Эйнштейновы солвмногообразия малой размерности Никитенко Евгений Витальевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Предварительные сведения 11

1.1 Эйнштейновы солвмиогообразия и метрические алгебры Ли . 11

1.2 Структура шестимерных разрешимых метрических алгебр Ли 18

2 Шестимерные эйнштейновы солвмиогообразия 21

2.1 Достаточные условия стандартности эйнштейновых солв-многообразий 21

2.2 Классификация шестимерных эйнштейновых солвмногообразий 32

2.3 Шестимерные однородные эйнштейновы многообразия неположительной секционной кривизны 61

3 Семимерные эйнштейновы солвмиогообразия 63

3.1 Классификация пятимерных нильпотентных метрических алгебр Ли 63

3.2 Нестандартные эйнштейновы солвмногообразия 85

3.3 Семимерные однородные эйнштейновы многообразия отрицательной секционной кривизны 92

Литература

• Структура шестимерных разрешимых метрических алгебр Ли
• Классификация шестимерных эйнштейновых солвмногообразий
• Шестимерные однородные эйнштейновы многообразия неположительной секционной кривизны
• Нестандартные эйнштейновы солвмногообразия

Введение к работе

Данная диссертация посвящена исследованию односвязных римановых солвмногообразий с метрикой Эйнштейна. Такие солвмногообразия образуют важный класс некомпактных однородных эйнштейновых многообразий, т. е. многообразий (М, р), для которых кривизна Риччи в каждой точке связана соотношением Шс(р) = С р с римановой метрикой р для некоторой константы С. Для неплоских некомпактных однородных эйнштейновых многообразий константа С обязана быть отрицательной.

Энциклопедическим изданием по вопросам, связанным с эйнштейновыми многообразиями, является книга А. Бессе [5]. О более свежих результатах можно узнать из обзоров [17, 46]. Хорошо известно, что все многообразия Эйнштейна в размерностях 2 и 3 изометричны пространствам постоянной кривизны. Г. Йенсен в работе [33] показал, что каждое четырехмерное однородное односвязное многообразие Эйнштейна изометрично симметрическому пространству. Классификация пятимерных компактных однородных эйнштейновых многообразий получена в [21]. Частичная классификация шестимерных компактных однородных эйнштейновых многообразий получена в работе [43]. В работе [41] дана полная классификация компактных однородных многообразий Эйнштейна размерности 7. К. Боем и М. Керр в работе [24] классифицировали все компактные односвязные однородные пространства размерности < 12 и доказали, что все такие пространства в размерности < 11 допускают инвариантную метрику Эйнштейна. Сильные структурные результаты и теоремы существования для инвариантных эйнштейновых метрик получены в работах [23, 25].

В некомпактном случае структура однородных эйнштейновых многооб- разий изучена менее обстоятельно. Некомпактные однородные многообразия Эйнштейна размерности 5 классифицированы в работе [42]. В размерности 6 и выше классификация однородных некомпактных эйнштейновых многообразий в настоящее время не известна. В тоже время, известно много примеров некомпактных эйнштейновых многообразий в разных размерностях. Заметим, что все известные на сегодняшний день некомпактные однородные многообразия Эйнштейна изометричны эйнштейновым солв-многообразиям. Существенным продвижением на пути к классификации однородных эйнштейновых многообразий отрицательной кривизны Риччи могло бы стать доказательство гипотезы Д. В. Алексеевского [1], утверждающей, что для произвольного некомпактного однородного многообразия Эйнштейна М = G/H отрицательной кривизны Риччи, группа изотропии Н является максимальной компактной подгруппой группы G. В случае истинности приведенной гипотезы существует разрешимая подгруппа G группы G, действующая на М просто транзитивно. Таким образом, задача классификации в этом случае сведется к классификации эйнштейновых солвмногообразий.

Д. В. Алексеевский в [2] получил классификацию однородных многообразий Эйнштейна неположительной секционной кривизны в размерности < 5. Отметим, что в процитированной работе Д. В. Алексеевский нашел также все стандартные пятимерные эйнштейновы солвмногообразия. Полная классификация пятимерных эйнштейновых солвмногообразий получена Ю. Г. Никоноровым в [16]. Частичные классификации эйнштейновых многообразий отрицательной кривизны Риччи получены многими авторами. Э. Картаном (см. [20]) классифицированы симметрические пространства некомпактного типа. И. И. Пятецкий-Шапиро, С. Г. Гиндикин, Э. Б. Винберг [18, 19, 10, 29] создали структурную теорию ограниченных однородных областей, которые моделируются на вполне разрешимых нормальных j-алгебрах. Д. В. Алексеевский [1] и В. Кортес [26] классифицировали кватернионно-кэлеровы многообразия, моделируемые на вполне раз- решимых группах Ли. Отметим, что многочисленные примеры солвмного-образий Эйнштейна отрицательной секционной кривизны были построены также в работах [27, 35, 48].

Произвольное солвмногообразие («S, р) определяет скалярное произведение Q на алгебре Ли 5 группы

Метрическая разрешимая алгебра Ли (s, Q) называется стандартной, если ортогональное дополнение а к [s,s] относительно Q является абелевой подалгеброй алгебры з. Отметим, что все известные примеры эйнштейновых солвмногообразий именно стандартны. Детальному исследованию стандартных эйнштейновых солвмногообразий посвящена работа Й. Хебе-ра [31], в которой получен ряд фундаментальных результатов, а также приведена обширная библиография по обсуждаемой тематике. Из более поздних работ можно выделить статьи [30, 34, 45], в которых строятся новые примеры эйнштейновых солвмногообразий, а также работы [38, 47], в которых классифицируются эйнштейновы солвмногообразия ранга 1 в размерности 6 и 7 соответственно.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Каждая глава в свою очередь разбита на несколько разделов. Нумерация каждого утверждения в диссертации состоит из трех цифр, первая из которых обозначает номер главы, вторая — номер раздела, третья — номер утверждения данного типа. Аналогично нумеруются формулы, для таблиц используется сплошная нумерация.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор современного состояния изучаемых проблем и приводится краткое изложение диссертации.

В первой главе диссертации приводятся необходимые сведения об эйнштейновых солвмногообразиях и метрических алгебрах Ли, описывается структура шестимерных разрешимых метрических алгебр Ли.

Вторая глава диссертации посвящена классификации шестимерных эйнштейновых солвмногообразий и основана на совместной с Ю.Г. Нико-норовым работе [15].

В первом разделе второй главы устанавливаются некоторые достаточные условия стандартности эйнштейновых солвмногообразий. Используя найденные достаточные условия, доказывается

Теорема 2.1.5 Все неунимодулярные разрешимые эйнштейновы метрические алгебры Ли размерности < 6 являются стандартными.

Во втором разделе второй главы приводится и доказывается

Теорема 2.2.1 Пусть (s, Q) - шестимерная неунимодулярная эйнштейнова разрешимая метрическая алгебра Ли, Ric(Q) = — r²Q (г > 0). Тогда (s, Q) изометрична одной из метрических алгебр Ли, перечисленных в следующем списке. Для каждой из алгебр указан ортонормированный относительно Q базис и нетривиальные коммутаторы базисных векторов. {Xi,X₂,X₃,X₄,Xb,Yi}, [Хі,Хг] = : [X3,XJ = "Щ^-Ьі Ръ-Х"»] — ^Хі(1<і<4),[Г_ьХ₅] = ^Х₆. ( [X_hX₂] = f₇X₃, [X_bXj = у/їгХ₅, [X₂,X₃] =

Хь, [УІ.Хі] = 2^₅rX_1} \Yi,X₂] = yf±rX₂, [Y_UX₃] = ^rX_z, [Y_hX₄] = 2^rX₄, [Y_Y,X_b] = уІЩгХь.

3) {X₁,X₂,X₃,X₄,X₅,Y₁}, [X_UX₂] = у/&гХ₃, [X_ltX₃] = 4, [X_hX₄] = -^X₅, [X₂,X₃] = ^=X₅, [Yi,Xi] = -^щХі, [Y_hX₂] = щХ₂,K,*s] = ^з, [YuX<] = ^X₄, K,X₅] = ^Х_ъ. ( [Х_ЪХ₂] = f₂X_z, [Х_ЪХ₃] = ^f\rX₄, [X_UX₄] = f₂X_b, [Г_ьХі] = isVGrX_lf [Y_UX₂] = ±V6rX₂, [Y_UX₃] = ^гХ₃₎ [Y_hX₄] = V6rX₄, [Y_hX₅] = \VErX₅. {Xi,X₂,X₃,X₄,X₅,Y[}, [Xi,X₂] = ^X₄, [Xi,X₃] = : [^1,-^1] =

3 [Y_hX₂] = -X₂, [Y_hX₃] = fi-X₃, [Уі,Х₄] = ^Х_4} [Y_uX_b]

Ъг -у

6) {Х_ь Х₂, Хз, Х₄, Х₅, Ух}, [Х_ь Х₂] = у/fгХз, К, *"з] = f₂X_A, [Х₂, Х₃) = f₂X₅, [У_ьХг] = -X_lf \Y_ltX₂] = ^Х₂, [Уі.ЛГз] = f_QX₃, [Y_UX₄] = \у/вгХ₄,\уі,Х_ь] = \у/бгХ₅. {Х_ъХ₂,Х₃,Х₄,Х₅,У_г}, [X_ltX₂] = ^J\rX₃, [X_UX₃] = ^f\rX₄, [^уь^і] = jssXt, [Y_hX₂] = faX₂, [Y_hX₃] = fax*, [Y_hX₄] = ^X₄, ( [*i>*2] = \Д^Г*³' ^[Уі'^{Хі1 =} \/^^гХь [ПЛ] = ДгХ₂, [У_ЬХ₃] = 2^гХ₃, [Y_hX₄] = ^rX₄, \Y_ltX₅] - ІгХ*.

9) {X_hX₂,X₃,X₄,X₅,Y!}, \Yi,Xi] = f₅Xi(l

10) {Х_ьХ₂,Хз,Х₄,У_ьУ₂}, [Х_ЬХ₂] = ^/rX₃, [H.XJ = %-X_lt[Y_hX₂] = - [Y_UX₃] = %X₃, [У_ЬХ₄] = - [У_2>Хі] = t rX, + r^/i - 110 [У₂,Х₂] = r2X_l + t rX₂, [У₂,Х₃] = 2t rX_3; [У₂₎ XJ = — At rX₄ для некоторого t Є [0, l/\/22]. {X_ltX_2tX_z,X_4tY_ltY₂}, [X_UX₂] = ^₃rX₃, [Х_ЪХ₃] = ^\тХ₄, K.*d = Йо^ь [И,Х₂] = ^ [Y_hX₃] = ^Х₃, [У_ЬХ₄] = fax_A, K.*d = Л^ь К,Х₂] = - [У₂,Х₃] = -^Х_3; [У₂,Х₄] = ^Х₄. {ХьХа.Хз.^.УьУз}, \У_иХ_{] = \Х_{ (1 < г < 4), [У₂,Хі] = tjgferXb \Y₂,X₂] = ^±=rX₂,[Y₂,X₃] = ^^rX₃, [Y₂,X₄] = 2J1+P+ 2^гХа для некоторых 0 < s < t < 1. {X_hX₂,X₃,Y_bY₂,Y₃}, PI, Лі] = ^Х_г- (1 < г < 3), [Y₂,X₂] = ф-Х₂, [Y2,X₃] = -f₂X₃, [Уз,Хх] = - [Y₃,X₂} = f₆X₂, [Y₃,X₃] = f_QX₃.

Все перечисленные метрические алгебры Ли являются попарно неизо-метричными.

В каждом из случаев, описанных в теореме 2.2.1, векторы Х{ образуют ортобазис в нильрадикале п алгебры s. При этом n = [s, s], т. е. нильрадикал совпадает с производной алгеброй алгебры Ли з. Лишь для метрических алгебр Ли из пунктов 9), 12) и 13) теоремы 2.2.1 нильрадикал п является коммутативным. Векторы Y{ образуют ортобазис в а — ортогональном дополнении к п в алгебре з. В каждом случае о является коммутативной подалгеброй алгебры Ли з. Более того, все приведенные метрические алгебры Ли являются алгебрами типа Ивасавы.

Следствие 2.2.1 Все неплоские эйнштейновы разрешимые метрические алгебры Ли (солвмногообразия) размерности 6 являются стандартными. Метрические алгебры Ли (как стандартные эйнштейновы) из пунктов 1)-9) теоремы 2.2.1 имеют ранг 1, алгебры из пунктов 10)-12) - ранг 2, а алгебра из пункта 13) имеет ранг 3. Кроме того, эйнштейновы солвмногообразия, соответствующие метрическим алгебрам Ли из пунктов 1)-13) имеют спектральные типы (1 < 2; 4,1), (3 < 4 < 6 < 7 < 10; 1,1,1,1,1), (1 < 2 < 3 < 4 < 5; 1,1,1,1,1), (2 < 9 < 11 < 13 < 15; 1,1,1,1,1), (2 < 3 < 5; 1,2,2), (1 < 2 < 3;2,1,2), (1 < 2 < 3 < 4; 1,1,2,1), (2 < 3 < 45 2,2,1), (1;5), (2 < 3 < 4;2,1,1), (1 < 2 < 3 < 4; 1,1,1,1), (1;4), (1;3) соответственно.

Отметим, что несимметрические солвмногообразия, порождаемые метрическими алгебрами Ли из списка теоремы 2.2.1 неприводимы по де Раму, поскольку в противном случае они представлялись бы в виде прямого произведения двух однородных эйнштейновых многообразий размерности < 4, а каждое такое многообразие симметрично [33, 5].

В третьем разделе второй главы классифицируются шестимерные однородные эйнштейновы многообразия неположительной секционной кривизны. Основным результатом раздела является

Теорема 2.3.1 Пусть (М, р) - шестимерное связное односвязное однородное эйнштейново многообразие неположительной секционной кривизны, тогда оно либо симметрическое, либо изометрично солвмногообразию отрицательной секционной кривизны, которое порождается одной из двух ниже приведенных метрических алгебр Ли:

1) [^1,-] = - [Хі,Хз] = -jzX_b, \УъХ{\ = т~тХ\, [Уі,^] = ^

2) [Х_ЪХ₂] = yf\rX_z, [ГиХг] = у/^гХг, [Y_hX₂] = ДгХ₂, [У_ЪХ₃] =

2 ДгХз, [УІ, XJ = <ДгХ_4; [У_ь Х₅] = у/±гХ₅, где г > 0 определяется условием Ric(p) = —г²р.

Метрические алгебры Ли, указанные в теореме 2.3.1, фигурируют в списке теоремы 2.2.1 под номерами 5) и 8) соответственно. Шестимерными симметрическими эйнштейновыми солвмногообразиями являются солвмногообразия, соответствующие метрическим алгебрам Ли из списка теоремы 2.2.1 с номерами 1), 9), 10) при t = 1/л/22, 11), 12) при (s,t) — (0,0), 12) при (s, t) — (1,1), 13). Указанные эйнштейновы солвмногообразия изометричны следующим симметрическим пространствам соответственно (прямые произведения берутся с учетом равенства кривизны Риччи на всех сомножителях): 5С/(3,1)/5([/(3) х [/(1)), 5О₀(6,1)/50(6) (пространство постоянной отрицательной кривизны), SU(2,l)/S(U(2) х С/(1)) х 5О₀(2,1)/50(2), 5О₀(3,2)/50(3) х 50(2), 5О₀(3,1)/50(3) х 50о(3,1)/5О(3), 5О₀(2,1)/50(2) х 5О₀(4,1)/50(4), 5О₀(2,1)/50(2) х 50о(2,1)/50(2) х 50о(2,1)/50(2). Первые два из перечисленных симметрических пространств (симметрические пространства ранга 1) имеют отрицательную секционную кривизну, остальные пространства имеют двумерные площадки с нулевой секционной кривизной.

Третья глава посвящена изучению семимерных эйнштейновых солв-многообразий.

В первом разделе третьей главы классифицируются нильпотентные метрические алгебры Ли размерности 5 над полем вещественных чисел R (Теорема 3.1.1).

Второй раздел посвящен исследованию эйнштейновых расширений пятимерных нильпотентных метрических алгебр Ли. При этом существенно используются найденные в разделе 1 главы 2 достаточные условия стандартности эйнштейновых расширений нильпотентных метрических алгебр Ли. Особое значение имеет пятимерная нильпотентная вещественная ал- гебра Ли, заданная следующими нетривиальными коммутационными соотношениями: n = {Xi, Х₂,Х3, Х4, Х5}, [Xi, Х2] = Х3, [Xi,Х4] = Х_5: [Х₂, Xz] = Х₅. (3.2.1)

Основным результатом данного раздела является следующая

Теорема 3.2.1 Пусть п - пятимерная вещественная нилъпотентная алгебра Ли, не изоморфная алгебре Ли (3.2.1), и Q - некоторое скалярное произведение на п. Тогда любое эйнштейново расширение нилъпотентной метрической алгебры Ли (n, Q) является стандартным.

Из этой теоремы непосредственно получается

Следствие 3.2.1 Пусть (s,Q) - семимерная нестандартная разрешимая метрическая эйнштейнова алгебра Ли. Тогда s имеет производную алгебру [s,s], изоморфную алгебре Ли (3.2.1).

Третий раздел посвящен классификации семимерных однородных многообразий Эйнштейна отрицательной секционной кривизны. При этом существенно используется классификация семимерных эйнштейновых солвмногообразий ранга 1, полученная С. Уилл в [47]. Основным результатом раздела является

Теорема 3.3.1 Пусть (М, р) - семимерное связное однородное эйнштейново многообразие отрицательной секционной кривизны, тогда оно изомет-рично солвмногообразию отрицательной секционной кривизны, которое порождается одной из четырех ниже приведенных метрических алгебр Ли:

1) [X_hX₂]=r^X₄, [X_ltX_z] = ryJ\X_b, [X₂,X₃} = ry/lX₆, [У,Хі] = ^Х_г, [Y,X₂] = j-X₂, [У,Х_г] = ^Х₃, [Y,X₄] = %X_At \Y,X₆] = ^_ьх_ъ, [Y,X₆] = 7ft ^6/

2) [Х₁,Х₂] = г_у/ЇХ₅, [X_ltX₄] = r_yJlx_(i, [Х₂,Х₃] = г<Дх₆, [Y,X_l) ='* _?Х_Ь [Y, X₂] = -%-X₂, [У, X₃] = -%-X_if [Y, X₄] = -%-X₄, [У, X₅] = -. v035 ^A' L''"^ZJ v/135 ^z' ^L ' ^0J v^5 '¹ ' ^,J V135 *' ^L ' ^UJ V135

3) [X_ltXi] = ^X_e, [X₃,X₄] = f₂X₆, [УД,] = ^Х_Ь [^,^1 = A)[Y,X_t] = f_&X_u (1 < і < 6); где г > 0 определяется условием Шс(р) = — г² р.

Отметим, что алгебры из пунктов 1)-3) не являются симметрическими, что легко следует из предложения 1.1.7. Предпоследняя из приведенных алгебр найдена в работе [27] наряду с целым семейством метрических алгебр Ли отрицательной секционной кривизны (см. подробности в [48]). Солв-многообразие, порождаемое последней алгеброй в формулировке теоремы, изометрично симметрическому пространству (пространству постоянной отрицательной секционной кривизны) 50о(7,1)/50(7) [2].

Структура шестимерных разрешимых метрических алгебр Ли

Предложение 1.1.4 (Й. Хебер, [31]). Пусть (s, Q) —стандартная метрическая алгебра Эйнштейна, тогда существует изометричная ей метрическая алгебра типа Ивасавы (s, Q), причем метрические алгебры (n, Q\n) и (п, Q\n), где п = [s,s] ихх = [s,s], изоморфны друг другу.

Сформулированное выше предложение является частью утверждения теоремы 4.10 работы [31], которая посвящена детальному исследованию стандартных эйнштейновых солвмногообразий. Приведем еще несколько результатов, полученных Й. Хебером в [31].

Количество попарно неизометричных и негомотетичных левоинвариант-ных метрик Эйнштейна на компактной группе Ли S может быть сколь угодно большим [5]. В случае разрешимых групп ситуация совсем иная. Справедливо следующее

Предложение 1.1.5 (И. Хебер, [31]). Произвольная разрешимая группа Ли S допускает не более одной левоинвариантной стандартной метрики Эйнштейна, с точностью до изометрии и гомотетии. Если она допускает стандартную метрику Эйнштейна, то не допускает никаких других эйнштейновых левоинвариантных метрик.

Таким образом, справедлива теорема единственности для левоинвариантных эйнштейновых метрик при условии, что одна из метрик стандартная. Отметим, что все известные примеры эйнштейновых солвмногообразий именно стандартны. В то же время известно множество примеров разрешимых групп Ли, не допускающих левоинвариантных метрик Эйнштейна [31]. Таким образом, представляет большой интерес следующая

Проблема (Й. Хебер, [31]). Существует ли разрешимая группа Ли, допускающая нестандартную левоинвариантную метрику Эйнштейна

Замечательное свойство стандартных эйнштейновых метрических алгебр Ли выражается следующим утверждением.

Предложение 1.1.6 (И. Хебер, [31]). Пусть s — неунимодулярная разрешимая алгебра Ли, снабженная стандартным эйнштейновым скалярным произведением Q, а — абелево ортогональное дополнение к п = [5,5] относительно Q, вектор Н Є а такой, что Q(H,X) = trace(ad(X)) для всех X Є 5. Тогда для некоторого положительного А оператор ad(A#)n имеет собственные значения, вещественные части которых ц\ ... р,т являются натуральными числами с наибольшим общим делителем 1.

Если обозначить через d{ кратность соответствующего собственного значения, то можно определить спектральный тип стандартного эйнштейнова солвмногообразия как набор

В работе [31] Й. Хебер показал, что спектральный тип является инвариантом относительно изометрий и подобий. Кроме того, в каждой размерности реализуется лишь конечное число спектральных типов.

Любое симметрическое пространство некомпактного типа изометрично стандартному солвмногообразию (см. [2, 32]). Если к тому же симметрическое пространство имеет ранг 1, то оно изометрично стандартному эйнштейнову солвмногообразию ранга 1. Спектральный тип соответствующего солвмногообразия удовлетворяет ограничениям, указанным в следующем утверждении.

Предложение 1.1.7 (Э. Хайнце, [32]). Пусть (s,Q) — метрическая разрешимая алгебра Ли отрицательной секционной кривизны. Если она -симметрическая, то справедливы следующие утверждения: 1) dimn = dims — 1, где n = [s,s]. При этом имеет место ортогональное разложение п = пі ф п2, где п2 = [п, п], [пг, n] = 0; 2) пусть AQ - ненулевой вектор из - ортогонального дополнения п в 5, и пусть DQ - симметрическая часть оператора adAo, тогда .Dolni = Aid и A)n2 = 2A Id, для некоторого Л 0; 3) dimri2 Є {0,1,3,7} и dimrti = Z(dimri2 + 1) для некоторого положительного целого I. Если dimri2 = 7, тогда I = 1; 4) Если dimri2 = 0,1,3 или 7, то солвмногообразие, порождаемое метрической алгеброй Ли (s,Q), изометрично МЯП, СНп, ННп или СаН2 соответственно.

В этом разделе мы опишем структуру шестимерных разрешимых неунимо-дулярных метрических алгебр Ли, которая нам понадобится в следующей главе.

Пусть (5, Q) — разрешимая неунимодулярная метрическая алгебра произвольной размерности. Рассмотрим ее нильрадикал п — максимальный нильпотентный идеал в з. Понятно, что [s,s] Спи, вообще говоря, [5,5] ф п. Хорошо известно, что dim(n) (dim(s) + dim((s)), где через Z(s) обозначен центр алгебры s [8, теорема 5.2]. Таким образом, например, для шестимерных неунимодулярных алгебр Ли s либо dim(n) = 3, либо dim(n) = 4, либо dim(n) =

Рассмотрим теперь метрическую алгебру N = (n, Q\n) и о — ортогональное дополнение к п в 5 относительно Q. Отметим, что вектор Н = HQ, определяемый соотношением Q{H, Z) = trace(ad(Z)) для произвольного Z Є 5, лежит в а. Более того, подпространство и = {Z Є 5, trace(ad(Z)) = Q(H, Z) = 0} является максимальной унимодулярной подалгеброй Ли в 5, в частности, п С и.

Пусть Y Є а, действие этого вектора на п задается оператором Ту = ad(V)n. В случае, когда в N зафиксирован некоторый ортонормирован-ный базис (Xi,... ,Xk) (k = dim(n)), оператор Ту задается матрицей, обо значать которую мы будем тем же символом. Выберем в а ортонорми-рованный относительно Q базис из векторов (Yi,... ,Ym) (т = dim(a)). Согласно вышесказанному, в качестве Yi мы можем взять вектор #/#, тогда trace (ad (Yi)) = iJ 0. Кроме того, при г 2 векторы Yi лежат в и, поэтому trace(ad(l )) = 0 при і 2. Пусть ТІ = ad(Y )n. Понятно, что ТІ Є Der(n), где Der(n) — алгебра Ли всех дифференцирований ниль-потентной алгебры п.

В том случае, когда подпространство а является абелевым, т. е. является коммутативной подалгеброй алгебры Ли s, метрическая алгебра N и попарно коммутирующие операторы однозначно определяют метрическую алгебру (s,Q). Такое представление мы будем отражать записью вида (s,Q)=s(Tb...,Tm;Af).

Отметим, что в рассматриваемом случае s является ортогональной полупрямой суммой нильпотентной алгебры п и коммутативной алгебры о.

В случае некоммутативного подпространства о необходимо также указать правила коммутирования векторов Yi и Y}. Понятно, что [Yi, Yj] Є n, но такие коммутаторы не могут задаваться произвольно, поскольку необходимо требовать соблюдения условий Якоби для алгебры Ли з. Это обстоятельство серьезным образом усложняет исследование случая некоммутативного

Классификация шестимерных эйнштейновых солвмногообразий

В каждом из случаев, описанных в теореме, векторы Х{ образуют ортобазис в нильрадикале п алгебры 5. При этом n = [s,s], т. е. нильрадикал совпадает с производной алгеброй алгебры Ли s. Лишь для метрических алгебр Ли из пунктов 9), 12) и 13) теоремы 2.2.1 нильрадикал п является коммутативным. Векторы Yi образуют ортобазис в а — ортогональном дополнении к п в алгебре s. В каждом случае а является коммутативной подалгеброй алгебры Ли s. Более того, все приведенные метрические алгебры Ли являются алгебрами типа Ивасавы.

Следствие 2.2.1. Все неплоские эйнштейновы разрешимые метрические алгебры Ли (солвмногообразия) размерности 6 являются стандартными. Метрические алгебры Ли (как стандартные эйнштейновы) из пунктов 1)-9) теоремы 2.2.1 имеют ранг 1, алгебры из пунктов 10)-12) - ранг 2, а алгебра из пункта 13) имеет ранг 3. Кроме того, эйнштейновы солвмногообразия, соответствующие Метрическим алгебрам Ли из пунктов 1)-13) имеют спектральные типы

Рассмотрим произвольную шестимерную метрическую алгебру типа Ивасавы (s,Q) с нильрадикалом п коразмерности 1. Пусть Y = Я/Я, где вектор Я Є s определяется формулой Q(H,X) = trace(ad(X)), X Є s. Понятно, что trace(ad(Y)) 0 и Y ортогонально п относительно Q (п является максимальной унимодулярной подалгеброй в алгебре Ли s). Рассмотрим оператор D : п — п, являющийся ограничением на п оператора ас1(У). Понятно, что D является симметрическим дифференцированием нильпо-тентной метрической алгебры Ли (n, Qn). Из предложения 1.1.3 легко получить следующее утверждение.

Предложение 2.2.1 (Дж. Лаурет, [37]). Условие Ric = С Id эйнштей-новости метрической алгебры Ли (s, Q) эквивалентно выполнению равенства C.Id + trace(D) = Ricn, (2.2.1) на нильрадикале п, где через Ricn обозначен оператор кривизны Риччи метрической алгебры (n,Q\n). При этом С = trace((Ricn)2)/trace(Ricn). Дж. Лаурет отметил связь [36] между эйнштейновыми солвмногообрази-ями и нильсолитонами Риччи.

Определение 2.2.1 ([36]). Левоинвариантная метрика р на нилъпотент-ной некоммутативной группе Ли J\f называется нилъсолитоном Риччи, если Ric(Q) Є R ИфБег(п) для метрической алгебры Ли (n, Q), соответствующей риманову многообразию (Л/ , р).

Таким образом, предыдущее предложение может быть переформулировано следующим образом:

Предложение 2.2.2 (Дж. Лаурет, [36]). Левоинвариантная метрика р на нилъпотентной некоммутативной группе Ли N , порождаемая метрической алгеброй (n, Q), является нилъсолитоном Риччи тогда и только тогда, когда (n, Q) допускает стандартное эйнштейново расширение, коразмерность п в котором равна 1.

Замечательным результатом работы [36] является следующее

Предложение 2.2.3 (Дж. Лаурет, [36], теорема 3.5). Пусть М - нилъ-потентная группа Ли с алгеброй Ли п. Если pup - две левоинвариантные метрики на N , являющиеся нильсолитонами Риччи, то (N, р) изометрич-но (N,pf) с точностью до подобия. Из вышеприведенных утверждений и предложения 4 работы [37] следует Предложение 2.2.4 (Дж. Лаурет, [37]). Пусть (si,Qi) и (52, Q2) - две эйнштейновы метрические алгебры Ли, имеющие изоморфные между собой (как неметрические алгебры Ли) нильрадикалы коразмерности 1. Тогда (si, Qi) и (52, Q2) изометричны с точностью до подобия.

Указанное предложение использовано Дж. Лауретом для классификации шестимерных эйнштейновых солвмногообразий с некоммутативными нильрадикалами коразмерности 1. А именно, для каждого из восьми классов изоморфности нильпотентных некоммутативных пятимерных алгебр Ли Дж. Лаурет указал [38] эйнштейново солвмногообразие размерности 6, нильрадикал которого принадлежит заданному классу. При этом Дж. Ла-урет использовал оригинальный вариационный принцип для эйнштейновых солвмногообразий ранга 1, установленный им в работе [37]. Таким образом, согласно предложению 2.2.4, существует ровно восемь, с точностью до изометрий и гомотетий, шестимерных эйнштейновых солвмногообразий с некоммутативным нильрадикалом коразмерности 1.

Теорема 2.2.2 (Дж. Лаурет, [38]). Пусть (s,Q) - шестимерная эйнштейнова метрическая алгебра Ли с пятимерным некоммутативным нильрадикалом, Ric(Q) = —r2Q (г 0) . Тогда она изометрична одной из метрических алгебр, приведенных в таблице 1. Для каждой из алгебр указаны нетривиальные коммутаторы и спектральный тип, векторы Х{ (1 г 5) образуют ортонормированный базис в нильрадикале соответствующей метрической алгебры, а нормированный вектор Y\ ортогонален нильрадикалу.

Замечание 2.2.1. Используя идеи Дж. Лаурета [37, 38], в недавней работе [47] С. Уилл получила классификацию семимерных эйнштейновых солвмногообразий с шестимерными некоммутативными нильрадикалами.

Заметим, что использованные нами обозначения отличаются от тех, что использованы в работе [38]. Исследуем секционную кривизну метрических алгебр Ли приведенных в таблице 1 и найдем среди них те, которые имеют отрицательную секционную кривизну. Справедлива следующая

Лемма 2.2.1. Среди метрических алгебр Ли, приведенных в таблице 1, алгебры из 1-й, 5-й и 8-й строк имеют отрицательную секционную кривизну, а все остальные алгебры имеют секционные кривизны разных знаков.

Доказательство. Хорошо известно (см., например, [31]), что метрическая алгебра из 1-й строки таблицы 1 порождает солвмногообразие, изомет-ричное симметрическому пространству 5С/(3,1)/5((7(3) х U(l)) ранга 1. Таким образом, она имеет отрицательную секционную кривизну.

Шестимерные однородные эйнштейновы многообразия неположительной секционной кривизны

Доказательство. Пусть N — произвольная метрическая алгебра Ли, удовлетворяющая условию леммы. Рассмотрим теперь метрическую алгебру Ли Л/"(сі,С2,сз,С4,С5,Сб), задающуюся следующими коммутационными соотношениями в ортонормированном базисе {Хі,Х2,Х ,Х ,Х ] . [Xi,X2] = С1Х5, [Xi,X3] = с2Х5, [Xi,X4] — С3Х5, [Xi,X5] = 0, [Х2,Хз] = с4Х5, [X2,XJ = с5Х5, [Х2,Х5] = О, [Х3,Х4] = cGX5, [Х3,Х5] = О, [ 4,-] = 0. Понятно, что в этом классе содержатся все интересующие нас метрические алгебры Ли N.

Обозначим ортогональное дополнение к центру Z через А. Каждый вектор х из А мы естественным образом отождествим с соответствующим классом эквивалентности в фактор-алгебре. Такое соответствие очевидно является взаимно-однозначным. Рассмотрим функцию /:ЛхЛх2- Е, f(x,y,z) = ([x,y],z). Найдем ее максимум при следующих ограничениях: х, у Є A, z Є Z, \\х\\ = \\у\\ = \\z\\ = 1, (х, у) = 0. Поскольку областью определения является компакт, то функция достигает своего наибольшего значения. Пусть максимум функции достигается при х = е\,у = e2,z = Є5, и при этом максимальное значение / равно є = ([еі,Є2],Єб) 0. Рассмотрим вектор ез, ортогональный е\ и e2. Предположим, что ([ез,е2],Є5) = с ф 0. Рассмотрим еі, определенный следующим образом: ei = cos(a)ei+sin(a)e3. Тогда /(еі,Є2, Є5)=([еі,Є2],Є5)= cos(a)e + sm(a)c = g(a). Таким образом, g = — s m(a)a + cos(a)c, и в точке a = 0 (точке максимума) (0) = 0. Следовательно, с = 0. Рассмотрим два взаимно ортогональных вектора

единичной длины ез и Є4, каждый из которых, в свою очередь, ортогонален векторам е\ и Є2- Пусть ([ез,Є4],Єб) = и. Без ограничения общности можно считать, что т 0 (в случае а 0 можно поменять местами ез и Є4, если же сг = 0, то векторы ез и Є4 попадают в центр). Можно отметить, что є а 0. Следовательно, любая алгебра типа s(ci,C2, сз, С4,С5,Сб) изомет-рична одной из алгебр вида Л/і5(є, с), заданной следующими коммутационными соотношениями в ортонормированном базисе { 1, 2, 3, 4, 5): [ХЬХ2] = еХъ, [ХъХг] = 0, [ХиХА] = 0, [ХЬХ5] = 0, [Х2,Х3] = 0, [Х2 Х4] = 0, [Х2,Х5] = 0, [Х3,Х4] = сгХ5, [Х3,Х5] = 0, [Х4Х5] = 0, где є а 0. Оператор Риччи вычисляется по формуле (1.1.3). Алгебра дифференцирований находится непосредственно.

По самому выбору є и а являются инвариантами метрической алгебры Ли. Следовательно, разные значения є и а соответствуют неизометричным метрическим алгебрам Ли.

Доказательство. Пусть N — произвольная метрическая алгебра Ли, удовлетворяющая условию леммы. Рассмотрим теперь метрическую алгебру Ли М{є, сі,С2,сз,С4,С5) задающуюся следующими коммутационными соотношениями в ортонормированном базисе {Х\, Х2, X?,, Х±, X ,}: [Хі,Х2] = єХз + сіХ5, [Xi,X3] = с2Х5, [Хі,Х4] = с3Х5, [Хі,Х5] = 0, [Х2,Х3] = с4Х5, [Х2,Х4] = с5Х5, [Х2,Х5] = 0, [Х3,Х4] = 0, [Х3,Х5] = 0, [Xt, Х5] = 0. Понятно, что J\f изоморфна одной из метрических алгебр Ли такого типа.

Без ограничения общности мы можем заменить базисные векторы Х\ и Х2 на векторы Х\(ф) = cos((p)Xi + sm((p)X2, X2{ip) = — sin( )Xi + cos((p)X2. Мы выберем ip таким образом, чтобы cs = 0 в новом базисе. Для этого достаточно выбрать р, удовлетворяющее уравнению —c sm((p) + C[,cos((p) = 0. Также можно считать, что с\ 0, с2 0, сз 0, С4 0. Действительно, если с\ 0, то можно заменить базис {Хі,Х2,Хз,Х4,Х5} на базис {—Хі, —Х2,Хз,Х4, —Х5}. Если с2 0, то можно заменить базис {Хі,Х2,Хз,Х4,Хб} на базис {—Xi,X2,—Хз,Х4, —Х5}. Заметим, что если сз = 0, то вектор Х4 попадает в центр, так как [Xi,Xi] = 0. Если же сз 0, то можно заменить базис {Хі,Х2,Хз,Х4,Х5} на базис {Хі,Х2,Х3,-Х4,Х5}. Отметим, что если С4 = 0, то вектор X = С2Х4 — С3Х3 попадает в центр, поскольку [ХЬХ] = 0, [Х2,Х] = 0, [Х3,Х] = 0, [Х4,Х] = 0. Если же с4 0, то можно заменить базис {Xi,X2,X3,X4,Xs} на базис {Хь —Х2, —Х3, —Х4, Х5}.

Следовательно, любая алгебра типа Лґ(є, с\, с2, сз, с4, с?) изометрична одной из алгебр типа А/ є, 7, L ,7, р), заданной следующими коммутационными соотношениями в ортонормированном базисе {Xi, 2, 3,. 4, 5): [ХЪХ2] = eX3 + vX5, [ХЪХ3] = уХ5, [ХЪХ4] = тХ5, [XltXs] = О, [Х2,Х3] = рХ5, [Х2,Х4] = О, [Х2іХь] = О, [Х3,Х4] = О, [Х3,Х5] = О, [ 4, 5] = 0, где є 0, а О, v 0, 7 0 Р 0. Оператор Риччи вычисляется по формуле (1.1.3). Алгебра дифференцирований находится непосредственно.

Лемма 3.1.3 (Критерий изометричности двух алгебр типа jVf(e, а, и,7, р))« Две алгебрыNi{e,a,v,i,р)) uJ\fi(e,a,v,j,p) изометричны, если и только если, выполняется равенство Так как є 0, то 4п424 - 421414 = 0, 412424 - 422414 = 0. Поэтому, либо вектор (414,424) нулевой, либо при некоторых а, (3 выполняются равенства 4п = ОД14, 421 = 424, 412 = Pqu, 422 = /?424- В силу ортогональности Q получаем 4и421 + 412422 + 414424 = 414424(1 + о? + /З2) = 0. Таким образом, 414424 = 0, откуда с учетом предыдущих равенств следует, что qu = 424 = 0, а также и #41 = 442 = 0. Из равенства (3.1.2) получаем 412444 = 0, что влечет gi2 = 0, и, следовательно, #21 — 0- Окончательно получаем, что матрица Q диагональная. Следовательно, соответствующие параметры алгебр равны по модулю, а в силу того, что они имеют одинаковый знак, они просто попарно совпадают. В обратную сторону утверждение леммы очевидно.

Нестандартные эйнштейновы солвмногообразия

Отметим, что алгебры из пунктов 1)-3) не являются симметрическими, что легко следует из предложения 1.1.7. Предпоследняя из приведенных алгебр найдена в работе [27] наряду с целым семейством метрических алгебр Ли отрицательной секционной кривизны (см. подробности в [48]). Солвмногообразие, порождаемое последней алгеброй в формулировке теоремы, изометрично симметрическому пространству (пространству постоянной отрицательной секционной кривизны) 5О0(7,1)/50(7) [2].

Основой для наших дальнейших рассуждений является классификация семимерных эйнштейновых солвмногообразий ранга 1, полученная С. Уилл в [47]. Ниже приводится соответствующий результат, при этом мы используем собственные обозначения.

Теорема 3.3.2 (С. Уилл [47]). Пусть (М,р) - семимерное эйнштейно во солвмногообразие ранга 1, тогда оно изометрично солвмногообразию, которое порождается одной из приведенных в Таблице 5 метрических алгебр Ли. Для каждой из алгебр указаны нетривиальные коммутаторы базисных векторов ортонормированного относительно Q базиса {Хі,Х2,Хз, X4,X$,XQ,Y}.

В каждом из случаев, описанных в теореме, векторы Х{ образуют ор-тобазис в нильрадикале п алгебры 5. Вектор У образует ортобазис в а — ортогональном дополнении к п в алгебре s. Метрические алгебры Ли, указанные в теореме 3.3.1, фигурируют в Таблице 5 под номерами 24), 29), 32) и 34) соответственно.

Замечание 3.3.2. Поскольку работа С. Уилл была посвящена классификации эйнштейновых метрических алгебр Ли с некоммутативными нильрадикалами, то хорошо известная алгебра Ли (с коммутативным нильрадикалом), указанная в Таблице 5 под номером 34; не приведена в классификационном списке работы [47]. Спектральный тип всех метрических алгебр Ли из Таблицы 5 указан в Таблице 6.

Метрические алгебры Ли под номерами 1), 3), 5), и 6) имеют отрицательную секционную кривизну, под номерами 2) и 4) — неположительную секционную кривизну. Все вышеприведенные метрические алгебры Ли, за исключением последней, не являются симметрическими.

Доказательство. Для большинства семимерных эйнштейновых солв-многообразий ранга 1 (для всех за исключением шести, отмеченных римскими числами в последнем столбце Таблицы 6) существуют площадки, на которых секционная кривизна положительна. В частности, это выполнено для площадок, которые указаны в последнем столбце Таблицы 6, что нетрудно проверить простыми вычислениями. Отметим, что для метрических алгебр Ли, указанных в строках 7), 8) и 18) Таблицы 6, нетрудно подобрать значения параметра ki, для которых K{X\,V) 0.

Рассмотрим оставшиеся случаи, которые мы будем нумеровать римскими числами в соответствии с Таблицей 6. Для вычисления секционной кривизны мы поступим следующим образом. Возьмем два произвольных вектора Х,У Є s, имеющих вид X = aiXi + а2Х2 + 0-3X3 + 0:4X4 + #5X5 + O.QXQ + ajY, Y = АХх + р2Х2 + &Х3 + (34Х4 + &Х5 + ДА + p7Y в ортонормированном относительно Q базисе {Xi,X2,X3,X4,X5,X6,l } и 7 7 7 таких, что J2 af = ]Г) р? = 1, афі = 0. Пусть 7ц = &Фз - otjPi, 1 г=1 г=1 г=1 г j 7, тогда ]Г) = 1, и K(X,Y) равно секционной кривизне 1 гО в направлении X Л У. Для введенных выше величин, хорошо известно (и легко проверяется) равенство Hjlki - Hklji + luljk = о для любых 1 і j к I 7. Далее мы рассмотрим отдельно каждый из шести случаев.

Прямыми вычислениями нетрудно убедиться в справедливости сле дующего равенства: K(X,Y) = -g(27627 + (3723-\/6767)2 + (37i3-\ 757)2 + (37i2-\ 747)2 + 27427 + 2757+(7і4-7зб)2 + (7і5 + 72б)2 + (7з5 + 724)2 + 27і27 + 2727 + 27з27+4(7іб + 734 - 72б)2 + 2(712 + 75б)2 + 2(745 + 72з)2 + 2(746 - 7із)2 + 6T526 + 67 + 67) Покажем, что К(Х, У) = 0 лишь в случае, когда 7у = 0 при 1 і j 7. Действительно, если К(Х, У) = 0, то 712 = 7із = 7і7 = 7гз = 726 = 727 = 737 = 745 = 746 = 747 = 756 = 757 = 0, 714 = 736, 715 = -726, 735 = -724, 734 = 725 - 716 С учетом этих соотношений мы получаем следующую цепочку равенств: Следовательно, 7ц — 0 Для всех 1 « J 7 если K(X,Y) = 0, что невозможно. Таким образом, в этом случае К(Х, У) 0. II) Прямыми вычислениями легко проверить справедливость следующе го равенства: K(X,Y) = - ((7з4 + 275б+7і2)2+4(7із-757-724)2 + 4(7і4 + 723-7б7)2 + (715 + 726 + 737)2 + (716 + 747 - 725)2 + (727 - 736 + 745)2 + (735 + 746 - 717)2), то есть К(Х, У) Также нетрудно проверить, что при X — Л/- 2 + л/1) У — yf i + XQ выполняется равенство К(Х, У) = 0.

Похожие диссертации на Эйнштейновы солвмногообразия малой размерности

Фундаментальная размерность компактовЛубенец, Юрий Владимирович

Размерность топологических произведений и их подмножествКозлов, Константин Леонидович

О размерности непрерывных отображенийКараулов, Василий Михайлович

О геометрии -мерных алгебр Бола с разрешимыми обертывающими алгебрами ли малых размерностейБуэту, Буэту Томас

Гомологическая теория размерности малых категорий и упорядоченных множествХусаинов, Ахмет Аксанович

Реализация связностей с различными размерностями базы и слоя на оснащенных подмногообразиях проективного пространстваСоколовская Светлана Игоревна

Алгебра и геометрия три-тканей, образованных слоениями разных размерностейТолстихина Галина Аркадьевна

Левоинвариантные почти комплексные структуры и ассоциированные метрики на группах Ли размерности 4Корнев Евгений Сергеевич

Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на группах ЛИ малой размерностиКремлев Антон Геннадьевич

Классификационные проблемы в теории групп автоморфизмов многообразий малой размерности.Малютин Андрей Валерьевич