К теории тел и теории проективных плоскостей Хубежты Исидор Антонович Диссертация, - 480 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников Хубежты Исидор Антонович. К теории тел и теории проективных плоскостей : диссертация ... доктора физико-математических наук : 01.01.04.- Владикавказ, 2003.- 160 с.: ил. РГБ ОД, 71 06-1/229 Введение к работе 0.1. Актуальность темы. Теория проективных плоскостей и теория тел имеют многочисленные связи с такими областями как геометрическая алгебра, алгебраическая геометрия, теория графов, комбинаторика и др. Описание проективной плоскости по известным ее конфигурационным свойствам или коллинеациям, всегда сводится к изучению алгебраических свойств се тернаров. Описание же плоскости над заданным телом Т(+, ) сводится к изучению ее конфигурационных свойств и коллииеаций, опираясь на свойства тернара . Все аксиомы тела и много классических результатов теории тел имеют проективное истолкование и обратно. Развитие теории тел (проективных плоскостей) способствует развитию теории проективных плоскостей (тел). Много нерешенных задач в указанных теориях, не смотря на наличие большого количества опубликованных работ. Наша работа относится к циклам нахождения v; изучения новых классов тел и VW-систем.и описание проективных плоскостей. Напомним теперь об основных известных результатах, методах и циклах исследований по теории проективных плоскостей и теории тел. Основы теории проективных плоскостей были заложены Штаудтом, Понселе, Шалей, Штейнером и др. Штаудту [26] принадлежит идея исчисления отрезков, которая привела к координатизации проективной плоскости полем действительных чисел. Новые стимулы к развитию теории проективных плоскостей дал Гильберт [4|. Он указал первый пример проективной плоскости, в которой не выполняется конфигурационная теорема Паппа П (рис.ф), но выполняется теорема Дезарга Dn и установил, что из универсального выполнения теоремы Z?u (Паппа П) в плоскости следует выполнение всех аксиом ассоциативного тела (поля) в алгебраической системе, над которой построена плоскость. Гильберт доказал, что теория дезарговых (папповых) плоскостей строится на трех аксиомах инцидентности и теореме D\\ (П), в виде четвертой аксиомы, что плоскость над ассоциативным телом (полем) дезарго-ва (паппова). Муфанг исследовала плоскости [22) над неассоциативными альтернативными телами. Она доказала проективную эквивалентность / и ?ю в плоскости характеристики р ф 2 и поставила проблему: "Эквивалентны ли >9 и >ю в плоскости характеристики 2?" Холл [10] предложил новый метод координатизации проективной плоскости при учете свойств системы, над которой она построена. Этот метод упростил процесс исследования теории проективных плоскостей над неальтернативными телами и их обобщениями. Метод Холла связан с тернарной операцией и поэтому он носит и алгебраический характер. В описании проективных плоскостей над неалиернативными телами наравне с конфигурационными теоремами Холлом и др. учеными использовались и используются центральные и нецентральные коллинеации. Аргунов [1], опираясь на классические результаты, систематизировал проективные, аффинные и локальные связи между конфигурационными свойствами проективной плоскости (см. схему 0.1) характеристики 0. В этом цикле исследований Аргуновым были поставлены следующие проблемы: 1) Какие свойства тернара плоскости а распространяются и на другие тернары, координатизирующие эту плоскость? 2) Существует ли проективный алгебраический эквивалент для >8? 3) Дать классификацию проективных плоскостей на базе классификации тернаров; 4) Дезаргова ли бесконечная плоскость Фано? и др. В работах Рашевского (|8) и др.), Картеси [7], Фано [14], Цаппа, Ламбардо Родиче (см. в [7]) рассматривались конфигурационные теоремы 8з, 7^,7з (рис. 0.9, 0.11, 0.0) геометризирующие соответственно равенство 3 = 0, п = 0,2 = 0. Скорняковым (9] было установлено, что из аффинного выполнения Dm на двух прямых VW-плоскости следует ее проективное выполнение в этой плоскости. В работах Шаффера [25], Сан Суси [24], Клейнфелда, Брука, Пикерта |23] и других ученых было установлено, что проективное выполнение >ю в проективной плоскости эквивалентно I - транзитивности этой плоскости, где / - любая прямая плоскости и, что все тернарные кольца такой плоскости не только изоморфны друг другу, но представляют одно и то же альтернативное тело (эти плоскости называются муфанговыми). Вебленом и Веддербарном [27] были рассмотрены проективные плоскости (они называются VW-плоскостями), в которых теорема Dio выполняется аффинно на прямой loo- Холл и Скорняков доказали, что тернарные кольца бесконечной VW-плоскости не изоморфны друг другу (тогда как, для конечной VW-плоскости они изоморфны друг другу [21]) и, что VW-плоскость можно координатизировать неизоморфными VW- системами. В работах Андре [14] изучались плоскости над ассоциативными VW-системами (почти-телами). Он доказал, что изоморфным почти-телам соответствуют изоморфные же плоскости и, что левое почти-тело, в котором а(6 + с — be) = ab + ас — abc, есть ассоциативное теле. Путем геометризации этой теоремы он нашел достаточные условия дезарговости плоскости над почти-телом. | |
| mAn Схема 0.1. Рис. 0.9(8,)
Рнс.0.11 (Т.)
Рис 0.1 (П) Идеями и методами Холла и Андре пользовался и Каллагер [18,19] при установлении достаточных условий альтернативности MVW-системы, а также BVW-системы и достаточных условий муфанговости плоскостей над этими системами. В связи с этими результатами возникли вопросы существования других VW-систем и, следовательно, новых классов VW-плоскостей, плоскостей над различными неальтернативными телами и изучение этих плоскостей в духе Гильберта, Аргунова, Холла, Скорнякова, Каллагера и Андре. Появление работ Бэра [3] и Артина [2| ознаменовало дальнейшее сближение идей теории проективных плоскостей и теории алгебр. Эти работы способствовали построению геометрий над различными телами, почти-алтебрами с делением и их различными обобщениями. Наряду с развитием теории бесконечных тел и теории проективных плоскостей над ними развивались и теории конечных алгебр и почти-алгебр с делением и проективных плоскостей над ними (Холл, Зингер, Тарри, Дембовскнй, Цассенхаус, Хыоз, Ломбардо-Радиче, Цаппа, Гонин, Глисон, Картеси и др.). Они используются для решения различных теоретико-числовых и комбинаторных задач и, следовательно, имеют прикладное значение. Много нерешенных проблем как в теории конечных геометрий, так и в теории конечных тел. (Заметим, что в диссертации не изучались теории топологических, упорядоченных, свободных и ельмслевовых плоскостей. Не эаграгивалась и новая общеалгебраическая теория проективных плоскостей, предложенная Ширшовым и развитая Никитиным и другими учеными [11]). Настоящая диссертация примыкает к направлению, связанному с описанием проективных плоскостей над алгебрами, почти-алгебрами с обратимым умножением и их обобщениями. Вопросы и методы, возникающие в настоящей работе естественно связаны с вышеперечисленными исследованиями. 0.2. Цель диссертационной работы - разработать теорию неальтернативных тел, VW-систем и слабо-дистрибутивных систем путем доказательства их существования и изучения их свойств, и теорию проективных плоскостей над этими системами посредством конфигураций, коллинеаций и преобразований операций их тернаров, используя классические и новые подходы и, кроме того, дать описание бесконечной плоскости Фано. 0.3. Методика выполнения исследований. В работе использованы методы теории тел и теории проективных плоскостей: методы Холла координатизации плоскости над телом и описания плоскости посредством коллинеаций и конфигурации: методы построения тел и VW- систем посредством применения преобразований операций и ослабления аксиоматики тела (плоскости); результаты Каллагера о достаточных условиях альтернативности MVW-системы и BVW-системы и муфанговости плоскостей над этими системами; метод геометризаций характеристики тела и их применение к описанию плоскости. Методика выполнения исследований проективной плоскости на класс основана на выявление аксиоматики ее тернара с помощью нахождения квазитождеств конфигурационных теорем и нахождения условий существования коллинеаций в плоскости. 0.4. Научная новизна. Все полученные результаты новые. Основными результатами работы являются: построены примеры более 15 новых классов алгебр и почти-алгебр с обратимым умножением и изучены плоскости над ними; существенно расширена известная система Аргунова папповых конфигурационных свойств проективной плоскости характеристики 0; и терминах Холлова исчисления доказано, что все аксиомы слабо- дистрибутивного тела с вполне обратимым умножением и характеристики р ^ 2 суть квазитождества теоремы D9; найдены условия, при которых IPaVW-сисіема. является альтернативным или лево-альтернативным телом; установлены достаточные условия муфанговости различных IPqVW-плоскостей в виде локальных выполнений теорем L\a и Ls или существования коллинеаций в плоскости или же наличия у них изотопных тернарных колец (эти результаты улучшают аналогичные результаты Холла, Андре, Каллагера и Скорнякова); доказано существование классических алгебраических систем, в которых операции сложения и умножения связаны лишь слабыми дистрибутивными законами (слабо-дистрибутивные алгебры, тела, почти-алгебры, /РоКИ^-системы) и изучены свойства проективных плоскостей над ними (тем самым найдена новая область исследований в теории алгебраических систем); решена проблема существования дезарговых геометризаций (Кр и Lr) характеристик р > 3 тела; (при р > 3 только для папповой плоскости, а при р = 3 для любой плоскости) и дезарговых геометризаций {>g,Z|,nj} характеристики 2 тела; установлено, что тернар плоскости Фано представляет, по меньшей мере, слабо- дистрибутивное тело характеристики 2 с а"1 ab = Ьа а"1 = 6, Vo ф 0,6, что псе аксиомы тернара бесконечной плоскости Фано являются почти-ограниченными квазитождествами теоремы DI; установлено, что выполнение а{Ь + с) = аЬ + ас или (а + Ь)с = ас + 6с или же а be = ab с в тернаре плоскости Фано является некоторым достаточном условием дезарговости этой плоскости; расширен список требований к правилам вывода квазитождеств конфигурационной теоремы LJ, частично снимающих получение ложных квазитождеств ( поставлено несколько задач по теме диссертации^. 0.5. Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в дальнейшем при описании проективных плоскостей, а также при решении некоторых задач из теории тел и теории проективных плоскостей и их обобщений. 0.6. Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедр: геометрии МШИ (1977), алгебры МГПИ (1993), информатики Смоленского пед. университета (2000), алгебры Молдавского университета (1986), алгебры и геометрии СОГУ (ежегодно), на научных семинарах: института математики с ВЦ АН Молдова (1993), института математики СО РАН (1992), НГУ (1992) и института математики и механики Уральского отделения РАН (2005) и докладывалась на международных научных конференциях в Свердловске (1973), Кишиневе (1986), Барнауле (1991), Красноярске (1993) и Екатеринбурге (2005). 0.7.' Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах |29-4Jj, перечисленных в конце автореферата. 0.8. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы. Библиография содержит 183 наименования.
Похожие диссертации на К теории тел и теории проективных плоскостей
|
