Введение к работе
Актуальность темы. Понятие размерности непрерывного отображения топологических пространств возникло ещ в довоенные годы, по-видимому, в связи с формулой Гуревича1
dtmX^atmf + aLimY. (1)
При этом Гуревич пользовался послойным определением размерности отображения, считая
dimf= sup {dim ГЛУ- УЄ Y). Это определение оказалось достаточно продуктивным для замкнутых отображений нормальных пространств. В тоже время, отказ от замкнутости отображений или от нормальности пространств (даже от паракомпактности образа) приводит к нарушения формулы (1), демонстрируя недостаточность послойного определения размерности отображения. В связи с этим были предприняты попытки отойти от этого определения. В частности, определённая Пасынковым2 размерность dim*f позволяет в формуле (1) отказаться от замкнутости отображения / и от нормальности пространства X (оставляя паракомпактным пространство Г). Таким образом, уже в процессе распространения формулы (1) на как можно более широкие классы пространств и отображений возникла необходимость отказа от послойного определения размерности отображения.
Вообще говоря, возможны многие варианты определения размерности отображений и выбрать надлежащий вариант - довольно трудная задача. Однако, в последнее время, в процессе развития послойной общей топологии, выяснилось, что оптимальным вариантом подхода к распространению основных понятий, касающихся пространств, на отображения является "трубчатый" подход, основанный на рассмотрении не слоев (апрообразов точек), а трубок (зпрообразов открытых множеств). В связи с этим Пасынков предложил-3 следующее определение размерности dim непрерывного отображения /: 1-У.
ОСНОВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Считается dtmf^b, U = -1,0,1,..., если для любых точки j/єГ, её окрестности U и конечного функционально
Гуревич и Волмэн. Теория размерности. - ИЛ, 1948. р Пасынков Б.А. Факторазациошше теоремы в теории размерности. -
УМН, 1981, 36:3, с. 147-175.
^Пасынков Б.А. Факгоризацкониая теорема для когомологических размерностей отображений. - Вестн. МТУ, сер.1 матем. ,1991, J64, с. 26-33.
открытого покрытия Q прообраза /~% существуют, окрестность Veil точки у и конечное функционально открытое покрытие и прообразе /*17, вписанное в а v, кратности <+f.
В той же статье Пасынков установил равенство dlmf = uim$j для максимальной тихоновской бикомпактификации р/ тихоновского4 отображения /. Этот результат вполне аналогичен соответствующему результату для тихоновских пространств. Кроме того, ранее им же5 на случай отображений: были распространены теоремы Гуревича (о нульмерных отображениях /г-мерных компактов в /г-мерный куб) и Нёбе-линга-Понтрятина (о вложении я-мерных компактов в (2/1+1)-мерный куб). Приведённые результаты свидетельствуют о потенциальной возможности построения теории размерности отображений, параллельной (и являющейся обобщением) теории размерности пространств. Такая теория могла бы, дополнительно, пролить свет и на формулу (1).
Цель работы. Распространить основные исходные результаты теории размерности пространств (в первую очередь характеризаши размерности dim ) на случай отображений.
Методы исследования. В диссертации используется метод "сужающихся трубок", а также метод покрытий и метод отображений, позволяющий сводить рассмотрение размеряоетных свойств произвольных непрерывных отображений к рассмотрению свойств элементарных геометрических фигур (полиэдров и, в частности, симплексов и сфер).
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Основные результаты диссертации таковы:
1. На непрерывные отображения со случая пространств распространены все основные общие характеризации размерности dim { теоремы об "ужатий" и "раздутии" конечных аокрытий, об Q-отображениях в полиэдры, о существенных отображений на симплексы, о продолжениях отображений в сферы, о перегородках , о размерностном ранге кольца
ЧІаскнков Б.А. О расцространении на отображения некоторых понятий и утверждений, касающихся пространств.- Отображения и функторы: Сборник.- Ы.: МГУ, 1984. с. 73-103.
'Пасынков В.А. О размерности и геометрии отображений. - ДАН СССР,
1975, 231:3, с. 543-546. с
Александров П.С, Пасынков В.А. Введение в теорию размерности. -М.: Наука, 1973.
всех ограниченных непрерывных функций на пространстве7.
2. Для отображений установлены аналоги теорем монотонности размерности dim пространств по замкнутым и С*-вложенным подмножествам и конечная теорема суммы.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты демонстрируют возможность построения теории размерности непрерывных отображений (обобщающей теорию размерности топологических пространств). Результаты и методы диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях по послойной общей топологии и теории размерности непрерывных отображений в МИГУ, МГУ, Вятском гос. пед. университете, других университетах и пединститутах.
Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по послойной общей топологии профессора Б.А.Пасинкова (в МГУ) и на семинаре им. П.С.Александрова кафедры общей топологии и геометрии в МГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации представлены в трбх работах (см. ниже).
Структура и объёи диссертации, диссертация состоит из введения, пяти параграфов и списка литературы, включающего 26 наименований. Полный объём диссертации 99 страниц машинописного текста.