Геометрия главных T^1-расслоений над нечетномерной базой Савинов Александр Валерьевич

Данный автореферат диссертации должен поступить в библиотеки в ближайшее время
Уведомить о поступлении

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - 240 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья

Савинов Александр Валерьевич. Геометрия главных T^1-расслоений над нечетномерной базой : Дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.04 : Москва, 2003 81 c. РГБ ОД, 61:04-1/273

Содержание к диссертации

Введение

1 Предварительные сведения 20

1.1 Почти эрмитовы структуры 20

1.2 Почти контактные структуры 23

2 Связь почти эрмитовой и почти контактной структур 29

2.1 Структурные уравнения главного -расслоения 29

2.2 Компоненты тензора Римана-Кристоффеля 38

2.3 Тензор Риччи и скалярная кривизна 44

2.4 Ковариантное дифференцирование 45

3 Каноническое главное Т1-расслоение 48

4 Главные Т^-расслоения над некоторыми ЛС многообразиями. 52

4.1 Главные ^-расслоения над нормальным многообразиями . 52

4.2 Главные Т!-расслоения над/f-контактными многообразиями 61

4.3 Главные Т^-расслоения над многообразиями Кенмоцу 63

4.4 Главные Т^-расслоения над слабо косимплектическими многообразиями 67

Литература 77

Почти контактные структуры
Ковариантное дифференцирование
Главные Т!-расслоения над/f-контактными многообразиями
Главные Т^-расслоения над слабо косимплектическими многообразиями

Введение к работе

Почти контактные и почти контактные метрические структуры являются одними из наиболее содержательных дифференциально-геометрических структур. Их теория является естественным обобщением контактных структур, имеющих приложения в классической и квантовой механике. Изучение почти контактных структур началось в 1953 году в работах Чженя. Он, в частности, показал [17], что если М — дифференцируемое многообразие размерности 2п + 1 с фиксированной контактной формой т] : 7; Л (dr])ⁿ ф 0, то оно допускает (^-структуру со структурной группой {1} U(n). Позднее многообразия, допускающие такую (7-структуру, Дж.Грей назвал почти контактными многообразиями. Им же было введено понятие почти контактного метрического многообразия [22].

В I960 году Сасаки в работе [35] показал, что многообразие, допускающее (7-структуру со структурной группой {l}U(n), несет внутренним образом определенную тройку тензоров {Ф, , т]}, обладающих свойства-

ми:

77(f) = 1; г) о Ф = 0; Ф² = -г'с? +tj.

В своих работах Сасаки доказал, что на таком многообразии М всегда существует положительно-определенная метрика д = (,), такая что

Ч{Х) = (Є, X), (ФХ, ФУ) = (X, Y) - rj(X)rj(Y),

дополняющая почти контактную {Ф, f, ^-структуру до метрической.

Почти контактные и почти контактные метрические многообразия исследовались также в работах Блэра[16], Танно[39], Исихары[24] и других геометров. Блэром, в частности, был изучен вопрос интегрируемости контактного распределения контактного многообразия. Ему удалось доказать [14], что через каждую точку контактного многообразия проходят интегральные многообразия контактного распределения размерности, не превышающей половины размерности контактного распределения. Геометрия таких многообразий изучалась лишь в случае сасакиевых пространственных форм, то есть многообразий Сасаки постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны. Напомним[13], что почти контактное метрическое многообразие называется многообразием Сасаки, если для него справедливо соотношение:

Vx(W = (X, Y)І - tj(Y)X, X,Ye X(M).

Блэр, в частности, доказал [14], что если почти контактное метрическое многообразие является нечетномерной сферой 5²ⁿ⁺¹, снабженной канонической сасакиевой структурой, то интегральные многообразия контактного распределения, будучи вложенными в S²ⁿ⁺¹ как вполне геодезические подмногообразия, представляют собой области сферы Sⁿ.

Вопросом об интегрируемости контактного распределения почти контактной метрической структуры и геометрическим свойствам его интегральных многообразий посвящена работа Кириченко В.Ф. и Борисовского И.П. [3]. В этой работе авторы доказали, что через каждую точку произвольного контактного многообразия М^2п+1 в любом п-мерном вполне вещественном направлении проходит интегральное многообразие

контактного распределения (подмногообразие Лежандра). Такое свойство контактного многообразия авторы назвали полуинтегрируемостью его контактного распределения. Более того, в этой работе показано, что если М^2п+1 — if-контактное многообразие, п > 2, то в любом п-мерном вполне вещественном направлении проходит единственное вполне геодезическое подмногообразие Лежандра тогда и только тогда, когда М — сасакиева пространственная форма. Это свойство авторами названо геодезической интегрируемостью контактного распределения, а вполне геодезические подмногообразия Лежандра названы подмногообразиями Блэра [3]. Эти результаты позволили авторам доказать, что горизонтальное распределение расслоения Бутби-Вана над обобщенным многообразием Ходжа положительной голоморфной секционной кривизны геодезически интегрируемо тогда и только тогда, когда база расслоения локально голоморфно изометрична комплексному проективному пространству, а само расслоение с точностью до переномировки метрики типового слоя локально изоморфно классическому расслоению Хопфа [3].

В 1966 г. Блэр в работе [15] ввел понятие квази-сасакиевых структур, которые составляют обширный класс почти контактных метрических структур. Впоследствии такие структуры появились в работах Тайно [38], Канемаки [28], Янамато [44] и других геометров. Было показано, что произведение многообразия Сасаки на келерово многообразие является квази-сасакиевым многообразием. Блэр [15] и Канемаки [28] получили некоторые достаточные условия, при которых квази-сасакиево многообразие локально эквивалентно такому произведению. Далее, Кириченко В.Ф. и Рустанов А.Р. в работе [4], изучая полную группу структурных уравнений, дали исчерпывающий перечень условий, при которых многообразия удовлетворяет последнему условию. При этом были выделены квази-сасакиевы многообразия класса ClZi . Авторы дали полную классификацию (с точностью до ^-преобразования метрики) многообразий такого класса постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны и квази-сасакиевых многообразий этого класса, удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных (2п+1)-плоскостей, существенно обобщив тем самым ре-

зультаты Танно, касающиеся классификации сасакиевых пространственных форм [38].

В 1972 г. в работе [27] был введен в рассмотрение класс почти контактных метрических структур, характеризующихся тождеством:

V_X($)Y = (ФХ, Y)- т](У)ФХ, Х,Ув Х(М).

Позже эти структуры были названы структурами Кенмоцу. Кенмоцу показал [27],что эти структуры наделены рядом замечательных свойств, в частности, они нормальны и интегрируемы, но не являются контактными и, тем более, сасакиевыми.

Почти контактная метрическая структура, например, внутренним образом возникает на ориентируемой гиперповерхности N многообразия М, снабженного почти эрмитовой структурой [39].

В 1961 году Сасаки и Хатакеяма [36] рассмотрели многообразие MxR, где М — многообразие с заданной на нем почти контактной структурой {Ф,, г}}, К — вещественная прямая. Ими было доказано, что на таком произведении определяется почти комплексная структура J. Авторы рассмотрели тензор Нейенхейса этой структуры N^_c, обозначив координату на R через Х, тогда Л, В, С = 1, ..., 2п + 1, со. Величины Nj_k,Nj%,N^l_ioo и Nj, где i,j,k = 1,2п + 1, определяют четыре тензора на М. Сасаки и Хатакеяма изучили свойства этих тензоров. В частности, они показали, что N^ = «С^Ф и Nj = ^77, где есть производная Ли тензорного поля в направлении вектора. Причем если Щ_к = 0, то и остальные три тензора равны нулю. Также они доказали, что на М с {Ф, , ^-структурой всегда существует аффинная связность, для которой ?7, Ф, и параллельны, а на многообразии с {Ф, , rj, д}- структурой эту связность можно выбрать так, чтобы и поле тензора д было параллельным.

В 1963 году Таширо [37] рассмотрел почти контактное метрическое (2п 4- 1)-мерное многообразие М со структурой {Ф,, ij,g}. Он, как и Сасаки, доказал, что на декартовом произведении MxR естественным образом определяется почти комплексная структура J и наряду с этим

в M xR задается метрический тензор

G: G = (С?_л„) = є"²' (* \

где gtj — компоненты метрического тензора структуры.

В результате М х R становится почти эрмитовым многообразием. Многообразие М отождествляется с гиперповерхностью М х {0} , вполне омбилической в М х №.. Таширо для тензора J в М х Ш построил тензор Нейенхейса. В соответствии с этим М xR может быть

полуэрмитовым;
эрмитовым;
почти полукелеровым;
О*-многообразием;
почти келеровым; 7) келеровым.
^"-многообразием;

Согласно этому многообразие М он назвал:

полугрейевым;
грейевым;
почти полусасакиевым;
контактным 0*-многообразием;
почти сасакиевым;

7) сасакиевым.

6) контактным іГ-многообразием;

Автор исследовал тензорные признаки и геометрические свойства этих многообразий, особое внимание уделяя многообразиям Сасаки.

Этими вопросами также занимались Хашимото и Ичинохе. Они изучали свойства тензора кривизны пространства Mxl, порожденного конформно плоским многообразием М.

Грей А. и Хервелла [23] в 1980 году классифицировали почти эрмитовы структуры. Естественно, перед геометрами возникла задача о систематизации почти контактных метрических структур на многообразии М в соответствии с классификацией эрмитовых структур, индуци-

рованных на многообразии М х R. Данной проблемой занимались такие геометры, как Накаяма [33], Канемаки [26], Чинея и Марреро [19]. Ими получена неполная классификация почти контактных метрических структур. Например, классификацию пространств М^2п+1 Накаяма проводит следующим образом. Он находит необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять различные геометрические объекты пространства М, такие как Ф,,г],д и объекты, полученные при их первом продолжении, тензор Нейенхейса и т.п. для того, чтобы пространство MxR принадлежало к одному из классов почти эрмитовых многообразий. На этом пути автор находит 9 подклассов пространств с {Ф, , 7;, ^-структурой. В частности, Накаямой доказан ставший уже классическим результат: нормальность почти контактной метрической структуры на многообразии М равносильна тому, что структура на многообразии MxR эрмитова. Этот результат также был получен немного позже Накашима, Ватанабе [32].

Чинея и Марреро [19] для классификации почти контактных метрических структур изучали представление группы U(n) х {1} на специальном пространстве N(V), интерпретируемом как пространство тензоров специального вида типа (0,3) над 2n + 1-мерном вещественном линейном пространством V, которые удовлетворяют определенным свойствам симметрии. Авторы нашли разложение N(V) на шесть подпространств, инвариантных относительно действия группы U(n) х {1}. Это дало возможность сопоставить каждому инвариантному подпространству класс почти контактных метрических многообразий. Для примера, подпространству {0} сопоставляется класс нормальных многообразий, который объединяет классы а-Кенмоцу, а-сасакиевых, транссасакиевых, квази-сасакиевых многообразий. Найдены 6 квадратичных инвариантов подпространства N(V) и шесть классов почти контактных метрических структур Ni — iVe. Указаны их характеристики.

ресные классы почти контактных метрических структур. Так, например, Чинея в 1985 году рассмотрел класс квази-К- сасакиевых структур. Это — почти контактная метрическая структура {Ф, , rj, д} на многообразии М, у которой естественно ассоциированная ей почти эрмитова структура на многообразии Mxl является квазикелеровой [18]. Это равносильно справедливости следующего тождества на М

V_x (Ф) У + V*_x (Ф) (ФУ) = 2д (X, Y) + ri (Y) V$_x$ - 2rj (Y) X,

где V — риманова связность метрики д на многообразии М.

Чинея изучал подмногообразия N квази-ІІГ-сасакиева многообразия, инвариантные относительно структурного оператора Ф. Им доказано, что N в этом случае является квази-Л"-сасакиевым относительно естественно индуцированной структуры. Он также доказал минимальность такого подмногообразия, нашел условия его вполне геодезичности в терминах ковариантной производной второй фундаментальной формы вложения.

Обинья [34] рассматривал почти контактные метрические структуры на многообразии М, у которых естественно ассоциированная ей почти эрмитова структура на многообразии МхЕ принадлежит классам Wa и W2 144 ^в классификации Грея — Хервеллы [23]. Такие структуры были названы транссасакиевыми и почти транссасакиевыми, соответственно.

В последнее время эти структуры широко изучаются. Чинея, Пере-стело [20], например, исследовали инвариантные подмногообразия транс-сасакиевых многообразий. Марреро [31] доказал, что {ф, ,г],д} — транс-сасакиева структура тогда, и только тогда, когда {ф,,г],д} нормальна и dQ = 2at] А $7, drj = j3Q, где 17 — фундаментальная форма, a = div/(2n); /3 = <Ш()/(2п). Он также изучал подклассы класса транссасакиевых многообразий и нашел аналитические условия, при выполнении которых транссасакиево многообразие принадлежит к одному из этих подклассов. Марреро изучал локальное строение этих транссасакиевых многообразий М. При этом М представляет собой локальное произведение (а, 6) х V, где (а, Ь) — открытый интервал, V — келерово

многообразие, dim V = 2п.

Изучению транссасакиевых и почти транссасакиевых многообразий посвящена работа Кириченко В.Ф. и Родиной Е.В. [2]. В этой работе был разработан аппарат исследования связи между геометриями почти контактного метрического многообразия М и многообразия М х Ш, изучение которой сводится к изучению связи между структурными объектами ^-структур, присоединенных к данным многообразиям- В частности, авторами была получена исчерпывающее описание класса транссасакиевых структур, полная классификация почти транссасакиевых многообразий постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с неинтегриру-емой структурой, а также полная классификация транссасакиевых многообразий с неинтегрируемой структурой, удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных плоскостей.

Существенным обобщением рассмотренной выше конструкции являются главные Т^-расслоения над почти контактным многообразием М. Изучению главных ^-расслоений над гладким многообразием была посвящена работа Кобаяси [30]. Он показал, что во множестве классов эквивалентности всех главных Т^расслоений V{M) над римановым многообразием М можно ввести структуру аддитивной абелевой группы. Кобаяси доказал, что существует гомоморфизм х группы V{M) на группу двумерных целочисленных когомологий H²(M,Z), который в случае односвязности многообразия М будет мономорфизмом, а значит, и изоморфизмом. Следовательно, характеристический класс расслоения с учетом классического изоморфизма де-Рама есть в точности элемент группы когомологий де-Рама, определенный некоторой замкнутой целочисленной 2-формой. Нулевому элементу группы когомологий соответствует класс расслоений, эквивалентных тривиальному.

Примером нетривиального главного Т^-расслоения является расслоение Хопфа 7Г : S²ⁿ⁺¹ —> РС^п. Геометрии тривиальных и нетривиальных главных Т^-расслоений (несмотря на их локальную тривиальность) могут существенным образом отличаться друг от друга. В работе [21] доказано, что пространство тривиального главного Т^расслоения

7г: М³(к) х S¹ -> М³(к) (где M³(fc) есть разрешимая группа Ли, задаваемая матрицами вида

,кх

_Г/

,—кх

О х\ '

_l\

М³(к) = <

0 г/

1 -г
О 1/J

ж, ?/, г Є R, к Є Ш,к ^ О) симплектично, но не допускает комплексной структуры. С другой стороны, авторами построен пример нетривиального главного Т^-расслоения 7г : S -> М³(к), которое является комплексным многообразием, но не допускает симплектических форм.

Хорошо известны [14] так называемые расслоения Бутби-Вана — главные Т^-расслоения над симплектическими многообразиями, характеристический класс которых порожден симплектической формой. Частным случаем расслоений Бутби-Вана является расслоение над многообразием Ходжа, в котором в качестве симплектической формы выступает фундаментальная форма структуры.

Интересен случай, когда база главного ^-расслоения является келе-ровым многообразием.

В работе [41] Ватанабэ изучал главное -расслоение над локально-симметрическими келеровыми многообразиями. В частности, он показал что тотальное пространство расслоений Бутби-Вана над локально-симметрическим многообразием Ходжа локально однородно и объемно симметрично.

М.Ван и Циллер в работе [40] исследовали случай, когда на пространстве главного -расслоения индуцируется метрика Эйнштейна. Ими установлено, что если (М,-,^_г),г = 1,...,т являются многообразиями Келера-Эйнштейна с положительным первым классом Чженя Сі(М_г), C\{Mi) = qiai, где qi Є N, щ — неделимый класс в #²(M*,Z) и Р — тотальное пространство главного Т^-расслоения над М = М\ х... х М_т, такое, что характеристические классы в группе когомологий ІУ²(М, Z) являются целочисленными линейными комбинациями элементов оті,..., а_т, то Р несет метрику Эйнштейна тогда и только тогда, когда фундамен-

тальная группа щ(Р) конечна. Как следствие этого результата авторами доказано, что любое главное Г¹ -расслоение над М\ х ... х М_т, эйлеров класс которого является целочисленной линейной комбинацией элементов c*i,..., а_т, несет эйнштейнову метрику положительной скалярной кривизны. В частности, главное -расслоение над PC¹ х PC² и главное -расслоение над PC¹ х PC¹ х PC¹ несут метрики Эйнштейна. Эти метрики были независимо открыты физиками Д'Аурия , Костеллани, Фре, ван Нейенхолозеном в попытке сконструировать теорию супергравитации Калуцы-Клейна в размерности 11.

Пример, когда т = 1, был построен Кобаяси [30]. В этом случае получена метрика Эйнштейна на тотальном пространстве главного Т¹-расслоения над многообразием Келера-Эйнштейна с С\ > 0.

Дальнейшее исследование главных Т¹-расслоений продолжил В.Ф. Кириченко [?]. Им, в частности, показано, что с каждым почти эрмитовым многообразием внутренним образом связано главное Т¹-расслоение над ним. Это позволяет строить новые модели многообразий, несущих ту или иную почти контактную метрическую структуру.

Из приведенного обзора видно, что главные Т¹-расслоения представляют интерес не только с точки зрения дифференциальной геометрии, поскольку служат основой для построения новых примеров дифференциально-геометрических структур, но и с точки зрения теоретической физики. Однако многие проблемы геометрии главных Т¹-расслоений остаются еще не изученными, исследованию некоторых из них посвящена наша работа.

Главные Т¹-расслоения над четномерной базой исследуются очень активно в связи с соображениями эрмитовой геометрии. В тоже время главные Т¹-расслоения над нечетномерной базой представляют неменьший интерес в связи с тем, что почти контактная структура на базе канонически порождает почти эрмитову структуру в пространстве расслоения. Более того, эта конструкция по существу обобщает упомянутую выше конструкцию Сасаки и Хатакеямы почти эрмитовой структуры на многообразии MxR. Тем не менее этот аспект геометрии главных торо-

идальных расслоений исследователями практически не рассматривался в печати. Основной целью настоящей работы было восполнить этот пробел.

Цель диссертационной работы состоит в изучении некоторых аспектов геометрии главных ^-расслоений над нечетномерным многообразием с заданной на нем почти контактной структурой.

Основными задачами нашего исследования являются следующие:

Получить структурные уравнения почти эрмитовой структуры, индуцированной на пространстве расслоения окружностей над почти контактным метрическим многообразием.
Исследовать геометрию главных Т¹-расслоений, характеристические классы которых порождены обобщенной формой Риччи почти контактной метрической структуры.
Выяснить некоторые условия, при которых в пространстве главного Т¹-расслоения над исходным почти контактным многообразием индуцируется та или иная почти эрмитова метрика.

Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Выделим некоторые из них:

Получены структурные уравнения почти эрмитовой структуры, индуцированной на пространстве расслоения окружностей над почти контактным метрическим многообразием.
Вычислена в явном виде обобщенная форма Риччи почти контактного многообразия.

3) Изучены свойства тотального пространства главного Т¹-
расслоения над нормальными многообразиями, многообразиями Кенмо-
цу, слабо косимплектическими и ІІГ-контактньїми многообразиями.

Результаты работы получены систематическим использованием современной версии метода внешних форм Картана — метода присоединенных С?-структур в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения

геометрии главных Т¹-расслоений над почти контактными многообразиями. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материала для спецкурсов по дифференциальной геометрии и математической физике.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры геометрии МПГУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Ф.Кириченко, на научном семинаре кафедры алгебры, геометрии и методики преподавания математики Белорусского государственного университета под руководством профессора В.И. Янчевского.

Основное содержание диссертации отражено в 2 публикациях. Диссертация состоит из введения, 4 глав, включающих 10 параграфов и списка литературы. Она изложена на 81 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 44 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Краткое содержание основного текста диссертации.

Во введении излагается предыстория вопроса, обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, излагаются основные результаты, полученные в работе.

В главе 1 даны предварительные сведения, которые носят преимущественно реферативный характер. Сформулированы основные определения и факты, необходимые для дальнейшего изложения. Первая глава состоит из двух параграфов.

В параграфе 1.1 даются определения почти комплексной и почти эрмитовой (короче, ЛН—) структуры на многообразии, а также некоторых классов этих структур в классификации Грея-Хервеллы. Приведена первая группа структурных уравнений почти эрмитовой структуры на пространстве присоединенной ^-структуры, полученная В.Ф.Кириченко в работе [7]:

du^a = ш% А u^b + В^аЬ_сш^с Лш_ь + В^аЬсщ Л о;_с, du_a = -ш% /\иь + В_аь^сш_с /\ш^ь + В_аЬсш^ь Л аЛ

Здесь рассказано о структурных и виртуальных тензорах, рассмат-

риваются характеристики некоторых классов почти эрмитовых многообразий в терминах этих тензоров.

Параграф 1.2. посвящен почти контактным метрическим (короче, АС—) структурам на многообразиях. Даны определения некоторых типов почти контактных метрических структур, приведена первая группа структурных уравнений почти контактных метрических структур на пространстве присоединенной G-структуры. А именно,

1) div^a = ш%Ли^ь + C^abcU>^c Лц + С^аЬси_ь Лш_с + С^аЪш_ь Л ш+

+CV⁶ Л и>;

2) dw_a — -ш^ь_а /\ш_ь + С_аь^си_с Ли>^ь + С_аь^о^ъ Лш^с + С_аъы^ь Л ш+

+С_а^ьиь Л со;

3) dco = D_ab(jJ^a Aco^b + D^abuj_a Лц + D^bco^a Асо_ь + D_aco^a Л ш+

+D^au_a Л ш.

Записаны условия принадлежности выделенных почти контактных структур определенному типу в терминах присоединенной (7-структуры.

Почти контактные структуры

Определение 1.3. [7] Почти контактной метрической (короче, АС-) структурой на гладком многообразии М называется совокупность {Ф, 7 = (.,.),,??} тензорных полей на этом многообразии, где Ф — тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, g — риманова метрика, и 7) — вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой. При этом выполняются условия: Необходимым условием существования на многообразии ЛС-структуры являются его нечетномерность и ориентируемость. Многообразие, на котором фиксирована .ДС-структура, называется ЛС-многообразием. На ДС-многообразии определена дифференциальная 2-форма которая называется фундаментальной формой структуры. Определение 1.4.(14] ДС-структура {Ф, g, , rj} на многообразии Р называется: — нормальной, если 2N$ + drj g) = 0 где ТУф - тензор Нейенхейса оператора Ф, который вычисляется по формуле: — контактной метрической (С-) или почти сасакиевой, если 77 = 0; — К-контактной, если она почти сасакиева и ее структурная форма г) является формой Киллинга; — квази-сасакиевой, если она нормальна и имеет замкнутую фундаментальную форму; — сасакиевой, если нормальна и контактна. Это равносильно тому, что где V — риманова связность метрики #; — почти косимплектической, если ее фундаментальная и структурная формы замкнуты; — слабо косимплектической, если фундаментальная и структурная формы являются формами Киллинга; — точнейше косимплектической, если ее фундаментальная форма является формой Киллинга и структурная форма замкнута; — косимплектической, если ее фундаментальная и структурная формы параллельны в римановой связности. Пусть {Ф,д = (.,.), ,7/} — «4С-структура на многообразии Р, dimP = 2п + 1. Тогда в модуле Х{Р) внутренним образом определены два взаимно дополнительных проектора m = 77 g fHl = id — m= —Ф2. Следовательно, Х{Р) = С ф Л4, где М. = Im ш, С = Im 1 = ker rj. Распределения М. и С инвариантны относительно Ф и взаимно ортогональны. На распределении С пара {Фг, д\\} определяет почти эрмитову структуру, поэтому С можно рассматривать как эрмитово векторное расслоение над Р с метрикой H(X,Y) = (X, Y) -f у/ Л(Х,ФУ), где X, Y Є Х(Р).

Тогда Сс = D ф D, где D и D - собственные подмодули оператора Фс = {Ф\ь) idc С собственными значениями /--! и — \/—Ї соответственно, а а — \ (id — \[-ЛФ\с) и а = (id + V—ЇФг) — их проекторы. Фиксируем точку р Є Р и {р, єі,..., en, j,..., "Й} - - 4-репер в Ср. Тогда репер где Єо = р, называется Л-репером. В Л-репере получим: Задание на многообразии .4 ?-структуры равносильно заданию G-структуры со структурной группой {1} g U(n), представленной матрицами вида: Эта G-структура состоит из А-реперов. Такая (7-структура называется присоединенной. Далее имеем: Так, как # = .,. — риманова метрика, то Vg = 0, и, следовательно, gtjtk = 0. С учетом (1.5) и (1.6)на пространстве присоединенной (3-структуры получим: Тогда первая группа структурных уравнений присоединенной (7-структуры почти контактного многообразия на пространстве этой G- структуры запишется в виде: Теорема 1.2(7] .ДС-структура на многообразии является: — нормальной тогда и только тогда, когда Cabc = Cab = Dab = Da = 0; — контактной метрической тогда и только тогда, когда С[аЬс] = Сщ = Cabc = Dab = А, = 0, — /С-контактной тогда и только тогда, когда С[ащ = Саь = Cabc = Dab = Da = 0, 2Cb = Db = — квази-сасакиевой тогда и только тогда, когда Саьс = Саъ = Саь = Dab = Da = 0, Cb = Cab; — сасакиевой тогда и только тогда, когда СаЬс — СаЬ = Саь — Dab = Da = 0, Cab = уГЇ6ьа; — слабо косимплектической тогда и только тогда, когда СаЬс = Са = — точнейше косимплектической тогда и только тогда, когда Саь — Саъ = Dab = Dba = Da = — почти косимплектической тогда и только тогда, когда С[аьс] — С[аЬ] = Cab = Dab = Dba — косимплектической тогда и только тогда, когда Саьс = СаЬс = Саь = Cab = Dab = Dba = Связь почти эрмитовой и почти контактной структур 2.1 Структурные уравнения главного Т -расслоения Пусть G — г-мерная компактная абелева группа Ли. Известно, что такая группа изоморфна r-мерному тору Tr = S1 х ... х S1 и может быть отождествлена с ним. Определение 2.1. Главное расслоение (Р, М, 7г, G = Тг) называется главным тороидальным (короче Тг-) расслоением. Если g — алгебра Ли группы Ли G = Тг, то g естественно изоморфна Rr (с нулевым коммутатором). Пусть (Р, М, я-, G) — главное Т1-расслоение над .АС-многообразием М с почти контактной структурой {Ф, TJ, ,g}, Х{Р) — С(Р)-модуль гладких векторных полей на Р, Я4-(Р) — С(М)-модуль гладких векторных полей на Р, инвариантных относительно действия структурной группы Т1 на Р, то есть Напомним [10], поскольку группа Ли G действует на Р, то определен канонический гомоморфизм A : g -» Х {Р), действующий по формуле: Более того, известно , что этот гомоморфизм является гомоморфизмом алгебр Ли, и, так как G действует на Р свободно, является мономорфизмом. Элементы его образа называются фундаментальными векторными полями. [10]. Пусть и; — фиксированная связность на Р. Известно [6], что существует гомоморфизм iff : Х{М) — Х(к)(Р), такой что 7г о iH = id. Этот гомоморфизм называется горизонтальным поднятием. Образ М горизонтального поднятия определяет горизонтальное распределение % = "Нж 8 С(Р), элементы которого называются базисными векторными полями.

Гомоморфизм рн = ін я" является проектором, который называется горизонтальным. Дополнительный пректор ру = id — рн называется вертикальным, причем образ V„ этого проектора совпадает с Определим эндоморфизм: J = ін о Ф о 7Г - ш g + 7г 77 v, где = г я, v = А(1). (2.1) Обозначим: J\ = г я о Ф о тг , J% = — 8 + тг 7 " Тогда, в силу того что Ф = 0 и 7г г/ = 0, получим: J\ о J2 = 0, J2o J\ = 0. Далее: J2o J2 — {—UJ -f 7Г 7 g) z/) о (-a; (8) + 7Г 77 g /) = —7г 77 g) f — a; 8 i/. Следовательно, J2 = (Ji -f J2)2 — —id. Определим метрику g = (.,.) на P формулой: Заметим, что 7г о JX = Ф(іг Х) - ш(Х). Тогда в силу (1.4): faJX, тг JY) = д (Ф(тг,Х), Ф(тг.Г)) - 9 (ф(тг,Х), о;(У)) -+ (а;(Х),Ф(7Г,У)) + (а;(Х),а;(У)ё) = = Получили: 9 (izJX, тг JY) = д (тг Х, тг,К) - 77(71 )77(7 Г) + 77 (uj(X)tj 77 (а;(У)) , и так как UJ(JX) = UJ (г){к Х)р) = 7}(7Г Х), то окончательно получим: Вывод: g(JX, JY) = д(Х, У), т.е. {J,g = (.,.)} — ЛЯ-структура. Тем самым доказана теорема: Теорема 2.1. Пусть (P,M,7r,G) — главное -расслоение над ЛС-многообразием М с почти контактной структурой {Ф, 77, , д}. Тогда фиксация связности на пространстве расслоения Р внутренним образом порождает на нем «4%-структуру. Определение 2.2. Пусть (Р, М, ж, G) — главное -расслоение над ЛС-многообразием М. Будем называть пространство расслоения тороидальным (короче Т1-) расширением многообразия М, а индуцированную на нем ./Ш-структуру Т1-расширением почти контактной структуры, заданной на базе. Найдем связь ЛС-структуры на базе и индуцированной ЛН-структуры на пространстве главного Т -расслоения. Известно [5]: Теорема 2.2. Множество V(M) классов эквивалентности всех главных тороидальных расслоений над гладким многообразием М естественным образом несет структуру абелевой группы. Нейтральный элемент этой группы задается тривиальным главным расслоением (М х Пусть си — форма связности на Р, Q — форма кривизны данной связности. Тогда структурные уравнения Картана: в силу абелевости группы S1 запишутся в виде dw = Q. 2-форма Г2 инвариантна относительно правых сдвигов и является горизонтальной. Следовательно, П целиком определяется своим сужением QH на С{М)-модуль базисных векторных полей Ип: Q = (я- о f#)ft# = Q , где ft Известно [5], что форма ft определяет класс двумерных когомоло-гий [ft ] Є Н2(М,Ж), причем класс [ft ] не зависит от выбора связности в расслоении и называется характеристическим классом расслоения. Более того отображение х V — Н2(М,Ш), сопоставляющее главному расслоению его характеристический класс, является гомоморфизмом групп. Ядро этого гомоморфизма представлено расслоениями, допускающими связность нулевой кривизны, а его образ совпадает с группой двумерных когомологий H2(M,Z). В случаи односвязности М гомоморфизм х является мономорфизмом. Классы когомологий из Н2{М,Ж) представляются целочисленными замкнутыми дифференциальными 2-формами на М, которые называются целочисленными замкнутыми 2-формами на М. Пусть, ft — такая 2-форма на М со значениями в g= R, (Р, М, 7Г, Т1) — главное тороидальное расслоение, характеристическим классом которого является класс когомологий [ft ].

Ковариантное дифференцирование

Согласно теореме 2.5, тензор Римана-Кристоффеля пространства расслоения зависит от ковариантного дифференциала формы кривизны. Поэтому естественно возникает вопрос о зависимости ковариантного дифференциала формы кривизна от соответствующей 2-формы базы, а именно, 2-формы, представляющей характеристический класс главного тороидального расслоения. Найдем компоненты формы кривизны заданной связности на пространстве расслоения по формуле: Подставляя X = єа Y = єр, Z = є7, перепишем данную формулу в виде: Согласно предложению 2.2 имеем: Пусть теперь в равенстве (2.13) X = z/, Y = єа, єр- Тогда, согласно предложению 2.2, получим: Vv(Q)(ea,fi) =и\П(єа,єр)) -Sl(Vuea,ep) -Q(ea,Vue0) = и т.д. Получили: Предложение 2.6. В принятых обозначениях справедливы следующие тождества равенства: Учитывая (2.3), можно доказать, следующее утверждение: Теорема 2.6. Пусть (Р, М, 7г, G) — главное -расслоение над АС-многообразием М с почти контактной структурой {Ф, rj, , д}, Г2 — фик- сированная связность заданная на Р. Тогда, в принятых выше обозначениях справедливы следующие соотношения: Глава З Каноническое главное -расслоение Известен результат [25]: Теорема 3.1. Пусть {P,M,w,G}— главное расслоение над М со структурной группой G, и пусть Н С G — замкнутый нормальный делитель. Тогда {Р/Н, М, тг, G/H} — главное расслоение над М, причем коммутативна следующая диаграмма: где w : Р — Р/Л" — естественная проекция, тг: Р/Н -+ М — отображение индуцированное отображением 7г. Пусть g и h — алгебры Ли групп Ли G и Н соответственно. Если ш — g-значная дифференциальная форма на Р, определяющая связность на Р, то существует единственная g/h-значная дифференциальная форма на Р/Н , такая что zu C, = LJ, причем эта форма определяет связность на Р/Н.

Пусть, в частности, {М2п+1,Ф,д = (.,.)} — ДС-многообразие. Задание ДС-структуры равносильно заданию U{n) х {1}-структуры. Так как SU{n) X {1} С U(n) х {1} — замкнутый нормальный делитель, то существует главное расслоение (P/SU(n)x{l}, М, тг, ((U(n)x{l})/SU(n)x 1) = Т1), которое называется каноническим. Если ш — форма римано- вой связности на пространстве расслоения реперов М, то вторая группа структурных уравнений этой связности имеет вид: duj = 5 » ] + Ф или в явном виде: где Uj — компоненты формы связности, Qj — \Rljklujl А шк — компоненты формы кривизны. Пусть — форма соответствующей связности главного Т1-расслоения над М. Тогда d( = тг р, где р = і сі н форма, представляющая характеристический класс [р] Є H2(M;Z) главного -расслоения. Форма р называется обобщенной формой Риччи. В силу (1.7) и (1.9), для ДС-структуры справедливы следующие равенства: Из теоремы Картана-Лаптева следует, что матрица представляет форму связности на пространстве присоединенной G-структуры, причем вторая группа структурных уравнений этой связности имеет вид: Условие унимодулярности элементов g Є SU(n) х {1} записывается в виде detg = 1, и значит, элементы X подалгебры Ли su(n) х {0} С u(n) х {0} выделяются соотношением trX = 0. Следовательно, tra; = 0 или ш% = 0. Тогда форма w C, коллинеарна форме си%: w C, = Хш; АеС. Так как d = п р, где р Є Лг(М) — обобщенная форма Риччи, представляющая класс главного Т1 -расслоения, то тг р = Xdu . В силу сюръективности fir отображение я- инъективно, а значит, формы п р и р можно отождествить. В силу вещественности римановой связности имеем: шь = о;? = — и ь. Следовательно, форма CJ чисто мнима. С другой стороны, как представитель вещественного класса когомологий форма р вещественна и определена с точностью до пропорциональности. Поэтому можно положить А = 2\/—Т. Тогда р — 2л/—їсІш%. Учитывая, что а;" Л wj = — и)ьа Ла;6а = —шь Л Главные -расслоения над некоторыми лс многообразиями. 4.1 Главные Т1-расслоения над нормальным многообразиями Пусть (Р, M,7r,G = Тг) — главное Т -расслоение над нормальным ЛС-многообразием М. Согласно теореме 2.1, первая группа структурных уравнений на пространстве присоединенной G-структуры нормальной .ДС-структуры будет иметь вид: 1) dcua =и%Ли}Ь + СаЬси}сЛи;ь + Саьи}ЬЛи;; 2) dcja =-шьаЛшь + СаЬсисЛшь + СаьщЛи; (4.1) 3) du =DbauaAujb. Пусть {J3a/?7}; {Вар7}; {Ba y; Вару} — компоненты виртуальных и структурных тензоров индуцированной в пространство расслоения ЛН-структуры. Согласно (2.9), имеем: На основании последних соотношений можно сделать следующий вывод: Теорема 4.1. -расширение нормальной почти контактной структуры на гладком многообразии М интегрируемо тогда и только тогда, когда выполняется тождество: где Q — 2-форма, представляющая характеристический класс главного Т -расслоения над М. Доказательство. Тождество (4.3) на пространстве присоединенной ( -структуры, очевидно, равносильно соотношениям: В силу (4.2), эти соотношения выполняются тогда и только тогда, когда Ва = Вар7 = 0, т.е. структурный тензор индуцированной в пространстве расслоения «ДТ -структуры равен нулю, что означает интегрируемость этой структуры, что и требовалось доказать. Пусть, в частности, (Р, М, 7г, S1) — каноническое главное Т1-расслоение над нормальным .ДС-многообразием М, а Q — соответствующая обобщенная форма Риччи. Тогда, согласно (3.3) и (4.1), имеем: а следовательно, соотношение (4.3) равносильно тождествам: Первое из этих тождеств выполняется, в частности, для ЛС-многообразия класса IZz, т.е. .4-многообразий, для которых справедливо тождество: что на пространстве присоединенной G-структуры равносильно тому, ЧТО Rabcd — 0. Типичным примером многообразий класса 7 является, согласно [4], квази-сасакиево многообразие. При этом (4.52) выполняется, если справедливо: т.е. QcJ-многообразия являются многообразием класса C7Z\ [4].

Согласно [4], последнее условие равносильно тому,что исходное многообразие, с точностью до Б-преобразований, локально эквивалентно произведению многообразия Сасаки на келерово многообразие, либо, косимплектиче-скому многообразию. Тем самым доказано: Теорема 4.2 Каноническое Т -расширение квази-сасакиева многообразия класса CHi является эрмитовым многообразием. Далее, каноническое Т1-расширение 2 5 -структуры является келеро-вой структурой, тогда и только тогда она интегрируема и выполняется тождество: Ва&7 = 0, а, /?, 7 = 0...П. Согласно (4.2), это равносильно выполнению тождеств: Первое условие, согласно [4], выполняется автоматически в силу квази-сасакиевости базы. Второе условие, согласно (4.3), выполняется в силу интегрируемости келеровой структуры. Наконец, сравнивая (4.4) и (4.6i), получим: или: Следовательно, (4.6з) равносильно соотношению: Производя комплексное сопряжение этого тождества, с учетом того, что Саъ = — С6а (см. [4]) и меняя индексы с - d, получим: откуда Cdc = 0, т.е. М — косимплектическое многообразие. Более того, в этом случае, согласно [4], выполняется тождество: Следовательно, Л = 0. Согласно [4], имеем: таким образом, получили г = 0. Кроме того, так как М — косимплектическое многообразие, то для компонентов тензора Риччи имеем справедливы соотношения [4]: а значит, М — риччи-плоское косимплектическое многообразие. Обратно, пусть М — риччи-плоское косимплектическое многообразие. Тогда, согласно (4.8), получим А = 0, и в силу (4.7) Raacd = 0. Кроме того, для компонент тензора Римана-Кристоффеля косимплекти-ческого многообразия справедливы: Rabc0 = 0, Яаьы = 0 [4]. В частности Raaco = 0, Raacd = 0. В силу (4.4), fl = 0 и, следовательно, характеристический класс канонического Т -расширения тривиален. Кроме того, как следует из (4.2), виртуальный и структурный тензоры этого Т1-расширения нулевые, а сама структура келерова. Доказана: Теорема 4.3. Каноническое Т1-расширение квази-сасакиева многообразия М, является келеровым многообразием тогда и только тогда, когда исходное -многообразие — риччи-плоское косимплектическое многообразие. В этом случае главное Т1-расслоение над М эквивалентно тривиальному расслоению (М х S1, М, -к, S1), а пространство расслоения локально эквивалентно многообразию MxR, снабженному канонической келеровой структурой. Выясним теперь вопрос о принадлежности Т -расширения нормальной почти контактной структуры классам й и . Следовательно, принадлежность .ДЭД-структуры Т1-расширения классу @2, равносильно соотношению Qab = 0, что равносильно тождеству: Таким образом справедлива: Теорема 4.4. Т -расширение нормальной .ДС-структуры на гладком многообразии М принадлежит классу С/2 тогда и только тогда, когда выполняется равенство: Следствие.

Главные Т!-расслоения над/f-контактными многообразиями

Главные расслоения с компактной абелевой структурной группой (короче, главные тороидальные расслоения) представляют интерес как с точки зрения дифференциальной геометрии, так и с точки зрения теоретической физики. Главные тороидальные расслоения являются одним из базовых объектов для построения новых примеров таких дифференциально-геометрических структур, как эйнштейновы метрики, почти эрмитовы и почти контактные структуры. В данной работе исследуются главные тороидальные расслоения над почти контактными многообразиями. Почти контактные и почти контактные метрические структуры являются одними из наиболее содержательных дифференциально-геометрических структур. Их теория является естественным обобщением контактных структур, имеющих приложения в классической и квантовой механике. Изучение почти контактных структур началось в 1953 году в работах Чженя. Он, в частности, показал [17], что если М — дифференцируемое многообразие размерности 2п + 1 с фиксированной контактной формой т] : 7; Л (dr])n ф 0, то оно допускает ( -структуру со структурной группой {1} g U(n). Позднее многообразия, допускающие такую (7-структуру, Дж.Грей назвал почти контактными многообразиями. Им же было введено понятие почти контактного метрического многообразия [22]. В I960 году Сасаки в работе [35] показал, что многообразие, допускающее (7-структуру со структурной группой {l}U(n), несет внутренним образом определенную тройку тензоров {Ф, , т]}, обладающих свойства- В своих работах Сасаки доказал, что на таком многообразии М всегда существует положительно-определенная метрика д = (,), такая что дополняющая почти контактную {Ф, f, -структуру до метрической. Почти контактные и почти контактные метрические многообразия исследовались также в работах Блэра[16], Танно[39], Исихары[24] и других геометров. Блэром, в частности, был изучен вопрос интегрируемости контактного распределения контактного многообразия.

Ему удалось доказать [14], что через каждую точку контактного многообразия проходят интегральные многообразия контактного распределения размерности, не превышающей половины размерности контактного распределения. Геометрия таких многообразий изучалась лишь в случае сасакиевых пространственных форм, то есть многообразий Сасаки постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны. Напомним[13], что почти контактное метрическое многообразие называется многообразием Сасаки, если для него справедливо соотношение: Блэр, в частности, доказал [14], что если почти контактное метрическое многообразие является нечетномерной сферой 52n+1, снабженной канонической сасакиевой структурой, то интегральные многообразия контактного распределения, будучи вложенными в S2n+1 как вполне геодезические подмногообразия, представляют собой области сферы Sn. Вопросом об интегрируемости контактного распределения почти контактной метрической структуры и геометрическим свойствам его интегральных многообразий посвящена работа Кириченко В.Ф. и Борисовского И.П. [3]. В этой работе авторы доказали, что через каждую точку произвольного контактного многообразия М2п+1 в любом п-мерном вполне вещественном направлении проходит интегральное многообразие контактного распределения (подмногообразие Лежандра). Такое свойство контактного многообразия авторы назвали полуинтегрируемостью его контактного распределения. Более того, в этой работе показано, что если М2п+1 — if-контактное многообразие, п 2, то в любом п-мерном вполне вещественном направлении проходит единственное вполне геодезическое подмногообразие Лежандра тогда и только тогда, когда М — сасакиева пространственная форма. Это свойство авторами названо геодезической интегрируемостью контактного распределения, а вполне геодезические подмногообразия Лежандра названы подмногообразиями Блэра [3]. Эти результаты позволили авторам доказать, что горизонтальное распределение расслоения Бутби-Вана над обобщенным многообразием Ходжа положительной голоморфной секционной кривизны геодезически интегрируемо тогда и только тогда, когда база расслоения локально голоморфно изометрична комплексному проективному пространству, а само расслоение с точностью до переномировки метрики типового слоя локально изоморфно классическому расслоению Хопфа [3]. В 1966 г. Блэр в работе [15] ввел понятие квази-сасакиевых структур, которые составляют обширный класс почти контактных метрических структур. Впоследствии такие структуры появились в работах Тайно [38], Канемаки [28], Янамато [44] и других геометров. Было показано, что произведение многообразия Сасаки на келерово многообразие является квази-сасакиевым многообразием.

Блэр [15] и Канемаки [28] получили некоторые достаточные условия, при которых квази-сасакиево многообразие локально эквивалентно такому произведению. Далее, Кириченко В.Ф. и Рустанов А.Р. в работе [4], изучая полную группу структурных уравнений, дали исчерпывающий перечень условий, при которых многообразия удовлетворяет последнему условию. При этом были выделены квази-сасакиевы многообразия класса ClZi . Авторы дали полную классификацию (с точностью до -преобразования метрики) многообразий такого класса постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны и квази-сасакиевых многообразий этого класса, удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных (2п+1)-плоскостей, существенно обобщив тем самым ре- зультаты Танно, касающиеся классификации сасакиевых пространственных форм [38]. В 1972 г. в работе [27] был введен в рассмотрение класс почти контактных метрических структур, характеризующихся тождеством: Позже эти структуры были названы структурами Кенмоцу. Кенмоцу показал [27],что эти структуры наделены рядом замечательных свойств, в частности, они нормальны и интегрируемы, но не являются контактными и, тем более, сасакиевыми. Почти контактная метрическая структура, например, внутренним образом возникает на ориентируемой гиперповерхности N многообразия М, снабженного почти эрмитовой структурой [39]. В 1961 году Сасаки и Хатакеяма [36] рассмотрели многообразие MxR, где М — многообразие с заданной на нем почти контактной структурой {Ф,, г}}, К — вещественная прямая. Ими было доказано, что на таком произведении определяется почти комплексная структура J. Авторы рассмотрели тензор Нейенхейса этой структуры N c, обозначив координату на R через Х, тогда Л, В, С = 1, ..., 2п + 1, со. Величины Njk,Nj%,Nlioo и Nj, где i,j,k = 1,2п + 1, определяют четыре тензора на М. Сасаки и Хатакеяма изучили свойства этих тензоров. В частности, они показали, что N = «С Ф и Nj = 77, где есть производная Ли тензорного поля в направлении вектора. Причем если Щк = 0, то и остальные три тензора равны нулю. Также они доказали, что на М с {Ф, , -структурой всегда существует аффинная связность, для которой 7, Ф, и параллельны, а на многообразии с {Ф, , rj, д}- структурой эту связность можно выбрать так, чтобы и поле тензора д было параллельным.

Главные Т^-расслоения над слабо косимплектическими многообразиями

Автор исследовал тензорные признаки и геометрические свойства этих многообразий, особое внимание уделяя многообразиям Сасаки. Этими вопросами также занимались Хашимото и Ичинохе. Они изучали свойства тензора кривизны пространства Mxl, порожденного конформно плоским многообразием М. Грей А. и Хервелла [23] в 1980 году классифицировали почти эрмитовы структуры. Естественно, перед геометрами возникла задача о систематизации почти контактных метрических структур на многообразии М в соответствии с классификацией эрмитовых структур, индуци- рованных на многообразии М х R. Данной проблемой занимались такие геометры, как Накаяма [33], Канемаки [26], Чинея и Марреро [19]. Ими получена неполная классификация почти контактных метрических структур. Например, классификацию пространств М2п+1 Накаяма проводит следующим образом. Он находит необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять различные геометрические объекты пространства М, такие как Ф,,г],д и объекты, полученные при их первом продолжении, тензор Нейенхейса и т.п. для того, чтобы пространство MxR принадлежало к одному из классов почти эрмитовых многообразий. На этом пути автор находит 9 подклассов пространств с {Ф, , 7;, -структурой. В частности, Накаямой доказан ставший уже классическим результат: нормальность почти контактной метрической структуры на многообразии М равносильна тому, что структура на многообразии MxR эрмитова. Этот результат также был получен немного позже Накашима, Ватанабе [32]. Чинея и Марреро [19] для классификации почти контактных метрических структур изучали представление группы U(n) х {1} на специальном пространстве N(V), интерпретируемом как пространство тензоров специального вида типа (0,3) над 2n + 1-мерном вещественном линейном пространством V, которые удовлетворяют определенным свойствам симметрии. Авторы нашли разложение N(V) на шесть подпространств, инвариантных относительно действия группы U(n) х {1}. Это дало возможность сопоставить каждому инвариантному подпространству класс почти контактных метрических многообразий. Для примера, подпространству {0} сопоставляется класс нормальных многообразий, который объединяет классы а-Кенмоцу, а-сасакиевых, транссасакиевых, квази-сасакиевых многообразий. Найдены 6 квадратичных инвариантов подпространства N(V) и шесть классов почти контактных метрических структур Ni — iVe. Указаны их характеристики.

Поскольку между почти контактной метрической структурой на многообразии М и почти эрмитовой структурой на многообразии MxR имеется тесная взаимосвязь, то ее изучение позволяет выделить новые инте- ресные классы почти контактных метрических структур. Так, например, Чинея в 1985 году рассмотрел класс квази-К- сасакиевых структур. Это — почти контактная метрическая структура {Ф, , rj, д} на многообразии М, у которой естественно ассоциированная ей почти эрмитова структура на многообразии Mxl является квазикелеровой [18]. Это равносильно справедливости следующего тождества на М где V — риманова связность метрики д на многообразии М. Чинея изучал подмногообразия N квази-ІІГ-сасакиева многообразия, инвариантные относительно структурного оператора Ф. Им доказано, что N в этом случае является квази-Л"-сасакиевым относительно естественно индуцированной структуры. Он также доказал минимальность такого подмногообразия, нашел условия его вполне геодезичности в терминах ковариантной производной второй фундаментальной формы вложения. Обинья [34] рассматривал почти контактные метрические структуры на многообразии М, у которых естественно ассоциированная ей почти эрмитова структура на многообразии МхЕ принадлежит классам WA И W2 144 в классификации Грея — Хервеллы [23]. Такие структуры были названы транссасакиевыми и почти транссасакиевыми, соответственно. В последнее время эти структуры широко изучаются. Чинея, Пере-стело [20], например, исследовали инвариантные подмногообразия транс-сасакиевых многообразий. Марреро [31] доказал, что {ф, ,г],д} — транс-сасакиева структура тогда, и только тогда, когда {ф,,г],д} нормальна и dQ = 2at] А $7, drj = j3Q, где 17 — фундаментальная форма, a = div/(2n); /3 = Ш()/(2п). Он также изучал подклассы класса транссасакиевых многообразий и нашел аналитические условия, при выполнении которых транссасакиево многообразие принадлежит к одному из этих подклассов. Марреро изучал локальное строение этих транссасакиевых многообразий М. При этом М представляет собой локальное произведение (а, 6) х V, где (а, Ь) — открытый интервал, V — келерово многообразие, dim V = 2п. Изучению транссасакиевых и почти транссасакиевых многообразий посвящена работа Кириченко В.Ф. и Родиной Е.В. [2]. В этой работе был разработан аппарат исследования связи между геометриями почти контактного метрического многообразия М и многообразия М х Ш, изучение которой сводится к изучению связи между структурными объектами -структур, присоединенных к данным многообразиям- В частности, авторами была получена исчерпывающее описание класса транссасакиевых структур, полная классификация почти транссасакиевых многообразий постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с неинтегриру-емой структурой, а также полная классификация транссасакиевых многообразий с неинтегрируемой структурой, удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных плоскостей. Существенным обобщением рассмотренной выше конструкции являются главные Т -расслоения над почти контактным многообразием М. Изучению главных -расслоений над гладким многообразием была посвящена работа Кобаяси [30]. Он показал, что во множестве классов эквивалентности всех главных Т расслоений V{M) над римановым многообразием М можно ввести структуру аддитивной абелевой группы. Кобаяси доказал, что существует гомоморфизм х группы V{M) на группу двумерных целочисленных когомологий H2(M,Z), который в случае односвязности многообразия М будет мономорфизмом, а значит, и изоморфизмом.

Следовательно, характеристический класс расслоения с учетом классического изоморфизма де-Рама есть в точности элемент группы когомологий де-Рама, определенный некоторой замкнутой целочисленной 2-формой. Нулевому элементу группы когомологий соответствует класс расслоений, эквивалентных тривиальному. Примером нетривиального главного Т -расслоения является расслоение Хопфа 7Г : S2n+1 — РСп. Геометрии тривиальных и нетривиальных главных Т -расслоений (несмотря на их локальную тривиальность) могут существенным образом отличаться друг от друга. В работе [21] доказано, что пространство тривиального главного Т расслоения ж, /, г Є R, к Є Ш,к О) симплектично, но не допускает комплексной структуры. С другой стороны, авторами построен пример нетривиального главного Т -расслоения 7г : S - М3(к), которое является комплексным многообразием, но не допускает симплектических форм. Хорошо известны [14] так называемые расслоения Бутби-Вана — главные Т -расслоения над симплектическими многообразиями, характеристический класс которых порожден симплектической формой. Частным случаем расслоений Бутби-Вана является расслоение над многообразием Ходжа, в котором в качестве симплектической формы выступает фундаментальная форма структуры. Интересен случай, когда база главного -расслоения является келе-ровым многообразием. В работе [41] Ватанабэ изучал главное -расслоение над локально-симметрическими келеровыми многообразиями. В частности, он показал что тотальное пространство расслоений Бутби-Вана над локально-симметрическим многообразием Ходжа локально однородно и объемно симметрично. М.Ван и Циллер в работе [40] исследовали случай, когда на пространстве главного -расслоения индуцируется метрика Эйнштейна. Ими установлено, что если (М,-, г),г = 1,...,т являются многообразиями Келера-Эйнштейна с положительным первым классом Чженя Сі(Мг), C\{Mi) = qiai, где qi Є N, щ — неделимый класс в #2(M ,Z) и Р — тотальное пространство главного Т -расслоения над М = М\ х... х Мт, такое, что характеристические классы в группе когомологий ІУ2(М, Z) являются целочисленными линейными комбинациями элементов оті,..., ат, то Р несет метрику Эйнштейна тогда и только тогда, когда фундамен- тальная группа щ(Р) конечна. Как следствие этого результата авторами доказано, что любое главное Г1 -расслоение над М\ х ... х Мт, эйлеров класс которого является целочисленной линейной комбинацией элементов c i,..., ат, несет эйнштейнову метрику положительной скалярной кривизны.

Геометрия главных T^1-расслоений над нечетномерной базой Савинов Александр Валерьевич

Почти контактные структуры

Ковариантное дифференцирование

Главные Т!-расслоения над/f-контактными многообразиями

Главные Т^-расслоения над слабо косимплектическими многообразиями

Похожие диссертации на Геометрия главных T^1-расслоений над нечетномерной базой