Введение к работе
Актуальность темы. В обвей топологии больную роль играют пространства, топологическое строение которых определяется заласом схпдягаїхся последовательностей точек в них (ведь впервые абстрактные пространства с топологипссной структурой бшш введены Фрешз имонно в терминах сходящихся последовательностей). К таким пространствам относятся, например, секвенциальные пространства и пространства Фреша-Урыоона. Оба эти класса пространств были широко известш почт со времени зарождения обсей топологии. Определения их восходят к работам*'' ; Секвенциальные пространства были тщательно изучена в работах Франклина ' > *-.
В настоятей работе изучаются пространства, определения которых так или иначе связаны о секвэщизльвши пространствами.
В 1961 году на Пражском топологическом симпозиуме П.С.Александров поставил обгую топологическую проблеет изучения взаимной связи свойств непрерывных отображений 'топологических пространств, их образов и прообразов.
Первые конкретные вопросы такого рода о'нли решены 60 - 70
^ Prxc/геі- М. Su'i AiC^aues pot its «^ cayCt-c іолсіопяе. - fang. с/е С? ге. /Vat. cL Pafr?/x>o
'аг (1906), і-4.
2) UzusaAti P. Su г Ces classes 4 c*'e /V. Р?гсЛеї. -
Гі-' Ftanktui S.P, Soace.i i* icfttc/l sefiiccjzecsssft'cce.-Рипс/.Мг-&г. 67 (І9в*)> /W-//X
л) Fianiidn S.P. Spaces c'n u>/uc/i sep^e/zces "/-foe I. - Fcuid'P/aM. {(136Y), tt-6V.
лет назад, а именно: теорема П.С.Александрова'о представлении произвольного компакта как непрерывного образа канторо-ва совершенного множества; данная Хаусдорфом характеристика произвольных метрических пространств со счётной базой как открытых непрерывных образов подпространств пространства иррациональных чисел; описание локально связных континуумов как непрерывных образов отрезка '' .
В связи с этими задачами особо отметим теорему В.И.Пономарёва'' о том, что все Т^ -пространства, удовлетворяюще первой аксиоме счётности, - и только они, - являются образами метрических пространств при непрерывных открытых отображениях.
Теория кардинальнозначных инвариантов, уходя своими корнями к началу развития обіцей топологии, особенно активно стала развиваться-со второй половины шестидесятых годов. Появились новые методы и новые объекты исследования. Интересные результаты в данной области были получены Б.А;Ефимовым,В.Й. Машхикым,В.И.Пономаревым, М.Іудин, В.В.федорчуком. А.В.Ар-
' Mexand-eoff P. (/ez stetige Jii&iidierzeet. jeo/rtpa^Ut Кайме/- Mat&.Jrts,. $6' fjez?), SSS'Sys.
6' Hausc/ot// F (Met cnnez J/AAiMunpen. — 'Fwiet-
MdA. гз(ть), 2f9 -г»- - : . .
Func/.tfatA. 1(1920), 1Є-2Р$'У . . .
' Scezai/isJcc W.
9) - "
' Пономарёв В.И. Аксиомы счётности и непрерывные отображения. '-В, В» 3./ I960 /, 12? - 133.. . "
хангельсюїй* ' в 1969 году положительно решил гипотезу П.С.Александрова и П.С.Урысона о той, что бикомпакт с первой аксиомой счётности имеет мощность, на превосходящую мощности континуума.
Новно кардинальнозначниз инварианты часто порождал» и новые результаты, связанный с аддиционной тематикой. Так, например, в классе бикомпактов справедлива адциционная теорема для веса11', в классе к. -пространств - для тесноты* ' и Т. д.
Отметим ещё одну обща задачу, связанную с известной теоремой А.Стоуна13' о нормальности произведения метрического пространства и нормального счётно компактного пространства.
Какида блязкики условиями можно заменить метризуемость и счётную компактность, чтобы произведение осталось нормальным ?
Весьма интересные результаты в этом направлении были получены Моритой14', Даукером15' , А.П.Комбаровым16^' *"',
^' Архангельский А.В. О "мощности бикомпактов о первой аксиомой счётности. - ДАН СССР 187 / 1969 /, 967 - 970.
**/ Архангельский А.Б. Аддиционяая теорема для веса множеств, лежащих в бикомпактах, - ДАН СССР 126 / 1959 /» 239 - 241.
12' Ранчин Д.В» %снота, секвенциальность и замкнутые покрытия. - ДАН СССР 232 / 1977 У, І0Г5 - ІОІЄ.
SioneJ-tf- fhtacpffuxtc^ness a/td мос&есї qoaces. —
Media, К. Products of /rotma spaces &H& теЫ& smces. — /Satt.Ja/t. JS4(J9e4), ЗЄ&-3
I5' Docv&tt C.H. On ссшіІа&/ mtaecrftjaacf spaces. - Ckftady. e/AbM. Jfrm), 2/S -224.
Б настояний диссертации решаются задачи, примыкающие к > перечисленным вше проблемам, для пространств, близких к сек-венциальши.
Цель работы. Исследование свойств С -секвенциальных, р -секвенциальных, т. - р-коыпактных и гй - р -секвенциальных пространств; изучение вопроса о о -определённости пространства
Методы исследования. В диссертации широко используются методы таких разделов топологии как теория секвенциальных пространств и близких к ним. Б частности, применяются и получавт дальнейшее развитие конкретные методы исследования С -секвенциальных, О -секвенциальных, бикомпактно определённых пространств, принадлежащие А.Бернштейну, А.ЇЇ.Комбаро-ву, В.Й.Малыхину, В.И.Пономарёву, Д.В.Ранчину.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и получены автором самостоятельно. Они заключаются в следуюпрм:
1. Доказано, что С -секвенциальные пространства, и
только они, являются наслздственно неизолированными образами
метризуемых пространств.
2, Доказано без дополнительных аксиоматических предпо
ложений, что прообраз С-секвенциального ( р-секвенциаль
ного) бикомпакта при совершенном отображении является С -
' Комбаров А.И. 0 произведениях нормальных пространств. Равномерности на JL -произведениях. - ДАН СССР 205 / 1972 /, НШ - 1035.
17' Комбаров А.П. Об одной геореме А.Стоуна. - ДАН СССР 270 /1983 /,38-40.
секвенциальным ( р -секвенциальным) бикомпактом, если все слои отображения С -секвенциальны ( р -секвенциальны).
-
Показано, что мощность р-секвенциального сепарабель-ного бикомпакта не превосходит моирости континуума,
-
Доказано, что произведение тп - р -секвенциального паракомпакта и нормального ггг-п -компактного пространства коллективно нормально.
-
Показано, что утверждение о о -определённости пространства не зависит от системы аксиом г re (через С^ обозначено пространство рациональных чисел, а че-рез D * - канторов дисконтинуум веса Х^ ) .
Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Её результаты могут найти применение в общей топологии, в частности, в теории секвенциальных пространств и близких к ним.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре кафедри общей топологии и геометрик Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова, на научно- исследовательском семинаре "Обіцая топология и дескриптивная теория множеств" под руководством профессора Б.И.Пономарёва.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах, список которых представлен в конце автореферата.
Структура диесстугачкк. Работа состоят из введения, четырёх параграфов и списка цитированной литературы. Объём диссертации - 62 страницы машинописного' текста. Библиография содершг 46 названии работ.
