3. СУПЕРПАРАКОМПАКТНОСТЬ И (СЧЁТНАЯ) СИЛЬНАЯ АРАКОМПАКТНОСТЬ 28
4. ОТОЕРАЖШЯ СУПЕРПАРАКОМПАКТОВ 33
5. ХАРАКТЕРИЗАЩЯ СУПЕРПАРАКОМПАКТНОСТИ ПРИ ПОМОЩИ ОТОБРАЖЕНИЙ И ВЛОЖЕНИЙ 49
6. СОВЕРШЕННЫЕ ПРООБРАЗЫ (ПОЛНО) МЕТРИЗУШЫХ ПРОСТРАНСТВ 61
7. МЕТРИЗУШЫЕ СЛШРПАРАГАШАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 67
8. СУПЕРПАРАКОМПАКТНОСТЬ И РАЗМЕРНОСТЬ 72
9. СУПЕРПАРАКОМПАКТНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ
ГРУППЫ 88
ЛИТЕРАТУРА 93
- СУІШРПАРАКОМПАКТНОСТЬ И ЕЁ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ СВОЙСТВАМИ ТИПА КОМПАКТНОСТИ
- СУПЕРПАРАКОМПАКТНОСТЬ, СВЯЗНОСТЬ И НУЛЬМЕРНОСТЬ
- СУПЕРПАРАКОМПАКТНОСТЬ И (СЧЁТНАЯ) СИЛЬНАЯ АРАКОМПАКТНОСТЬ
- ОТОЕРАЖШЯ СУПЕРПАРАКОМПАКТОВ
- ХАРАКТЕРИЗАЩЯ СУПЕРПАРАКОМПАКТНОСТИ ПРИ ПОМОЩИ ОТОБРАЖЕНИЙ И ВЛОЖЕНИЙ
Суперпаракомпактность и её связь с другими свойствами типа компактности
Напомним некоторые понятия, встречающиеся в этом параграфе. Система подмножеств множества X. называется звёздно счетной (конечной), если каждый элемент системы пересекается не более чем со счётным (конечным) числом элементов этой системы.
Конечная последовательность подмножеств jMot...f jH , множества X называется цепью, связывающей множества М0 ж , если ЛЬ , /7Mi Ф Ф при любом I = /,...,&. Система Sir подмножеств множества X называется сцепленной, если для любых множеств JU и М этой системы существует такая цепь элементов системы уг , что первый элемент цепи есть множество JIL , а последний - множество еЛ1 . Максимальные сцепленные подсистемы системы Jt? называются компонентами сцепленности (или компонентами) системы jc . При этом компоненты звёздно счётной системы ж счётны и тела различных компонент системы ос дизъюнктны /I/. Под телом Ьс системы эсг подмножеств множества понимается объединение l/jc её элементов.
Суперпаракомпактность, связность и нульмерность
В этом параграфе показывается близость класса суперпара-компактов к классу бикомпактов. Изучается связь суперпаракомпактности со связностью и с локально связностью.
Одним из основных результатов этого параграфа является следующее утверждение.
Теорема 2.1. В суперпаракошактном пространстве X любая квазикомпонента бикомпактна и в любой окрестности любой его квазикомпоненты содержится открыто-замкнутая окрестность.
Доказательство этой теоремы будет дано позже. Сначала дадим некоторые необходимые определения и докажем вспомогательные утверждения.
Напомним (В.И.Пономарёв /22/), что подмножество $ пространства X называется квазисвязным, если: всякий раз, когда открыто-замк нуто в X .
Максимальное квазисвязное подмножество пространства X называется квазикомпонентой пространства X,
Определение 2.1. Подмножество Jo пространства X назовём ( О - С ) - конечным в X, если для любой дизъюнктной системы открыто-замкнутых в X и покрывающих Jo множеств лишь конечное число элементов этой системы пересекает Jlr.
Примерами ( О - С ) - конечных подмножеств пространства X являются его квазисвязные (в частности, связные), а также псевдокомпактные подмножества.
Определение 2.2. Пространство X назовём ( О - С) -конечным, если оно {О - С ) - конечно в себе (т.е. из любого его дизъюнктного открыто-замкнутого покрытия можно выделить конечное подпокрытие).
Примерами { 0 - С ) - конечных пространств являются псе - 19 вдокомпактные (в частности, счётно компактные и бикомпактные), а также связные пространства.
Суперпаракомпактность и (счётная) сильная аракомпактность
В предыдущем параграфе была продемонстрирована близость класса суперпаракомпактных пространств к более узкому классу бикомпактных пространств, В этом параграфе будут выяснены взаимоотношения класса суперпаракомпактных пространств с более широким классом (счётно) сильно паракомпактных пространств.
Чтобы не рассматривать параллельно утверждения для финально компактных и сильно паракомпактных пространств ниже рассматривается класс счётно сильно паракомпактных пространств, содержащий в себе классы сильно паракомпактных и финально компактных пространств. При этом в классе регулярных пространств счётная сильная паракомпактность совпадает /26/ с сильной паракомпактностью. Отметим, что существует /26/ счётно сильно паракоглпактное, даже финально компактное хаусдорфово пространство, не являющееся сильно паракомпактным и даже паракомпакт-ным.
Определение 3.1. Пространство X называется счётно сильно паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать открытое звёздно счётное покрытие.
Демма 3.1. В любое открыто-замкнутое покрытие счётно сильно паракомпактного пространства X можно вписать однократное открытое (и, автоматически, замкнутое) покрытие.
Отоеражшя суперпаракомпактов
В этом параграфе даются, накладываемые на отображение условия, при которых суперпаракомпактность прообраза влечёт суперпаракомпактность образа.
Определение 4.1. Отображение f пространства X в пространство у называется (С - С ) - отображением, если образ любого открыто-замкнутого в л множества открыто-замкнут в У.
{О - С) - отображения исследовались А.П.Шостаком в /31, 32/, а впервые условия быть ( 0 - С ) - отображением втречается в работе /23/ В.И.Пономарёва.
Определение 4.2. Отображение f пространства X в пространство У называется {О - С ) - совершенным, если одновременно выполнено два условия: a) j- есть ( О - С ) -отображение; б) прообраз f у любой точки ЦЄУ является ( С - С ) - конечным в X .
Напомним (В.И.Пономарёв /23/), что отображение f :Х -- - У называется А - отображением, если оно есть ( О - С )
- отображение, и для каждой точки І/єУ прообраз f У ( О - С ) компактен в X
Известно /23/, что к Л. - отображениям принадлежат все совершенные открытые и все факторные квазимонотонные отображения.
Характеризащя суперпаракомпактности при помощи отображений и вложений
В этом параграфе сунерпаракомпактные пространства X характеризуются при помощи: а) отображений в нульмерные пространства; б) замкнутых вложений в произведения нульмерных паракомпактов на тихоновские кубы; в) (неприводимых) СО - отображений в полиэдры; г) вложений в вХ и в произвольную би-компактификацию
а) Теорема 5.1, Совершенный прообраз суперпаракомпактно-го пространства является суперпаракомпактным.
Для доказательства теоремы нам потребуются следующие две очевидные леммы.
Лемма 5.1. Если является конечноком понентным открытым покрытием пространства X и если система СО получается из покрытия СО заменой каждого множества О конечным набором открытых множеств, в сумме дающих Qft то си-стема СО является конечнокомпонентным открытым покрытием пространства X.
Лемма 5.2. Если отображение f пространства X в пространство У Непрерывно И СО яг / 0& , СУ є OCj конечнокомпо-нентное открытое покрытие пространства і, то система f СО -= // 0 )0( Є ОСj есть конечнокомпонентное открытое покрытие пространства X .
