Введение к работе
Актуальность. Последние десятилетия наблюдается интенсивное проникновение идей и методов теории категорий в различные области современной математики: алгебраическую топологию, алгебраическую геометрию, современную алгебру, математическую логику и др., а также в смежные науки — физику, химию, биологию и информатику. С другой стороны, своим происхождением и побудительными причинами для своего развития теория категорий обязана алгебраической топологии. С конца прошлого столетия методы теории категорий и алгебраической топологии стали активно применяться в теории параллельных процессов. Используя тот факт, что теория категорий концентрируется на свойствах отображений между объектами с определенной структурой, Винскелю, Нильсену, Сассоне, фон Глаббику и др. (1996-2006 гг.) удалось классифицировать разнообразные модели теории параллелизма, устанавливая наличие рефлексии/корефлексии между их категориями, а также унифицировать различные эквивалентности параллельных процессов. В середине первого десятилетия текущего столетия появились работы Гранди- са, Фейструп, Губо, Окура, Рауссена, Бубеника, развивающие теорию направленной топологии для изучения параллельных процессов, в которой топологические пространства (di-пространства) обладают покрытием из карт с частичными порядками, согласованными на пересечениях карт [см. L. Fajstrup. Dicovering spaces // Homology, Homotopy, and Applications.
2003. - V. 5(2). - P. 1-17.; M. Grandis. Directed algebraic topology // New Mathematical Monographs. - Cambridge: Cambridge University Press, 2009]. Многие понятия были успешно перенесены из алгебраической топологии в направленную с учетом заданного порядка. Например, на смену фундаментальным группам и фундаментальному группоиду классического пространства пришли фундаментальный моноид и фундаментальная категория направленного пространства. В статьях Пратта [см., например, V.R. Pratt. Modeling concurrency with geometry / Proc. 18th Annual ACM Symposium PPL, Orlando, Florida, USA, 1991. - ACM Press, 1991.
P. 311-322.] для описания параллельных процессов была предложена и исследована модель полукубических множеств (аналог полусимплици- альных множеств), которые, как было показано позже, обобщают многие известные модели теории параллелизма и, как оказалось, могут быть реализованы как направленные топологические пространства и в смысле Фейструп и в смысле Грандиса. В работах Губо и Йенсена (1992 г.), Гран- диса (2005 г.), Фаренберга (2004 г.), Хусаинова (2008 г.) был использован гомологический подход для представления (полу)кубических множеств в виде алгебраических комплексов, что позволило исследовать параллель-
ные процессы с точки зрения гомологий (полу)кубических множеств. В своей диссертации [E. Goubault. The Geometry of Concurrency: PhD thesis. - Paris: Ecole Normale Superieure, 1995.] Губо предложил модель полукубических пространств (ПП), которые не только являются (направленными) топологическими пространствами, но также обладают дифференциальной структурой, т.е. кроме всего прочего, позволяют определять временную длительность параллельного процесса. Пространства Чу [см., например, V. Gupta. Chu Spaces: A Model of Concurrency: PhD thesis. - Stanford: Stanford University, 1994.] — еще одна геометрическая модель, применяемая для решения задач теории параллелизма. Иногда пространства Чу интерпретируют как топологические пространства с множеством точек, множеством открытых множеств и отношением принадлежности с явно заданным множеством степеней принадлежности точки открытому множеству. Особенность Чу-пространств состоит в том, что они предоставляют различные интерпретации моделям, благодаря своей возможности реализовать все малые категории и значительное количество больших категорий, возникающих в математической практике. Топологии Гротен- дика, а также различные когомологии пространств Чу изучались Скури- хиным (2008 г.) и Сухоносом (2011 г.).
В диссертационной работе с применением категорных и алгебро-топо- логических методов исследуются соотношения полукубических множеств с полукубическими пространствами и пространствами Чу, а также их категорных и топологических эквивалентностей. Все вышесказанное говорит об актуальности исследований, проводимых в рамках диссертационной работы.
Цель диссертации состоит в развитии и применении категорных и алгебро-топологических методов исследования полукубических множеств и пространст как моделей параллельных процессов. Достижение цели связывается с решением следующих задач:
-
-
дать категорные (с помощью конструкций открытых морфизмов, путей-морфизмов, коалгебраических морфизмов) и топологический (посредством di-накрытий) критерии эквивалентностей полукубических множеств;
-
построить функторы, связывающие категории полукубических множеств и полукубических пространств, дать критерии эквивалентности полукубических пространств в терминах открытых морфизмов и di-накрытий;
-
найти подкатегорию полукубических множеств с целью установления ее эквивалентности с категорией поступательных пространств
Чу, а также выяснить соотношения эквивалентностей на объектах категорий.
Методы исследований. В рамках данной работы использовались методы и понятия теории категорий, теории (направленной) алгебраической топологии, техника открытых морфизмов Мойердика, коалгебра- ическая техника Ласоты. В качестве моделей параллельных процессов применялись полукубические множества, полукубические пространства, пространства Чу, направленные пространства.
Новизна и научная значимость работы. Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть использованы для дальнейшего развития методов теории категорий и алгебраической топологии в изучении полукубических множеств и пространств (в частности, как моделей параллельных процессов), а также для развития теории направленной топологии.
Достоверность полученных результатов подтверждается строгими математическими доказательствами всех предложений, утверждений и теорем, представленных в тексте диссертации.
Апробация работы. Основные идеи и конкретные результаты диссертации обсуждались на следующих международных симпозиуме, конференции и семинарах: XLI международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, апрель 2003; 4th International Conference UkrProg'04, Kiev, May 2004; 15th International Workshop CS&P'06, Wandlitz (Germany), September 2006; 17th International Symposium FCT'09, Wroclaw (Poland), September 2009; 20th International Workshop CS&P'11, Pultusk (Poland), September 2011; 23rd Nordic Workshop NWPT'11, Vasteras (Sweden), October 2011. Кроме того, доклады по теме диссертации были сделаны на ряде семинаров Университета г. Ольденбурга (Германия), Университета г. Вестероса (Швеция), Киевского национального университета (Украина), Института математики СО РАН (г. Новосибирск), Института систем информатики СО РАН (г. Новосибирск).
Исследования, проводимые в рамках диссертации, были частью научно-исследовательских проектов, поддержанных в разные годы различными грантами Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 09-01-91334-нни0a, 03-01-00403-а, 04-01-10547-з, 06-01-00094-а, 0901- 00598-а, 09-01-09318-моб-з, 12-01-00873-а), президентской программой "Ведущие научные школы" (гранты НШ-7256.2010.1, НШ-544.2012.1), фондом DFG (грант 436 RUS 113/1002/01), ФЦП "Научные и научно- педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы (соглашение 8206).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 ([1-9]) научных
работ, в том числе 2 ([3,9]) — в журналах из перечня ведущих периодических изданий ВАК, 5 ([1,4,5,7,8]) — в трудах международных симпозиумов, конференций и семинаров, 1 ([2]) - в периодическом издании НАН Украины, 1 ([6]) — в издании Университета г. Ольденбурга (Германия). В совместных работах [7-9] проф. А. Бесту (Германия) и проф. И.Б. Вир- бицкайте (Россия) принадлежит постановка задачи сопоставления экви- валентностей полукубических множеств на основе открытых морфизмов, путей-морфизмов и коалгебраических морфизмов (грант DFG-РФФИ 436 RUS 113/1002/01 и 09-01-91334- ННИОа).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 57 используемых источников. Общий объем диссертации составляет 106 страниц.
Похожие диссертации на Категорные методы исследования полукубических множеств и пространств как моделей параллельных процессов
-
