Введение к работе
'
Актуальность темы. Разбиения евклидовой плоскости DE* на попарно равные многоугольники (так называемые моноэдральные разбиения) интересуют математиков уже давно. Задачи, которые возникают в теории моноэдральных разбиений, можно разделить на две большие группы.
К первой группе относятся задачи связанные с определением вида заполняющего плоскость многоугольника. Огромный материал посвященный таким многоугольникам собран в книге 11 j . Там же можно найти и многочисленные ссылки.
Ко второй группе относятся задачи связанные с описанием моноэдральных разбиений плоскости. В задачах такого типа наиболее изученным является случай правильных моноэдральных разбиений, описанию которых посвящено множество работ. Упомянем, например, работу t2j и книгу т.
Однако, описание нормальных (ребро в ребро) моноэдральных разбиений до сих пор остается совершенно не исследованной задачей. Даже о таком простом, на первый взгляд, случае как описание нормальных разбиений И? на равные треугольники ничего, кроме тривиальных примеров, не было известно. Трудность здесь заключается в том, что методы которые используются при описании правильных разбиений совершенно не годятся при описании общих нормальных разбиений.
Таким образом, создание методов пригодных для описания общих нормальных разбиений Е2 следует считать актуальной задачей. Кроме того, исследование квазикристаллов которому посвящен один из основных результатов диссертации, а также
приложения 1 и 2 к диссертации, является одной из самых актуальных тем в современной теории разбиений и современной кристаллографии.
Цель работы. Цель» работы является описание нормальных разбиений евклидовой плоскости на попарно равные треугольники, отыскание приемов которые могли бы быть использованы при описании любых нормальных разбиений Е2, а также исследование вопроса Н.П.Долбилина об одном возможном ослаблении определения квазикристаллов данного Р.В.Галиулиным.
Методы работы. В работе используются методы комбинаторной геометрии, теории чисел, а также предложенные диссертантом методы описания разбиений плоскости по определяющему набору типов звезд и скелетам из порождающих векторов разбиений. Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Эти результаты таковы:
-
Дано полное описание нормальных разбиений евклидовой плоскости на попарно равные треугольники.
-
Предложено два метода (определяющий набор типов звезд и скелеты из порождающих векторов разбиений) которые, по--видимому, могут быть использованы и при описании некоторых других общих нормальных разбиений плоскости.
-
В качестве следствия, даа положительный, для множества точек являющихся вершинами разбиения Е2 на попарно равные треугольники, ответ на упомянутый вопрос Н.П.Долбилина. (Приложение 1 к диссертации).
-
Дано описание разбиений Пенроуза на толстые и тонкие ромбы при помощи скелетов из порождающих векторов. Тем самым
доказано, что данный метод может быть использован не только при описании моноэдральных разбиений плоскости. (Приложение 2 к диссертации).
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории нормальных разбиений пространств постоянной кривизны на попарно равные многогранники. В частности, метод скелетов разбиений, предложенный диссертантом, может быть использован для описания широкого класса разбиений, в том числе и квазикристаляических.
Апробация работы. Основные результаты докладывались на Четвертом всесоюзном семинаре по дискретной математике (Москва, 1993), на геометрических семинарах в МИРАН. МГУ, в Институте Кристаллографии РАН и в Ивановском Гос. Университете. Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 5 публикациях автора.
Объем работы. Диссертацчя содержит 84 страницы машинописного текста. Она состоит из введения, 6 глав, 2 приложений (18 страниц машинописного текста), списка литературы из 19 наимениваний, 21 рисунка и 7 таблиц.
